专题3.2 探索三角形相似的条件 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“探索三角形相似的条件”核心知识点，系统梳理相似三角形定义、预备定理及判定方法（两角相等、两边成比例夹角相等、三边成比例），结合直角三角形特殊判定与黄金分割，构建从基础到应用的递进学习支架。 资料以“模块通关-专题攻坚-压轴突破”为主线，典例与变式训练强化推理意识，微专题（裁剪、尺规作图）及压轴存在性问题培养应用意识，课中助力教师高效教学，课后便于学生回顾提升、弥补知识盲点。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.2探索三角形相似的条件》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 由平行判定相似 模块7黄金分割的应用 模块2 由两角相等判定相似 模块8 相似三角形的对数 模块3 由两边对应成比例及夹角相等判定相似 微专题1裁剪使两三角形相似 模块4 由三边对应成比例判定相似 微专题2尺规作图使两个三角形相似 模块5选择或补充条件使两三角形相似 压轴1 相似三角形的存在性问题 模块6由黄金分割求值 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点一：相似三角形： 1. 相似三角形的定义： 两个三角形的三个角分别相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．△ABC相似于△DEF用符号表示为：△ABC∽△DEF． 特别提示：相似于全等一样，用符号表示时对应点写在对应的位置． 2. 全等三角形与相似三角形的比较： 注意：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形。 知识点二：相似三角形的判定的预备定理： 1.内容： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所形成的三角形与原三角形相似． 2.推广： 平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交所形成的三角形与原三角形相似． 知识点三：相似三角形的判定： 1.判定一： 两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似． 2.判定二： 两个三角形的两边成比例，且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似． 3.判定三： 两个角分别相等的两个三角形相似． 4. 判定直角三角相似： ①斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似． ②有一个锐角相等的两个直角三角形相似． ③两条直角边对应成比例时，两个直角三角形相似． 5.有关三角形相似的常见图形 知识点四 黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，即这种分割为黄金分割，点p称为线段AB的黄金分割点 AP与PB的比值称为黄金分害数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618 模块通关·举一反 三 【模块一】由平行判定相似 “由平行直接得出相似”的结论仅针对三角形场景，即平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，不能直接认为存在一组对边平行的两个多边形就一定相似。 其次要找准对应关系，无论得到的是A型还是X型基本相似模型，都要根据平行线带来的等角关系确定对应顶点，不能随意颠倒对应顺序，错配对应关系会导致后续边长、周长等计算出现错误。 第三要注意截线位置带来的变化，不要错误认为只有截线和三角形两边的线段相交、交点落在三角形边上时才会产生相似三角形，当截线与两边的延长线相交时，依然能通过同位角相等证明相似，要能识别不同位置的平行截线构造出的相似图形。 【典例1】如图，在中，，，，相交于点，则图中与相似的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】如图，点E是边的延长线上一点，交于F，则图中的相似三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式1-2】 与 相交于 O，，E，H 是 上的点， 是 上的点，且，，则图中与 相似的三角形（不含 ）共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式1-3】．如图，在中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，则图中相似三角形的组数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【模块二】由两角相等判定相似 首先，要紧扣判定的核心要求，必须满足两组角“对应相等”才能判定三角形相似， 其次，要准确挖掘题目中隐藏的等角条件，公共角、对顶角、同角（或等角）的余角与补角、角平分线分出的相等角都是常见的隐藏等角，审题时不能遗漏这些关键条件； 最后，要明确该判定方法的适用范围，它仅适用于三角形相似的判定，对于任意多边形来说，即使多组对应角相等，也无法仅依靠角相等判定相似，还需要满足对应边成比例的条件，不能直接将三角形的判定结论套用到多边形相似判定中。 【典例2】在中，，，点是边上一点，过点作，交于点，求证：． 【变式2-1】将两个完全相同的等腰直角△ABC与△AFG按图所示的方式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（　　） A．△AEC与△ADB B．△ABE与△DAE C．△ABC与△ADE D．△AEC与△ADC 【变式2-2】将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线同一平面内），图中相似而不全等的三角形有几对（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】已知如图，在中，，，垂足是，写出图中的一组相似三角形______． 【模块三】由两边对应成比例及夹角相等判定相似 首先，必须准确把握判定的核心要求，相等的角一定得是两组对应成比例边的**夹角**，不能是任意一组边的对角，即使两边满足对应成比例、也有一组角相等，只要这组相等的角不是夹角，就无法保证两个三角形一定相似，这是最容易犯的错误。 其次，要理清对应关系，不能错配边与角的对应顺序，成比例的两组边要严格和相等的夹角对应，相似比的前后项也要和两个三角形的对应顺序一致，错配对应关系会直接导致证明或计算出错。 第三，要注意挖掘题目中隐藏的相等夹角条件，公共角、对顶角、直角、同角（或等角）的余角和补角，都是这类题目中常见的隐含等角，题干往往不会直接点明相等关系，需要结合已学几何性质推导得出，审题时不能遗漏这类关键条件。 【典例3】如图，，分别为，边上两点，且，，，．求证：． 【变式3-1】如图，正方形的边长为4，，E为的中点．求证：． 【变式3-2】．如图，在和中，，且． 求证：． 【变式3-3】如图，已知，． (1)求的长； (2)求证：． 【模块四】由三边对应成比例判定相似 首先，要保证三边的对应关系准确，必须严格按照两个三角形的顶点对应顺序确定对应边，计算对应边的比值，不能随意打乱边长顺序凑出成比例的结果。否则即使计算得到比值相等，最终的相似判定结论也是错误的。 其次，要注意区分本判定与三角形全等SSS判定的逻辑差异：三边对应相等是全等三角形的判定条件，本质是相似比为1的特殊相似三角形，不能混淆两个判定的要求。 【典例4】如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有和，求证：． 【变式4-1】．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是______． 【变式4-2】在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 【模块五】选择或补充条件使两三角形相似 首先需要先梳理题目已给出的全部条件，结合三角形相似的各类判定定理，明确缺失条件的类型，所有选择或补充的条件都必须符合某一判定定理的规范要求，不能脱离判定逻辑盲目给出条件，更不能仅凭直观感受得出结论。 其次要准确把握题目对相似对应关系的限定：如果题目已经明确了两个三角形的顶点对应顺序，选择补充条件时必须严格遵循既定的对应关系，不能随意调整对应逻辑；如果题目没有指定对应关系，则需要对所有可能的对应情况进行分类讨论，避免遗漏符合要求的相似情形，漏解是这类题目最常见的失分原因。 如果是要求从多个备选条件中选出符合要求的选项，需要对每个备选条件逐一验证是否满足判定规则，不能验证出一个符合要求的条件后就直接停止分析，要注意题目可能存在多个正确选项，同时还要警惕设置的陷阱条件——比如将“两边对应成比例且一组对角相等”这类不满足判定要求的条件设置为干扰项，要仔细甄别。 【典例5】如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，点D、E在的边上，请添加一个条件：___________，使． 【变式5-3】如图，在四边形中，添加一个条件____________，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 【模块六】由黄金分割求值 首先要先确定黄金分割点的位置，一条线段上存在两个满足定义的黄金分割点，若题目未限定点的位置，不能只默认靠近某一端点的一种情况，造成漏解。其次要厘清各线段的比例关系，黄金分割的核心定义是“线段被分割后，全段长与较长段的比等于较长段长与较短段长的比”，对应比值为，很多学习者容易混淆对应边的顺序，颠倒比例关系导致计算结果错误，解题时要先标注清楚全段、长段、短段，再对应代入比例式计算。 若题目是在三角形、矩形等复合图形中利用黄金分割求值，不能直接默认边上的给定点就是黄金分割点，需要先结合图形的平行关系、相似关系验证是否满足黄金分割的定义，再代入比例计算，避免错用未确认的条件。还要注意题目对结果形式的要求：若要求保留准确结果，需保留黄金分割比的准确形式，不能直接使用近似值0.618；若要求实际应用类的近似结果，则按题目给定的精度要求取值即可。 【典例6】若P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，若AP＝4﹣4，则线段AB的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-1】若点是线段的黄金分割点，设，则的长为（     ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.4或0.6 【变式6-2】已知线段MN=6cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是（    ） A．(9-3)cm B．(3-3)cm C．(3-1)cm D．(3-)cm 【变式6-3】如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1•AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2017的长度是(　　) A．()2017 B．()2017 C．()2017 D．(﹣2)1008 【模块七】黄金分割的应用 首先应用前要先明确不同场景下黄金分割的对应规则：在几何图形类应用中，要先厘清比例对应的线段主体。如果题目未直接给出黄金分割条件，仅给出相关图形特征，不能默认该图形满足黄金分割关系，需要先结合相似三角形的性质推导验证，确认符合黄金分割定义后再使用相关结论，避免无依据跳步导致推理不严谨。 在实际设计类问题中，要提前区分题目对结果的精度要求：一般工程设计、美术构图场景只需采用0.618这一近似值计算尺寸，无需保留准确根式形式，避免给实际制作带来不必要的麻烦；若题目明确要求保留准确尺寸，则仍需要使用准确比例进行计算推导。 在优选法相关应用中，要牢记区间舍去后的试点确定规则：第一次计算试点时要严格按照黄金比确定位置，舍去不符合要求的区间后，要利用对称性快速确定新的试点，不能重新从零开始计算，既浪费解题步骤也容易增加出错概率；同时要注意区间的端点属性，区分闭区间与开区间对试点选择的限定要求，避免选点不符合题目规则。 【典例7】一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为______米 【变式7-1】据有关测试，当气温与人体正常体温的比为黄金比值时，人体感到最舒适．因此夏天使用空调时温度调到__________ ℃时最舒适．(人体正常体温按37℃计算，结果保留整数) 【变式7-2】如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（　　） A． B． C． D．或 【变式7-3】把宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形：）还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【模块八】相似三角形的对数 首先要明确题目的限定要求，先确认统计范围：比如题目是否要求仅统计原图给定顶点构成的三角形，是否要求排除全等这一特殊相似情形，是否对相似三角形的大小、位置有额外限定，避免一开始就统计错范围。其次要遵循固定的顺序分类计数，不可随意跳跃枚举：可以按照相似比从小到大分组，也可以按照公共顶点、公共边的归属分类，先数独立小三角形构成的相似对，再数由多个小图形拼接而成的大三角形的相似对，从根源上避免重复计数或者漏数的问题。 【典例8】将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），那么图中相似而不全等的三角形一共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式8-1】如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(　　) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式8-2】如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有___对． 【变式8-3】如图，正方形中，E是的中点，、的延长线交于点F，的垂直平分线分别交、于点H、G，连接，则与相似的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 专题攻坚·多题归一 【微专题一】裁剪使两三角形相似 首先要明确裁剪的目标要求，先理清题目是要求从原三角形中裁剪出一个三角形与原三角形相似，还是裁剪后将原图形分割为两个互为相似的三角形，不能搞错相似关系的方向和对象。其次，要严格遵循相似三角形的判定规则确定裁剪线，不能仅依靠视觉直观判断，若题目没有指定裁剪线的位置和方向，还需要对所有可能的裁剪情况分类讨论，不要遗漏符合要求的裁剪方案，尤其要注意特殊三角形的特殊裁剪情形：比如直角三角形中过直角顶点裁剪出一个小三角形与原三角形相似，裁剪线垂直于斜边的情形容易被遗漏；等腰三角形裁剪相似三角形，要兼顾顶点对应和腰底对应关系，不能错配对应关系得到错误的裁剪方案。裁剪完成后还要再次验证相似条件，核对对应角相等、对应边成比例两个核心要求都满足，避免出现看起来形状相近但实际不满足相似判定的错误，同时要注意不能违反题目给出的限定条件，比如要求保留某条边、某块区域时，不能随意裁剪超出题目允许的范围。 【典例9】如图，在中，，，，将沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． (1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 【变式9-1】如图，等腰△ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-2】．在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（    ） A．只有（1）中的与△ABC相似 B．只有（2）中的与△ABC相似 C．都与△ABC相似 D．都与△ABC不相似 【变式9-3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与△ABC相似的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【微专题二】尺规作图使两个三角形相似 首先需要先明确题目的要求，先理清是给定一个三角形后作一个新三角形与之相似，还是在已有图形上调整作出满足相似关系的两个三角形，同时要把握题目对对应顶点、相似比、作图范围的限定，避免从一开始就偏离要求。 作图步骤要严格围绕相似三角形的判定定理展开，根据给定条件选择对应作图逻辑：若已知两角对应相等的判定条件，要保证尺规作角的精度，严格复刻对应角的度数；若选择两边对应成比例且夹角相等的作图路径，要先根据给定相似比准确分割已知线段得到目标边长，再截取对应夹角；若利用三边对应成比例作图，要先根据相似比算出待作三角形的三边长度，再依次作边围成三角形，避免分段作图产生的累计误差导致最终比例不符合要求。 如果题目没有明确指定对应关系或相似比，要梳理出所有满足要求的作图方案，不要遗漏符合条件的结果。 【典例10】在中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使，如下四个尺规作图，正确的是（    ）． A．（作一个角的平分线） B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 【变式10-1】如图所示，在中，P是线段AC上一点，请你用尺规在BC边上找一点D，使得以P、D、C为顶点的三角形与相似（保留作图痕迹，不写作法） 【变式10-2】如图，在中，，，在上求作一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式10-3】如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法） 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 相似三角形的存在性问题 首先，多数相似三角形的存在性问题不会提前明确对应顶点的顺序，仅给出“存在满足条件的相似三角形”这类笼统要求，解题时必须对所有可能的对应关系分类讨论，不能默认某一组顶点为对应相似顶点直接按单一情况计算，很容易造成漏解。 其次，当图形存在动点或位置不确定的顶点时，要注意点的不同位置可能产生的不同情形：满足相似条件的点既可能落在题干给定的线段上，也可能落在线段的延长线或射线上，需要结合题干限定的点的运动范围逐一排查，不能仅考虑点落在给定线段上的情况。 第三，算出对应的边长或点的坐标后，一定要验证结果的合理性：要回归三角形的基本性质，验证所求边长是否满足三角形三边关系，对应点是否落在题干要求的区域内，及时舍去不符合要求的增根，避免保留错误结果。 【典例11】如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式11-3】已知直线分别交轴、轴于，两点，线段上有一动点由原点向点运动，速度为每秒1个单位长度，过点作轴的垂线交直线于点，设运动时间为秒.线段上另有一动点由点向点运动，它与点以相同速度同时出发，当点到达点时两点同时停止运动（如图）. （1）直接写出秒时，两点的坐标； （2）若以，，为顶点的三角形与相似，求的值. 通关检测·实战演练 一 选择题 1.．如图，在中，，如果，，，那么的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　  ） A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6 3.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（    ） A． B． C． D． 4.定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5.如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 二 填空题 6.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加条件______，能确定△ABC和△ADE相似． 7.如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对． 8.如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可） 9.点是的边上一点，过点的直线与的边界的另一个交点为，则使与相似的直线可能有________（把正确的结论的代号都填上）． ①条；②条；③条；④条． 10.P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有___________条． 三解答题 11.如图，正方形的边长为4，，E为的中点．求证：． 12如图，在矩形中，E是上的一点，连接，于点F．求证：； 13已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使． 14.如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且. (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)请用含t的代数式表示：______，______； (2)求当t为何值时，与相似？ 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.2探索三角形相似的条件》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 由平行判定相似 模块7黄金分割的应用 模块2 由两角相等判定相似 模块8 相似三角形的对数 模块3 由两边对应成比例及夹角相等判定相似 微专题1裁剪使两三角形相似 模块4 由三边对应成比例判定相似 微专题2尺规作图使两个三角形相似 模块5选择或补充条件使两三角形相似 压轴1 相似三角形的存在性问题 模块6由黄金分割求值 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点一：相似三角形： 1. 相似三角形的定义： 两个三角形的三个角分别相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．△ABC相似于△DEF用符号表示为：△ABC∽△DEF． 特别提示：相似于全等一样，用符号表示时对应点写在对应的位置． 2. 全等三角形与相似三角形的比较： 注意：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，全等三角形一定是相似三角形，相似三角形不一定是全等三角形。 知识点二：相似三角形的判定的预备定理： 1.内容： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所形成的三角形与原三角形相似． 2.推广： 平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交所形成的三角形与原三角形相似． 知识点三：相似三角形的判定： 1.判定一： 两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似． 2.判定二： 两个三角形的两边成比例，且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似． 3.判定三： 两个角分别相等的两个三角形相似． 4. 判定直角三角相似： ①斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似． ②有一个锐角相等的两个直角三角形相似． ③两条直角边对应成比例时，两个直角三角形相似． 5.有关三角形相似的常见图形 知识点四 黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，即这种分割为黄金分割，点p称为线段AB的黄金分割点 AP与PB的比值称为黄金分害数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时取其接近值0.618 模块通关·举一反 三 【模块一】由平行判定相似 “由平行直接得出相似”的结论仅针对三角形场景，即平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，不能直接认为存在一组对边平行的两个多边形就一定相似。 其次要找准对应关系，无论得到的是A型还是X型基本相似模型，都要根据平行线带来的等角关系确定对应顶点，不能随意颠倒对应顺序，错配对应关系会导致后续边长、周长等计算出现错误。 第三要注意截线位置带来的变化，不要错误认为只有截线和三角形两边的线段相交、交点落在三角形边上时才会产生相似三角形，当截线与两边的延长线相交时，依然能通过同位角相等证明相似，要能识别不同位置的平行截线构造出的相似图形。 【典例1】如图，在中，，，，相交于点，则图中与相似的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用三角形中平行线判断相似三角形的方法和相似三角形的传递性找出相似三角形． 【详解】解：∵， ∽，∽， ∵， ∽， ∽， 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形一边的直线截其它两边或其延长线，所得的三角形与原三角形相似． 【变式1-1】如图，点E是边的延长线上一点，交于F，则图中的相似三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质，找出相等的角，判断三角形相似即可． 【详解】由题意可知： , 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质即相似三角形的判定；根据平行四边形的性质找到角相等，证明三角形相似是解题的关键． 【变式1-2】 与 相交于 O，，E，H 是 上的点， 是 上的点，且，，则图中与 相似的三角形（不含 ）共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】分别证明，，结合，再利用相似三角形判定的预备定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴图中与 相似的三角形（不含 ）共有3个． 故选C． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边或其他两边的延长线所得的三角形与原三角形相似”是解本题的关键． 【变式1-3】．如图，在中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，则图中相似三角形的组数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】可利用平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断即可． 【详解】解：， ； 四边形是平行四边形， ，， ，； 同理，，，， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 【模块二】由两角相等判定相似 首先，要紧扣判定的核心要求，必须满足两组角“对应相等”才能判定三角形相似， 其次，要准确挖掘题目中隐藏的等角条件，公共角、对顶角、同角（或等角）的余角与补角、角平分线分出的相等角都是常见的隐藏等角，审题时不能遗漏这些关键条件； 最后，要明确该判定方法的适用范围，它仅适用于三角形相似的判定，对于任意多边形来说，即使多组对应角相等，也无法仅依靠角相等判定相似，还需要满足对应边成比例的条件，不能直接将三角形的判定结论套用到多边形相似判定中。 【典例2】在中，，，点是边上一点，过点作，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】先判断为等腰直角三角形得到，再利用三角形内角和得到，利用平角定义得到，则，于是可根据有两角对应相等的两个三角形相似得到结论． 【详解】证明：如图所示： ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质；熟记有两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【变式2-1】将两个完全相同的等腰直角△ABC与△AFG按图所示的方式放置，那么图中一定相似（不含全等）的三角形是（　　） A．△AEC与△ADB B．△ABE与△DAE C．△ABC与△ADE D．△AEC与△ADC 【答案】B 【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：A．根据已知条件无法证明△AEC与△ADB，故选项不符合题意； B．∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠B＝45°， ∵∠AEB＝∠DEA， ∴△ABE∽△DAE ； 故选项符合题意； C．根据已知条件无法证明△ABC与△ADE，故选项不符合题意； D．根据已知条件无法证明△AEC与△ADC，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2-2】将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线同一平面内），图中相似而不全等的三角形有几对（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据相似（不包括全等）三角形的判定可以得出结论． 【详解】解：图中相似而不全等的三角形有：△ADE∽△BAE，△CDA∽△ADE，△BAE∽△CDA． ∵△BAC和△AGF都是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠FAG＝45°， ∴∠BAE＝∠ADE＝45°+∠BAD； ∵△EAD和△EBA中，∠AED是公共角， ∴△ADE∽△BAE； 同理，可得△CDA∽△ADE． ∴△BAE∽△CDA． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质． 【变式2-3】已知如图，在中，，，垂足是，写出图中的一组相似三角形______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意及图形可知：此图中共有个直角三角形，根据相似三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：在中，，， ，， 在和中，，， ； 在和中，， 又，， ， ； 在和中，，， ． 故答案是：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，此题只要运用了：“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，”（简叙为两角对应相等两三角形相似）这一定理． 【模块三】由两边对应成比例及夹角相等判定相似 首先，必须准确把握判定的核心要求，相等的角一定得是两组对应成比例边的**夹角**，不能是任意一组边的对角，即使两边满足对应成比例、也有一组角相等，只要这组相等的角不是夹角，就无法保证两个三角形一定相似，这是最容易犯的错误。 其次，要理清对应关系，不能错配边与角的对应顺序，成比例的两组边要严格和相等的夹角对应，相似比的前后项也要和两个三角形的对应顺序一致，错配对应关系会直接导致证明或计算出错。 第三，要注意挖掘题目中隐藏的相等夹角条件，公共角、对顶角、直角、同角（或等角）的余角和补角，都是这类题目中常见的隐含等角，题干往往不会直接点明相等关系，需要结合已学几何性质推导得出，审题时不能遗漏这类关键条件。 【典例3】如图，，分别为，边上两点，且，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据所给条件得到，再根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证得结论． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，又， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，找到相似三角形的对应边和对应角并证得是解答的关键． 【变式3-1】如图，正方形的边长为4，，E为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质，可得，再根据题意可得，即可求解． 【详解】证明：在正方形中，，， ∵E为的中点 ∴， 又∵， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，涉及正方形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【变式3-2】．如图，在和中，，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据得出，再根据得出，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得出结论即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【变式3-3】如图，已知，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【模块四】由三边对应成比例判定相似 首先，要保证三边的对应关系准确，必须严格按照两个三角形的顶点对应顺序确定对应边，计算对应边的比值，不能随意打乱边长顺序凑出成比例的结果。否则即使计算得到比值相等，最终的相似判定结论也是错误的。 其次，要注意区分本判定与三角形全等SSS判定的逻辑差异：三边对应相等是全等三角形的判定条件，本质是相似比为1的特殊相似三角形，不能混淆两个判定的要求。 【典例4】如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中有和，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】分别计算两个三角形三条边的长，再根据三边成比例的两三角形相似可得结论． 【详解】解：根据网格可知： 三边的长分别为：，，， 三边的长分别为：，，， ∵， ∴． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定，掌握其判定方法是解决此题的关键．注意：三边对应成比例的两个三角形相似． 【变式4-1】．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是______． 【答案】 【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于△ABC的三边之比就是与△ABC相似的三角形． 【详解】解：∵△ABC的三边之比是， △EBC的三边之比是 △CDB的三边之比是， △DEB的三边之比是． ∴△DEB与△ABC相似， 故答案为：△DEB． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是解题的关键． 【变式4-2】在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6． A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 【变式4-3】如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则 ①△ABC的各边长分别为1、、． ②△ACD的各边长分别为1、、2 ； ③△ADE的各边长分别为2、2 、2 ； ④△AEF的各边长分别为2、2、6； ⑤△AGH的各边长分别为、2、； ∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH， 故选A． 【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【模块五】选择或补充条件使两三角形相似 首先需要先梳理题目已给出的全部条件，结合三角形相似的各类判定定理，明确缺失条件的类型，所有选择或补充的条件都必须符合某一判定定理的规范要求，不能脱离判定逻辑盲目给出条件，更不能仅凭直观感受得出结论。 其次要准确把握题目对相似对应关系的限定：如果题目已经明确了两个三角形的顶点对应顺序，选择补充条件时必须严格遵循既定的对应关系，不能随意调整对应逻辑；如果题目没有指定对应关系，则需要对所有可能的对应情况进行分类讨论，避免遗漏符合要求的相似情形，漏解是这类题目最常见的失分原因。 如果是要求从多个备选条件中选出符合要求的选项，需要对每个备选条件逐一验证是否满足判定规则，不能验证出一个符合要求的条件后就直接停止分析，要注意题目可能存在多个正确选项，同时还要警惕设置的陷阱条件——比如将“两边对应成比例且一组对角相等”这类不满足判定要求的条件设置为干扰项，要仔细甄别。 【典例5】如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合相似三角形的判定定理对各个选项进行分析，从而即可选择． 【详解】添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，可证明，故A不符合题意； 添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，可证明，故B不符合题意； 添加C选项后，两边对应成比例，但其夹角不一定相等，不能证明，故C符合题意； 添加D选项后，∵， ∴，即， ∴两个三角形的两个对应角相等，可证明，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定定理：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三条对应边成比例，那么这两个三角形相似． 【变式5-1】如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠A=∠A， A、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； B、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； C、，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意； D、，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【变式5-2】如图，点D、E在的边上，请添加一个条件：___________，使． 【答案】或或（答一个即可） 【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，故添加条件可证其相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件可证其相似； ∵， ∴，故添加条件可证其相似； 故答案为：或或（答一个即可）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键． 【变式5-3】如图，在四边形中，添加一个条件____________，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】添加“”，理由：设，则，再由勾股定理可得，从而得到，即可． 【详解】解：添加“”，理由： 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【模块六】由黄金分割求值 首先要先确定黄金分割点的位置，一条线段上存在两个满足定义的黄金分割点，若题目未限定点的位置，不能只默认靠近某一端点的一种情况，造成漏解。其次要厘清各线段的比例关系，黄金分割的核心定义是“线段被分割后，全段长与较长段的比等于较长段长与较短段长的比”，对应比值为，很多学习者容易混淆对应边的顺序，颠倒比例关系导致计算结果错误，解题时要先标注清楚全段、长段、短段，再对应代入比例式计算。 若题目是在三角形、矩形等复合图形中利用黄金分割求值，不能直接默认边上的给定点就是黄金分割点，需要先结合图形的平行关系、相似关系验证是否满足黄金分割的定义，再代入比例计算，避免错用未确认的条件。还要注意题目对结果形式的要求：若要求保留准确结果，需保留黄金分割比的准确形式，不能直接使用近似值0.618；若要求实际应用类的近似结果，则按题目给定的精度要求取值即可。 【典例6】若P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，若AP＝4﹣4，则线段AB的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据黄金分割的定义得，列式求解即可． 【详解】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AP＝4﹣4， ∴， ∴AB＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 【变式6-1】若点是线段的黄金分割点，设，则的长为（     ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.4或0.6 【答案】D 【分析】分PA是较长线段，和较小线段两种情况，根据黄金分割的概念得到较长线段PA=AB，再根据AB=1，即可得出答案． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点， ∴较长线段PA=AB， ∵AB=1， ∴PA≈0.6， ∴较短的线段PA=1-0.6=0.4； 故选D． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍． 【变式6-2】已知线段MN=6cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是（    ） A．(9-3)cm B．(3-3)cm C．(3-1)cm D．(3-)cm 【答案】B 【分析】直接利用黄金比值是计算即可． 【详解】解：MP=×6=(3-3)cm． 故答案为B． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较长线段之比为． 【变式6-3】如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1•AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2017的长度是(　　) A．()2017 B．()2017 C．()2017 D．(﹣2)1008 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义的BP1=AB，则AP1=AB-BP1=AB=，利用同样的方法可得到AP2=AP1=，AP3=，按此规律易得APn的长度= 【详解】解答：解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1）， ∴BP1=AB ∴AP1=AB-BP1=AB=， ∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2）， ∴ ∴AP2=AP1-P1P2= 同理可得AP3= ∴AP2017= 故选A. 【点睛】此题重点考查学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键. 【模块七】黄金分割的应用 首先应用前要先明确不同场景下黄金分割的对应规则：在几何图形类应用中，要先厘清比例对应的线段主体。如果题目未直接给出黄金分割条件，仅给出相关图形特征，不能默认该图形满足黄金分割关系，需要先结合相似三角形的性质推导验证，确认符合黄金分割定义后再使用相关结论，避免无依据跳步导致推理不严谨。 在实际设计类问题中，要提前区分题目对结果的精度要求：一般工程设计、美术构图场景只需采用0.618这一近似值计算尺寸，无需保留准确根式形式，避免给实际制作带来不必要的麻烦；若题目明确要求保留准确尺寸，则仍需要使用准确比例进行计算推导。 在优选法相关应用中，要牢记区间舍去后的试点确定规则：第一次计算试点时要严格按照黄金比确定位置，舍去不符合要求的区间后，要利用对称性快速确定新的试点，不能重新从零开始计算，既浪费解题步骤也容易增加出错概率；同时要注意区间的端点属性，区分闭区间与开区间对试点选择的限定要求，避免选点不符合题目规则。 【典例7】一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为______米 【答案】15-5 【分析】根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可. 【详解】 如图，设舞台AB的长度为10米，C是黄金分割点，且AC>BC, 则有AC=AB=×10=（）米， ∴较短线段BC=AB-AC=10-(）=()米， 故答案为 【点睛】本题考查的是黄金分割点的概念，即把一条线段分成两部分，使其中较长线段与整条线段的比值等于较短线段与较长线段的比值，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值为叫做黄金分割比，利用黄金分割比计算是解决此类问题的关键. 【变式7-1】据有关测试，当气温与人体正常体温的比为黄金比值时，人体感到最舒适．因此夏天使用空调时温度调到__________ ℃时最舒适．(人体正常体温按37℃计算，结果保留整数) 【答案】23 【分析】直接利用黄金分割的定义列方程解答即可． 【详解】解：设调到x ℃时最舒适，则≈0．618，解得x≈23． 故答案为23． 【点睛】本题考查了黄金分割比例的定义，根据定义列出一元一次方程是解答本题的关键． 【变式7-2】如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】设C点为AB的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当AC＞BC时，AC＝5﹣5；当AC＜BC时，BC＝5﹣5，则AC＝15﹣5，从而确定她至少走的路程． 【详解】解：设C点为AB的黄金分割点， 当AC＞BC时，AC＝＝×10＝5﹣5； 当AC＜BC时，BC＝＝×10＝5﹣5，则AC＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5， 因为5﹣5﹣（15﹣5）＝10﹣20＝10（﹣1）＞0， 所以她至少走（15﹣5）米才最理想． 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 【变式7-3】把宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形：）还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【答案】剩下的矩形是黄金矩形，见解析 【分析】根据矩形和正方形的性质可得，然后根据黄金矩形的定义可得，从而得出，即可判断点是线段的黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得，从而证出结论． 【详解】剩下的矩形是黄金矩形． 证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ． 由四边形是黄金矩形，得， ，点是线段的黄金分割点， ， 即． ∴矩形是黄金矩形． 【点睛】此题考查的是黄金分割比，掌握矩形的性质、正方形的性质和黄金分割点的定义是解决此题的关键． 【模块八】相似三角形的对数 首先要明确题目的限定要求，先确认统计范围：比如题目是否要求仅统计原图给定顶点构成的三角形，是否要求排除全等这一特殊相似情形，是否对相似三角形的大小、位置有额外限定，避免一开始就统计错范围。其次要遵循固定的顺序分类计数，不可随意跳跃枚举：可以按照相似比从小到大分组，也可以按照公共顶点、公共边的归属分类，先数独立小三角形构成的相似对，再数由多个小图形拼接而成的大三角形的相似对，从根源上避免重复计数或者漏数的问题。 【典例8】将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），那么图中相似而不全等的三角形一共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】根据相似（不包括全等）三角形的判定可以得出结论． 【详解】图中相似而不全等的三角形有：，，． ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵和中，是公共角， ∴； 同理，可得． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质． 【变式8-1】如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(　　) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】依据等边三角形的性质，结合条件，证明，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴且， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴且， 又∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，图中相似的三角形的对数是6对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等边三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似． 【变式8-2】如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有___对． 【答案】6 【分析】根据相似三角形的判定定理找出相似的三角形即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵， ∴； 综上所述：有6对相似三角形． 故答案为：6 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，找出所有的相似三角形． 【变式8-3】如图，正方形中，E是的中点，、的延长线交于点F，的垂直平分线分别交、于点H、G，连接，则与相似的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由四边形是正方形，，，得到；由，，，得到；由，，得到；即可得到相似三角形的数量 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键 专题攻坚·多题归一 【微专题一】裁剪使两三角形相似 首先要明确裁剪的目标要求，先理清题目是要求从原三角形中裁剪出一个三角形与原三角形相似，还是裁剪后将原图形分割为两个互为相似的三角形，不能搞错相似关系的方向和对象。其次，要严格遵循相似三角形的判定规则确定裁剪线，不能仅依靠视觉直观判断，若题目没有指定裁剪线的位置和方向，还需要对所有可能的裁剪情况分类讨论，不要遗漏符合要求的裁剪方案，尤其要注意特殊三角形的特殊裁剪情形：比如直角三角形中过直角顶点裁剪出一个小三角形与原三角形相似，裁剪线垂直于斜边的情形容易被遗漏；等腰三角形裁剪相似三角形，要兼顾顶点对应和腰底对应关系，不能错配对应关系得到错误的裁剪方案。裁剪完成后还要再次验证相似条件，核对对应角相等、对应边成比例两个核心要求都满足，避免出现看起来形状相近但实际不满足相似判定的错误，同时要注意不能违反题目给出的限定条件，比如要求保留某条边、某块区域时，不能随意裁剪超出题目允许的范围。 【典例9】如图，在中，，，，将沿着图示中的虚线剪开，使剪下的小三角形与相似，下面有四种不同的剪法． (1)请选择其中一种正确的剪法______（填序号）； (2)写出所选剪法中两个三角形相似的证明过程． 【答案】(1)① （答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）由相似三角形的判定可得出答案； （2）由题意得出，根据相似三角形的判定可得出结论． 【详解】（1）① （答案不唯一） （2）∵，， ∴ 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 【变式9-1】如图，等腰△ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形． 【详解】解：∵BA=BC， ∴∠A=∠C， ①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC． ②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC． ③作∠APG=∠A，可得∠AGP∽△ABC， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式9-2】．在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（    ） A．只有（1）中的与△ABC相似 B．只有（2）中的与△ABC相似 C．都与△ABC相似 D．都与△ABC不相似 【答案】B 【分析】根据相似三角形判定定理，两边对应成比例夹角相等，两个三角形相似，先求出两个三角形中夹角相等的两边的比值，看是否相等可判断A不正确，B正确，进而可判断C与D即可． 【详解】解：图形（1）中标字母如图， ∵BE=2，BA=4，，BF=3，BC不定，， ∴（1）中的△BEF不与△ABC相似， 故选项A不正确； 图2中标字母如图， ∵GC=4，BH=1，AB=4，AC=6． ∴AH=AB-BH=4-1=3，AG=AC-GC=6-4=2， ∴，， ∴， ∵∠HAG=∠CAB， ∴△AHG∽△ACB， 故选项B正确， ， 故选项C不正确，选项D不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题关键． 【变式9-3】如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与△ABC相似的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先利用勾股定理和直角三角形的性质求出的长，再根据相似三角形的判定逐个判断即可得． 【详解】解：如图1，过点作于点， ， ， ， ， ， 在和中，，但或者，但， 则与不相似； 如图2，， ， 在和中，， ； 如图3和图4，剪下的阴影三角形均与有一组公共角，还有一组大小均为的相等的角， 所以图3和图4中，剪下的阴影三角形均与相似； 综上，满足剪下的阴影三角形与相似的个数是3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【微专题二】尺规作图使两个三角形相似 首先需要先明确题目的要求，先理清是给定一个三角形后作一个新三角形与之相似，还是在已有图形上调整作出满足相似关系的两个三角形，同时要把握题目对对应顶点、相似比、作图范围的限定，避免从一开始就偏离要求。 作图步骤要严格围绕相似三角形的判定定理展开，根据给定条件选择对应作图逻辑：若已知两角对应相等的判定条件，要保证尺规作角的精度，严格复刻对应角的度数；若选择两边对应成比例且夹角相等的作图路径，要先根据给定相似比准确分割已知线段得到目标边长，再截取对应夹角；若利用三边对应成比例作图，要先根据相似比算出待作三角形的三边长度，再依次作边围成三角形，避免分段作图产生的累计误差导致最终比例不符合要求。 如果题目没有明确指定对应关系或相似比，要梳理出所有满足要求的作图方案，不要遗漏符合条件的结果。 【典例10】在中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使，如下四个尺规作图，正确的是（    ）． A．（作一个角的平分线） B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 【答案】C 【分析】当是的垂线时，根据相似三角形的判定定理，即可得出，据此对选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据作图痕迹可知： A、是的角平分线，不与垂直，故不符合题意； B、是的中线，不与垂直，故不符合题意； C、是的垂线，故符合题意； D、，不与垂直，故不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解本题的关键． 【变式10-1】如图所示，在中，P是线段AC上一点，请你用尺规在BC边上找一点D，使得以P、D、C为顶点的三角形与相似（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点作交于点，或作，即可利用相似三角形判定解答即可． 【详解】解：如图： 【点睛】此题考查了作图，相似变换，关键是根据相似三角形的判定解答． 【变式10-2】如图，在中，，，在上求作一点D，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作边的垂直平分线交于，交于，连接即为所求，由等腰三角形的性质求出，，再由垂直平分线的性质得， 可得，，，可证． 【详解】解：作边的垂直平分线交于，交于，连接即为所求； ∵，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，则，， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——垂直平分线，相似三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键． 【变式10-3】如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC＝∠DBC＝90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点E作PE⊥BD交BD于P，△PDE即为所求作． 【详解】解：如图，点P即为所求作． 由作图知，∠EPD＝90°， ∵∠ADC＝∠DBC＝90°， ∴∠EDP+∠BDC＝∠C+∠BDC＝90°， ∴∠EDP＝∠C， ∴Rt△DEP∽Rt△CDB． 【点睛】本题考查作图-相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 相似三角形的存在性问题 首先，多数相似三角形的存在性问题不会提前明确对应顶点的顺序，仅给出“存在满足条件的相似三角形”这类笼统要求，解题时必须对所有可能的对应关系分类讨论，不能默认某一组顶点为对应相似顶点直接按单一情况计算，很容易造成漏解。 其次，当图形存在动点或位置不确定的顶点时，要注意点的不同位置可能产生的不同情形：满足相似条件的点既可能落在题干给定的线段上，也可能落在线段的延长线或射线上，需要结合题干限定的点的运动范围逐一排查，不能仅考虑点落在给定线段上的情况。 第三，算出对应的边长或点的坐标后，一定要验证结果的合理性：要回归三角形的基本性质，验证所求边长是否满足三角形三边关系，对应点是否落在题干要求的区域内，及时舍去不符合要求的增根，避免保留错误结果。 【典例11】如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似 【分析】由，，：，即：：，利用勾股定理即可求得与的长，然后设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似，则可得，，，再分别从当时，∽与当时，∽，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：，，：，即：：， 设，， 则， 即， 解得：， ，， ， 设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似， 则，，， 是公共角， ①当，即时，∽， 解得：， ②当，即时，∽， 解得：， 过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用是解题的关键． 【变式11-1】如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图①，，时，． 如图②，，，则，故； 如图③，，，则，故△； 如图④，，，则△． 故选：D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似． 【变式11-2】平面直角坐标系中，直线和x、y轴交于A、B两点，在第二象限内找一点P，使△PAO和△AOB相似的三角形个数为(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的相似条件，画出图形即可解决问题． 【详解】解：如图， ①分别过点O、点A作AB、OB的平行线交于点P1，则△OAP1与△AOB相似（全等）， ②作AP2⊥OP1，垂足为P2则△AOP2与△AOB相似． ③作∠AOP3=∠ABO交AP1于P3，则△AOP3与△AOB相似． ④作AP4⊥OP3垂足为P4，则△AOP4与△AOB相似． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【变式11-3】已知直线分别交轴、轴于，两点，线段上有一动点由原点向点运动，速度为每秒1个单位长度，过点作轴的垂线交直线于点，设运动时间为秒.线段上另有一动点由点向点运动，它与点以相同速度同时出发，当点到达点时两点同时停止运动（如图）. （1）直接写出秒时，两点的坐标； （2）若以，，为顶点的三角形与相似，求的值. 【答案】（1）①，；（2）满足条件的的值是1.5秒或2秒. 【分析】（1）根据直线方程求得A点的坐标，从而求得OA的长度；然后根据点P、Q两点的运动距离即可求得点C、Q的横坐标；将点C的横坐标代入直线方程即可求得点C的纵坐标； （2）需要分类讨论：①当△AQC∽△AOB时，点P与点Q重合，OQ=OP；②当△ACQ∽△AOB时，△AOB、△ACQ都是等腰直角三角形，AQ=2CP． 【详解】（1）， (2)由题意得：，，， 分两种情形讨论： 情形一：当时，，∴. ∵，∴点与点重合，，即，∴. 情形二：当时，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形. ∵，∴，即，∴. ∴满足条件的的值是1.5秒或2秒. 【点睛】本题为相似综合题．解答（2）题时，当相似三角形的对应点不确定时，注意要分类讨论，以防漏解． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.．如图，在中，，如果，，，那么的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 2．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　  ） A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6 【答案】B 【分析】先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴ADE∽ABC， ∴， 又∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴ODE∽OCB， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3.如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C．若添加，不能证明，故本选项符合题意； D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4.定义：我们知道，凸四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这个凸四边形叫做“自相似四边形”． 如图，点A、B、C是正方网格中的格点，在网格中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是“自相似四边形”，符合条件的格点D的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据题目中“自相似四边形”的定义，在网格中找到符合条件的点即可． 【详解】解：如图1，由，得，故为所求点； 如图2，由，得，故为所求点； 如图3，由，得，故为所求点； 如图4，由，得，故为所求点； 如图5，由，得，故为所求点； 符合条件的格点D的个数有5个． 故选：D． 【点睛】此题是新定义题，主要考查了网格中的勾股定理、判定两个格点三角形相似，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答此题的关键． 5.如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（　　） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】根据已知及相似三角形的判定方法（或平行线截线段成比例）进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC， ∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC； 过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A ∴△APE∽△ACB； ∴满足这样条件的直线的作法共有3种． 故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理从是解题的关键． 二 填空题 6.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加条件______，能确定△ABC和△ADE相似． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据相似三角形的判定方法结合已知添加条件即可． 【详解】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴， 即， 又∵， ∴ 故答案为：(答案不唯一) 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法才能灵活根据题意添加适当的条件． 7.如图，点E在▱ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可． 【详解】解：∵ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB∥DC ∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC， ∴共6对． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型． 8.如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可） 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或 ∴都可得相似． 故答案为：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 9.点是的边上一点，过点的直线与的边界的另一个交点为，则使与相似的直线可能有________（把正确的结论的代号都填上）． ①条；②条；③条；④条． 【答案】④ 【分析】根据题意画出图形，过点P作PD∥BC，PF∥AC，作∠APE=∠C，∠BPG=∠C；可得这样的直线一共有4条． 【详解】如图所示， ①过点P作PD∥BC，则△APD∽△ABC； ②作∠APE=∠C，则△APE∽△ACB； ③过点P作PF∥AC，则△PBF∽△ABC； ④在∠BPG=∠C，则△PBG∽△CBA． 故答案为④． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 10.P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有___________条． 【答案】4 【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与有一个公共角，分①公共角为时；②公共角为时；③公共角为时；三种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当公共角为时，不存在； ②公共角为时，过点作，交于点D，如图所示： ∵，， ∴； 过点P作于点D，如图所示： ∵，， ∴； ③公共角为时， 连接，如图所示： ∵， ∴， 设，则， ， ∵点P是边上一个三等分点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； 过点P作，交于点D，如图所示： ∵， ∴，， ∴； 综上分析可知，过点P的的“相似线”最多有4条． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 三解答题 11.如图，正方形的边长为4，，E为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质，可得，再根据题意可得，即可求解． 【详解】证明：在正方形中，，， ∵E为的中点 ∴， 又∵， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，涉及正方形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 12如图，在矩形中，E是上的一点，连接，于点F．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练的证明两个角对应相等，再判断两个三角形相似是解题的关键． 13已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使． 【答案】见解析 【分析】以点D为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，连接交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图所示：以点D为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，连接交于点P，点P即为所求． 由作图可知：， ∴， 在和中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了过一点作已知直线的垂线，相似三角形的性质，解题的关键是尺规作图—作已知直线垂线的方法和步骤． 14.如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且. (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）和中，易知（平行线的内错角），而和是等角的补角，由此可判定两个三角形相似； （2）在中，由勾股定理易求得的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ， ，即， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质． 15如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接． (1)请用含t的代数式表示：______，______； (2)求当t为何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意知：，， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴； 分两种情况讨论： ①当时， ， ∵， ∴， 解得，， ②当时， ， ∴， 解得，； ∴或时，． 【点睛】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $