第2章 08-2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦“直线的交点坐标与距离公式”，核心内容包括点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离，通过复习直线方程基础导入，引导学生从点到直线距离推导过渡到平行直线距离的化归，搭建知识学习支架。 其亮点在于结合动点、对称等情境设计问题，以数学眼光发现数量关系，通过逻辑推理（如分情况讨论、对称点求解）培养数学思维，借助距离公式应用（如最值、面积计算）训练数学语言。实例如点到直线距离最值问题、平行直线距离计算，帮助学生提升问题解决能力，为教师提供多样化教学资源。

第二章 直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.3　点到直线的距离公式　2.3.4　两条平行直线间的距离 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　点到直线的距离 1.[2026天津弘毅中学月考]已知A(-3,-4),B(3,8)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a的值为 ( ) A.1　    B.0　    C.-1　    D.-2     D     解析　因为点A(-3,-4),B(3,8)到直线l:ax+y+1=0的距离相等, 所以由距离公式可得 = ,即|-3a-3|=|3a+9|, 当-3a-3=3a+9时,解得a=-2; 当-3a-3=-(3a+9)时,即-3=-9,显然不成立,故a=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西赣州第三中学月考]点P(0,2)到直线l:mx+y-2m=0的距离的最大值为 ( ) A. 　    B.1　    C. 　    D.2      D     解析    mx+y-2m=0可化为y=m(2-x),则直线l过定点(2,0),记A(2,0), 易知当AP⊥l时,点P到直线l的距离最大,为|PA|= =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[教材习题改编][2026天津滨海新区塘沽紫云中学月考]已知直线l经过点P(3,2),且点A(2,3),B(4,-5)到 它的距离相等,则l的方程为 ( ) A.4x+y+14=0 B.4x+y-14=0 C.x=3或4x+y+14=0 D.x=3或4x+y-14=0     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若直线l的斜率不存在,则l:x=3, 此时点A到l的距离为|2-3|=1,点B到l的距离为|4-3|=1,符合要求; 若直线l的斜率存在,设l:y=k(x-3)+2,即kx-y-3k+2=0, 则有 = ,化简得|k+1|=|k+7|, 所以k=-4,即l:4x+y-14=0. 故l的方程为x=3或4x+y-14=0. 考场速决　实际上,经过点P(3,2),且点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等的直线有两条,分别为经过AB中点 的直线以及与直线AB平行的直线,由此可得l的方程为x=3或4x+y-14=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026四川成都嘉祥外国语高级中学月考]点A(2,-4)到直线l:(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0(m为任意实数)的 距离的取值范围是 ( ) A.[0,5]　    B.[0,2 ]　    C.[0,4]　    D.[0, ]     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线方程(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0可变形为(x+y+4)+m(-3x-y+4)=0, 令 解得 由此可得直线l恒过点(4,-8),记Q(4,-8), 易知A到直线l的距离的最大值为|AQ|,此时直线l垂直于AQ; A到直线l的距离的最小值为0,此时直线l经过点A. 又|AQ|= =2 ,所以点A到直线l的距离的取值范围是[0,2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏无锡锡东高级中学期中]若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:5x-12y+2=0与l2:5x-12y+8=0上 移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设AB的中点M的坐标为(x,y),则有  又A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:5x-12y+2=0与l2:5x-12y+8=0上, ∴5x1-12y1+2=0,5x2-12y2+8=0, 两式相加得5(x1+x2)-12(y1+y2)+10=0,即10x-24y+10=0,即5x-12y+5=0, 即AB的中点M在直线5x-12y+5=0上移动, ∴M到原点的距离的最小值即为原点到直线5x-12y+5=0的距离,即为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026北京理工大学附属中学期中]已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则 的取值 范围是______________________,(x+2)2+y2的取值范围是_______________.     [16,25]         (-∞,-3]∪[2,+∞)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　结合所求式子的几何意义,考虑用数形结合法求解. 由题意可知直线AB的方程为 + =1,即4x+3y-12=0, 易知 表示动点(x,y)与定点(2,-2)连线的斜率,记P(x,y),D(2,-2),k= , 又kAD= =2,kBD= =-3,所以结合图形可得k≥2或k≤-3, 所以 的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞). 易知(x+2)2+y2表示动点P(x,y)与定点(-2,0)之间距离的平方,记C(-2,0), 可知点C(-2,0)到直线4x+3y-12=0的距离为   =4, 又|AC|=5,|BC|=  =2 ,所以4≤|PC|≤5,即16≤|PC|2≤25, 所以(x+2)2+y2的取值范围是[16,25]. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026安徽阜阳太和中学月考]已知△ABC的一个顶点为A(1,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x +2y-1=0,∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y=x. (1)求直线BC的方程和点C的坐标; (2)求△ABC的面积. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题知点B在直线y=x上,可设点B的坐标是(m,m), (本题的已知条件中有两个与B点有关:①点B在直线BH上,②AB边的中点在直线CM上,故设出B点坐标 是解题的要点,然后通过列方程求解) 则边AB的中点为 ,该点在直线CM上, 又直线CM的方程为x+2y-1=0, 所以 +2× -1=0,解得m=-1,即点B(-1,-1). 设A(1,2)关于直线y=x的对称点为A'(x0,y0), 则有 解得  第1讲　描述运动的基本概念 即A'(2,1), (点关于特殊直线对称的常用结论:求点关于直线y=x的对称点时,对称点的横、纵坐标分别为原来点的 纵、横坐标.点A(1,2)关于直线y=x的对称点为A'(2,1),可以直接应用) 显然点A'(2,1)在直线BC上,则直线BC的斜率k= = , 因此直线BC的方程为y+1= (x+1),即2x-3y-1=0, 由 解得x= ,y= ,则点C . (2)由(1)得|BC|= = , 点A到直线BC的距离d= = ,所以△ABC的面积S= |BC|·d= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两条平行直线间的距离 8.[2026黑龙江龙东联盟月考]两条平行直线l1:3x-4y+2=0与l2:6x-8y+9=0间的距离为 ( ) A.1　    B. 　    C. 　    D.      D     解析　直线l1的方程可化为6x-8y+4=0,则l1与l2:6x-8y+9=0间的距离d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛 求两条平行直线间距离的方法 ①利用两条平行直线间的距离公式求解. ②在其中一条直线上选取一个特殊点,利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为点到直线的 距离. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026陕西榆林多校联考]已知平行直线l1:2x+y+n=0与l2:4x+my-4=0之间的距离为 ,则m+n=  ( ) A.-3或3　    B.-2或4　    C.-1或5　    D.-2或2     A 解析　因为l1与l2平行,所以2×m=1×4,解得m=2,则l2:2x+y-2=0, 所以 = ,解得n=1或n=-5,所以m+n=3或m+n=-3. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026天津南开中学期中]已知两平行直线l1:x-2y+3=0与l2:(m+1)x-(m2+2)y+3m-1=0,则l1与l2之间的距离 为 ( ) A. 　    B. 或  C. 或 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为l1∥l2,所以1×[-(m2+2)]-(-2)×(m+1)=0,解得m=0或m=2, 当m=0时,l2:x-2y-1=0,满足两直线平行, 此时两直线间的距离为 = ; 当m=2时,l2:3x-6y+5=0,l1的方程可化为3x-6y+9=0,满足两直线平行, 此时两直线间的距离为 = , 所以l1与l2之间的距离为 或 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026北京东直门中学期中]若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为 ,则C= ______________.     11或-15     解析　直线Ax-2y-1=0即2Ax-4y-2=0, ∵直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0平行,∴2A=6,解得A=3, ∴直线6x-4y-2=0与6x-4y+C=0的距离为 , ∴ = ,解得C=11或C=-15. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏南通海安实验中学月考]两平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始 终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是_____________.     (0,5]     解析　设l1,l2之间的距离为d, 易知d>0,当且仅当l1,l2与直线PQ垂直时,d最大,且dmax=|PQ|= =5, 所以l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5]. 第1讲　描述运动的基本概念 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.3　点到直线的距离公式　2.3.4　两条平行直线间的距离 能力提升练 第1讲　描述运动的基本概念 题组　距离公式的应用 1.[2026江苏宿迁南湖高级中学调研测试]已知实数a,b,c,d满足 = = ,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为  ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由实数a,b,c,d满足 = = ,可得3a-4b=0,3c-4d+9=0, 故点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上, 又(a-c)2+(b-d)2表示点(a,b)和点(c,d)之间的距离的平方, 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行线3x-4y=0和3x-4y+9=0间距离的平方, 即为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026广东东莞高级中学月考]已知点M(-1,2),N(5,2),且点P在直线l:x+y+1=0上,则下列说法正 确的是 ( ) A.|PM|的最小值为 　     B.|PM|+|PN|的最小值为2  C.存在点P,使得PM⊥PN　     D.||PM|-|PN||的最大值为6     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,点M(-1,2)到直线l:x+y+1=0的距离为 = , 故|PM|的最小值为 ,故A正确; 对于B,设点M(-1,2)关于直线l:x+y+1=0的对称点为M'(x0,y0), 则有 解得 即M'(-3,0), 则|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|NM'|= =2 , 当且仅当M',P,N三点共线时取等号,故B正确; 对于C,假设存在点P(x,-x-1),使得PM⊥PN, 若直线PM(或PN)的斜率不存在,则易得kPN(或kPM)=0,故不成立,则kPM,kPN均存在,且kPM·kPN=-1,即 · 第1讲　描述运动的基本概念  =-1, 化简得x2+x+2= + =0,显然此方程无实数解, 故不存在点P,使得PM⊥PN,故C错误; 对于D,||PM|-|PN||≤|MN|=5-(-1)=6,当且仅当P,M,N三点共线时取等号,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南焦作博爱联考]已知实数a>0,b<0,则 的取值范围是_____________.     (1,2]     解析　根据题意,不妨设直线l:ax+by=0,点A(1,- ),则直线l过原点O(0,0), 由a>0,b<0,知点A到直线l的距离d= = ,即所求式的取值范围即为d的取值范围. 易知当OA⊥l时,dmax= =2,又点A到y轴的距离为1,所以1<d≤2,即 的取值范围为(1,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026吉林长春外国语学校月考]已知点A(-2,1)和点B关于直线l:x+y-1=0对称,斜率为k的直线m过点A 且与直线l相交于点C,若△ABC的面积为2,则k=_________.     0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点B(x0,y0), 则 解得x0=0,y0=3, 则B(0,3), 由题可得直线m:y-1=k(x+2)(k≠-1),将y-1=k(x+2)与x+y-1=0联立,解得x=- ,y= ,则C , 易得直线AB的方程为y=x+3,且|AB|= =2 , 点C到直线AB的距离d= = , 所以 ×2 × =2⇒|1-k|=|k+1|⇒k=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东深圳大学附属中学段考]在平面直角坐标系Oxy中,已知定点M(1,0),N(0,1),直线l:y=kx(k<0), 两动点A,B均在l上,其中A在第二象限内,B在第四象限内,直线AN与直线BM交于点C,且kBM>kAN>0.若k=-1, 则S△ABC的最小值为_________;若S△ABC=3,则 的最大值是_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点A(a,ka),B(b,kb),其中a<0,b>0,则直线AN:y= x+1,BM:y= (x-1), 则 则  由  解得  第1讲　描述运动的基本概念 即C  ,  , 又|AB|= ·(b-a),点C到直线AB的距离d= , 所以S△ABC= . 若k=-1,则S△ABC= · , 令t=b-a-1,则b-a=t+1, 则S△ABC= · =  ≥2,当且仅当t=1,即b=a+2时取等号,故S△ABC的最小值为2. 若S△ABC= =3,则k= , 则 = = = × ≤ ,当且仅当b=-a时取等号,故 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026黑龙江牡丹江一中期中]已知直线l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0,点A和点B分别是直线l1,l2上一动点. (1)若直线AB经过原点O,且|AB|=3,求直线AB的方程; (2)设线段AB的中点为P,求点P到原点O的距离的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题得直线l1,l2间的距离为 =3=|AB|,所以直线AB和直线l1,l2均垂直, 因为l1的斜率为- ,所以kAB= , 又直线AB经过原点O,所以其方程为y= x. (2)因为l1,l2互相平行,所以线段AB的中点P的轨迹方程为3x+4y+ =0,即3x+4y+ =0, 所以点P到原点O的距离的最小值即为点O到直线3x+4y+ =0的距离,即为 = , 所以点P到原点O的距离的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　结合“共轭线对”考查直线交点和点线距问题 创新题型 7.[2026浙江嘉兴海宁静安高级中学月考]已知点P和非零实数λ,若两条不同的直线l1,l2均过点P,且斜率 之积为λ,则称直线l1,l2是一组“Pλ共轭线对”,如直线l1:y=2x和l2:y=- x是一组“O-1共轭线对”,其中O是 坐标原点. (1)已知l1,l2是一组“O-3共轭线对”,且直线l1:y=2x,求直线l2的方程; (2)已知点A(0,1),点B(-1,0)和点C(1,0)分别是三条倾斜角均为锐角的直线PQ,QR,RP上的点(A,B,C与P,Q, R均不重合),且直线RP,PQ是“P1共轭线对”,直线PQ,QR是“Q4共轭线对”,直线RP,QR是“R9共轭线 对”,求点P的坐标; (3)已知点H(-1,- ),直线l3,l4是“H-2共轭线对”,当l3的斜率变化时,求原点O到直线l3,l4的距离之积的取 值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得直线l2过原点,且 · =-3, 又 =2,所以 =- , 所以直线l2的方程为y=- x. (2)设直线RP,PQ,QR的斜率分别为k1,k2,k3, 则 解得 或  又三条直线的倾斜角均为锐角,所以k1= ,k2= ,k3=6, 点C(1,0),A(0,1)分别在直线RP,PQ上,故直线RP的方程为y= (x-1),直线PQ的方程为y= x+1, 第1讲　描述运动的基本概念 联立可解得x=y=3, 则P(3,3). (3)由题可设l3:y+ =k(x+1)(k≠0),l4:y+ = (x+1),原点O到直线l3,l4的距离分别为d1,d2, 则d1d2= · = · = · = · = · . 由于k2+ +5≥9(等号成立的条件是k2=2),所以1- ∈[0,1),则d1d2∈[0, ). 第1讲　描述运动的基本概念 $