专题07 相似（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦“相似”专题的期中试题汇编，覆盖图形的相似、三角形相似判定与性质等6大高频考点，精选江苏多地期中真题，题型含选择、填空、解答（含作图与综合应用），注重基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约10题|图形的相似（黄金分割）、平行线分线段成比例（网格应用）|结合正方形、菱形等图形判定相似，考查概念辨析| |填空|约10题|相似三角形性质（周长比）、位似（坐标变换）|设置比例线段计算、比例尺应用，强化基础运算| |解答|约15题|相似判定（动点问题）、应用（测量高度）|综合矩形动点（苏州吴中区）、网格作图（吉安），应用题联系纪念塔测量（无锡经开区），体现数学与现实的结合|

专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）已知，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）下列两个图形一定相似的是（       ） A. 两个正方形 B. 两个等腰三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个菱形 3．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）若点是线段的黄金分割点，且，，则　　　　　（保留根号） 4．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）已知线段，，满足，且． （1）求线段，，的长； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在中，，若，则等于（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，，，若，则　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）在比例尺为的江苏地图上，无锡到上海的长度约为，它的实际长度约为　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为　　　　　　． 6．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，在中，为中点，，若的面积为10，若的面积为　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，直线、交于点，，若，，，则的值为　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，四边形是正方形，为边上一动点，为边上一点，满足，，分别交于，，要想求的长度，只要知道（     ） A. 的值 B. 的长度 C. 的值 D. 的周长 2．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点E，连接，使； （2）在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知，若，，则与的周长比是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，在中，点，分别在，边上，且．若，，则下列说法错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为　　． 6．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） （1）请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； （2）当等于何值时，与相似？ 7．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）两个相似三角形的一组对应边长分别为15和27，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是　　　　　　． 8．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）（多选）如图，在中，于，于，试说明： （1） （2） 9．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，中，，点是线段上一点，连接，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 10．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 11．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 12．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，在中，，矩形的顶点，分别在边，上，在边上，，． （1）若，求的长度； （2）连接，若，求的长度． 13．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）（1）如图1，在中，，平分，交于点，，交于点． ①试说明：； ②若，，求的长： ③试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是的2个外角，，平分，交的延长线于点，，交的延长线于点．记的面积为，的面积为，的面积为，若，直接写出的值为________． 14．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，连接，，．设点运动的时间为． （1）若，． ①当时，则___________ ②当时，求的值； （2）当时，在，两点运动过程中，若是以为一腰的等腰三角形，且，求的值． 15．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． （1）如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； （2）如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 16．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则　　　　　　　　　　；若，，则　　　　　　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 2．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； （2）求纪念塔塔高． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）在直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为2的位似图形，则点A的对应点的坐标是（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 2．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标分别为，先以原点为位似中心在第三象限画一个使它与位似，且相似比． （1）画出，点的坐标为____________． （2）求的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．D 2．A 3．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 4．【答案】（1），，     （2）      【分析】 （）设，，，进而得到，解方程求出即可求解； （）由比例的性质得到，再根据算术平方根的定义即可求解； 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； (2) 小问详解： 解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴． 考点02 平行线分线段成比例 1．C 2．B 3．【答案】15 【分析】 根据平行线分线段成比例定理可得，求得，则可得．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：15． 4．【答案】135 【分析】 本题考查了比例线段的应用，根据比例尺的定义，地图上的长度与实际长度成比例，通过比例关系计算出实际长度（单位：厘米），再转换为公里． 【详解】 解：比例尺为，表示地图上1厘米代表实际距离1500000厘米． 设实际长度为x厘米， 则， 解得：厘米， 由于 厘米， 因此实际长度， 故答案为：135． 5．【答案】32 【分析】 本题主要考查比例尺的定义；根据比例尺的定义，图上距离与实际距离的比等于比例尺．设实际距离为x，列出比例方程求解，再将单位换算为即可． 【详解】 解：设实际距离为x，则， 解得． 3200000． 故答案为：32． 6．【答案】2.5 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解． 【详解】 解：∵在中，为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 7．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解题的关键．由平行线分线段成比例可得，，，得出，，根据即可求解． 【详解】 解：，，，， ，， ，， ， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．B 2．【答案】（1） 点即为所求：      （2） 点，点即为所求： 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定： （1）作于E，一个公共角以及另一组对应角为，即可作答； （2）作出，的中点，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点04 相似三角形的性质 1．A 2．B 3．B 4．D 5．【答案】4 【分析】 利用平行四边形的性质得出，，再结合已知可得，，然后再证明，根据相似三角形的性质得出，进行计算即可解答． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 6．【答案】（1）AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（）     （2）或      【分析】 （1）根据题意求解即可； （2）分两种情况：当时，当6≤t≤16时，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） (2) 小问详解： 解：当时 ① 若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ② 由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】45 【分析】 相似三角形的相似比等于其对应边，对应周长的比，又有周长的差，可设较小的三角形的周 长为，进而代入求解即可． 【详解】 解：相似三角形的一组对应边长分别为15和27， 其相似比为， 相似三角形的相似比等于对应周长的比， 可设较小的三角形的周长为，则另一三角形的周长为， ， 解得， 所以较小三角形的周长为． 故答案为：45． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质问题，应熟练掌握． 8．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠AEB=∠ADC=90°， 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE∽△ACD； （2）证明：∵△ABE∽△ACD， ∴． 在△ADE和△ACB中， ∴△ADE∽△ACB ∴ ∴AD·BC=DE·AC． 【分析】 （1）直接根据相似三角形的判定证明即可； （2）首先根据相似三角形的性质得出，进而证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 9．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由等边对等角得，由三角形外角的性质可得，又由可得，进而可得． （2）根据相似三角形对应边成比例列比例式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 10．【答案】（1） 如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可），      （2） 如图， 【分析】 本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． (1) 小问详解： ，， ， ，， ； (2) 小问详解： ， ， ， ， 点即为所求作的点． 11．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【分析】 根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】 证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【详解】【点晴】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）由题意易得，再根据矩形的性质可得，，，进而得到，证明，推出，设，则，再证明，推出，求出，进而求出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）同理（1）可得，设，则，证明，推出，求出，进而求出，再证明，推出，求出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵矩形中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； (2) 小问详解： 解：同理（1）可得， 设，则， ∵矩形中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴． 13．【答案】（1）① 证明：∵平分， ∴； ∴， ∵， ∴； 又∵（公共角）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）； ②； ③是定值，定值为1； （2）． 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线性质及三角函数，运用转化与方程思想，关键是通过角的关系推导相似，利用相似比和面积比建立关系，易错点为相似三角形对应边或角识别错误及三角函数定义应用错误； （1）①通过角平分线和角的关系推导相似；② ③利用相似和线段关系探究定值； （2）通过相似三角形面积比、角平分线及三角函数定义求解． 【详解】 （1）① 略 ② ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ③是定值， ∵， ∴， 由② 可得， ∴， ∴， ∴是定值，定值为1． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设，． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 14．【答案】（1）①；② 当时，的值为或     （2）的值为或      【分析】 （1）① 由矩形的性质可得，，，作于，则，从而得出四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得当，，时，，，求出，再由勾股定理即可得解；② 当，时，，，再分两种情况：当点未到达点时；当点到达点时，分别结合勾股定理计算即可得解； （2）由矩形的性质可得，，，作于，则，则四边形为矩形，得出，，证明，得出，由题意可得当时，，，从而得出，进而求出，由等腰三角形的性质分两种情况：当时；当时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵在矩形中，，， ∴，，， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动， ∴当，，时，，， ∴， ∴； ② ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，设点运动的时间为， ∴当，时，，， ∴当点未到达点时，，此时， ∴， 解得：； 当点到达点时，，此时秒； 综上所述，当时，的值为或； (2) 小问详解： 解：∵在矩形中，，， ∴，，， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，设点运动的时间为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵是以为一腰的等腰三角形， ∴当时，由，， 故， 由① ② 解得，， 当时，，， 故， 由① ③ 解得：，或，（负值不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．【答案】（1） 点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”；     （2）或      【分析】 （1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 16．【答案】①     ② 【分析】 ① 取平行四边形边长的中点，连接对角线，通过两条平行线之间距离处处相等对三角形作等面积转换，将拆成三个小三角形，每一个小三角形都占总面积的，即可求出面积比；② 根据，结合平行四边形的性质与外角和定理，得出，通过导比例，求得，再根据与，通过勾股定理即可计算出． 【详解】 解：如图，取中点N，中点M，连接、、、、， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形对角互补， 如图，作四边形外接圆， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 如图，在上取点M使得，过点D作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， 解得． 故答案为：①；②． 【点睛】 本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点共圆与圆周角定理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相似三角形是解题的关键． 考点05 相似三角形的应用 1．【答案】水塔的高度为 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，先过作，交于点交于点，可以构造矩形，利用平行线分线段成比例定理的推论易得，再利用比例线段，可求，进而可求即可． 【详解】 解：如图，过作，交于点交于点， 结合题意知，，，，，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 所以水塔的高度为． 2．【答案】（1）     （2）18米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． (2) 小问详解： 解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 考点06 位似 1．D 2．【答案】（1） 画出，如图所示，      （2）6      【分析】 （1）将的坐标分别乘以，得出，画出即可； （2）根据网格的特点用长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解． (1) 小问详解： 依题意，， 故答案为： (2) 小问详解： 【点睛】 本题考查了位似变换作图，解题的关键是把位似变换后对应点的坐标正确表示出来． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）已知，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据比例的性质解答即可． 【详解】 解：由，可得：2y＝5（x﹣2y）， 解得：5x＝12y， 所以的值为， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）下列两个图形一定相似的是（       ） A. 两个正方形 B. 两个等腰三角形 C. 两个直角三角形 D. 两个菱形 【答案】A 【详解】 A、两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故两个正方形一定相似，故A符合题意； B、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B不符合题意； C、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故C不符合题意； D、两个菱形，对应边成比例，但对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似的定义是解决本题的关键． 3．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）若点是线段的黄金分割点，且，，则　　　　　（保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割点，先根据黄金分割点的定义确定较长线段与全长的比例关系，再代入已知线段长度计算较长线段的长度即可，熟练掌握黄金分割点的定义是解此题的关键． 【详解】 解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）已知线段，，满足，且． （1）求线段，，的长； （2）若线段是线段，的比例中项，求线段的长． 【答案】（1），，     （2）      【分析】 （）设，，，进而得到，解方程求出即可求解； （）由比例的性质得到，再根据算术平方根的定义即可求解； 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； (2) 小问详解： 解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】 如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D．    ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC=9.6(cm)． 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 2．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在中，，若，则等于（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由，证明，再证明，设，再求解从而可得答案． 【详解】 解： ，， ， 设，则， 故选B． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例，三角形的面积比，掌握以上知识是解题的关键． 3．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，，，若，则　　　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 根据平行线分线段成比例定理可得，求得，则可得．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：15． 4．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）在比例尺为的江苏地图上，无锡到上海的长度约为，它的实际长度约为　　　　　　　　　　． 【答案】135 【分析】 本题考查了比例线段的应用，根据比例尺的定义，地图上的长度与实际长度成比例，通过比例关系计算出实际长度（单位：厘米），再转换为公里． 【详解】 解：比例尺为，表示地图上1厘米代表实际距离1500000厘米． 设实际长度为x厘米， 则， 解得：厘米， 由于 厘米， 因此实际长度， 故答案为：135． 5．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）在比例尺为的地图上，两处景点的距离为，则这两处景点的实际距离为　　　　　　． 【答案】32 【分析】 本题主要考查比例尺的定义；根据比例尺的定义，图上距离与实际距离的比等于比例尺．设实际距离为x，列出比例方程求解，再将单位换算为即可． 【详解】 解：设实际距离为x，则， 解得． 3200000． 故答案为：32． 6．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，在中，为中点，，若的面积为10，若的面积为　　　　　　　　． 【答案】2.5 【分析】 本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解． 【详解】 解：∵在中，为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5． 7．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，直线、交于点，，若，，，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解题的关键．由平行线分线段成比例可得，，，得出，，根据即可求解． 【详解】 解：，，，， ，， ，， ， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，四边形是正方形，为边上一动点，为边上一点，满足，，分别交于，，要想求的长度，只要知道（     ） A. 的值 B. 的长度 C. 的值 D. 的周长 【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的判定和正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 通过利用正方形的性质得到角度和边长关系，再结合角的运算证明多组三角形相似，最终推导出线段的比例关系． 【详解】 解：如图，连接， ∵四边形正方形， ． ． ， ． ． ． 又， ． ． 同理可得：，， ． ． ． 又， ． ． ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点E，连接，使； （2）在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为． 【答案】（1） 点即为所求：      （2） 点，点即为所求： 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定： （1）作于E，一个公共角以及另一组对应角为，即可作答； （2）作出，的中点，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知，若，，则与的周长比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵，，， ∴ 相似比为 ， ∴ 与 的周长比为 ， 故选：A． 2．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，E是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点F，连接，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 首先由，得，再根据相似三角形的性质，可得，，可得，据此即可求解． 【详解】 解：是的边延长线上一点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 作于F点，于H点，则可得，根据相似三角形的性质可得．由，可得，进而可得． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：如图，作于F点，于H点， 则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将剪成面积相等的两部分， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，在中，点，分别在，边上，且．若，，则下列说法错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题． 根据题意可以得到，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：，，， ，， ， ，故A说法正确，不符合题意； ， ∵， ∴， ∴，故B说法正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故C说法正确，不符合题意； ∵ ∴， 故D说法错误，符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，、交于点．，则的长为　　． 【答案】4 【分析】 利用平行四边形的性质得出，，再结合已知可得，，然后再证明，根据相似三角形的性质得出，进行计算即可解答． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 6．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） （1）请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围； （2）当等于何值时，与相似？ 【答案】（1）AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（）     （2）或      【分析】 （1）根据题意求解即可； （2）分两种情况：当时，当6≤t≤16时，利用相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题可知：AP=2tcm（），AQ=（16-t）cm（） (2) 小问详解： 解：当时 ① 若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC． ∴ 又∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm， ∴ 解得：； ② 由∠A=∠A，若∠AQP=∠C，则有△AQP∽△ACB． ∴， ∴ 解得：t=6.4（不合题意，舍去） 当6≤t≤16时，点P与点C重合， ∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB，有△AQP∽△ACB． ∴ ∴ 解得： 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解题的关键． 7．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）两个相似三角形的一组对应边长分别为15和27，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是　　　　　　． 【答案】45 【分析】 相似三角形的相似比等于其对应边，对应周长的比，又有周长的差，可设较小的三角形的周 长为，进而代入求解即可． 【详解】 解：相似三角形的一组对应边长分别为15和27， 其相似比为， 相似三角形的相似比等于对应周长的比， 可设较小的三角形的周长为，则另一三角形的周长为， ， 解得， 所以较小三角形的周长为． 故答案为：45． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质问题，应熟练掌握． 8．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）（多选）如图，在中，于，于，试说明： （1） （2） 【答案】（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠AEB=∠ADC=90°， 在△ABE和△ACD中 ∴△ABE∽△ACD； （2）证明：∵△ABE∽△ACD， ∴． 在△ADE和△ACB中， ∴△ADE∽△ACB ∴ ∴AD·BC=DE·AC． 【分析】 （1）直接根据相似三角形的判定证明即可； （2）首先根据相似三角形的性质得出，进而证明△ADE∽△ACB，最后根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 9．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，中，，点是线段上一点，连接，． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由等边对等角得，由三角形外角的性质可得，又由可得，进而可得． （2）根据相似三角形对应边成比例列比例式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 10．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】（1） 如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可），      （2） 如图， 【分析】 本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． (1) 小问详解： ，， ， ，， ； (2) 小问详解： ， ， ， ， 点即为所求作的点． 11．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【分析】 根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】 证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【详解】【点晴】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 12．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，在中，，矩形的顶点，分别在边，上，在边上，，． （1）若，求的长度； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）由题意易得，再根据矩形的性质可得，，，进而得到，证明，推出，设，则，再证明，推出，求出，进而求出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）同理（1）可得，设，则，证明，推出，求出，进而求出，再证明，推出，求出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵矩形中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； (2) 小问详解： 解：同理（1）可得， 设，则， ∵矩形中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴． 13．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）（1）如图1，在中，，平分，交于点，，交于点． ①试说明：； ②若，，求的长： ③试探究是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． （2）如图2，和是的2个外角，，平分，交的延长线于点，，交的延长线于点．记的面积为，的面积为，的面积为，若，直接写出的值为________． 【答案】（1）① 证明：∵平分， ∴； ∴， ∵， ∴； 又∵（公共角）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）； ②； ③是定值，定值为1； （2）． 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线性质及三角函数，运用转化与方程思想，关键是通过角的关系推导相似，利用相似比和面积比建立关系，易错点为相似三角形对应边或角识别错误及三角函数定义应用错误； （1）①通过角平分线和角的关系推导相似；② ③利用相似和线段关系探究定值； （2）通过相似三角形面积比、角平分线及三角函数定义求解． 【详解】 （1）① 略 ② ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ③是定值， ∵， ∴， 由② 可得， ∴， ∴， ∴是定值，定值为1． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设，． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 14．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，连接，，．设点运动的时间为． （1）若，． ①当时，则___________ ②当时，求的值； （2）当时，在，两点运动过程中，若是以为一腰的等腰三角形，且，求的值． 【答案】（1）①；② 当时，的值为或     （2）的值为或      【分析】 （1）① 由矩形的性质可得，，，作于，则，从而得出四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得当，，时，，，求出，再由勾股定理即可得解；② 当，时，，，再分两种情况：当点未到达点时；当点到达点时，分别结合勾股定理计算即可得解； （2）由矩形的性质可得，，，作于，则，则四边形为矩形，得出，，证明，得出，由题意可得当时，，，从而得出，进而求出，由等腰三角形的性质分两种情况：当时；当时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵在矩形中，，， ∴，，， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动， ∴当，，时，，， ∴， ∴； ② ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，设点运动的时间为， ∴当，时，，， ∴当点未到达点时，，此时， ∴， 解得：； 当点到达点时，，此时秒； 综上所述，当时，的值为或； (2) 小问详解： 解：∵在矩形中，，， ∴，，， 如图，作于，则， ， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，直至到达终点时停止运动，设点运动的时间为， ∴当时，，， ∴， ∴， ∴， ∵是以为一腰的等腰三角形， ∴当时，由，， 故， 由① ② 解得，， 当时，，， 故， 由① ③ 解得：，或，（负值不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． （1）如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； （2）如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】（1） 点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”；     （2）或      【分析】 （1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 16．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，点E、F分别在边上．，，若E、F分别是中点，则　　　　　　　　　　；若，，则　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 ① 取平行四边形边长的中点，连接对角线，通过两条平行线之间距离处处相等对三角形作等面积转换，将拆成三个小三角形，每一个小三角形都占总面积的，即可求出面积比；② 根据，结合平行四边形的性质与外角和定理，得出，通过导比例，求得，再根据与，通过勾股定理即可计算出． 【详解】 解：如图，取中点N，中点M，连接、、、、， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ； ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形对角互补， 如图，作四边形外接圆， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 如图，在上取点M使得，过点D作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 解得， 在中， ， 解得， ， ， ， 解得． 故答案为：①；②． 【点睛】 本题考查了平行四边形性质，一线三等角构造，相似三角形的判定与性质，四点共圆与圆周角定理，勾股定理的运用等知识点，通过推导角与平行四边形性质运用找到相似三角形是解题的关键． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 【答案】水塔的高度为 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，先过作，交于点交于点，可以构造矩形，利用平行线分线段成比例定理的推论易得，再利用比例线段，可求，进而可求即可． 【详解】 解：如图，过作，交于点交于点， 结合题意知，，，，，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 所以水塔的高度为． 2．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）9月30日是中国烈士纪念日，在苍郁静谧的惠山北麓，无锡市革命烈士陵园改造及环境提升工程已顺利完工，以全新面貌重新对外开放．纪念塔是整个陵园的核心和最高点，由塔身和塔座两部分构成，塔身正面镌刻着“为国牺牲人民英雄纪念塔”，此次改造工程包含了对烈士纪念塔塔座的扩建．某校数学研究性学习小组开展测量纪念塔高度的活动．经测量，纪念塔塔座高度为，如图，即，由于塔顶A和塔底中心B均无法到达，经研究，设计并实施了如下测量活动： 太阳光下，塔身的顶端A的影子落在点E处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端D的影子落在点F处，若此时站在点H处的观测者从点G处看到标杆顶D、塔顶A在同一条直线上，塔身底部点C在观测者的水平视线上．已知在同一平面内，点F，H，E，B在同一水平线上，，，． 根据以上信息，解决下列问题． （1）求该时刻下，纪念塔塔高与其影长的数量关系； （2）求纪念塔塔高． 【答案】（1）     （2）18米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用及矩形的性质和判定，解题的关键是通过平行光线构建相似三角形，结合相似三角形性质建立等量关系． （1）根据太阳光下，同一时刻，物体长度和其影长的比值相等得出，结合题干数据即可求解． （2）如图，令与的交点为，则四边形和是矩形，得出，，，设， 则，，表示出，证明，则，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 即， ． (2) 小问详解： 解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ∴，， ∴， 设， 则 ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 米， 答：纪念碑的高度为18米． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·江苏吉安·期中）在直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为2的位似图形，则点A的对应点的坐标是（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 根据题意得点A的对应点的坐标是或，即可得． 【详解】 解：∵以坐标原点O为位似中心，作与的位似比为2的位似图形，点， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故选：D． 【点睛】 本题考查了位似的变换，解题的关键是掌握位似的变换的概念． 2．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为的正方形，点的坐标分别为，先以原点为位似中心在第三象限画一个使它与位似，且相似比． （1）画出，点的坐标为____________． （2）求的面积． 【答案】（1） 画出，如图所示，      （2）6      【分析】 （1）将的坐标分别乘以，得出，画出即可； （2）根据网格的特点用长方形的面积减去3个三角形的面积即可求解． (1) 小问详解： 依题意，， 故答案为： (2) 小问详解： 【点睛】 本题考查了位似变换作图，解题的关键是把位似变换后对应点的坐标正确表示出来． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $