第2章一元二次方程分层特训-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固与思维提升双轨并行，覆盖一元二次方程全章知识点，从概念理解到综合应用递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|一元二次方程定义、解法（公式法/配方法）、根的判别式、简单应用|选择填空结合解答题，巩固基础运算与推理，如用配方法变形方程、行程问题建模| |思维达标|新定义“邻根方程”、函数与方程综合、古代数学文化应用|跨知识综合题与创新题型，提升模型意识与创新思维，如一次函数与反比例函数交点问题、赵爽弦图解方程|

第2章一元二次方程分层特训01 基础达标 1．下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 3．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 5．用配方法解方程时，原方程应变形为（） A． B． C． D． 6．2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式，此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求．在演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回往返速度均为”则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（    ） A． B． C． D． 7．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 9．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 10．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 11．已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 12．用一根长的铁丝围成一个斜边长是的直角三角形，则这个直角三角形的面积为________． 13．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 14．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 15．用合适的方法解方程： (1)． (2)． (3)． 16．已知关于的一元二次方程． (1)若方程不含的一次项，求的值和方程的解； (2)当时，求方程的解． 17．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 01 思维达标 18．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值． 19．如图1，一次函数与反比例函数交于点，与x轴交于点B，且，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点E为一次函数第一象限图象上A点右侧一点，过点C作，交反比例函数图象于C，D两点，若，求点E的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点E作轴于F，沿x轴向右平移得，，分别与反比例函数图象交于点M，N，连接，若，求平移的距离． 20．阅读材料：我国古代数学家赵爽所作《勾股圆方图注》利用弦图的面积关系，形成了求解一元二次方程的古法．以方程为例，变形得，如图1，取四个全等矩形，邻边为x和，每个矩形面积为15．把这四个矩形按弦图拼接，外围构成一个大正方形，内部出现小正方形．由面积关系：大正方形面积四个矩形面积中间小正方形面积，即，解得正数解． 【应知必会】 (1)如图2，结合材料中的弦图解法，对方程变形得，拼接图形后，下列说法正确的有________（多选） A．所用矩形的长为，宽为x    B．中间小正方形的边长为3，面积为9 C．外围大正方形的边长为    D．四个矩形的总面积为10 【实战演练】 (2)如图3，四个全等矩形按弦图拼接，已知大正方形的周长为20，中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x，列出形如的方程，则________，________． 【拓展拔高】 (3)如图4，四个全等矩形按弦图拼接，外围形成一个大正方形，内部围成一个小正方形．已知大正方形面积与内部小正方形面积之和为104，若将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．求原矩形两条边的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次方程分层特训-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B A C A A 1．A 【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 2．D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 3．B 【分析】根据“一元二次方程有两个相等实数根时根的判别式为”的性质，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ，，， ， 整理得：， 解得：． 4．B 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值．利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 5．A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，配方即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ∴移项得 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即加上，得 变形得 6．C 【分析】先根据全队前进的时间等于传令兵往返的总时间，利用追及、相遇问题的时间公式建立方程，求出传令兵速度与队伍速度的关系，再计算传令兵所走路程即可解答． 【详解】解：∵全队前进所用时间为，传令兵从排尾到排头的追及时间，从排头到排尾的相遇时间，且， ∴， 两边同除以得： 通分右边得： ∴，即， 整理为关于的一元二次方程：， 由一元二次方程求根公式得： ∵速度为正数， ∴ ∴传令兵所走路程． 7．A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 8．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 9．3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 10．8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 11． 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 12．24 【分析】设其中一条直角边为未知数，根据勾股定理列方程求出两条直角边的长度，再计算直角三角形的面积即可． 【详解】解：设一条直角边长为， ∵铁丝总长为，斜边长为， ∴另一条直角边长为， 根据勾股定理得， 解得，， ∴两直角边长分别为和， ∴直角三角形的面积为． 13．3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 14．2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴． （2）解：， ， 或， ∴． （3）解：， ∵， ∴． ∴． ∴． 16．(1)，方程的解为， (2)方程的解为， 【分析】（1）先根据已知求得m的值，再解一元二次方程即可； （2）将m值代入方程中，然后利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∵方程不含的一次项， ∴，解得， ∴，则， ∴，； （2）解：当时，方程为 移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 17．(1)每台电暖器应降价15元或20元 (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 【分析】（1）设每台电暖器降价元，则每台盈利元，每天可以售出台，利用总利润=每台的利润×销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出x的值； （2）由根的判别式可得出该方程无实数根，进而可得出商场平均每天盈利不能达到2500元． 【详解】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． （2）略 18．(1)不是邻根方程，计算如下： ， ， 解得：， ， ∴一元二次方程不是邻根方程； (2)或0 (3)或 【分析】（1）解方程，根据题意即可判断； （2）解方程，根据题意列方程即可解答； （3）设方程的根为，根据根与系数的关系得到关于的方程，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 或， ∵方程（m是常数）是“邻根方程”， 或， 或0； （3）解：设方程的根为，且， 则，， 将代入得， 化简得， ，， ， ，即， 即， 解得． 19．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)点E坐标为 (3)平移的距离为 【分析】（1）根据题意求得、，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意可设，直线的表达式设为，联立方程组得，，再由等腰直角三角形和勾股定理得，，进而得，即可求解； （3）由题意得为等腰直角三角形，再根据平移的性质和题意得为等腰直角三角形，设，则，直线的表达式为，联立方程组得，则，作于点P，则，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 故， 故反比例函数表达式为， 将、代入一次函数中， 可得，， 故一次函数表达式为； （2）解：由题意可设， ∵， ∴直线的表达式可设为， 令，整理得， 故，， ∵，, ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，整理可得， 解得或（舍去）， 故点E坐标为； （3）解：由题可得为等腰直角三角形， 故平移后， 又∵， ∴为等腰直角三角形，如图3所示， 设，则， ∵，， ∴， 设直线的表达式为， 令，整理可得， 故，则， 作于点P，则， 即，整理可得， 解得（舍去负根）， 即， 故平移的距离为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、等腰直角三角形的判定与性质、平移的性质、解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．(1)ABC (2)1；6 (3)原矩形的长和宽分别为6和4 【分析】（1）根据方程变形及题意，结合图形依次判断即可； （2）根据题意得出矩形较长边长为：，大正方形的边长为：，然后建立方程求解得出，再结合题意代入求解即可； （3）设矩形较短边长为m，较长边长为n，得出大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，然后建立方程得出，再将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24．确定，联立求解即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意：方程变形得， A．所用矩形的长为，宽为x，正确，符合题意； B．中间小正方形的边长为，面积为，正确，符合题意； C．外围大正方形的边长为，正确，符合题意；     D．四个矩形的总面积为，选项错误，不符合题意； （2）解：∵中间小正方形边长为1．设矩形较短边长为x， ∴矩形较长边长为：， ∴大正方形的边长为：， ∵大正方形的周长为20， ∴， 解得：， ∴， ∴形如的方程为， 即； （3）解：设矩形较短边长为m，较长边长为n， ∴大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， ∵大正方形面积与内部小正方形面积之和为104， ∴①， ∵将每个矩形的长与宽同时增加2，则单个矩形的面积比原来增加24． ∴②， 联立①②， 解得：， ∴原矩形的长和宽分别为6和4． 答案第1页，共2页 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