第一章 一元二次方程 章节测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心知识，通过基础巩固、中档应用、综合拔高三层设计，构建从概念理解到实际建模的完整巩固路径，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义、解法（配方法/公式法/因式分解法）、根的判别式|选择题1-3、填空题11-12等直接考查概念辨析，夯实基础| |中档|根与系数关系、简单应用题|解答题20多解法训练，填空题17销售问题建模，提升运算与应用能力| |拔高|综合几何（如矩形面积最值）、动态问题（如动点面积）、跨学科应用|解答题27坐标动点问题、28换元法解方程，培养创新意识与逻辑推理|

第一章《一元二次方程》章节测试卷 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线将它分成面积相等的两部分，则x的值是（    ） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 3．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 5．对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C．0 D． 7．如图，，，是三边上的点，且四边形为矩形，，．则矩形的面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 8．杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 9．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（   ） A．26 B．30 C．32 D．36 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 12．若是关于的方程的一个根，则的值为______． 13．如果，那么的值为______． 14．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 15．已知关于x的一元二次方程（a≠0）的一个根为，则关于x的方程（a≠0）的两个根为_________． 16．已知，是方程的两个实数根，则=________． 17．某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出箱，每箱盈利元，为了扩大销售，减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出箱，要使销售该种水果平均每天盈利元，则每箱应降价多少元？ 设每箱应降价x元，则可列方程为______． 18．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2    三、解答题（10小题，共66分） 19．解分式方程：． 20．解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 21．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 22．阅读理解：求代数式的最小值. 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1. 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值. 23．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 24．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 25．在人大附中西山学校初三年级秋季田径运动会的入场式上，初三年级和2025级的学生们精心排成了一个长方形方阵．这个方阵不仅展示了两个学部的相亲相爱，学生们的整齐划一，还蕴含着一些有趣的数学问题．下面是同学甲和乙的对话： 甲：我发现方阵最外层的人数为58人； 乙：我们参加方阵展示的学生一共是234人． 聪明的小颖马上就算出了方阵的排数和列数，请同学们借助方程完成小颖的计算过程． 26．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 27．综合与探究 如图，已知，为坐标轴正半轴上的两点，且满足，点P从点O开始在线段上向点A以每秒2个单位的速度运动；点Q从点B开始在线段上向点O以每秒1个单位的速度运动如果P、O同时出发，运动时间为t（秒）．    (1)求a，b的值； (2)填空：斜边上的高________； (3)当的面积是面积的时，求t的值； (4)连接，请探究：能否成为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由． 28．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 参考答案 一、选择题 1．B 解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 2．D 解：如图，将图形补全为大矩形， ∴， ∵直线将原图形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， 解得或6． 3．B 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 4．A 解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 5．D 解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 6．D 解：A．，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B．或，解得，，即方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意； C．，解得，，即方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D．，方程没有实数根，所以D选项符合题意； 故选：D． 7．A 解：在中，，，， ； ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大值为． 故选：A． 8．B 解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 9．D 解：如图，表示正东方向，表示正南方向， ∴， 设甲、乙的时间都是x，则，， 又∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴（舍去），， ∴甲走的路程为（步）， 故选：D． 10．C 解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 二、填空题 11．1 解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 12． 解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 13． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 15．1或2023 解：∵， ∴， 即时方程有根， ∵一元二次方程（a≠0）的一个根为， ∴， 此时， 故答案为1或2023． 16．5 解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 17． 解：设每箱应降价元，则每箱利润为元，平均每天可售出箱， 依题意得：， 故答案为：。 18．1或4 解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm， 依题意得：（20-4t）×2t=16， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：， 答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1或4． 三、解答题 19．解：方程两边同时乘最简公分母得：， 整理得， 解得，， 检验：把代入最简公分母得：， ∴是原方程的增根， 把代入最简公分母得：， ∴是原方程的解． 20．（1）解： 解得，； （2）解： ， 此时，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解： ∴或， 解得，； （4）解： 解得，． 21．解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 22．（1）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是9； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值为． 23．（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 24．（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 25．解：设方阵的排数为x，列数为y， 由方阵最外层的人数为58人，得， 变形得， 由参加方阵展示的学生一共是234人，得， 变形得， 解得，， 当时，， 当时，， 综上可得，方阵的排数和列数分别为13和18或18和13． 26．（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 27．（1）解：∵，而，， ∴，， ∴，； （2）解： 在中，， ∵斜边AB上的高为h， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由已知得，，，，， 当的面积是面积的时， ， 即， 整理得， 解得，， 经检验，这两个解都符合题意， 所以，当的面积是面积的时，t的值是1秒或3秒； （4）解：能成为等腰三角形， 在中，． ∵是的一个外角， ∴， ∴如果是等腰三角形，只能是顶角，此时， ∴， ∴， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 所以，当时，能成为等腰三角形． 28．（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $