专题02 一元二次方程（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦一元二次方程6大高频考点，精选江苏多地期中真题，覆盖概念、解法及实际应用，梯度设计适配期中复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|基础题为主|概念（定义、根的意义）、解法（配方法、因式分解法）|结合具体方程辨析概念，如判断一元二次方程及根的情况| |解答题|综合题为主|公式法（根的判别式）、根与系数关系、实际问题|实际问题融入新能源汽车销量、商品利润等时代情境，根与系数关系结合几何应用，如三角形边长计算|

专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】 解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 该题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】 解：∵ A项含有两个未知数，不是一元方程，不符合题意； B项含有分式，不是整式方程，不符合题意； C项可化为，符合题意； D项未知数的最高次数为1，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，根据定义逐项分析即可． 【详解】 解：A．若添加，是一元一次方程；        B．若添加，是一元一次方程； C．若添加，是一元二次方程；        D．若添加，含2个未知数，不是是一元二次方程； 故选C． 5．（25-26学年九上·江苏南京·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，进行判断． 【详解】 A．中，只含未知数x，最高次项为，次数为2，且为整式方程，故此选项符合定义； B．中含有分式，不是整式方程，故此选项不符合定义； C．中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故此选项不符合定义； D．中未知数次数为1，不是二次方程，故此选项不符合定义． 故选：A． 6．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 解：、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意； 、当时，方程为，是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 故选：． 7．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. x+1＝0 B. x2＝2x﹣1 C. 2y﹣x＝1 D. x2+3＝ 【答案】B 【分析】 利用一元二次方程的定义进行分析即可． 【详解】 解：A、x+1＝0是一元一次方程，故此选项不合题意； B、x2＝2x﹣1是一元二次方程，故此选项符合题意； C、含有2个未知数，2y﹣x＝1不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、含有分式，x2+3＝不是一元二次方程；故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含一个未知数且未知数的最高次数是2． 8．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的一般形式：，其中分别为：二次项系数、一次项系数、常数项，进行作答即可． 【详解】 解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：C． 9．（25-26学年九上·江苏常州·期中）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A.  B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】 解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 10．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）若关于的一元二次方程有一根为2，则的值是（       ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程求解即可． 【详解】 ∵关于的一元二次方程有一根为2， ∴代入得， ∴． 故选：D． 11．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项系数是（     ） A. 1 B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式是关键． 将方程化为一元二次方程的一般形式 ，然后识别一次项系数 ． 【详解】 解：∵ ， 展开得， 移项得 ， ∴ 一次项系数为， 故选：B． 12．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】试题解析：一元二次方程是指ax2+bx+c=0（a≠0）， A. 2x＋y＝2含有2个未知数，故该选项错误；        B. x＋y2＝0含有2个未知数，故该选项错误；        C. 2x－x2＝1是一元二次方程，故该选项正确；        D. x＋＝7是分式方程，故该选项错误. 故选C. 13．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）下列方程为一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A、，化简得，即，是一元一次方程，选项错误； B、，分母含未知数，不是整式方程，选项错误； C、，移项得，是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，选项正确； D、，含两个未知数x和y，是二元方程，选项错误； 故选：C． 14．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）若是方程的解，则下列式子正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的解即可得． 【详解】 解：∵是方程的解， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解． 15．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】 解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 16．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）m是方程的根，则式子的值是（     ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，掌握整体代入的思想是解题关键．利用方程根的定义，得到，，再将高次项降次，代入求值． 【详解】 解：∵ m是方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故选：B． 17．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）将一元二次方程化成一般形式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】 解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）若一元二次方程的一个根为0，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的根，熟知基本知识是解决问题的关键． 由一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义得到 ，求解即可． 【详解】 解：由题意得：将代入得：， 解得： 又， ∴， 故答案为：1． 19．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）一元二次方程的常数项是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟知常数项为方程标准式 中的c．根据一元二次方程常数项的定义，需将方程化为一般形式后确定常数项． 【详解】 解：将方程化为一般形式得，故常数项为． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）一元二次方程化成一般形式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且)，首先把方程左边的两式相乘，移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可． 【详解】 解：一元二次方程 ∴ ∴一般形式是． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）已知一元二次方程有一个根为2，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的意义，代入未知数的值求解． 把代入原方程，解方程即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有一个根为2， ∴， 解得，， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是　　　　　　　　． 【答案】2022 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握 “方程的根满足方程等式，可代入求解参数关系” 是解题的关键．将根代入方程，得到a与b的关系式，进而代入所求表达式计算． 【详解】 解：将代入得：， ∴， ∴ 故答案为：2022． 23．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知m是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知条件代入所求表达式进行化简． 【详解】 解：因为m是方程 的一个根， 所以代入得 ，即 ． 则 ． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零． 【详解】 解：因为方程是关于的一元二次方程， 所以二次项系数， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）已知是一元二次方程的一个根，则　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查一元二次方程的根；将已知根代入方程计算求解即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， 所以代入 得：， 计算得：， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故答案为：6． 26．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，则a的值是　　　　　　． 【答案】5 【分析】 把x=a代入方程x2-5x+m=0，得a2-5a+m=0① ，把x=-a代入方程方程x2+5x-m=0，得a2-5a-m=0② ，再将①+② ，即可求出a的值． 【详解】 解：∵a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根， ∴a2-5a+m=0① ，a2-5a-m=0② ， ①+② ，得2（a2-5a）=0， ∵a＞0， ∴a=5． 故答案为：5． 【点睛】 本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 【详解】 27．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零． 【详解】 解：方程 是一元二次方程的条件是二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 28．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）若关于的一元二次方程的一个根为2，则关于的一元二次方程的根为　　　　　　． 【答案】1或 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入第一个方程，求出参数关系，再代入第二个方程求解即可． 【详解】 解：关于x的一元二次方程的一个根为2， 则代入得，即， 所以． 将代入方程，得， 即． 由于（一元二次方程），故，即． 解得或， 所以或． 故答案为：1或． 29．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】2026 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 30．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将的值准确代入方程进行计算． 根据一元二次方程的解即可求出的值． 【详解】 解：因为是一元二次方程的一个解， 所以， 解得：． 故答案为：2． 31．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解使方程两边相等是解题关键．根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到．然后将所求表达式变形为，代入计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 32．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）若m是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】2027 【分析】 本题考查了一元二次方程根的概念，根据根的情况求代数式的值．由 m 是方程的根，可得 ，再整体代入求值． 【详解】 因为 m 是方程 的一个根， 所以 ， 即 ． 那么 ， 所以 ， 故答案为：2027． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 【详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选D． 【点睛】 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）用配方法解方程x2-2x-8=0，下列配方结果正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】移项后，两边都配上一次项系数一半的平方，即可得到答案． 【详解】 即， 故选C. 【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键． 3．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（       ） A.  B. 4 C.  D. 14 【答案】D 【分析】 根据配方法解方程的步骤求解可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．首先将方程的常数项移到等号右边得到，方程两边同时加上9，再利用完全平方公式配方即可得出结论． 【详解】 解：， ， ， ． 故选：B． 5．（25-26学年九上·江苏常州·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了解一元二次方程-配方法，把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】 解：， ， ． 故选：A． 6．（25-26学年九上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 7．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，关键步骤是加上一次项系数一半的平方．使用配方法解一元二次方程，将方程化为完全平方形式． 【详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：C． 8．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】 ∵， ∴， ∴（添加一次项系数一半的平方）， ∴． 故选：C． 9．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤① 把常数项移到等号的右边；② 把二次项的系数化为1；③ 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 根据配方法的步骤解答即可 【详解】 解：， ， ， ． 故选：A． 10．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 11．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 【答案】A 【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 【详解】x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 12．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）一元二次方程的解为：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握开平方法． 通过直接开平方法求解一元二次方程． 【详解】 解：方程， 两边直接开平方，得， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）方程的解是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把方程两边开方得到即可求解． 【详解】 解：， 开方得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了平方根：形如或的方程可采用开平方的方法求解． 14．（25-26学年九上·江苏南京·期中）方程的根为　　　　　　． 【答案】， 【分析】 此题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】 解： 解得，． 故答案为：，． 15．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】 解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，将一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解． 【详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 17．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）若关于的一元二次方程有两个正实数根，则整数的最小值是　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，无理数的估算．通过直接求解一元二次方程得到根的表达形式，再根据两个根均为正实数的条件确定整数的取值范围，进而得到最小值，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 则， ∴，， ∵要求两个根均为正实数， 故需满足和， 由得，而在时恒成立， ∵， ∴， 因此整数需满足， ∴整数的最小值为3， 故答案为：3． 18．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）， 所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）；①11；②34；③60． 【探究问题】（2）若可配方成（m，n为正整数），则的值为______； 【拓展应用】（3）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）9；（3） 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】 解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 19．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程； （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴ 20．（25-26学年九上·江苏常州·期中）类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将二次多项式进行化简，利用平方非负性求最小值即可． 【详解】 解：原多项式为 ，进行配方：取一次项系数的一半的平方，即 ，添加并减去 9， 得 ， 由于 ， 因此当 时，，多项式取最小值 6． 故答案为 ：6． 21．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），；     （2），；     （3），；     （4），．      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的基本解法是解题关键． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）先对方程进行展开整理，再利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得：，； (2) 小问详解： 解： ， 则或， 解得：，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得：，； (4) 小问详解： 解：， 整理得， 其中，，， ， ， 解得：，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）关于方程有以下说法：①方程有一个解是；②方程有两个实数根；③已知是方程的一个解，则，以上说法正确的是（       ） A. ①② B. ②③ C. ③ D. 都不对 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式是解题的关键；逐一验证三个说法的真假：①代入检验；②计算判别式；③利用方程根的性质推导，进而问题可求解． 【详解】 解：①：将代入方程，得， ∴不是方程的解，说法错误； ②：方程的判别式， ∴方程有两个实数根，说法正确； ③：若是方程的解，则，即， ∴，说法③正确； 综上，说法②和③正确， 故选B． 2．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，那么的值为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查黄金分割的基本定义和比例关系，通过解一元二次方程直接得出结果． 根据黄金分割的定义，当点P是线段的黄金分割点且时，与的比值等于黄金比，即． 【详解】 解：∵P是线段的黄金分割点，且， ∴， 设，， 则， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（     ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】 解：由题意得， 解得：， ∵， ∴四个选项中只有D选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年九上·江苏南京·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】 解：由可知：，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】A 【分析】 本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键． 首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴ ∴有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】 解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 7．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式． 通过判别式判断方程有实数根的条件，分析每个条件是否足以保证判别式非负． 【详解】 解：一元二次方程有实数根的条件是判别式． ①：， ∴，又， ∴，故方程有实数根． ②：， 反例：，则，但，无实数根，故②不能判定． ③：，即， ∴Δ===， ∵， ∴，， ∴，故方程有实数根． ∴正确条件的序号是① 和③ ． 故选：B． 8．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以取（       ） A.  B. 2 C.  D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，根据方程有2个实数根，得到，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，且， ∴， 解得， 故且； ∴k的值可以取2； 故选B． 9．（25-26学年九上·江苏常州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查对于一元二次方程，其判别式；当时，方程有两个不相等的实数根，通过判别式大于来确定的取值范围． 【详解】 解：∵关于的方程中，，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即： ∴实数的取值范围为． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知：关于的一元二次方程． （1）若为方程的一个根，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． 【答案】（1）     （2） 解：， 无论为何值，方程总有两个实数根．      【分析】 本题考查了一元二次方程的解、根的判别式： （1）将代入一元二次方程求解即可； （2）用根的判别式求出再判断即可． (1) 小问详解： 解：将代入一元二次方程． 得， 解得：． (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 12．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）已知．小明同学作出如下结论：无论取什么实数，都不等于．你是否同意他的说法？并说明你的理由． 【答案】同意，理由如下： 假设， 则， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴无论取什么实数，都不等于， ∴同意小明的说法． 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是将题意转化为利用根的判别式判断一元二次方程无解问题． 假设，则，利用根的判别式判断一元二次方程无解，从而得出结论无论取什么实数，都不等于． 【详解】 略 14．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】 解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 15．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）已知关于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k =　　　　　　　　　　． 【答案】±2 【详解】 由题意知：⊿=k2-4=0 ∴k=±2 故答案为±2． 16．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若关于的方程的一个根比另一个根大1，求的值． 【答案】（1） 证明：对于二次方程， 判别式 ， 整理： 由于对于所有实数 m 成立， 即对于所有实数 m 成立， 因此方程总有实数根．     （2）1或3      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式； （1）求出一元二次方程的判别式，得到判别式，即可证出结论； （2）设方程的两个根为和 ，且 ，结合韦达定理得到，解出 或 ．代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的两个根为和 ，且 ． 由韦达定理： 根之和：， 根之积：． ∵： ∴， ． 由  解得： 代入根之积方程： 整理得： 解得： 或 ． 当  时，，则 ． 当  时，，则 ． 17．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【分析】 （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】 （1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】 本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 18．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）（1）解方程：． （2）已知，求． 【答案】（1）或；（2）3 【分析】 本题主要考查解一元二次方程和比例的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）方程移项后运用公式法求解即可； （2）设，得，代入计算即可． 【详解】 解：（1）， ， 这里， ， ∴， ∴或； （2）设，则， ∴． 19．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）试说明：无论k取何值，都不可能是原方程的根． 【答案】（1）     （2） 证明：将代入方程得， 整理得：， 对于关于k的方程， 其判别式为： ， 无解， 无论k取何值，都不可能是原方程的根．      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； (2) 小问详解： 证明：略． 20．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论k取何值，此方程总有实数根；     （2）10或11      【分析】 本题考查了根的判别式，等腰三角形的性质和三角形的三边关系． （1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两等根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 当时，即方程有两等根， ∴， 解得， 方程化为，解得， ∵， ∴能够成三角形，此时周长为； ② 当或时，即方程有一个根， ∴， 解得：， 方程化为，解得， 即三边为4，3，3，能够成三角形， 则周长， 所以这个等腰三角形的周长是10或11． 21．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 【答案】（1） 证明： ， ， ， 即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）另一个根为，k的值为      【分析】 根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，得到方程，再用因式分解法求解另一个根，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 解得 方程的另一个根为，k的值为 22．（25-26学年九上·江苏常州·期中）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． (1) 小问详解： 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 23．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先计算，再利用公式法解方程即可； 【详解】 解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， ． 24．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）点在边长为1的正方形的边上，以为边在正方形的右侧作正方形，延长交于点．若正方形和四边形的面积相等，则的长度是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定，一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定，解一元二次方程是解决问题的关键． 设正方形的边长为，则，面积为，其中，根据正方形的边长为 1 得，证明四边形是矩形得面积为，由此得，解此方程求出即可得出答案． 【详解】 解：设正方形的边长为， ∴，正方形的面积为，其中， ∵正方形的边长为 1 ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为：， ∵正方形和四边形的面积相等， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”． （1）写出方程的逆方程； （2）已知某一元二次方程（常数项不为0）没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根． 【答案】（1）     （2） 证明：设原方程为 ，， 其判别式． ∵原方程没有实数根， ∴， 逆方程为，其判别式， ∵， ∴ ∴逆方程也没有实数根．      【分析】 本题主要考查了“逆方程”的定义，以及一元二次方程根的判别式等知识． （1）根据“逆方程”的定义求解即可． （2）根据根的判别式证明即可． (1) 小问详解： 解∶ 原方程的二次项系数为2，常数项为1， 对调后得逆方程为． (2) 小问详解： 略 26．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【分析】 （1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可. 【详解】 （1）解：由题意：． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）答案不唯一，满足（）即可，例如： 解：令，，则原方程为， 解得：． 【点睛】 考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 27．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　． 【答案】 【分析】 利用平方的非负性即可求解． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的条件，列出关于的一元一次不等式是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）一元二次方程的根是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先把方程左边用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，， 故选：C． 2．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）方程的解为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．移项后用因式分解法求解即可． 【详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 故选D 3．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）一元二次方程的解为（    ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】 解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 4．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】（1）     （2）m的值为或      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式进行解答即可； （2）先根据题意得出，解方程，得出或，然后分别代入求出m的值即可． (1) 小问详解： 解：∵有两个不相等的实数根 ∴， 解得：． (2) 小问详解： 解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴， 解得：或， 当时，得：； 当时，得：； 综上分析可知m的值为或． 5．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）方程的解为　　　　　　　　　　． 【答案】，， 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握因式分解法是解题关键．将方程移项后因式分解即可求解． 【详解】 解：原方程：， 移项得：， 提取公因式：， 由零乘积性质，得或， 解得，， 故答案为：，． 6．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．分类讨论：当时，去绝对值得到，再求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【详解】 解：当时，原方程化为，即， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是． 7．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）解方程： （1）用配方法解方程：； （2）． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可求解方程． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ，． 8．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程． （1）求证：此方程必有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 【答案】（1） 证明：∵是关于的一元二次方程， ∴， ， 方程必有的实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知：当时，方程有两个相等的非零实数根， ， 方程即， 解得． 9．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）一元二次方程的根是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一解一元二次方程—因式分解法，利用因式分解法将原方程分解成两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】 解：， ， ， ∴或， ∴． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）方程的根为　　　　　　　　　　 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 解： 或， ∴，， 故答案为：，． 11．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， (2) 小问详解： ， ， 或， 解得． 12．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）方程的解是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握提取公因式进行因式分解是解题的关键． 通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式，然后运用因式分解法求解． 【详解】 解：， 移项得， 因式分解得 ， 解得． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根大于3，求的取值范围． 【答案】（1） 解：∵， ∴ ， 即不论为何值，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先根据因式分解整理方程，得，即，结合方程有一个根大于3，且，得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程有一个根大于3，且， ∴， ∴． 14．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答； （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 15．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，． 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】小敏的做法不正确；小霞的做法不正确； 正确的解答方法： 移项得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程，即可解答． 【详解】 略 16．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）解方程 （1）； （2） 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ，； (2) 小问详解： 解： ． 18．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）解答题： （1）； （2）． 【答案】（1）或     （2）或       【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）通过移项和因式分解求解方程即可； （2）使用求根公式解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得：或； (2) 小问详解： 解：， 这里， ， ∴， ∴或 ． 19．（25-26学年九上·江苏常州·期中）解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等是解题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可； （3）方程运用配方法求解即可； （4）方程运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，． (2) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 解得，． (4) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，． 20．（25-26学年九上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值时，方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为，若，求的值． 【答案】（1） 解：∵ ∴不论取何值时，方程总有实数根；     （2）      【分析】 （1）计算一元二次方程根的判别式，得出，即可求解； （2）首先求出方程的解为或，然后根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ ∴ 解得或 ∵ ∴或 解得或（舍去） ∴． 【点睛】 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 21．（25-26学年九上·江苏南京·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 或 解得，； (2) 小问详解： 或 解得，． 22．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1），      （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法求解即可； （2）移项后根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ， ， ∴，    ∴， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ∴或， ∴，． 23．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，灵活利用因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）利用因式分解法，将方程变形得到．根据若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，可得或，进而求解． （2）利用因式分解法，将方程分解为，再根据乘积为0的数的性质，得到或，从而求解即可． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ ∴或 ∴，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ，． 24．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如果关于的一元二次方程（其中为常数，且）有两个实数根，且其中一个根等于另一个根的2倍减去1，那么称这样的方程为“倍差方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“倍差方程”． （1）根据上述定义，判断方程___________（填“是”，“不是”）“倍差方程”； （2）已知关于的一元二次方程是“倍差方程”，求的值． 【答案】（1）是     （2）或      【分析】 本题考查了新定义问题，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解新定义． （1）利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义进行判断； （2）首先求出方程的解，然后根据“倍差方程”的定义分两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 所以，， ∵ ∴方程是“倍差方程”； (2) 小问详解： 解： ∴或 解得，， ∵关于的一元二次方程是“倍差方程”， ∴当时，； 当时， ∴ 综上所述，或． 25．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）根据配方法求解即可； （2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答． (1) 小问详解： 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； (2) 小问详解： 解：整理得， 因式分解得，即可， 则或， 解得，． 26．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个负数根，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵方程可化为， ∴，． ∵， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法解方程以及根据根的条件求参数范围． （1）通过因式分解方程得到两根，证明它们总不相等即可； （2）利用两根均为负数的条件建立不等式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得方程的两个根为，． ∵方程有两个负数根， ∴ ， 解得， ∴的取值范围是． 27．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是　　　　　　． 【答案】，． 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，利用换元法求解是解题关键．通过设，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用已知条件求出系数关系，进而求解方程． 【详解】 解：设，则原方程化为， 由，得， 代入得， 代入方程得， 因，两边除以得， 因式分解得，解得或， 由，得或， 解得：，， 故答案为：，． 28．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 所以，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 所以， 29．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 先求出一元二次方程的两个根，然后结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】 解：方程可变形为，解得， 当第三边的长为5时，该三角形的周长为3+4+5=12； 当第三边的长为7时，由于3+4=7，此时3、4、7不能构成三角形，应舍去． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键． 30．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程． （1）利用因式分解法求解即可； （2）移项后利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：； 分解因式得，， 所以或， 解得，，； (2) 小问详解： 解：， 移项，得， 分解因式得，，即， 或， 解得，，． 31．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法进行解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，． 32．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）规定：若关于x的一元二次方程中常数项c是该方程的一个根，则该方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_________； （2）如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求该方程的解； （3）若关于x的常数根一元二次方程有两个相等的实数根时，求代数式的值． 【答案】（1）或；     （2）当时，方程的解为，；当时，方程的解：，；     （3）或．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分式的化解求值，理解常数根一元二次方程的定义是解题关键． （1）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，再将代入关于x的方程分别求解即可； （3）将所求代数式约分化简得到，由方程有两个相等的实数根，得到，由常数根一元二次方程的定义，得到，再分两种情况讨论：当和时，分别求出的值，再代入代数式计算求值即可 (1) 小问详解： 解：关于的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ，即， 解得：，， 即c的值为或； (2) 小问详解： 解：关于x的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 整理得：， 解得：，， 当时，方程为，解得：，； 当时，方程为，解得：，； (3) 小问详解： 解： ， 方程有两个相等的实数根， ， 关于x的常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 当时，则，解得，此时原式； 当时，则，即， ， 解得：， ， 此时原式； 综上可知，代数式的值为或． 33．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是　　　　　　　　　． 【答案】7或8 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握相关知识点是解题关键．先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分情况讨论腰长，结合三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】 解：解方程， 因式分解得， 解得：或， 当腰长为2时，三边分别为2、2、3，满足，可构成三角形，周长为；当腰长为3时，三边分别为3、3、2，满足，可构成三角形，周长为, 故答案为：7或8． 34．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ， ， ，； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ， ，． 35．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）解下列方程 （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开方法解方程即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得； (2) 小问详解： ， ， ， ， 解得． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）若，是方程的两个根，则（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积． 【详解】 解：∵方程中，，，， ∴，． 只有选项B正确． 故选B． 2．（25-26学年九上·江苏常州·期中）已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A.  B. 1 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 3．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）下列一元二次方程中，两根和为2的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数关系及判别式，对于方程，两根之和为，同时需满足判别式才有实数根，逐一计算各选项的两根之和和判别式，判断是否符合条件． 【详解】 解：对于A选项：， ∵， ∴两根之和， 但，无实数根，不符合题意； 对于B选项：， ∵， ∴两根之和，不符合题意； 对于C选项：， ∵， ∴两根之和，且，无实数根，不符合题意； 对于D选项：， ∵， ∴两根之和， 且，有实数根，符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接应用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】 ∵，是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）设，是方程的两个根，则　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，，据此可得，，代入即可得到答案． 【详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 6．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）设，是关于的方程的两个根，则　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】 解：对于方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，两根之和． 故答案为：3． 7．（25-26学年九上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 【答案】方程的另一个根是，的值是 【分析】 本题考查一元二次方程的解．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】 解：设方程的另一个根为n， 则 ， ∴ ， ∴方程的另一个根是2，的值是4． 8．（25-26学年九上·江苏南京·期中）已知是方程的两个实数根，则　　　　　　，　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可． 【详解】 解：方程中，，，， 由根与系数的关系，得，． 故答案为：，． 9．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）已知关于x的一元二次方程（b、c为常数） （1）若，求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求证：． 【答案】（1） 证明： 因此，该方程总有两个不相等的实数根；     （2） 证明：根据根与系数的关系得， 解得 则 即．      【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式，结合，进行证明即可； （2）根据根与系数的关系得，，再结合，进行证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）设，是方程的两个根，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入式子求值． 【详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）关于的一元二次方程的两个根分别，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数关系的应用．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再代入所求表达式进行变形后的式子中计算． 【详解】 解：对于一元二次方程，其中，， 根据根与系数的关系，有： ， ． 则 ． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·江苏常州·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　　　． 【答案】2018 【分析】 先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：2018． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键． 13．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）关于的方程的两个实数根分别是，若，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再代入已知条件求解． 【详解】 解：对于方程 ，由根与系数的关系，得 代入已知条件 ，得 解得 此时判别式 ，方程有两个实数根，符合题意， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）已知关于的方程（其中为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根是2，则另一个根是                 ． 【答案】（1） 证明：方程整理得， ， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．     （2）3或1      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）把代入方程求得m，设方程的另外一个根为t,利用根与系数的关系列出关于t的方程，解之即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：该方程的一个根是2， ， 解得或， 方程为或， 设方程的另外一个根为t, 则或， 或， 故方程的另一个根为3或1． 故答案为：3或1． 15．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 【答案】（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， 即方程有两个不相等的实数根； （2）m=-4或m=-2 【分析】 (1) 、根据根的判别式判断即可； (2) 、将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【详解】 (1) 略 (2) 、∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0， 整理得：m2+6m+8=0， 解得：m=﹣4或m=﹣2 16．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． （1）关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． （2）若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【答案】（1）①0；②．     （2）．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）① 根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ② 因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：① 当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． (2) 小问详解： 解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为， 17．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）已知关于的方程． （1）若此方程的一个根为，则方程的另一个根为______； （2）求证：无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； （3）设该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1）；     （2） 证明：方程中， ，，， ， ， 无论取何值，， 无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根；     （3）．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系得到关于的方程． 根据方程的一个根为，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程得到的值，从而可得原方程为，解方程求出另一个根； 根据一元二次方程根的判别式可得：，根据平方的非负性可知，可证方程恒有两个不相等的实数根； 根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，根据，可得关于的方程，解方程求出的值． (1) 小问详解： 解：是方程的一个根， ， 解得：， 方程为， 解得：，， 方程的另一个根是， 故答案为：； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：，分别是方程的两个实数根， ，， ， ， 解得：． 18．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是　　　． 【答案】 【分析】 首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围． 【详解】 解：由题意得：， ∴ 设的两根分别是、；则，； ∴； 根据三角形三边关系定理，得：，即； ，解得． 故答案为． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】 设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 2．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）为庆祝2025年国庆，某纪念品厂1月份生产阅兵模型100万件．计划通过技术升级，使3月份的产量达到121万件．若月平均增长率相同，设该增长率为．根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据题意找出正确的等量关系，列出一元二次方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：B． 3．（25-26学年九上·江苏常州·期中）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹杆的长为尺，则由题意得，门高为尺，门宽为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】 解：若设竹杆的长为尺， 则由题意得：门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得：， 故选：． 4．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 5．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入每年平均增长率为，根据题意可列出的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，该公司收入从2022年到2024年经历了两年增长，年平均增长率为x，根据复利增长公式，列方程即可． 【详解】 ∵ 2022年收入为6423亿元，年平均增长率为x， ∴ 2023年收入为亿元， 2024年收入为亿元． ∵2024年收入为8621亿元， ∴． 故选：C． 6．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）某商品经过连续两次降价，售价从10元降为8元．设平均每次降价的百分率是，下列方程：①；②；③，其中，符合题意的是（     ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 商品连续两次降价，每次降价率相同为x，根据降价公式，原价乘以等于现价． 【详解】 解：根据题意得：， ∴符合题意的是①． 故选：A． 7．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）某果园2022年水果产量为年水果产量为，设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用．根据年平均增长率的定义，从2022年到2024年经历了两年增长，因此2024年产量等于2022年产量乘以的平方． 【详解】 解：∵2022年产量为，年平均增长率为x， ∴2023年产量为， 2024年产量为． 又∵2024年产量为， ∴． 故选：C． 8．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）将进价为 元/个的某种商品按 元/个出售时，能卖出500个，已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少 个，若想使利润达到元，售价应是多少？设售价为 元/个，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由售价为x元/个，则可表示出此时一个的利润及销售数量，根据利润为9000元，可列方程． 【详解】 解：设售价为x元，则 （x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]＝9000， 故选：D． 【点睛】 本题考查一元二次方程的实际应用，由售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解． 9．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（       ） A. 5m B. （5+）m C. （5+3）m D. （5+5）m 【答案】D 【分析】 根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程． 【详解】 解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m， 根据题意得：π（x+5）2=2πx2， 解得，x=5+5或x=5﹣5（不合题意，舍去）． 故选D． 【点睛】 本题考查了圆的面积计算及一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解． 10．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动． 某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是 x，则所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 由题意知，3月份售价为，4月份售价为，然后列方程即可． 【详解】 解：依题意得，， 故选：C． 11．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，根据题意可列出的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查根据实际问题列方程，关键在于分别表示出正方形的面积和圆的面积，再根据两者面积的数量关系列出方程． 【详解】 解：已知正方形孔的边长为，可得正方形的面积为． 设圆的半径为，根据圆的面积公式（其中为圆的面积，为圆的半径），可得圆的面积为． 已知正方形面积是圆面积的，即圆面积的等于正方形的面积， 可列出方程． 故选：C． 12．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是　　　　　　. 【答案】 【分析】 设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】 解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设年平均下降率为，由题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】 解：设年平均下降率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 14．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】 解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）两年前某型号汽车的生产成本是14万元/辆，随着生产技术的进步，现在该型号汽车的生产成本为12万元/辆．设该型号汽车生产成本的年平均下降率为，则可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均下降率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】 解：由题意，可列方程为：； 故答案为： 16．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】 解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 17．（25-26学年九上·江苏常州·期中）某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式5，进行计算，即可作答． 【详解】 设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 18．（25-26学年九上·江苏南京·期中）某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是，则可列方程为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据药品原价和两次降价后的价格，利用平均每次降价的百分率x，根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药价为元，第二次降价后药价为元， 根据题意，得 ， 故答案为：． 19．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，用长的篱笆围一个面积为的矩形菜地，菜地一边靠墙（墙长为），求菜地的长和宽． 【答案】长为、宽为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设菜地靠墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据菜地的面积是的矩形，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：设菜地靠墙一边的长为，则平行墙一边的长为， 根据题意得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：菜地的长为、宽为． 20．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）某游乐场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该游乐场游客人数的周平均增长率为x，可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据平均增长率模型，从第一周到第三周经过两周增长，利用增长公式列出方程即可． 【详解】 解：设周平均增长率为，则第二周人数为，第三周人数为， 根据题意，第三周接待游客8470人， 故列方程为， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 【答案】这种台灯售价定为元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【详解】 解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 22．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）国庆期间，某景区推出新的文艺表演节目，经试运行发现，票价为元时，可售出门票张；票价每提高1元，售出的门票将减少8张．要使得门票收入为元，则票价应定为多少元？ 【答案】或 【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设票价应定为元，根据门票收入为元列出一元二次方程求解． 【详解】 解：设票价应定为元， 则提高的金额为元，销量减少张， 所以销量为张， 可列方程， 解得：，， 答：票价应定为元或元． 23．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】 解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）某款汽车价格由年8月份万元/辆下降到10月份的万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均降价的百分率为x，则9月份的价格为万元/辆，10月份的价格为万元/辆，据此列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为． （1）求小路的宽度； （2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】（1）2m     （2）10%      【分析】 （1）设小路的宽度为xm，则长方形的长等于活动区的长加上两侧小路的宽度即为（21+2x）m，长方形的宽等于活动区的宽加上两侧小路的宽度即为（12+2x）m，再根据总面积为的等量关系即可列出方程求解． （2）设每次降价的百分率为y，先用含y的代数式将降价一次后的承包价格表示出来，然后再利用降价一次的承包价格将降价两次承包价格表示出来，根据两次降价后的承包价格为40.5万元即可列出方程求解． (1) 小问详解： 设小路的宽度是xm， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）． 答：小路的宽度是2m； (2) 小问详解： 设每次降价的百分率为y， 依题意得：， 解得：，（舍去）， 答：每次降价的百分率为10%． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键． 26．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间只进行一场比赛，共进行15场比赛，列出方程即可． 【详解】 解：由题意，可列方程为； 故答案为：． 27．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1）     （2）降价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． (1) 小问详解： 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； (2) 小问详解： 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 28．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动． （1）_______秒后，的长度等于； （2）几秒后，四边形的面积等于？ （3）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3     （2）1秒后，四边形的面积等于     （3） 解：不存在；理由如下： 设t秒后，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q，由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解， 不存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用及勾股定理，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解； （2）由题意易得，然后根据（1）可建立方程进行求解； （3）由题意易得，然后根据勾股定理可建立方程，进而根据一元二次方程根的判别式可进行求解． (1) 小问详解： 解：设t秒后，的长度等于，由题意得：，则有，， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， 故答案为3； (2) 小问详解： 解：设t秒后，四边形的面积等于，由题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后，四边形的面积等于． (3) 小问详解： 略 29．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为_______顶； （2）在（1）的条件下，该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？ 【答案】（1）     （2）每顶头盔应降价5元      【分析】 本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，分析题意，找出数量关系是解题的关键． （1）根据“平均每周可售出100顶，每降价1元，平均每周可多售出20顶”即可列出代数式； （2）根据“该商店若希望每周获利3000元”列出方程，求解后根据“每顶售价要高于50元”进行取舍，即可解答． (1) 小问详解： 解：设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为顶． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设每顶头盔应降价x元，根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每顶售价要高于50元，即， ∴， ∴不合题意，舍去， 答：每顶头盔应降价5元． 30．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为40元/千克．售价为50元/千克时，每天可销售100千克．每千克每涨价1元，每天少销售2千克． （1）某天商家正好销售70千克的螃蟹，则获利多少元？ （2）若商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，且售价需尽可能优惠顾客，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 【答案】（1）1750     （2）螃蟹的售价为元/千克      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用； （1）设螃蟹的售价为元/千克，根据每千克每涨价1元，每天少销售2千克，某天市场正好销售70千克的螃蟹，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设螃蟹的售价为元/千克，根据市场想一天销售螃蟹获总利润为1600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得：， 解得：， ∴（元）， 答：某天市场正好销售70千克的螃蟹，则获利1750元； (2) 小问详解： 解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠， ∴， 答：螃蟹的售价为元/千克． 31．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）某运动器材经销商销售品牌羽毛球拍，此种羽毛球拍的进价为元/只，经测算，当售价为元/只时，月销售量为只，若在此基础上售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． （1）当售价为元/只时，月销售量为__________只． （2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌羽毛球拍的实际售价应定为多少元/只？ 【答案】（1）     （2）该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只      【分析】 本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得当售价为元/只时，月销售量为只； （2）设该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只，，据此即可求解； (1) 小问详解： 解：∵售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． ∴当售价为元/只时，月销售量为只， 故答案为： (2) 小问详解： 解：设该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只， ， 解得：， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 故：该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只 32．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，靠墙围成一块矩形实验田，墙长为，栅栏安装过程不重叠、无损耗．矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求出矩形实验田的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】试验田的面积能达到，此时矩形实验田的长为，宽为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． 先表示出，再根据面积相等列出方程，求出解即可； 【详解】 解：设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 整理得， 解得：． ， ， ， 所以试验田的面积能达到，此时矩形实验田的长为，宽为． 33．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过　　　　　　　　s后，的面积恰为． 【答案】4或6 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】 解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 34．（25-26学年九上·江苏南京·期中）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 【答案】70元或80元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是利用已知条件建立等式关系，列出方程求解． 设这种服装每件售价是元，利用等量关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】 解：设这种服装每件售价是元． 由题意，得， ， 解得，， 答：这种服装每件售价是元或80元． 35．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）50      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 36．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 【答案】这两条直角边为，． 【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可． 【详解】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得： x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8． 当x1=6时，14﹣x=8； 当x2=8时，14﹣x=6； 答：两条直角边的长分别为，． 37．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． （1）如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． （2）如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程：             ． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形，根据题意列出方程求解即可； （2）根据矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为，即可列出方程． (1) 小问详解： 解：设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴盒子的体积； (2) 小问详解： 解：∵矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形． 根据题意得：． 故答案为：． 38．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）“燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京．某烧烤店六月份的营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍．若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为，利用该烧烤店八月份的营业额该烧烤店六月份的营业额（七月份营业额的增长率）（八月份营业额的增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】 解：设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：八月份营业额的增长率为． 39．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元． （1）若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； （2）若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 【答案】（1）24     （2）9元或11元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用售出的作品数（每件作品的售价），即可求出结论； （2）设每件作品的售价是x元，则售出件，利用善款总销售额总支出，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得：（件）， ∴若每件作品售价为10元，则售出24件作品． 故答案为：24； (2) 小问详解： 解：设每件作品的售价是x元，则售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每件作品的售价是9元或11元． 40．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图面积是，求金色纸边的宽 【答案】5 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系并列出方程．先通过设未知数，根据矩形的面积公式列出方程后进而求解即可． 【详解】 解：设金色纸边的宽为x厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即金色纸边的宽为5cm． 41．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． （1）仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； （2）实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1）最大值为59，相应的x的值为     （2） ① 不能， 理由：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当矩形的面积达到时，， 整理得：， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形的面积不能达到． ② 当时，矩形面积最大值为      【分析】 （1）将代数式化为，即可求解； （2）① 证明为等腰直角三角形，则，得，由即可判定；②，再根据（1）的方法，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∵是非负数， ∴， ∴， 则代数式的最大值为59，这时相应的x的值为； (2) 小问详解： 解：① 略 ② ， ∵是非负数， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大值为． 【点睛】 本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法确定最值，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键． 42．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （）设这个增长率为，根据养鸡场今年养鸡只，预估后年养鸡只，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； (2) 小问详解： 设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：（米），不合题意； 当时，的长为：（米）米； ∴米， 答：重建后的养鸡场的宽为米． 43．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）． （1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数； （2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元． ①求该商品的售价； ②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额． 【答案】（1）（180﹣3x）件；（2）① 该商品的售价为30元/件；② 李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元． 【分析】 （1）售价设为x元，那么降低的价格就是元，那么增加的销量是件，再加上原来的60件就得到表达式； （2）① 根据利润=销量（售价-成本）列方程求出售价； ② 根据① 中算出的售价求出销量，从而算出捐款的数额． 【详解】 解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件， ∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40﹣x)＝(180﹣3x)件； （2）① 依题意，得：(x﹣20)(180﹣3x)＝900， 整理，得：x2﹣80x+1500＝0， 解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）， 答：该商品的售价为30元/件； ②0.5×(180﹣3×30)＝45（元）， 答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系，根据利润=销量（售价-成本）列方程求解． 44．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求这个直角三角形的三条边的长． 【答案】直角边为和，斜边为 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，设一条直角边为，根据两条直角边的和是，面积是，列出方程进行求解，再利用勾股定理求出斜边的长即可． 【详解】 解：设一条直角边为，则另一条直角边为． 根据题意，得：， 解得：，． 故两条直角边的长分别为和， 故斜边为：． 答：直角边为和，斜边为． 45．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 46．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （1）以下是小明和小亮的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程：______． 小亮：设每件服装定价为元，由题意，可列方程：______． （2）请写出一种完整的解答过程． 【答案】（1）小明：；小亮：     （2） 每件应降价4元， 完整的解答过程：小明：解方程， ， 得，． 因为每件降价幅度不超过10元， 所以舍去， 即每件应降价4元． 小亮：， ， ， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：每件应降价4元．      【分析】 本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列一元二次方程即可； （2）对一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程： 小亮：设每件服装定价为元，由题意， 可列方程：， 整理：， 故答案为：小明：；小亮：； (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为；     （2）① 收纳盒的高为厘米；② 不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．      【分析】 本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ② 根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． (1) 小问详解： 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 (2) 小问详解： ① 根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ② ∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江苏南京·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. x+1＝0 B. x2＝2x﹣1 C. 2y﹣x＝1 D. x2+3＝ 8．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江苏常州·期中）已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A.  B. 2 C. 2或 D. 4或 10．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）若关于的一元二次方程有一根为2，则的值是（       ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 11．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项系数是（     ） A. 1 B.  C. 3 D.  12．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程的是(     ) A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）下列方程为一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）若是方程的解，则下列式子正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）m是方程的根，则式子的值是（     ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 17．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）将一元二次方程化成一般形式为　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）若一元二次方程的一个根为0，则　　　　　　． 19．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）一元二次方程的常数项是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）一元二次方程化成一般形式是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）已知一元二次方程有一个根为2，则　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知m是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 24．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）已知是一元二次方程的一个根，则　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，则a的值是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）若关于的一元二次方程的一个根为2，则关于的一元二次方程的根为　　　　　　． 29．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 30．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是　　　． 31．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）若m是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）用配方法解方程x2-2x-8=0，下列配方结果正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（       ） A.  B. 4 C.  D. 14 4．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江苏常州·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 12．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）一元二次方程的解为：　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）方程的解是　　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·江苏南京·期中）方程的根为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）解方程：． 17．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）若关于的一元二次方程有两个正实数根，则整数的最小值是　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）， 所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解：； 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有______（只填序号）；①11；②34；③60． 【探究问题】（2）若可配方成（m，n为正整数），则的值为______； 【拓展应用】（3）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 19．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）解方程： （1）； （2）． 20．（25-26学年九上·江苏常州·期中）类比解一元二次方程的配方法，求多项式 的最小值为 　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）关于方程有以下说法：①方程有一个解是；②方程有两个实数根；③已知是方程的一个解，则，以上说法正确的是（       ） A. ①② B. ②③ C. ③ D. 都不对 2．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知点是线段的黄金分割点，且，那么的值为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（     ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 8 4．（25-26学年九上·江苏南京·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 5．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 6．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）对于一元二次方程为常数，且，下列条件：；②；；若只添加一个条件就可以判定方程有实数根，则所有正确条件的序号是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的值可以取（       ） A.  B. 2 C.  D. 0 9．（25-26学年九上·江苏常州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知：关于的一元二次方程． （1）若为方程的一个根，求的值； （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根． 11．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 12．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）已知．小明同学作出如下结论：无论取什么实数，都不等于．你是否同意他的说法？并说明你的理由． 14．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）已知关于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k =　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有实数根； （2）若关于的方程的一个根比另一个根大1，求的值． 17．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 18．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）（1）解方程：． （2）已知，求． 19．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）试说明：无论k取何值，都不可能是原方程的根． 20．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 21．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求另一个根和k的值． 22．（25-26学年九上·江苏常州·期中）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 23．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）解方程：． 24．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）点在边长为1的正方形的边上，以为边在正方形的右侧作正方形，延长交于点．若正方形和四边形的面积相等，则的长度是　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）将一个常数项不为0的一元二次方程的二次项系数与常数项对调，得到的新的一元二次方程称为原方程的“逆方程”． （1）写出方程的逆方程； （2）已知某一元二次方程（常数项不为0）没有实数根，求证：其逆方程也没有实数根． 26．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 27．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）一元二次方程的根是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 2．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）方程的解为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）一元二次方程的解为（    ） A.  B.  C. ， D. ， 4．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 5．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）方程的解为　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 7．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）解方程： （1）用配方法解方程：； （2）． 8．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程． （1）求证：此方程必有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 9．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）一元二次方程的根是　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）方程的根为　　　　　　　　　　 11．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）解方程： （1）； （2）． 12．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）方程的解是　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个实数根． （2）若方程有一个根大于3，求的取值范围． 14．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）解方程： （1）； （2）． 15．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏：两边同除以，得，则． 小霞：移项，得，提取公因式，得．则或，解得，． 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 16．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）方程的解是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）解方程 （1）； （2） 18．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）解答题： （1）； （2）． 19．（25-26学年九上·江苏常州·期中）解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（25-26学年九上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值时，方程总有实数根； （2）设方程的两个根分别为，若，求的值． 21．（25-26学年九上·江苏南京·期中）解方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）解方程∶ （1）； （2）． 23．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）解方程： （1） （2） 24．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如果关于的一元二次方程（其中为常数，且）有两个实数根，且其中一个根等于另一个根的2倍减去1，那么称这样的方程为“倍差方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“倍差方程”． （1）根据上述定义，判断方程___________（填“是”，“不是”）“倍差方程”； （2）已知关于的一元二次方程是“倍差方程”，求的值． 25．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 26．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个负数根，求的取值范围． 27．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）已知非零常数满足等式，则关于的一元二次方程的根是　　　　　　． 28．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 29．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）解方程： （1） （2） 31．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 32．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）规定：若关于x的一元二次方程中常数项c是该方程的一个根，则该方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_________； （2）如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求该方程的解； （3）若关于x的常数根一元二次方程有两个相等的实数根时，求代数式的值． 33．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 35．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）解下列方程 （1）； （2） 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）若，是方程的两个根，则（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏常州·期中）已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A.  B. 1 C.  D. 3 3．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）下列一元二次方程中，两根和为2的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）设，是方程的两个根，则　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）设，是关于的方程的两个根，则　　　　　． 7．（25-26学年九上·江苏南京·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 8．（25-26学年九上·江苏南京·期中）已知是方程的两个实数根，则　　　　　　，　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）已知关于x的一元二次方程（b、c为常数） （1）若，求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求证：． 10．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）设，是方程的两个根，则　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）关于的一元二次方程的两个根分别，则　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·江苏常州·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）关于的方程的两个实数根分别是，若，则　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）已知关于的方程（其中为常数）． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根是2，则另一个根是                 ． 15．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 16．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． （1）关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． （2）若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 17．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）已知关于的方程． （1）若此方程的一个根为，则方程的另一个根为______； （2）求证：无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； （3）设该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 18．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如果方程的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）为庆祝2025年国庆，某纪念品厂1月份生产阅兵模型100万件．计划通过技术升级，使3月份的产量达到121万件．若月平均增长率相同，设该增长率为．根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏常州·期中）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） A.  B.  C.  D. 或 5．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）根据统计数据显示，我国某民营科技公司近三年的收入逐年增加．2022年至2024年该公司收入由6423亿元增加到8621亿元．设该公司2022年至2024年收入每年平均增长率为，根据题意可列出的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）某商品经过连续两次降价，售价从10元降为8元．设平均每次降价的百分率是，下列方程：①；②；③，其中，符合题意的是（     ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 7．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）某果园2022年水果产量为年水果产量为，设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）将进价为 元/个的某种商品按 元/个出售时，能卖出500个，已知这种商品每个每涨价1元，其销售数量就减少 个，若想使利润达到元，售价应是多少？设售价为 元/个，则可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（       ） A. 5m B. （5+）m C. （5+3）m D. （5+5）m 10．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动． 某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是 x，则所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为，根据题意可列出的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）《中秋帖》是晋朝书法家王献之的作品，如图，在一幅长为，宽为的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为，如果要使整个挂图的面积是，那么x满足的方程是　　　　　　. 13．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，则这种药品的成本的年平均下降率为　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为　　　　　　． 15．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）两年前某型号汽车的生产成本是14万元/辆，随着生产技术的进步，现在该型号汽车的生产成本为12万元/辆．设该型号汽车生产成本的年平均下降率为，则可列方程为　　　　　　． 16．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 17．（25-26学年九上·江苏常州·期中）某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 18．（25-26学年九上·江苏南京·期中）某种药品经过两次降价，药价从每盒100元下调至36元，设平均每次降价的百分率是，则可列方程为　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，用长的篱笆围一个面积为的矩形菜地，菜地一边靠墙（墙长为），求菜地的长和宽． 20．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）某游乐场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该游乐场游客人数的周平均增长率为x，可列方程为　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 22．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）国庆期间，某景区推出新的文艺表演节目，经试运行发现，票价为元时，可售出门票张；票价每提高1元，售出的门票将减少8张．要使得门票收入为元，则票价应定为多少元？ 23．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，学校计划用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，菜地的一边利用墙、设菜地垂直于墙的一边长为，可列方程是　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）某款汽车价格由年8月份万元/辆下降到10月份的万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为　　　　　　． 25．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）某单位要兴建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为21m和12m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为． （1）求小路的宽度； （2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以40.5万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 26．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）2025年江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)爆火，在全省掀起足球热．某校开展校园足球联赛，以班级为单位组队参赛，采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共进行15场比赛，则根据题意可列方程为　　　　　　 27．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 28．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动． （1）_______秒后，的长度等于； （2）几秒后，四边形的面积等于？ （3）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 29．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为_______顶； （2）在（1）的条件下，该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？ 30．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为40元/千克．售价为50元/千克时，每天可销售100千克．每千克每涨价1元，每天少销售2千克． （1）某天商家正好销售70千克的螃蟹，则获利多少元？ （2）若商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，且售价需尽可能优惠顾客，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 31．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）某运动器材经销商销售品牌羽毛球拍，此种羽毛球拍的进价为元/只，经测算，当售价为元/只时，月销售量为只，若在此基础上售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． （1）当售价为元/只时，月销售量为__________只． （2）为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌羽毛球拍的实际售价应定为多少元/只？ 32．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，靠墙围成一块矩形实验田，墙长为，栅栏安装过程不重叠、无损耗．矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求出矩形实验田的长和宽；如果不能，请说明理由． 33．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点E从A点出发，沿射线运动，速度为，点F从点C出发，沿线段运动，速度为，连接．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过　　　　　　　　s后，的面积恰为． 34．（25-26学年九上·江苏南京·期中）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件．已知商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 35．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 36．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 37．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）数学课上，老师布置了一个实践活动——将一个长为，宽为的矩形硬纸板折叠成一个长方体盒子． （1）如图（1），小明在硬纸板的四个角各裁去一个同样的正方形，将其折成一个底面积为的无盖长方体盒子，求这个盒子的体积． （2）如图（2）①，小红在硬纸板的四个角各裁去一个同样的矩形，将其折成一个底面积为的有盖的长方体盒子（如图（2）②）．设裁去的矩形的宽为，根据题意可得方程：             ． 38．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）“燃情苏超”火爆出圈，“欢乐经济”席卷南京．某烧烤店六月份的营业额为1万元，七、八月份的营业额持续上涨，且八月份营业额的增长率是七月份的2倍．若该烧烤店八月份的营业额为3万元，求八月份营业额的增长率． 39．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）在“奉献真情，结对帮扶”的爱心义卖活动中，某班级有30件手工作品待售，每件成本4元．调查发现，每件售价7元，所有作品均可售出；售价每增加1元，未售出的作品就增加2件．活动结束后，该班级将剩余作品寄往帮扶学校，并承担每件2元的邮费．另外，制作义卖海报花费6元． （1）若每件作品售价为10元，则售出_____件作品； （2）若计划在活动中筹集100元善款，则每件作品的售价是多少元？（善款总销售额总支出） 40．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图面积是，求金色纸边的宽 41．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）阅读理解并解答： 我们把多项式及叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题． 例如： ∵是非负数，即 ∴ 则这个代数式的最小值是，这时相应的x的值是2． （1）仿照上述方法求代数式的最大（或最小）值，并写出相应的x的值； （2）实践应用：如图，工人师傅要在等腰直角的内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，．如果设矩形的一边， ①请问矩形的面积能否达到？为什么，请说明理由； ②求出当x取何值时，矩形的面积最大，最大值是多少？ 42．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米．    （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 43．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）． （1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数； （2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元． ①求该商品的售价； ②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额． 44．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求这个直角三角形的三条边的长． 45．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 46．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）某种进价为40元的服装，售价为84元时，平均每天可以销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件．若每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ （1）以下是小明和小亮的两种不同设法，请帮忙填完整： 小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程：______． 小亮：设每件服装定价为元，由题意，可列方程：______． （2）请写出一种完整的解答过程． 47．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为． ①该收纳盒的高是多少？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A 10．D 11．B 12．C 13．C 14．B 15．A 16．B 17．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】 解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 18．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的根，熟知基本知识是解决问题的关键． 由一元二次方程的定义和一元二次方程解的定义得到 ，求解即可． 【详解】 解：由题意得：将代入得：， 解得： 又， ∴， 故答案为：1． 19．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟知常数项为方程标准式 中的c．根据一元二次方程常数项的定义，需将方程化为一般形式后确定常数项． 【详解】 解：将方程化为一般形式得，故常数项为． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且)，首先把方程左边的两式相乘，移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可． 【详解】 解：一元二次方程 ∴ ∴一般形式是． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解题关键是明确方程解的意义，代入未知数的值求解． 把代入原方程，解方程即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有一个根为2， ∴， 解得，， 故答案为：． 22．【答案】2022 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握 “方程的根满足方程等式，可代入求解参数关系” 是解题的关键．将根代入方程，得到a与b的关系式，进而代入所求表达式计算． 【详解】 解：将代入得：， ∴， ∴ 故答案为：2022． 23．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知条件代入所求表达式进行化简． 【详解】 解：因为m是方程 的一个根， 所以代入得 ，即 ． 则 ． 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零． 【详解】 解：因为方程是关于的一元二次方程， 所以二次项系数， 故答案为：． 25．【答案】6 【分析】 本题主要考查一元二次方程的根；将已知根代入方程计算求解即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， 所以代入 得：， 计算得：， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故答案为：6． 26．【答案】5 【分析】 把x=a代入方程x2-5x+m=0，得a2-5a+m=0① ，把x=-a代入方程方程x2+5x-m=0，得a2-5a-m=0② ，再将①+② ，即可求出a的值． 【详解】 解：∵a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根， ∴a2-5a+m=0① ，a2-5a-m=0② ， ①+② ，得2（a2-5a）=0， ∵a＞0， ∴a=5． 故答案为：5． 【点睛】 本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 【详解】 27．【答案】 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零． 【详解】 解：方程 是一元二次方程的条件是二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 28．【答案】1或 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解；将已知根代入第一个方程，求出参数关系，再代入第二个方程求解即可． 【详解】 解：关于x的一元二次方程的一个根为2， 则代入得，即， 所以． 将代入方程，得， 即． 由于（一元二次方程），故，即． 解得或， 所以或． 故答案为：1或． 29．【答案】2026 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵ m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2026． 30．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将的值准确代入方程进行计算． 根据一元二次方程的解即可求出的值． 【详解】 解：因为是一元二次方程的一个解， 所以， 解得：． 故答案为：2． 31．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解使方程两边相等是解题关键．根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到．然后将所求表达式变形为，代入计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 32．【答案】2027 【分析】 本题考查了一元二次方程根的概念，根据根的情况求代数式的值．由 m 是方程的根，可得 ，再整体代入求值． 【详解】 因为 m 是方程 的一个根， 所以 ， 即 ． 那么 ， 所以 ， 故答案为：2027． 考点02 配方法 1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．A 10．A 11．A 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握开平方法． 通过直接开平方法求解一元二次方程． 【详解】 解：方程， 两边直接开平方，得， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 把方程两边开方得到即可求解． 【详解】 解：， 开方得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了平方根：形如或的方程可采用开平方的方法求解． 14．【答案】， 【分析】 此题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】 解： 解得，． 故答案为：，． 15．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】 解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 16．【答案】， 【分析】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，将一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解． 【详解】 解：， ， ， 或， 解得：，． 17．【答案】3 【分析】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，无理数的估算．通过直接求解一元二次方程得到根的表达形式，再根据两个根均为正实数的条件确定整数的取值范围，进而得到最小值，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 则， ∴，， ∵要求两个根均为正实数， 故需满足和， 由得，而在时恒成立， ∵， ∴， 因此整数需满足， ∴整数的最小值为3， 故答案为：3． 18．【答案】（1）②；（2）9；（3） 【分析】 本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】 解：（1）由于②，所以②是完美数， ； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 19．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程； （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴； (2) 小问详解： 解：， ∴， ， ∴ 20．【答案】6 【分析】 本题考查了多项式的最值问题，掌握配方法是解题的关键． 通过配方法将二次多项式进行化简，利用平方非负性求最小值即可． 【详解】 解：原多项式为 ，进行配方：取一次项系数的一半的平方，即 ，添加并减去 9， 得 ， 由于 ， 因此当 时，，多项式取最小值 6． 故答案为 ：6． 21．【答案】（1），；     （2），；     （3），；     （4），．      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的基本解法是解题关键． （1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）先对方程进行展开整理，再利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得：，； (2) 小问详解： 解： ， 则或， 解得：，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得：，； (4) 小问详解： 解：， 整理得， 其中，，， ， ， 解得：，． 考点03 公式法 1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．D 7．B 8．B 9．【答案】 【分析】 本题考查对于一元二次方程，其判别式；当时，方程有两个不相等的实数根，通过判别式大于来确定的取值范围． 【详解】 解：∵关于的方程中，，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即： ∴实数的取值范围为． 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2） 解：， 无论为何值，方程总有两个实数根．      【分析】 本题考查了一元二次方程的解、根的判别式： （1）将代入一元二次方程求解即可； （2）用根的判别式求出再判断即可． (1) 小问详解： 解：将代入一元二次方程． 得， 解得：． (2) 小问详解： 略 11．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 12．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 13．【答案】同意，理由如下： 假设， 则， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴无论取什么实数，都不等于， ∴同意小明的说法． 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是将题意转化为利用根的判别式判断一元二次方程无解问题． 假设，则，利用根的判别式判断一元二次方程无解，从而得出结论无论取什么实数，都不等于． 【详解】 略 14．【答案】 【分析】 本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】 解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 15．【答案】±2 【详解】 由题意知：⊿=k2-4=0 ∴k=±2 故答案为±2． 16．【答案】（1） 证明：对于二次方程， 判别式 ， 整理： 由于对于所有实数 m 成立， 即对于所有实数 m 成立， 因此方程总有实数根．     （2）1或3      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式； （1）求出一元二次方程的判别式，得到判别式，即可证出结论； （2）设方程的两个根为和 ，且 ，结合韦达定理得到，解出 或 ．代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的两个根为和 ，且 ． 由韦达定理： 根之和：， 根之积：． ∵： ∴， ． 由  解得： 代入根之积方程： 整理得： 解得： 或 ． 当  时，，则 ． 当  时，，则 ． 17．【答案】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【分析】 （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】 （1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】 本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 18．【答案】（1）或；（2）3 【分析】 本题主要考查解一元二次方程和比例的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）方程移项后运用公式法求解即可； （2）设，得，代入计算即可． 【详解】 解：（1）， ， 这里， ， ∴， ∴或； （2）设，则， ∴． 19．【答案】（1）     （2） 证明：将代入方程得， 整理得：， 对于关于k的方程， 其判别式为： ， 无解， 无论k取何值，都不可能是原方程的根．      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； (2) 小问详解： 证明：略． 20．【答案】（1） 证明：∵， ∴无论k取何值，此方程总有实数根；     （2）10或11      【分析】 本题考查了根的判别式，等腰三角形的性质和三角形的三边关系． （1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两等根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 当时，即方程有两等根， ∴， 解得， 方程化为，解得， ∵， ∴能够成三角形，此时周长为； ② 当或时，即方程有一个根， ∴， 解得：， 方程化为，解得， 即三边为4，3，3，能够成三角形， 则周长， 所以这个等腰三角形的周长是10或11． 21．【答案】（1） 证明： ， ， ， 即， 不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）另一个根为，k的值为      【分析】 根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即，由此可证出：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； 将代入原方程，可得出，解之可得出k的值，得到方程，再用因式分解法求解另一个根，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程以及一元二次方程的解，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；将代入原方程，求出k的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入原方程得：， 解得：， 原方程为， 解得 方程的另一个根为，k的值为 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． (1) 小问详解： 解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 23．【答案】， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，先计算，再利用公式法解方程即可； 【详解】 解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， ． 24．【答案】 【分析】 此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定，一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定，解一元二次方程是解决问题的关键． 设正方形的边长为，则，面积为，其中，根据正方形的边长为 1 得，证明四边形是矩形得面积为，由此得，解此方程求出即可得出答案． 【详解】 解：设正方形的边长为， ∴，正方形的面积为，其中， ∵正方形的边长为 1 ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为：， ∵正方形和四边形的面积相等， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ， 故答案为：． 25．【答案】（1）     （2） 证明：设原方程为 ，， 其判别式． ∵原方程没有实数根， ∴， 逆方程为，其判别式， ∵， ∴ ∴逆方程也没有实数根．      【分析】 本题主要考查了“逆方程”的定义，以及一元二次方程根的判别式等知识． （1）根据“逆方程”的定义求解即可． （2）根据根的判别式证明即可． (1) 小问详解： 解∶ 原方程的二次项系数为2，常数项为1， 对调后得逆方程为． (2) 小问详解： 略 26．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【分析】 （1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可. 【详解】 （1）解：由题意：． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）答案不唯一，满足（）即可，例如： 解：令，，则原方程为， 解得：． 【点睛】 考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 27．【答案】 【分析】 利用平方的非负性即可求解． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的条件，列出关于的一元一次不等式是解题的关键． 考点04 因式分解法 1．C 2．D 3．C 4．【答案】（1）     （2）m的值为或      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式进行解答即可； （2）先根据题意得出，解方程，得出或，然后分别代入求出m的值即可． (1) 小问详解： 解：∵有两个不相等的实数根 ∴， 解得：． (2) 小问详解： 解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴， 解得：或， 当时，得：； 当时，得：； 综上分析可知m的值为或． 5．【答案】，， 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握因式分解法是解题关键．将方程移项后因式分解即可求解． 【详解】 解：原方程：， 移项得：， 提取公因式：， 由零乘积性质，得或， 解得，， 故答案为：，． 6．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．分类讨论：当时，去绝对值得到，再求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【详解】 解：当时，原方程化为，即， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是． 7．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据因式分解法可求解方程． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ，． 8．【答案】（1） 证明：∵是关于的一元二次方程， ∴， ， 方程必有的实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知：当时，方程有两个相等的非零实数根， ， 方程即， 解得． 9．【答案】 【分析】 本题考查了一解一元二次方程—因式分解法，利用因式分解法将原方程分解成两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】 解：， ， ， ∴或， ∴． 故答案为：． 10．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 解： 或， ∴，， 故答案为：，． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， (2) 小问详解： ， ， 或， 解得． 12．【答案】 【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握提取公因式进行因式分解是解题的关键． 通过移项将方程化为一元二次方程的一般形式，然后运用因式分解法求解． 【详解】 解：， 移项得， 因式分解得 ， 解得． 故答案为：． 13．【答案】（1） 解：∵， ∴ ， 即不论为何值，方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先根据因式分解整理方程，得，即，结合方程有一个根大于3，且，得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程有一个根大于3，且， ∴， ∴． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答； （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 15．【答案】小敏的做法不正确；小霞的做法不正确； 正确的解答方法： 移项得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程，即可解答． 【详解】 略 16．【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ，； (2) 小问详解： 解： ． 18．【答案】（1）或     （2）或       【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）通过移项和因式分解求解方程即可； （2）使用求根公式解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得：或； (2) 小问详解： 解：， 这里， ， ∴， ∴或 ． 19．【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等是解题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可； （3）方程运用配方法求解即可； （4）方程运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，． (2) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 解得，． (4) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，． 20．【答案】（1） 解：∵ ∴不论取何值时，方程总有实数根；     （2）      【分析】 （1）计算一元二次方程根的判别式，得出，即可求解； （2）首先求出方程的解为或，然后根据求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵ ∴ 解得或 ∵ ∴或 解得或（舍去） ∴． 【点睛】 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 21．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 或 解得，； (2) 小问详解： 或 解得，． 22．【答案】（1），      （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据配方法求解即可； （2）移项后根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ， ， ∴，    ∴， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ∴或， ∴，． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，灵活利用因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）利用因式分解法，将方程变形得到．根据若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0，可得或，进而求解． （2）利用因式分解法，将方程分解为，再根据乘积为0的数的性质，得到或，从而求解即可． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ ∴或 ∴，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， ，． 24．【答案】（1）是     （2）或      【分析】 本题考查了新定义问题，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解新定义． （1）利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义进行判断； （2）首先求出方程的解，然后根据“倍差方程”的定义分两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 所以，， ∵ ∴方程是“倍差方程”； (2) 小问详解： 解： ∴或 解得，， ∵关于的一元二次方程是“倍差方程”， ∴当时，； 当时， ∴ 综上所述，或． 25．【答案】（1），     （2），．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零． （1）根据配方法求解即可； （2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答． (1) 小问详解： 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； (2) 小问详解： 解：整理得， 因式分解得，即可， 则或， 解得，． 26．【答案】（1） 证明：∵方程可化为， ∴，． ∵， ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法解方程以及根据根的条件求参数范围． （1）通过因式分解方程得到两根，证明它们总不相等即可； （2）利用两根均为负数的条件建立不等式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得方程的两个根为，． ∵方程有两个负数根， ∴ ， 解得， ∴的取值范围是． 27．【答案】，． 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，利用换元法求解是解题关键．通过设，将原方程化为关于y的一元二次方程，再利用已知条件求出系数关系，进而求解方程． 【详解】 解：设，则原方程化为， 由，得， 代入得， 代入方程得， 因，两边除以得， 因式分解得，解得或， 由，得或， 解得：，， 故答案为：，． 28．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 所以，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 所以， 29．【答案】12 【分析】 先求出一元二次方程的两个根，然后结合三角形的三边关系解答即可． 【详解】 解：方程可变形为，解得， 当第三边的长为5时，该三角形的周长为3+4+5=12； 当第三边的长为7时，由于3+4=7，此时3、4、7不能构成三角形，应舍去． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法和三角形的三边关系，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题关键． 30．【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程． （1）利用因式分解法求解即可； （2）移项后利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：； 分解因式得，， 所以或， 解得，，； (2) 小问详解： 解：， 移项，得， 分解因式得，，即， 或， 解得，，． 31．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法进行解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， 解得，； (3) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，． 32．【答案】（1）或；     （2）当时，方程的解为，；当时，方程的解：，；     （3）或．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分式的化解求值，理解常数根一元二次方程的定义是解题关键． （1）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，得到关于的一元二次方程，再将代入关于x的方程分别求解即可； （3）将所求代数式约分化简得到，由方程有两个相等的实数根，得到，由常数根一元二次方程的定义，得到，再分两种情况讨论：当和时，分别求出的值，再代入代数式计算求值即可 (1) 小问详解： 解：关于的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ，即， 解得：，， 即c的值为或； (2) 小问详解： 解：关于x的方程是常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 整理得：， 解得：，， 当时，方程为，解得：，； 当时，方程为，解得：，； (3) 小问详解： 解： ， 方程有两个相等的实数根， ， 关于x的常数根一元二次方程， 是该方程的一个根， ， 当时，则，解得，此时原式； 当时，则，即， ， 解得：， ， 此时原式； 综上可知，代数式的值为或． 33．【答案】7或8 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，掌握相关知识点是解题关键．先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分情况讨论腰长，结合三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】 解：解方程， 因式分解得， 解得：或， 当腰长为2时，三边分别为2、2、3，满足，可构成三角形，周长为；当腰长为3时，三边分别为3、3、2，满足，可构成三角形，周长为, 故答案为：7或8． 34．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ， ， ，； (2) 小问详解： 解： ， ， ， ， ，． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用直接开方法解方程即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得； (2) 小问详解： ， ， ， ， 解得． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．B 2．B 3．D 4．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接应用一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】 ∵，是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：． 5．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，，据此可得，，代入即可得到答案． 【详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：2． 6．【答案】3 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】 解：对于方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，两根之和． 故答案为：3． 7．【答案】方程的另一个根是，的值是 【分析】 本题考查一元二次方程的解．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】 解：设方程的另一个根为n， 则 ， ∴ ， ∴方程的另一个根是2，的值是4． 8．【答案】①     ② 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可． 【详解】 解：方程中，，，， 由根与系数的关系，得，． 故答案为：，． 9．【答案】（1） 证明： 因此，该方程总有两个不相等的实数根；     （2） 证明：根据根与系数的关系得， 解得 则 即．      【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式，结合，进行证明即可； （2）根据根与系数的关系得，，再结合，进行证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入式子求值． 【详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程根与系数关系的应用．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积的值，再代入所求表达式进行变形后的式子中计算． 【详解】 解：对于一元二次方程，其中，， 根据根与系数的关系，有： ， ． 则 ． 故答案为：． 12．【答案】2018 【分析】 先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：2018． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键． 13．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再代入已知条件求解． 【详解】 解：对于方程 ，由根与系数的关系，得 代入已知条件 ，得 解得 此时判别式 ，方程有两个实数根，符合题意， 故答案为：． 14．【答案】（1） 证明：方程整理得， ， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．     （2）3或1      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）把代入方程求得m，设方程的另外一个根为t,利用根与系数的关系列出关于t的方程，解之即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：该方程的一个根是2， ， 解得或， 方程为或， 设方程的另外一个根为t, 则或， 或， 故方程的另一个根为3或1． 故答案为：3或1． 15．【答案】（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， 即方程有两个不相等的实数根； （2）m=-4或m=-2 【分析】 (1) 、根据根的判别式判断即可； (2) 、将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【详解】 (1) 略 (2) 、∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0， 整理得：m2+6m+8=0， 解得：m=﹣4或m=﹣2 16．【答案】（1）①0；②．     （2）．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）① 根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ② 因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：① 当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． (2) 小问详解： 解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为， 17．【答案】（1）；     （2） 证明：方程中， ，，， ， ， 无论取何值，， 无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根；     （3）．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系得到关于的方程． 根据方程的一个根为，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程得到的值，从而可得原方程为，解方程求出另一个根； 根据一元二次方程根的判别式可得：，根据平方的非负性可知，可证方程恒有两个不相等的实数根； 根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，根据，可得关于的方程，解方程求出的值． (1) 小问详解： 解：是方程的一个根， ， 解得：， 方程为， 解得：，， 方程的另一个根是， 故答案为：； (2) 小问详解： 略； (3) 小问详解： 解：，分别是方程的两个实数根， ，， ， ， 解得：． 18．【答案】 【分析】 首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为m和n，再根据根的判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m−n<1＜m+n即可求得k的取值范围． 【详解】 解：由题意得：， ∴ 设的两根分别是、；则，； ∴； 根据三角形三边关系定理，得：，即； ，解得． 故答案为． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．A 7．C 8．D 9．D 10．C 11．C 12．【答案】 【分析】 设金色纸边的宽度为，则挂图的长为，宽就为，根据整个挂图的面积是列出方程即可，读懂题意，数形结合是正确列方程的关键． 【详解】 解：设金色纸边的宽为，则挂图的长为，宽就为， 根据题意得：， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 设年平均下降率为，由题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】 解：设年平均下降率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 14．【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】 解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均下降率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】 解：由题意，可列方程为：； 故答案为： 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可． 【详解】 解：设小路的宽度为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：小路的宽度为． 17．【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 【分析】 本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式5，进行计算，即可作答． 【详解】 设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 18．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据药品原价和两次降价后的价格，利用平均每次降价的百分率x，根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药价为元，第二次降价后药价为元， 根据题意，得 ， 故答案为：． 19．【答案】长为、宽为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设菜地靠墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据菜地的面积是的矩形，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：设菜地靠墙一边的长为，则平行墙一边的长为， 根据题意得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：菜地的长为、宽为． 20．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据平均增长率模型，从第一周到第三周经过两周增长，利用增长公式列出方程即可． 【详解】 解：设周平均增长率为，则第二周人数为，第三周人数为， 根据题意，第三周接待游客8470人， 故列方程为， 故答案为：． 21．【答案】这种台灯售价定为元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【详解】 解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 22．【答案】或 【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设票价应定为元，根据门票收入为元列出一元二次方程求解． 【详解】 解：设票价应定为元， 则提高的金额为元，销量减少张， 所以销量为张， 可列方程， 解得：，， 答：票价应定为元或元． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由篱笆的总长及垂直于墙的篱笆长度，可得出平行于墙的篱笆长为，根据长方形菜地的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】 解：∵要用长的篱笆围成一个面积为的长方形菜地，垂直于墙的边长为， ∴平行于墙的边长为， 根据题意，可得． 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均降价的百分率为x，则9月份的价格为万元/辆，10月份的价格为万元/辆，据此列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故答案为：． 25．【答案】（1）2m     （2）10%      【分析】 （1）设小路的宽度为xm，则长方形的长等于活动区的长加上两侧小路的宽度即为（21+2x）m，长方形的宽等于活动区的宽加上两侧小路的宽度即为（12+2x）m，再根据总面积为的等量关系即可列出方程求解． （2）设每次降价的百分率为y，先用含y的代数式将降价一次后的承包价格表示出来，然后再利用降价一次的承包价格将降价两次承包价格表示出来，根据两次降价后的承包价格为40.5万元即可列出方程求解． (1) 小问详解： 设小路的宽度是xm， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）． 答：小路的宽度是2m； (2) 小问详解： 设每次降价的百分率为y， 依题意得：， 解得：，（舍去）， 答：每次降价的百分率为10%． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键． 26．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据每两队之间只进行一场比赛，共进行15场比赛，列出方程即可． 【详解】 解：由题意，可列方程为； 故答案为：． 27．【答案】（1）     （2）降价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． (1) 小问详解： 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； (2) 小问详解： 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 28．【答案】（1）3     （2）1秒后，四边形的面积等于     （3） 解：不存在；理由如下： 设t秒后，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q，由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解， 不存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用及勾股定理，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解； （2）由题意易得，然后根据（1）可建立方程进行求解； （3）由题意易得，然后根据勾股定理可建立方程，进而根据一元二次方程根的判别式可进行求解． (1) 小问详解： 解：设t秒后，的长度等于，由题意得：，则有，， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， 故答案为3； (2) 小问详解： 解：设t秒后，四边形的面积等于，由题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后，四边形的面积等于． (3) 小问详解： 略 29．【答案】（1）     （2）每顶头盔应降价5元      【分析】 本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，分析题意，找出数量关系是解题的关键． （1）根据“平均每周可售出100顶，每降价1元，平均每周可多售出20顶”即可列出代数式； （2）根据“该商店若希望每周获利3000元”列出方程，求解后根据“每顶售价要高于50元”进行取舍，即可解答． (1) 小问详解： 解：设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为顶． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设每顶头盔应降价x元，根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每顶售价要高于50元，即， ∴， ∴不合题意，舍去， 答：每顶头盔应降价5元． 30．【答案】（1）1750     （2）螃蟹的售价为元/千克      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用； （1）设螃蟹的售价为元/千克，根据每千克每涨价1元，每天少销售2千克，某天市场正好销售70千克的螃蟹，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设螃蟹的售价为元/千克，根据市场想一天销售螃蟹获总利润为1600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得：， 解得：， ∴（元）， 答：某天市场正好销售70千克的螃蟹，则获利1750元； (2) 小问详解： 解：设螃蟹的售价为元/千克， 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠， ∴， 答：螃蟹的售价为元/千克． 31．【答案】（1）     （2）该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只      【分析】 本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得当售价为元/只时，月销售量为只； （2）设该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只，，据此即可求解； (1) 小问详解： 解：∵售价每上涨1元/只，则月销售量将减少5只． ∴当售价为元/只时，月销售量为只， 故答案为： (2) 小问详解： 解：设该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只， ， 解得：， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 故：该品牌羽毛球拍的实际售价应定为元/只 32．【答案】试验田的面积能达到，此时矩形实验田的长为，宽为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． 先表示出，再根据面积相等列出方程，求出解即可； 【详解】 解：设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 整理得， 解得：． ， ， ， 所以试验田的面积能达到，此时矩形实验田的长为，宽为． 33．【答案】4或6 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，三角形面积公式，是解题关键． 设经过t秒后的面积恰为，过点F作于点D，求出，结合，根据三角形的面积公式列出方程求解． 【详解】 解：设经过时间为，过点F作于点D， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 即经过或后，的面积恰为． 故答案为：4或6． 34．【答案】70元或80元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是利用已知条件建立等式关系，列出方程求解． 设这种服装每件售价是元，利用等量关系建立一元二次方程即可求解． 【详解】 解：设这种服装每件售价是元． 由题意，得， ， 解得，， 答：这种服装每件售价是元或80元． 35．【答案】（1）     （2）50      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 36．【答案】这两条直角边为，． 【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可． 【详解】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得： x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8． 当x1=6时，14﹣x=8； 当x2=8时，14﹣x=6； 答：两条直角边的长分别为，． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形，根据题意列出方程求解即可； （2）根据矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为，即可列出方程． (1) 小问详解： 解：设小明在硬纸板的四个角各裁去一个边长为的正方形，则折成的无盖长方体盒子的底面为长，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴盒子的体积； (2) 小问详解： 解：∵矩形纸片的长为，宽为，且折成的有盖长方体盒子的高为， ∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为，宽为的矩形． 根据题意得：． 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为，利用该烧烤店八月份的营业额该烧烤店六月份的营业额（七月份营业额的增长率）（八月份营业额的增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论． 【详解】 解：设七月份营业额的增长率为x，则八月份营业额的增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：八月份营业额的增长率为． 39．【答案】（1）24     （2）9元或11元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用售出的作品数（每件作品的售价），即可求出结论； （2）设每件作品的售价是x元，则售出件，利用善款总销售额总支出，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得：（件）， ∴若每件作品售价为10元，则售出24件作品． 故答案为：24； (2) 小问详解： 解：设每件作品的售价是x元，则售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每件作品的售价是9元或11元． 40．【答案】5 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系并列出方程．先通过设未知数，根据矩形的面积公式列出方程后进而求解即可． 【详解】 解：设金色纸边的宽为x厘米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即金色纸边的宽为5cm． 41．【答案】（1）最大值为59，相应的x的值为     （2） ① 不能， 理由：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当矩形的面积达到时，， 整理得：， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形的面积不能达到． ② 当时，矩形面积最大值为      【分析】 （1）将代数式化为，即可求解； （2）① 证明为等腰直角三角形，则，得，由即可判定；②，再根据（1）的方法，即可求解． (1) 小问详解： 解：， ∵是非负数， ∴， ∴， 则代数式的最大值为59，这时相应的x的值为； (2) 小问详解： 解：① 略 ② ， ∵是非负数， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大值为． 【点睛】 本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法确定最值，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，是解题的关键． 42．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （）设这个增长率为，根据养鸡场今年养鸡只，预估后年养鸡只，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； (2) 小问详解： 设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：（米），不合题意； 当时，的长为：（米）米； ∴米， 答：重建后的养鸡场的宽为米． 43．【答案】（1）（180﹣3x）件；（2）① 该商品的售价为30元/件；② 李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元． 【分析】 （1）售价设为x元，那么降低的价格就是元，那么增加的销量是件，再加上原来的60件就得到表达式； （2）① 根据利润=销量（售价-成本）列方程求出售价； ② 根据① 中算出的售价求出销量，从而算出捐款的数额． 【详解】 解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件， ∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40﹣x)＝(180﹣3x)件； （2）① 依题意，得：(x﹣20)(180﹣3x)＝900， 整理，得：x2﹣80x+1500＝0， 解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）， 答：该商品的售价为30元/件； ②0.5×(180﹣3×30)＝45（元）， 答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系，根据利润=销量（售价-成本）列方程求解． 44．【答案】直角边为和，斜边为 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，设一条直角边为，根据两条直角边的和是，面积是，列出方程进行求解，再利用勾股定理求出斜边的长即可． 【详解】 解：设一条直角边为，则另一条直角边为． 根据题意，得：， 解得：，． 故两条直角边的长分别为和， 故斜边为：． 答：直角边为和，斜边为． 45．【答案】6 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 46．【答案】（1）小明：；小亮：     （2） 每件应降价4元， 完整的解答过程：小明：解方程， ， 得，． 因为每件降价幅度不超过10元， 所以舍去， 即每件应降价4元． 小亮：， ， ， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：每件应降价4元．      【分析】 本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列一元二次方程即可； （2）对一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：小明：设每件服装降价元，由题意，可列方程： 小亮：设每件服装定价为元，由题意， 可列方程：， 整理：， 故答案为：小明：；小亮：； (2) 小问详解： 略 47．【答案】（1）剪去的小正方形的边长为；     （2）① 收纳盒的高为厘米；② 不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．      【分析】 本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得， ② 根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． (1) 小问详解： 解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 (2) 小问详解： ① 根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为厘米， ② ∵， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $