24.3 一元二次方程根与系数的关系课件-2026-2027学年冀教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，课堂导入先复习求根公式及判别式，通过具体方程计算两根和与积，引导学生观察规律形成猜想，再用求根公式证明，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于通过探究活动培养抽象能力与推理意识，证明过程强化逻辑推理，应用环节结合两根平方和、倒数和等实例培养模型意识。学生能主动参与知识形成，教师可借助清晰流程和例题提升教学效率。

24.3 一元二次方程 根与系数的关系 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 思考：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ ＜ 0 时，方程无实数根. 探究1 一元二次方程根与系数的关系 填一填： 由因式分解法可知，方程(x－2)(x－3)=0的两根为x1=2，x2 = 3，而方程(x－2)(x－3)=0可化为x2 －5x＋6 =0的形式，则：x1＋x2＝______，x1x2＝_______. 求得方程2x2＋3x－9=0的两根分别为x1＝______，x2＝______，则 x1＋x2＝______，x1x2＝_______. 5 6 －3 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－5x＋6=0 2x2＋3x－9=0 2 3 5 6 －3 观察与交流：将上面的结果汇总如下，你发现方程的两根x1， x2，x1+x2，x1x2与方程的系数之间有什么关系?请尝试用语言叙述你发现的规律. 一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比． 猜想与验证：对于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1＋x2 ，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论. 猜想: 证明： ax2＋bx＋c = 0，b2－4ac≥0 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根分别 为x1，x2，那么 满足关系的前提条件： b2-4ac≥0. 解： (1) 这里a＝1，b＝－3，c＝－8，且 b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0. 所以　　　　　 探究2 一元二次方程根与系数关系的运用 活动1： 求下列方程两个根的和与积，与同学比较你们的解答过程与结果是否相同. (1) x2－3x－8＝0 ； (2) 3x2＋4x－7＝0； (2) 3x2＋4x－7＝0； (2) 这里a＝3，b＝4，c＝－7，且 b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0， 所以　　　　　 (3) 移项得，-4x2+5x-1=0，即 4x2-5x+1=0 这里a＝4，b＝-5，c＝1， 且b2－4ac＝25－4×4×1＝9＞0， 所以　 在使用根与系数的关系时，应注意以下问题： (1)注意运用的前提条件：b2-4ac≥0. (2)不是一般式的要先化成一般式ax2＋bx＋c = 0； (3)在使用 时，注意“－ ”不要漏写. 1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(　　) A．4　　 　B．－4　　 　C．3　 　 D．－3 2.已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，那么下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x1＋x2＝－3 C．x1＋x2＝1 D．x1＋x2＝3 D B （1）已知x1、x2是一元二次方程 的两根，则 解：首先化为一般式 则： 活动2：与同学交流，解答下列问题，并归纳你们的思路方法. （2）已知 x1，x2 是方程 2x2 + 2kx + k - 1 = 0 的两个根，且 (x1 + 1)(x2 + 1) = 4. ①求 k 的值； ②求 (x1 - x2)2 的值. 解：(1) 由根与系数的关系，得 ∴ (x1 + 1)(x2 + 1) = x1x2 + (x1 + x2) + 1 = 解得 k = -7. （2）∵ k = -7，∴ 则 想一想：已知方程有两根以及两根的关系，还需要使用判别式吗？如何计算会比较方便呢？ 活动2：与同学交流，解答下列问题，并归纳你们的思路方法. （1）已知方程两根的关系，求待定字母系数（或代数式）的值，将两根的和与积整体代入求解. 注意：结合完全平方公式及平方差公式的逆应用. 一元二次方程根与系数关系的运用的一般思路： （2）利用以下常见的求值式子直接求值： 3.方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，则m的值___________． －1或－3 解：根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1， ∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2， ∴(－m－3)2－2(m＋1)＝4， 解得m1＝－1，m2＝－3， 并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解， ∴m的值为－1或－3. 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 一元二次方程的根与系数的关系 内 容 应 用 本节课我们学到了哪些知识与方法，请梳理本节课知识框图： 1. 已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 -2 和 1，则 p = ，q = . 1 -2 2.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为(　　) A.－1或　 B．－1　　 C. 　 　 D．不存在 C 3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(　　) A．9　　　 B．10　　　 C．9或10　　　 D．8或10 B 4.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣x1-x2∣= 1 ,求m的值. 解：(1)方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0 (2)∵方程有实数根x1,x2 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 解得m=8. 经检验m=8是原方程的解． $