上海市新中高级中学2026-2026学年高三上学期学生学习情况反馈零诊断数学试卷

**基本信息** 高三开学零诊断数学试卷，以基础巩固（如集合、函数、复数）与创新应用（如“开口圆”“最值距”新定义）为梯度，检测知识掌握与数学眼光、思维、语言等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合、函数值域、复数虚部、分层抽样、正态分布等|基础题为主，如分层抽样结合等差数列考查统计观念| |选择题|4/18|相关系数、函数奇偶性、四面体充要条件、“反导函数”新定义|通过散点图、新定义考查推理能力与批判性思维| |解答题|5/78|立体几何（二面角、体积）、独立性检验、导数切线、椭圆“开口圆”、“最值距”新定义|综合性强，如“开口圆”“最值距”新定义问题，培养创新意识与数学表达能力|

2027届新中高级中学高三学生学习情况反馈零诊断 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1. 本试卷的选择题均为单选题 1. 解答题需要写出必要的计算说明过程 1. 试卷共4页，请作答在答题纸上 1. 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．已知集合，，则__________． 2．函数的值域为__________． 3．复数的虚部为 ． 4．某校今年有300名学生参加高考，他们的选科有A,B,C三种，为分析这届学生的高考成绩，老师决定用分层抽样的方法进行抽样，已知从A,B,C三种选科组合的学生中抽取的个体数组成一个等差数列，则选科组合为B的学生的人数为 ． 5．某数学直播课的时长为2小时，但实际直播授课时间存在误差，已知数学直播课的实际时长服从的正态分布，误差超过半小时的可能性为，则的值为 ．（用含的代数式表示） 6．已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ． 7．设函数在区间上恰有个极值点，则的取值范围为 ． 8．已知抛物线上有一点到准线距离为4，则点到x轴的距离为__________． 9．在锐角中，若，则的取值范围为__________． 10．已知直线和直线，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． 11．对于任意实数x，符号表示不超过的最大整数，则的值为__________． 12．设是平面上两两不相等的向量，对任意的均有，若，，则__________． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13．对四组数据进行统计，获得如下散点图，则这四组数据相应的相关系数最小的是（        ） A． B． C． D． 14．若，，则的奇偶性（ ） A．一定为奇数 B．一定为偶数 C．与的奇偶性相同 D．与的奇偶性相反 15．已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（ ） ① ② ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 16．若函数在定义域上满足＜0恒成立且不严格减，则称为“反导函数”，则（ ） （1）存在偶函数是“反导函数” （2）若函数具有周期性，且在定义域上满足＜0，则为“反导函数” A．结论（1）（2）都成立 B．结论（1）（2）都不成立 C．结论（1）成立，结论（2）不成立 D．结论（1）不成立，结论（2）成立 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题共14分，（1）小问9分，（2）小问5分） 如图，在三棱锥中, 侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,为中点，AC=1． （1）求：二面角的余弦值与三棱锥的体积； （2）求：从中随机抽取3个点，在可以确定1个平面的条件下，确定的平面是SBC的概率． 18．（本大题共14分，（1）小问8分，（2）小问6分） 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立；若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为，求：的数学期望与方差． 附：． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19．（本大题共14分，（1）小问6分，（2）小问8分） 已知函数上有不重合的两点，． （1）若，的图像在，两点处的切线相互平行，求：的取值范围； （2）若，设PQ的中点为，求证：． 20．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 定义：若圆心在坐标原点的圆O与焦点在坐标轴上的圆锥曲线在两个不同点具有公切线，则称圆O为圆锥曲线的“开口圆”；已知椭圆C的“开口圆”与双曲线相同．椭圆C的短轴长为2，过点作椭圆C的两条切线，作倾斜角为锐角的直线交椭圆于两点，设中点为． （1）请直接写出椭圆C及其“开口圆”的标准方程； （2）若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内： ①：若在轴上，且椭圆上存在点使得，设，求：的取值范围； ②：若在椭圆C的“开口圆”上，记的斜率为，求证：． 21．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． （1）请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； （2）求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； （3）若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． 第 1 页 共 2 页 2027届新中高级中学高三学生学习情况反馈零诊断 数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2027届新中高级中学学生能力零诊断数学双向细目表 题号 题目满分 知识点 能力水平 得分率 1 4 集合与逻辑 识记 2 4 绝对值三角不等式 识记 3 4 复数 理解 4 4 分层随机抽样 等差数列 理解 5 4 正态分布 理解 6 4 不等式 理解 7 5 三角函数 导数与极值 w含参问题 理解 8 5 抛物线 理解 9 5 解三角形 正弦定理 应用 10 5 直线与圆 三角代换 应用 11 5 等比数列 错位相减 对数 应用 12 5 平面向量 应用 13 4 一元线性回归 识记 14 4 二项式定理 应用 15 5 立体几何 空间向量 余弦定理 常用逻辑用语 应用 16 5 导数 函数的单调性，奇偶性与周期性 应用 17（1） 9 常见几何体的体积 二面角 理解 17（2） 5 条件概率 平面的确定 应用 18（1） 8 2×2列表 独立性回归检验 识记 18（2） 6 二项分布 理解 19（1） 7 导数 切线方程 基本不等式 理解 19（2） 7 导数 函数的单调性 应用 20（1） 4 圆锥曲线 理解 20（2） 6 平面向量 直线与圆锥曲线 点与圆的位置关系 应用 20（3） 8 直线与圆 直线与圆锥曲线 直线的斜率 韦达定理 综合 21（1） 4 绝对值函数 正切函数 函数的奇偶性与单调性 识记 21（2） 6 对数函数 等式的恒成立问题 函数的定义域 理解 21（3） 8 辅助角公式 三角函数 函数的最值与值域 应用 $ 2027届新中高级中学高三零诊数学参考答案及评分标准 参考答案： 填空题（1~12题） 1． -1 2. [4,﹢∞) 3． 4． 100 5． 6． 7. 8. 9． 10. （提示：三角代换） 11. 18445 12. （提示：正方形，中点） 选择题（13~16题） 13. A 14. D 15. B 16. D 解答题（17~21题） 17． （1） 由题设AB=AC=SB=SC=SA,连结OA，△ABC为等腰直角三角形，故OA=OB=OC=SA，AO⊥BC. 又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，SO=SA， 从而OA2+SO2=SA2，所以△SOA为直角三角形，. 又AO∩BC=O，所以SO⊥平面ABC. （3分 建系证明） 以O为坐标原点，射线OB、OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系 设B(1,0,0)，则SC的中点 （1分） （建系后点坐标） ，. 故MO⊥SC，MA⊥SC，等于二面角的平面角. （2分）（确定角或法向量求解） （1分） （二面角的公式与计算） 所以二面角的余弦值为 体积 （2分） （本小题共9分，其他合理做法根据情况酌情给分） （2） 不共线的三点确定一个平面，共有5点 （1分） 不满足的情况：1种，B,O,C三点共线，故可确定平面总数为 （1分） 在平面SBC上的点，B,O,C,S，可确定平面总数为 （1分） 在可以确定1个平面的条件下，确定的平面是SBC的概率为 （2分） 18． （1） ，（1分） ； （1分） 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联， （1分） 根据列联表中的数据，可得， （3分） 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， （1分） 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于； （1分） （2） 随机抽取1人购买B款车的概率为：， （1分） 的可能取值有0，1，2，3，4，（1分） 依题意服从，，（2分） 因此，，（1分） （1分） 19． （1） 因为，. 所以，. （1分） 又因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以， （2分） 因为且，所以，即 （3分） （2） 因为为的中点，则，故，（1分） 由，（1分） 故要证，即证，由于，即证，（1分） 不妨设，只需证，即证，（1分） 设，构造函数，则，（2分） 所以函数在单调递增，故（1分），即， 从而．（1分） 20． （1） 开口圆的标准方程： （2分） 椭圆C的标准方程： （1分）或 （1分） （2） 由题意，显然直线的斜率存在，故可设直线，、， （1分） 联立， 消去得，， （1分） 即＞0 （1分） ①，则，， 则，，， 故，（1分） 若，则有， 设直线为， 联立，消去有， 要使得存在点，则，（1分） 整理得，故②， 联立①②解得： （1分） （3） 证明：设，且；设过点的直线与椭圆相切， 联立：化简得：     （1分） 由得       （1分）  点在直线上，得代入上式： 化简得：  （1分） 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根  （1分） 由韦达定理得；（1分） 由得 所以 （1分），又 （1分） 所以．（1分） 21． （1） 的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0． （各1分，共4分） （2） 假设 （1分） 则： （1分） 又只与有关，则 （2分） 解得： （1分） 这与定义域为矛盾 （1分） ∴ 不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关． （3） 由题意可得：，即 （2分） 设在区间上的最小值为，最大值为，设与的“最值距”分别为， 则的最小值为0，最大值为 ①如果在区间上变号，即 若，则，解得： ∵＜0＜b，则，则，这与矛盾，舍去 （2分） 同理，若，可得，这与矛盾，舍去 （1分） ②如果在区间上恒正，即0＜a≤b 此时，解得： （2分） ③如果在区间上恒负，即a≤b＜0 此时，解得： （1分） 综上：在区间上的“中值”为2或-2 ___________________________________________________________________________________________________ 思路提示：①遇到函数问题，要优先思考这个函数的定义域和值域； ②遇到不确定性，先设出来，根据条件分类讨论是打开突破口的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新中高级中学高三学生能力零诊断 数 学·答题卡 姓名： 学校： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （18分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （18分） （1） （2） （3） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $