专题08 图形的变化、概率（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

**基本信息** 汇集江苏多地九上期中试题，聚焦图形变化与概率6大高频考点，含遮阳伞影子计算、马拉松补给概率等情境化综合题，注重应用能力与核心素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题|正弦余弦正切、三视图、中心对称等|基础概念与空间想象结合，如由三视图判断物体形状| |解答题|多题|解直角三角形、图形旋转、概率|情境化设计，如遮阳伞影子长度探究（解直角三角形）；探究性问题，如菱形中旋转线段关系证明；实际应用，如马拉松补给选择概率计算|

专题08 图形的变化、概率 6大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 由三视图想象物体形状 考点04 图形的旋转 考点05 中心对称及其性质 考点06 概率 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）在中，，若，，则的值为（       ） A.  B. 2 C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，的三个顶点均在正方形网格格点上，求　　　　　　　　． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，中，，是锐角，且，，，求的面积． 2．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 （1）图3是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图4是其侧面示意图．（2）已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．（3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．     图3                                      图4 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角 （太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得AD＝0.8米，①DF＝______；______②请求出此时影子GH的长度； 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由； 任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00—15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出BQ的取值范围：______ 3．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，在等边中，点为边上一点（不与，重合）． （1）用圆规和没有刻度的直尺在边上求作点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长度． 考点03 由三视图想象物体形状 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，将一个长方体木块和一个正方体木块按如图位置摆放在桌面上，其主视图为（　　） A.  B.  C.  D.  考点04 图形的旋转 1．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）综合与探究 如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上． 问题解决： （1）线段与之间的数量关系是_________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长． 3．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，将矩形绕点A旋转，使点B的对应点恰好落在上．若 连接，则的长为　　　　　　　　　　　． 考点05 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为　　　　　　　　　　． 考点06 概率 1．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． （1）从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； （2）从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 红 绿 黄 黄 红 红，绿 红，黄 红，黄 绿 绿，红 绿，黄 绿，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 4．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为　　　　　　． 5．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）跑在水美泗乡，3月30日下午，2025京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）． （1）选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是____； （2）请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率． 6．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）苏州的古镇以江南水乡风貌和深厚历史文化闻名，粉墙黛瓦与小桥流水相映成趣．小超同学计划在元旦假期从A．周庄古镇；B．黎里古镇；C．沙溪古镇；D．古里古镇四个古镇中随机选择部分古镇游玩． （1）小超同学选择C．沙溪古镇游玩的概率是___________； （2）若小超同学从四个古镇中任选两个游玩，求选择两个古镇游玩的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） A B C D A B C D 7．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A，C两个区域所涂颜色不相同的概率． 8．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）在一只不透明袋子中装了个大小、质地都相同的乒乓球，乒乓球球面上分别标有数字、、、，搅匀后先从中任意摸出个球（不放回），再从余下的个球中任意摸出个球． （1）用树状图列出所有可能出现的结果； （2）求2次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率． 9．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他3个座位上，记乙与甲不相邻而坐的概率为、丙与丁相邻而坐的概率为，则　　　　　．（填“>”“<”或“=”） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 图形的变化、概率 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 由三视图想象物体形状 考点04 图形的旋转 考点05 中心对称及其性质 考点06 概率 考点01 正弦、余弦与正切 1．A 2．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，连接，由图形得到与垂直，得到为直角三角形，利用勾股定理求出与的长，利用锐角三角函数定义即可求出的值． 【详解】 解：连接，根据图形得到，即， 根据勾股定理得：，， 则， 故答案为：． 考点02 解直角三角形 1．【答案】132 【分析】 根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式求解． 【详解】 过点C作 如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，解此题的关键是进行合理的推断得出三角形为直角三角形． 2．【答案】任务1：①米，；②米；任务2：小明会被照到；任务3： 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1 ：① 作于，作于，根据等腰三角形的性质并结合题意得出米，米，求出的长度，最后由正切的定义即可得出答案；② 证明四边形为矩形，得出米，，，证明，得出，求出米，再由勾股定理计算即可得出答案； 任务2：作交于，由（1）得：，米，解直角三角形得出的长，从而即可得出答案； 任务3：当、，分别解直角三角形，求出的长，即可得出答案． 【详解】 解：任务1：① 如图，作于，作于， ， ∵米，米，伞面直径是的4倍， ∴米，米， ∴（米）， ∴； ② ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 任务2：如图，作交于， ， 由（1）得：，米， ∵， ∴在中，米，，则米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 在中，当时，米， ∴小明刚好被照射到时离的距离为， ∴小明会被照到； 任务3：由任务2得：当时，米， 当时，，米， ∴在中，米，，则米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 在中，当时，米， 此时，米， ∴． 3．【答案】（1）如图，      （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质和尺规作图及解直角三角形． （1）结合相似三角形的判定与性质，在的上方作，则点即为所求； （2）由题意得，由等边三角形的性质的，根据，求出，可知点D为的中点，则，进而可得． (1) 小问详解： 解，在的上方作，交于点， 为等边三角形， ， ， ， ， 则点即为所求； (2) 小问详解： 解：，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ． 考点03 由三视图想象物体形状 1．A 考点04 图形的旋转 1．D 2．【答案】（1）；（2）；（3）的长为或 【分析】 （1）先证明是等边三角形，得到，，再根据平行线的性质得，，从而得到，则有，即可由得出结论； （2）连接，利用菱形的对称性，得出，，再利用旋转的性质与等腰三角形的性质得出，最后利用三角形外角的性质可求解； （3）连接交于，分两种情况：① 当点在上时，② 当点在上时，分别 求解即可． 【详解】 解：（1）； 理由：菱形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， 即； 故答案为：； （2）如图，连接． 四边形是菱形， ，． ， 是等边三角形． ． ， ． ． 在和中， ，，， ． ，． 由旋转的性质，得． ． ． ， ，． ． ． 在和中， ，，， ． ． ， 即． （3）的长为或． 解：连接交于点． 由（2）可知是等边三角形，， ． 四边形是菱形， ，，． ． ． ． ，， ． ． 分两种情况： ①当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． ②当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． 综上，的长为或． 【点睛】 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形及等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是证明和是相似三角形，此题难度不大． 作于M， 于N，先用勾股定理求出， 进而用等积法得到AM，利用三角函数及等腰三角形的性质求出，最后证明，得成比例的线段即可得到的长度． 【详解】 解∶ 作于M， 于N， ， ， 矩形中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 考点05 中心对称及其性质 1．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用、平面坐标系两点距离．解题关键是根据中位线定理得出，进而一元二次方程有实数根求出的取值范围． 是中位线，，进而根据平面坐标系两点距离公式可得，利用取最大值时，，均为正数，设，可得，根据方程有实数根即可求出的最大值． 【详解】 解：依题意可得：，的半径为， 连接、， 又∵，点关于点的对称点为点，即点是的中点，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，整理得， ∴， ∴，即 ∴， ∴取最大值为. 故答案为． 考点06 概率 1．C 2．A 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）从袋中随机摸出1个球共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种，据此计算概率即可； （2）通过列表法计算概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，从袋中随机摸出1个球的情况有， 红球、绿球、黄球、黄球， 共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种， 因此，从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的结果有4种， 因此，两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率为． 红 绿 黄 黄 红 红，绿 红，黄 红，黄 绿 绿，红 绿，黄 绿，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 4．【答案】 【分析】 本题考查了几何概率，求出蓝色扇形的圆心角的度数，进而根据概率公式计算即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】 解：∵红色扇形的圆心角的度数为， ∴蓝色扇形的圆心角的度数为， ∴转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为， 故答案为：． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查列表法或画树状图法计算随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算即可求解； （2）列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）， ∴选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表表示如下， ∴共有种等可能结果，参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的情况有钟， ∴参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率为． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果是正确解答的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表表示出所有等可能的结果，选择B，C两个古镇游玩的结果有2种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵从四个古镇中随机选择部分古镇游玩， ∴小超同学选择C．沙溪古镇游玩的概率是； (2) 小问详解： 解：列表如下， 一共有12种情况，选择B，C两个古镇游玩的情况有2种， ∴选择B，C两个古镇游玩的概率为． A B C D A B C D 7．【答案】. 【详解】 试题分析：先根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与A，C两个区域所涂颜色不相同的情况，利用概率公式求出概率. 试题解析：解：画树状图如答图： ∵共有8种不同的涂色方法，其中A，C两个区域所涂颜色不相同的情况有4种， ∴P(A，C两个区域所涂颜色不相同)=. 考点：1．画树状图或列表法；2．概率． 8．【答案】（1） 解：画树状图如下，    由图可知共有种可能结果，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；     （2）      【分析】 （1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有可能，即可得出答案； （2）利用所有结果与所有符合要求的总数，然后根据概率公式求出该事件的概率． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵共有种等可能的结果，其中乒乓球球面上数字的积为偶数有种， ∴． 【点睛】 本题主要考查了画树状图或列表求概率，正确话出树状图是解题的关键． 9．【答案】 【分析】 本题考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据题意列出所有可能出现的情况，找出乙与甲不相邻而坐和丙与丁相邻而坐的情况数，接下来利用概率公式求解即可． 【详解】 解：由于甲的位置已经确定，乙、丙、丁有以下几种情况：          乙与甲不相邻而坐有2种情况，概率为， 丙与丁相邻而坐有4种情况，概率为， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 图形的变化、概率 6大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 由三视图想象物体形状 考点04 图形的旋转 考点05 中心对称及其性质 考点06 概率 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）在中，，若，，则的值为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据勾股定理求出，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】 解：由勾股定理得，， 则， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，的三个顶点均在正方形网格格点上，求　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，连接，由图形得到与垂直，得到为直角三角形，利用勾股定理求出与的长，利用锐角三角函数定义即可求出的值． 【详解】 解：连接，根据图形得到，即， 根据勾股定理得：，， 则， 故答案为：． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，中，，是锐角，且，，，求的面积． 【答案】132 【分析】 根据已知得该三角形为直角三角形，利用三角函数公式求出各边的值，再利用三角形的面积公式求解． 【详解】 过点C作 如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，解此题的关键是进行合理的推断得出三角形为直角三角形． 2．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 （1）图3是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图4是其侧面示意图．（2）已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架AE＝DE＝0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．（3）为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．     图3                                      图4 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角 （太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点Q． 问题解决 任务1 确定影子长度 某一时刻测得AD＝0.8米，①DF＝______；______②请求出此时影子GH的长度； 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由； 任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00—15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请你通过计算后直接写出BQ的取值范围：______ 【答案】任务1：①米，；②米；任务2：小明会被照到；任务3： 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 任务1 ：① 作于，作于，根据等腰三角形的性质并结合题意得出米，米，求出的长度，最后由正切的定义即可得出答案；② 证明四边形为矩形，得出米，，，证明，得出，求出米，再由勾股定理计算即可得出答案； 任务2：作交于，由（1）得：，米，解直角三角形得出的长，从而即可得出答案； 任务3：当、，分别解直角三角形，求出的长，即可得出答案． 【详解】 解：任务1：① 如图，作于，作于， ， ∵米，米，伞面直径是的4倍， ∴米，米， ∴（米）， ∴； ② ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 任务2：如图，作交于， ， 由（1）得：，米， ∵， ∴在中，米，，则米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 在中，当时，米， ∴小明刚好被照射到时离的距离为， ∴小明会被照到； 任务3：由任务2得：当时，米， 当时，，米， ∴在中，米，，则米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， 在中，当时，米， 此时，米， ∴． 3．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，在等边中，点为边上一点（不与，重合）． （1）用圆规和没有刻度的直尺在边上求作点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长度． 【答案】（1）如图，      （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质和尺规作图及解直角三角形． （1）结合相似三角形的判定与性质，在的上方作，则点即为所求； （2）由题意得，由等边三角形的性质的，根据，求出，可知点D为的中点，则，进而可得． (1) 小问详解： 解，在的上方作，交于点， 为等边三角形， ， ， ， ， 则点即为所求； (2) 小问详解： 解：，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ． 考点03 由三视图想象物体形状 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，将一个长方体木块和一个正方体木块按如图位置摆放在桌面上，其主视图为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了简单组合体的主视图，熟练掌握主视图是从物体正面观察得到的视图是解题的关键．根据主视图的定义，从正面观察该组合体，确定看到的图形形状，再与选项进行对比． 【详解】 解：从正面看，左边是一个长方形（长方体的主视图），右边是一个正方形（正方体的主视图），形状与选项A一致． 故选：A． 考点04 图形的旋转 1．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线的性质、三角形三边关系及勾股定理，由点的位置确定最大值和最小值是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线的性质求出，，可得当、F、三点共线时，取到最大值和最小值，然后结合三角形三边关系得出答案． 【详解】 解：取的中点F，连接， ∵旋转， ∴， 根据勾股定理得：， 、分别是、的中点， ，， 当、F、三点共线时，取到最大值和最小值， 的最小值为，的最大值为， 再根据三角形的三边关系，可得取值范围是. 故选：D． 2．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）综合与探究 如图，在菱形中，，点是对角线上的一个动点（不与点，重合），过点作交于点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在射线上． 问题解决： （1）线段与之间的数量关系是_________； （2）求的度数． 拓展探究： （3）连接，与交于点．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或 【分析】 （1）先证明是等边三角形，得到，，再根据平行线的性质得，，从而得到，则有，即可由得出结论； （2）连接，利用菱形的对称性，得出，，再利用旋转的性质与等腰三角形的性质得出，最后利用三角形外角的性质可求解； （3）连接交于，分两种情况：① 当点在上时，② 当点在上时，分别 求解即可． 【详解】 解：（1）； 理由：菱形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ， 即； 故答案为：； （2）如图，连接． 四边形是菱形， ，． ， 是等边三角形． ． ， ． ． 在和中， ，，， ． ，． 由旋转的性质，得． ． ． ， ，． ． ． 在和中， ，，， ． ． ， 即． （3）的长为或． 解：连接交于点． 由（2）可知是等边三角形，， ． 四边形是菱形， ，，． ． ． ． ，， ． ． 分两种情况： ①当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． ②当点在线段上时，如图． ． 由（1）可知． ． 由（2）可知， ． ． ． 综上，的长为或． 【点睛】 本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 3．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，将矩形绕点A旋转，使点B的对应点恰好落在上．若 连接，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形及等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是证明和是相似三角形，此题难度不大． 作于M， 于N，先用勾股定理求出， 进而用等积法得到AM，利用三角函数及等腰三角形的性质求出，最后证明，得成比例的线段即可得到的长度． 【详解】 解∶ 作于M， 于N， ， ， 矩形中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 考点05 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用、平面坐标系两点距离．解题关键是根据中位线定理得出，进而一元二次方程有实数根求出的取值范围． 是中位线，，进而根据平面坐标系两点距离公式可得，利用取最大值时，，均为正数，设，可得，根据方程有实数根即可求出的最大值． 【详解】 解：依题意可得：，的半径为， 连接、， 又∵，点关于点的对称点为点，即点是的中点，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，整理得， ∴， ∴，即 ∴， ∴取最大值为. 故答案为． 考点06 概率 1．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时（若指针恰好停在等分线上，则重转一次），指针指向区域所标数字为偶数的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了概率公式，根据在数字1、2、3、4中，2、4都是偶数，再根据概率公式进行列式计算，即可得出针指向区域所标数字为偶数的概率． 【详解】 解：∵圆形转盘被分成4个面积相等的扇形区域，在上面依次写上数字1、2、3、4， ∴指针指向区域所标数字为偶数的概率是， 故选：C 2．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】 解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 3．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． （1）从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； （2）从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）从袋中随机摸出1个球共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种，据此计算概率即可； （2）通过列表法计算概率即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，从袋中随机摸出1个球的情况有， 红球、绿球、黄球、黄球， 共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种， 因此，从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的结果有4种， 因此，两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率为． 红 绿 黄 黄 红 红，绿 红，黄 红，黄 绿 绿，红 绿，黄 绿，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 4．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了几何概率，求出蓝色扇形的圆心角的度数，进而根据概率公式计算即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】 解：∵红色扇形的圆心角的度数为， ∴蓝色扇形的圆心角的度数为， ∴转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）跑在水美泗乡，3月30日下午，2025京东宿迁马拉松圆满收官．这场主打“体验感” “温馨感” “科技感”与“时尚感”的豪横赛事也获得了大众的好感，它不仅点燃了全民运动热情，更向世界展示了宿迁“项王故里、中国酒都、水润之城”的独特魅力．赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）． （1）选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是____； （2）请用列表或画树状图的方法，求参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查列表法或画树状图法计算随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是解题的关键． （1）根据概率公式的计算即可求解； （2）列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵赛道中途补给站给参赛选手准备了A．小番茄，B．香蕉，C．黄瓜，D．面包四种补给（假设参赛选手选中每种补给的结果是等可能的）， ∴选手宿宿在经过补给站时，选中D．面包的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：列表表示如下， ∴共有种等可能结果，参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的情况有钟， ∴参赛选手甲、乙两人经过同一补给站所选的补给中有B．香蕉的概率为． 6．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）苏州的古镇以江南水乡风貌和深厚历史文化闻名，粉墙黛瓦与小桥流水相映成趣．小超同学计划在元旦假期从A．周庄古镇；B．黎里古镇；C．沙溪古镇；D．古里古镇四个古镇中随机选择部分古镇游玩． （1）小超同学选择C．沙溪古镇游玩的概率是___________； （2）若小超同学从四个古镇中任选两个游玩，求选择两个古镇游玩的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，画出树状图得出所有可能出现的结果是正确解答的关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表表示出所有等可能的结果，选择B，C两个古镇游玩的结果有2种，再由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵从四个古镇中随机选择部分古镇游玩， ∴小超同学选择C．沙溪古镇游玩的概率是； (2) 小问详解： 解：列表如下， 一共有12种情况，选择B，C两个古镇游玩的情况有2种， ∴选择B，C两个古镇游玩的概率为． A B C D A B C D 7．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，用红、蓝两种颜色随机地对A，B，C三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求A，C两个区域所涂颜色不相同的概率． 【答案】. 【详解】 试题分析：先根据题意画出树状图或列表，由图表求得所有等可能的结果与A，C两个区域所涂颜色不相同的情况，利用概率公式求出概率. 试题解析：解：画树状图如答图： ∵共有8种不同的涂色方法，其中A，C两个区域所涂颜色不相同的情况有4种， ∴P(A，C两个区域所涂颜色不相同)=. 考点：1．画树状图或列表法；2．概率． 8．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）在一只不透明袋子中装了个大小、质地都相同的乒乓球，乒乓球球面上分别标有数字、、、，搅匀后先从中任意摸出个球（不放回），再从余下的个球中任意摸出个球． （1）用树状图列出所有可能出现的结果； （2）求2次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率． 【答案】（1） 解：画树状图如下，    由图可知共有种可能结果，分别为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；     （2）      【分析】 （1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有可能，即可得出答案； （2）利用所有结果与所有符合要求的总数，然后根据概率公式求出该事件的概率． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵共有种等可能的结果，其中乒乓球球面上数字的积为偶数有种， ∴． 【点睛】 本题主要考查了画树状图或列表求概率，正确话出树状图是解题的关键． 9．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁3人等可能地坐到其他3个座位上，记乙与甲不相邻而坐的概率为、丙与丁相邻而坐的概率为，则　　　　　．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】 本题考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据题意列出所有可能出现的情况，找出乙与甲不相邻而坐和丙与丁相邻而坐的情况数，接下来利用概率公式求解即可． 【详解】 解：由于甲的位置已经确定，乙、丙、丁有以下几种情况：          乙与甲不相邻而坐有2种情况，概率为， 丙与丁相邻而坐有4种情况，概率为， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $