精品解析：上海市新中高级中学2026-2026学年高三上学期学生学习情况反馈零诊断数学试卷

2027届新中高级中学高三学生学习情况反馈零诊断 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1． 本试卷的选择题均为单选题 2． 解答题需要写出必要的计算说明过程 3． 试卷共4页，请作答在答题纸上 4． 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知集合 ，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 2. 函数的值域为__________． 【答案】[4，﹢∞) 【解析】 【分析】先将函数中二次根式部分化简为绝对值形式，将原函数转化为两个绝对值之和的形式，再通过绝对值的几何意义或分段讨论的方法求解函数的值域. 【详解】∵ ， ∴ 原函数可化为. 方法一：从几何意义分析，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，故表示数轴上点到点与点的距离之和. 当点位于点和点之间（含端点）时，距离之和取得最小值，最小值为； 当点位于点左侧或点右侧时，距离之和随向两侧延伸逐渐增大，无最大值. 方法二：通过零点分段法验证： 当时，，此时函数单调递减，； 当时，； 当时，，此时函数单调递增，. 综上，函数的值域为. 3. 复数为的主平方根，则的虚部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，平方后利用复数相等求解. 【详解】令，两边平方得， 则，解得，或， 主平方根取实部为正的解，所以， 故复数的虚部为：. 4. 某校今年有300名学生参加高考，他们的选科有A，B，C三种，为分析这届学生的高考成绩，老师决定用分层抽样的方法进行抽样，已知从A，B，C三种选科组合的学生中抽取的个体数组成一个等差数列，则选科组合为B的学生的人数为__________． 【答案】100 【解析】 【分析】利用分层抽样的方法结合等差中项的定义列式计算即得. 【详解】设300名参加高考的学生中，选科的人数依次为，则， 用分层抽样的方法从A，B，C三种选科组合的学生分别抽取人数依次为， 依题意，(*)，设抽样比为，则， 将其代入（*），可得， 因，则得，即选科组合为B的学生的人数为100. 5. 某数学直播课的时长为2小时，但实际直播授课时间存在误差，已知数学直播课的实际时长服从的正态分布，误差超过半小时的可能性为，则 的值为__________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】由于数学直播课的实际时长服从的正态分布，设， 那么由误差超过半小时的可能性为可知 即 ， 由正态分布曲线对称性可知 ,, 故. 6. 已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件知与同解，再对分类讨论，结合二次函数的图象和性质求出实数的取值范围. 【详解】由，解得， 由条件知与同解， 当时，显然不符合条件； 所以，或， 即，或， 解得或， 综上. 所以的取值范围为. 7. 设函数在区间上恰有个极值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分,讨论，再合并结果. 【详解】因为,当,,函数在区间上恰有个极值点,则,所以； 当,,函数在区间上恰有个极值点,则,所以; 综上，的取值范围为. 8. 已知抛物线上有一点到准线距离为4，则点到x轴的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，由题意求出，再代入抛物线方程求出即可. 【详解】由可得其准线方程为直线， 设点的坐标为，依题意，可得，解得， 则有，故点到x轴的距离为. 9. 在锐角中，角所对的边为，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，且，得，再由正弦定理将转化为，再根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系式将其转化为关于的函数，最后结合的取值范围，根据正切函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】由，且，得. 所以，所以. 由正弦定理，得. 因为是锐角三角形，所以， 即. 所以，所以， ， 即的取值范围为. 10. 已知直线: 和直线:，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角换元，把动点到直线和直线的距离之和表示为的函数，然后通过求解该函数的最小值即可求解. 【详解】图形如下所示，设， 则到直线和直线的距离之和为 由辅助角公式 所以当，即时有最小值. 11. 对于任意实数x，符号表示不超过的最大整数，则的值为__________． 【答案】18445 【解析】 【分析】先依据对数性质划分的取值区间并计算区间和的表达式，再通过错位相减法求出等差乘等比形式的区间和，最后加上单独项的值得出最终结果. 【详解】当时，，此时， 所以， 所以 令， 则， 所以， 即， 所以，. 12. 设是平面上两两不相等的向量，对任意的均有，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量减法的几何意义，作图分析求解即可. 【详解】将的起点平移到一起，记作，其终点分别记作. 若，则四边形是菱形. 又，即四边形的对角线相等， 所以四边形为正方形. 因为对任意的均有，则分别为正方形各边的中点， 所以， 即． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，则这四组数据相应的相关系数最小的是（        ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】题干四幅散点图从左往右依次记为图①、图②、图③、图④， 图①，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图②，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图③，数据点呈负线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈正线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 14. 若且 ， ，则的奇偶性（ ） A. 一定为奇数 B. 一定为偶数 C. 与的奇偶性相同 D. 与的奇偶性相反 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式，分析可得，据此求出的表达式，可取某些特殊的n值进行分析，由此进行判断； 【详解】， 同理， 两者对比可知为奇数时，， 又为偶数时，为有理数，且， 即两者展开式中k为偶数的部分，为相等的有理数， 所以可知， 因此可解得， 对于A，取，可得为偶数，与一定为奇数矛盾，故A错误； 对于B，取，可得为奇数，与一定为偶数矛盾，故B错误； 对于C，为奇数，为偶数，奇偶性不同，故C错误； 对于D， 当为偶数时，为奇数； 当为奇数时，为奇数，为偶数，D选项正确； 15. 已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（ ） ① ② ③ A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，如下图建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算可判断选项正误. 【详解】如下图，取中点为，因，，则， 又平面，，则平面. 如下图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，从而. 对于①，，则， 则是的充要条件； 对于②，，则 ，结合，可得， 则 不是的充要条件； 对于③， ， 从而是的充要条件. 16. 若函数在定义域上满足＜0恒成立且不严格递减，则称为“反导函数”，则（ ） （1）存在偶函数是“反导函数” （2）若函数具有周期性，且在定义域上满足＜0，则为“反导函数” A. 结论（1）（2）都成立 B. 结论（1）（2）都不成立 C. 结论（1）成立，结论（2）不成立 D. 结论（1）不成立，结论（2）成立 【答案】D 【解析】 【分析】由题干信息结合偶函数，周期函数性质可判断（1），（2）是否成立 【详解】对于（1），假设存在偶函数为“反导函数”，则对定义域内任意满足恒成立， 又，则，这与恒成立矛盾， 故假设错误，（1）不成立 对于（2），因函数具有周期性，设周期为（），则， 故不严格递减，而，故为“反导函数”，故（2）成立. 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 如图，在三棱锥中， 侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，，为中点，． （1）求：二面角的余弦值与三棱锥的体积； （2）求：从中随机抽取3个点，在可以确定1个平面的条件下，确定的平面是的概率． 【答案】（1）二面角的余弦值为；三棱锥的体积为 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得， ，为的中点，为二面角的平面角，求出即可得二面角的余弦值，三棱锥的体积由体积公式计算； （2）利用组合数公式，计算条件概率. 【小问1详解】 在三棱锥中， 侧面与侧面均为等边三角形， 由，得， 为中点，连结，为等腰直角三角形， 故，，， 又为等腰直角三角形，故，， 从而，所以． 又，平面，所以平面． 为的中点，为等腰直角三角形，，， 为等边三角形，，，为二面角的平面角， 又，，， 所以二面角的余弦值为 三棱锥的体积. 【小问2详解】 从中随机抽取3个点，共有种取法， 设事件A为“这3个点可以确定1个平面”，事件B为“这3个点确定的平面是”， 不共线的三点确定一个平面，B，O，C三点共线不能确定一个平面，故可确定平面总数为 ，， 在平面上的点有，可确定平面总数为 ，则， 所以. 18. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立；若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为，求：的数学期望与方差． 附：． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）可以认为选购车的款式与性别有关 （2）， 【解析】 【分析】（1）先提出零假设，然后计算，与临界值比较后确定结论； （2）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望和方差公式求解即可. 【小问1详解】 ， ； 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联， 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 随机抽取1人购买B款车的概率为：， 的可能取值有0，1，2，3，4， 依题意，， 因此，，. 19. 已知函数的图象上有不重合的两点，． （1）若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； （2）若，设的中点为，求证： ． 【答案】（1） （2）由题意， 则， 因为为的中点，则， 故， 由 ， 故要证， 即证， 由于，即证， 不妨设，只需证， 即证， 设，构造函数， 则， 所以函数在单调递增，故， 即， 从而． 【解析】 【分析】（1）由切线斜率相等得到，再结合基本不等式即可求解； （2）先根据已知条件表示出和，然后将问题转化成，再构造新函数，求导通过单调性证明即可. 【小问1详解】 由题意：，． 所以，． 又因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以， 因为且，所以， 即的取值范围是. 【小问2详解】 略 20. 定义：若圆心在坐标原点的圆O与焦点在坐标轴上的圆锥曲线在两个不同点具有公切线，则称圆O为圆锥曲线的“开口圆”；已知椭圆C的“开口圆”与双曲线的“开口圆”相同．椭圆C的短轴长为2，过点作椭圆C的两条切线，作倾斜角为锐角的直线交椭圆于两点，设中点为． （1）请直接写出椭圆C及其“开口圆”的标准方程； （2）若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内： ①：若在轴上，且椭圆上存在点使得∥，设，求：的取值范围； ②：若在椭圆C的“开口圆”上，记的斜率为，求证： ． 【答案】（1）开口圆的标准方程：；椭圆C的标准方程： 或 （2）① ②证明：设，且；设过点的直线与椭圆相切， 联立：化简得： 由得 点在直线上，得代入上式： 化简得： 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根 由韦达定理得； 由得 所以 ，又 所以． 【解析】 【分析】（1）画出图形，则可以写出开口圆，椭圆C的标准方程； （2）①利用向量平行转化斜率相等，联立直线与椭圆方程消元，用判别式求解；②设出过P点的切线方程，结合椭圆方程相切得判别式，构造关于k的一元二次方程，两条切线斜率就是方程两根，韦达定理求和. 【小问1详解】 开口圆的标准方程： 椭圆C的标准方程： 或 【小问2详解】 ①若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内,则椭圆C的标准方程是， 由题意，显然直线的斜率存在，且或，故可设直线，、， 联立， 消去得，， 即＞0 (1)，则，， 则，，，故， 若，则有，设直线为， 联立，消去有， 要使得存在点，则， 整理得，故 (2)， 联立(1) (2)解得： ②略. 21. 定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． （1）请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； （2）求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； （3）若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． 【答案】（1）的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0 （2）假设在区间上有最大值，最小值，存在，使得， 则：， 又只与有关，则 解得：， 这与定义域为矛盾, ∴ 不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关． （3）2或 【解析】 【分析】（1）求出两个函数的最值，再结合题意求解； （2）利用反证法进行证明； （3）将平方，得到，根据在区间上的符号分3类进行讨论，利用与在区间上的“最值距”相同列方程，求解. 【小问1详解】 在区间上的最大值为，最小值为， 在区间上的最大值为，最小值为， 所以的“最值距”为，“中值”为；的“最值距”为2，“中值”为0． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得：，即， 设在区间上的最小值为，最大值为，设与的“最值距”分别为， 则的最小值为0，最大值为， ①如果在区间上变号，即， 若，则，解得：， ∵，则，则，这与矛盾，舍去； 同理，若，可得，这与矛盾，舍去； ②如果在区间上恒正，即， 此时，解得：； ③如果在区间上恒负，即， 此时，解得：； 综上：在区间上的“中值”为2或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届新中高级中学高三学生学习情况反馈零诊断 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1． 本试卷的选择题均为单选题 2． 解答题需要写出必要的计算说明过程 3． 试卷共4页，请作答在答题纸上 4． 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知集合 ，，则__________． 2. 函数的值域为__________． 3. 复数为的主平方根，则的虚部为__________． 4. 某校今年有300名学生参加高考，他们的选科有A，B，C三种，为分析这届学生的高考成绩，老师决定用分层抽样的方法进行抽样，已知从A，B，C三种选科组合的学生中抽取的个体数组成一个等差数列，则选科组合为B的学生的人数为__________． 5. 某数学直播课的时长为2小时，但实际直播授课时间存在误差，已知数学直播课的实际时长服从的正态分布，误差超过半小时的可能性为，则 的值为__________．（用含的代数式表示） 6. 已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________． 7. 设函数在区间上恰有个极值点，则的取值范围为__________． 8. 已知抛物线上有一点到准线距离为4，则点到x轴的距离为__________． 9. 在锐角中，角所对的边为，若，则的取值范围为__________． 10. 已知直线: 和直线:，则曲线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值为__________． 11. 对于任意实数x，符号表示不超过的最大整数，则的值为__________． 12. 设是平面上两两不相等的向量，对任意的均有，若，，则__________． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，则这四组数据相应的相关系数最小的是（        ） A. B. C. D. 14. 若且 ， ，则的奇偶性（ ） A. 一定为奇数 B. 一定为偶数 C. 与的奇偶性相同 D. 与的奇偶性相反 15. 已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（ ） ① ② ③ A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 16. 若函数在定义域上满足＜0恒成立且不严格递减，则称为“反导函数”，则（ ） （1）存在偶函数是“反导函数” （2）若函数具有周期性，且在定义域上满足＜0，则为“反导函数” A. 结论（1）（2）都成立 B. 结论（1）（2）都不成立 C. 结论（1）成立，结论（2）不成立 D. 结论（1）不成立，结论（2）成立 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 如图，在三棱锥中， 侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，，为中点，． （1）求：二面角的余弦值与三棱锥的体积； （2）求：从中随机抽取3个点，在可以确定1个平面的条件下，确定的平面是的概率． 18. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立；若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为，求：的数学期望与方差． 附：． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19. 已知函数的图象上有不重合的两点，． （1）若，的图象在，两点处的切线相互平行，求的取值范围； （2）若，设的中点为，求证： ． 20. 定义：若圆心在坐标原点的圆O与焦点在坐标轴上的圆锥曲线在两个不同点具有公切线，则称圆O为圆锥曲线的“开口圆”；已知椭圆C的“开口圆”与双曲线的“开口圆”相同．椭圆C的短轴长为2，过点作椭圆C的两条切线，作倾斜角为锐角的直线交椭圆于两点，设中点为． （1）请直接写出椭圆C及其“开口圆”的标准方程； （2）若椭圆C除顶点外的点都在其“开口圆”内： ①：若在轴上，且椭圆上存在点使得∥，设，求：的取值范围； ②：若在椭圆C的“开口圆”上，记的斜率为，求证： ． 21. 定义：设函数在区间上有最大值，最小值，则称为函数在区间上的“最值距”，为在区间上的“中值”． （1）请直接写出和在区间上的“最值距”和“中值”； （2）求证：不存在区间使函数在区间上的“最值距”只与有关； （3）若与在区间上的“最值距”相同，求：在区间上的“中值”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $