专题05 圆（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期
2026-09-15
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摘要：
**基本信息**
聚焦圆的6大高频考点，汇编江苏多地期中真题，基础题（如点与圆位置关系）与综合题（如动态几何、实际应用）梯度分布，适配期中复习需求。
**题型特征**
|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|
|----|-----------|----------|----------|
|选择/填空|30+题|圆的概念、垂径定理、圆周角定理、弧长计算|基础题重复考查核心概念（如8道点与圆位置关系题），综合题结合筒车轨迹、纸杯测量等真实情境|
|解答题|20+题|外心性质、动态几何、跨知识整合|设计矩形动点与圆综合题（如第15题）、代数方程与圆结合题（如第7题“经典方程”），体现逻辑推理与数学建模|
内容正文：
专题05 圆
考点01 圆的有关概念
考点02 过三点的圆
考点03 垂直于弦的直径
考点04 圆心角
考点05 圆周角
考点06 弧长和扇形面积
考点01 圆的有关概念
1．A
2．D
3．C
4．B
5．A
6．A
7．C
8．A
9．C
10．D
11．B
12．B
13．【答案】内
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小进行判断．
【详解】
解：的半径，点到圆心的距离，
，
故点在内．
故答案为：内．
14．【答案】内
【分析】
根据点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内判断即可得到答案．
【详解】
解：∵ ，
∴点在圆内，
故答案为：内．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内．
15．【答案】（1）28； （2）存在，； （3）当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上
【分析】
（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（2）由得出，解方程可得出答案；
（3）证出A、P、D三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可．
(1) 小问详解：
解：∵四边形是矩形，
，，，
由题意得：，，
，，
当时，，，，，
的面积，
故答案为：28；
(2) 小问详解：
解：存在；
当时，Q在DP的垂直平分线上，
，
解得，舍去，；
(3) 小问详解：
解：，
、P、D三点在以DP为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则，
，，，，
；
解得，，
当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．【答案】（1）运动时间或． （2）或或．
【分析】
（1）如图，连接，过作于，求解，结合，，可得，求解，，再进一步利用勾股定理求解即可．
（2）由（1）得：，，，，，
∴，分三种情况：当为圆心时，则，当为圆心时，，当为圆心时，，进一步利用勾股定理建立方程求解即可．
(1) 小问详解：
解：如图，连接，过作于，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：或，
综上当P、Q两点间的距离为时，运动时间或．
(2) 小问详解：
解：由（1）得：，，，，，
∴，
当为圆心时，则，
∴，
解得：，
当为圆心时，，
∴，
解得：或（舍去），
当为圆心时，，
∴，
解得：或（舍去），
综上：的值为：或或．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
考点02 过三点的圆
1．B
2．【答案】真
【分析】
此题考查了直角三角形外心的位置．直角三角形的外心是其外接圆的圆心，由于直角三角形的斜边是外接圆的直径，因此外心位于斜边的中点．据此进行判断即可．
【详解】
解：在直角三角形中，直角所对的边是斜边．根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此直角三角形的斜边是其外接圆的直径．外心是外接圆的圆心，圆心是直径的中点，故直角三角形的外心是斜边的中点．因此该命题是真命题．
故答案为：真．
3．【答案】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键．
如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求．
【详解】
解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，
在圆上的格点有，，，
∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限，
∴点C的坐标为或或，
故答案为：或或．
4．【答案】如图所示，直径与即为所作．
【分析】
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
方法1：在圆上任取弦，作线段的垂直平分线，与圆分别交于点，，连接，根据垂径定理可知为已知圆的一条直径；
方法2：在圆上任取弦，过点作的垂线，交圆于点，连接，由圆周角定理可知为已知圆的一条直径．
【详解】
解：略．
5．【答案】4
【分析】
本题主要考查了三角形外心的定义，直角三角形的性质．作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，根据的外心一定在直线上，得出当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心，点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，画图得出答案即可．
【详解】
解：作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的外心一定在直线上，
∴当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是的外心，
∴点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，
∴如图，，与、、的交点即为点P的位置，
∵，
∴点在上，
∴符合条件的点P有4个，
故答案为：4．
考点03 垂直于弦的直径
1．C
2．【答案】16
【分析】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
由垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据即可求出弦的长．
【详解】
解：∵是半径，是的弦，且于点，
，
在中，根据勾股定理可得：，
，
故答案为：16．
3．【答案】1
【分析】
本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可．
【详解】
解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图，
∵，
∴米，
根据题意得：米，
设圆的半径为r米，
∵，
∴（米），
∵圆心到水面的距离为4米，
∴（米），
∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为为1米，
故答案为：1．
4．【答案】6
【分析】
本题考查垂径定理、勾股定理，先根据勾股定理求得，再根据垂径定理求解即可．
【详解】
解：∵的半径为，圆心到的距离，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：6．
5．【答案】9
【分析】
本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由于点，，根据垂径定理得，而，，则，由勾股定理得，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】
：连接，
是的直径，是的弦，且于点，，
，
，，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：
6．【答案】
【分析】
本题考查了垂径定理，正确理解过的最短的弦的位置是关键．先证出弦与垂直时，弦最短，进而即可求解．
【详解】
解：如图，过点作弦，过点作，，
，
，
，
当弦与垂直时，弦最短，如图所示：
，
则，
故答案为：．
7．【答案】（1） （2）
证明：关于的方程是“经典方程”，
且，
① 当时，
，
方程有两个实数根，
② 当时，
方程为，，
该方程有实数根，
“经典方程”必有实数根； （3）
【分析】
本题考一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义，是解决问题的关键．
（1）由“经典方程”满足的条件，即可写出一个“经典方程”；
（2）由是“经典方程”，得且，，时，，方程有两个实数根，时，方程，，方程有实数根，得“经典方程”必有实数根；
（3）作于，延长交于，根据垂径定理得，，，根据勾股定理得，根据“经典方程”得，再证推出；
(1) 小问详解：
解：∵中，，，
，，
∴，
∴满足“经典方程”，
∴“经典方程”可以为：，
故答案为：；
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：作于，延长交于，
，
，
∴，
，，
，
，
是“经典方程”，
，
，
，
，
，
，
∴，
．
8．【答案】解：如图，点O即为所求作：
【分析】
本题考查尺规作图-确定圆心，先任意画一条弦，作垂直这条弦的直径，再作这条直径的垂直平分线与直径的交点即为圆心，此题还涉及垂径定理的推论．
【详解】
解：作图：任意画一条弦，作的垂直平分线得到直径，再作直径的垂直平分线交于O，则点O为直径的中点，即为此圆的圆心．
9．【答案】2
【分析】
本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案．
【详解】
解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：2．
10．【答案】（1）
如图（1），线段即为所求；
（2）
如图② ，线段即为所求．
【分析】
本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，垂径定理．
（1）如图① ，如图① ，过点O作，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求；
（2）连接，过点O作于点E，以O为圆心，为半径作弧交于点J，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求．
(1) 小问详解：
由作法可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2) 小问详解：
由作法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．【答案】（1）
证明：如图1，连接、，
∵内接于，
∴，
∵，
∴，
∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，
∴垂直平分； （2）
【分析】
本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．
（1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分；
（2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可．
(1) 小问详解：
略；
(2) 小问详解：
解：由（1）知，，，
由垂径定理可得，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
12．【答案】如图即为所求，
【分析】
本题考查尺规作图，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先作线段的垂直平分线，得到长的线段，再过O点作于点，以为圆心，为半径画弧，分别与直线交于两点，最后以O为圆心，为半径画圆即为所求．
【详解】
略
13．【答案】
【分析】
本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径．
【详解】
解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
14．【答案】（1）
证明：连接，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴； （2）
① 过O作于G，则，
∵，
∴，则，
过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，如图（2），
∵，，
∴，，
∴四边形、四边形是矩形，
∴，，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
【分析】
此题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）连接，欲证与相等，先证、关系，再证明即可；
（2）① 过O作于G，先证明，过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，证明四边形、四边形是矩形得到，，，证明得到，进而可得结论；
② 连接，设，利用垂径定理和勾股定理求解x值即可解答．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：① 略
② 如图（2），连接，
设,
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，又，
∴，解得，
∴，则，
即该圆的半径为．
15．【答案】（1）证明见解析 （2）10
【分析】
本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键．
（1）证明，可得，即可证明；
（2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案．
(1) 小问详解：
证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2) 小问详解：
解：连接,
设的半径为r，，
则，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径为．
考点04 圆心角
1．B
2．【答案】（1）
如图，即为所求．
（2），，
【分析】
该题考查了位似图形、勾股定理和勾股定理逆定理、三角形外接圆等知识点，解题的关键是正确作图．
（1）根据点和的坐标分别为和，得出和的相似比是，从而得出、，画图图形即可．
（2）根据的外接圆圆心即为三边垂直平分线的交点，作的垂直平分线，两直线的交点即为点，勾股定理求出即为的半径，证明是等腰直角三角形，得出，即可求解．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：如图，点即为所求，，
的半径为，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的度数为．
3．【答案】证明：∵，
∴\overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{CD}，
∵，
∴，
∴，
∴\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{CE}，
∴\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{DE}，
∴．
【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得\overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{CD}，由得，则\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{CE}，求出\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{DE}，即可得出结论．
【详解】
略
4．【答案】（1）
证明：连接，
∵，
∴，
∴． （2）
如图，为的垂直平分线；
连接交于P点，连接并延长，与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴点和点都在的垂直平分线上，
∴为的垂直平分线． （3）25
【分析】
本题考查了垂直平分线基本性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握基本性质是解题关键；
（1）连接，通过圆周角定理得到，再根据平行线的性质即可得证；
（2）连接交于P点，如图，根据圆周角定理得到，则，由于，根据线段垂直平分 线的性质定理的逆定理得到点P和点O都在的垂直平分线上，从而判断垂直平分；
（3）连接、，交于E点，交于F点，设的半径为r，，则，根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，，再利用勾股定理列方程，解方程组即可．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：连接、，设的半径为r，，则，
∵，，
∴，
∴，，
在中，，即，
在中，，即，
联立方程① ② ，解得：（负值已舍去）．
考点05 圆周角
1．B
2．D
3．C
4．B
5．D
6．D
7．C
8．C
9．D
10．A
11．A
12．A
13．D
14．A
15．D
16．C
17．D
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，由平行四边形的性质得到，由四边形内接于，得到，再得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】
略
19．【答案】
【分析】
本题主要考查圆周角的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解．
【详解】
解：连接，如图所示：
∵，是的直径，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
故答案为．
20．【答案】（1）
证明：，
\therefore \overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AC}，
，，
\therefore \overset{\overparen }{BM}=\frac{1}{2}\overset{\overparen }{AB}，\overset{\overparen }{CN}=\frac{1}{2}\overset{\overparen }{AC}
\therefore \overset{\overparen }{BM}=\overset{\overparen }{CN}； （2）2
【分析】
本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键．
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AC}，再根据垂径定理得\overset{\overparen }{BM}=\frac{1}{2}\overset{\overparen }{AB}和\overset{\overparen }{CN}=\frac{1}{2}\overset{\overparen }{AC}，即可得出结论；
（2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：如图，连接，
，，
，
，
，
．
故答案为：2 ．
21．【答案】110
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：∵是的直径，
，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：110．
22．【答案】
【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
根据圆内接四边形的性质得，，则利用可计算出，然后利用互补计算出．
【详解】
解：∵四边形是的内接四边形，
∴，，
∵，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
23．【答案】度
【分析】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，根据直径所对的圆周角等于可得，进而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得．
【详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
24．【答案】
【分析】
取圆心O，连接 ，，，，根据圆周角定理得，设半径为r米，则米，在中，根据勾股定理得，解，圆弧所在圆的半径为米．
本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】
解：如图，取圆心O，连接 ，，，，
∵， 米，
∴，米，
∴，
设半径r为米，
则米，
在中，根据勾股定理得，
即，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为米．
故答案为：．
25．【答案】证明：连接OC，
∵OD∥AC，
∴∠BOD=∠A，∠COD=∠C，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∴∠COD=∠BOD，
∴=.
【分析】
首先连接OC，由OD∥AC，易得∠BOD=∠A，∠COD=∠C，继而证得∠COD=∠BOD，则可得=.
【详解】
略
【点睛】
此题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于作辅助线.
26．【答案】度
【分析】
本题考查了直径所对的圆周角等于，直角三角形的两个锐角互余，圆的内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由是的直径得，进而求得，再根据圆的内接四边形对角互补得，即可求解．
【详解】
解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
27．【答案】
【分析】
根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
28．【答案】105
【分析】
本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据圆周角定理求得
，，则，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
【详解】
解：连接，，如图，
∵是半圆的直径，
∴，
∵\overset{\overparen }{DB}的度数为，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴．
故答案为：105．
29．【答案】证明：如图所示，连接，
，
\therefore \overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{CD}，
，
．
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴．
【分析】
本题主要考查了弧、弦和圆周角之间的关系，平行线的判定与性质、圆内接四边形的性质，连接，可证明\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{CD}，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的判定可得，则，结合圆内接四边形的对角互补和补角性质可证明结论．
【详解】
略
30．【答案】
【分析】
本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可．
【详解】
解：连接，，
四边形是的内接四边形，
，,
是\overset{\overparen }{BD}的中点，
\therefore \overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{CD}，
,
,
四边形是的内接四边形，
,
故答案为：．
31．【答案】
【分析】
此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．根据得点A，B，C在以点O为圆心，以为半径的圆上，再根据圆心角与圆周角的关系得，然后根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵，
∴点A，B，C在以点O为圆心，以为半径的圆上，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
32．【答案】34
【分析】
本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键；
连接，通过等腰三角形的性质得到，，进而得到，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】
解：连接，
∵，
∴，，
∴，
∵\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AB}，，
∴，
∴．
故答案为： ．
33．【答案】40°
【详解】
连接CD，
则∠ADC=∠ABC=50°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°，
故答案为： 40°.
34．【答案】5
【详解】
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角，得BC是直径，由于AB=8，AC=6，利用勾股定理得， ,则半径为5.
35．【答案】（1）10 （2）
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂径定理可得，，设，则，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案；
（2）连接，证明，得出，求出，根据圆周角定理即可得出答案．
(1) 小问详解：
解：是的直径，弦于点，
，，
设，则，
，
，
解得：，
即的半径为10；
(2) 小问详解：
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
36．【答案】或
【分析】
本题主要考查圆周角定理和圆内接四边形的性质；先求出，再分两种情况：当点E在上时，当点在上时，计算即可．
【详解】
解：∵的度数为，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
当点E在上时，
∴，
当点在上时，
，
综上所述或，
故答案为：或．
37．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）通过线段，确定以为圆心、为半径作辅助圆，利用圆心角与圆周角的关系求解即可．
（2）由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可．
（3）利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可．
（4）由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理和三角形三边关系求解取值范围即可．
【详解】
（1）解：以点为圆心，为半径作，
，
点、、在上，
（圆心角），
，
故答案为：；
（2）解：以为圆心，为半径作，
，
点、、在上，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：连接、、，
点关于直线的对称点是，
，
，，
，即，
点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，，
，
∵，
的最小值为；
（4）解：连接，过作于，
四边形是平行四边形，
，，
是中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
，，
，
∴是等腰直角三角形，，，
，
，，
，
根据三角形三边关系得，
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了圆的性质（圆周角定理、圆的定义）、轴对称的性质、正方形和平行四边形的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握辅助圆的构造方法是解题的关键．
38．【答案】（1）；；
（2），理由如下：
如图②，连接，作交的延长线于点N，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）．
【分析】
（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得，利用直径所对的圆周角是，继而求出，，再证明，利用相等的圆周角所对的弦相等得出，过点D作于点E，利用含的直角三角形的性质即可得解；
（2）连接，作交的延长线于点N，证明得到，再证明得到，从而得到；
（3）作于点G，交的延长线于点H，证明得到，设，再证明四边形是正方形，从而得到，从而得到，，，再利用建立方程，求出x，从而得解．
【详解】
（1）∵平分，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点D作于点E，则，，
则有，
∴，即点D到直线的距离为，
故答案为：；；
（2）略
（3）如图③，作于点G，交的延长线于点H，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得， (不符合题意，舍去)，
∴，
∴线段的长为．
【点睛】
本题考查圆的综合，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的解法等知识，灵活运用圆的性质和利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．
39．【答案】（1）证明：设交于点E，连接，则，
∵，
∴；
（2）如图，作等边，作外接圆O，设与的交点为，，则，故点，即为所求作：
（3）
【分析】
（1）根据圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；
（2）根据等边三角形的性质和圆周角定理画图即可；
（3）在图（2）的基础上，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，再根据（1）中结论可得答案．
【详解】
（1）略
（2）略
（3）如图，由（2）中作图痕迹，得，，，
在中，，
由勾股定理得，
∴，则；
中，，，
∴，，
由勾股定理得，
∴，则；
过O作于G，连接，则，，
在中，，，
∴，；
在中，，，
∴，则，
∴，
，
由（1）知，当点C在内部时，，
∴．
【点睛】
本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的尺规作图及其性质、尺规作三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出图形是解答的关键．
40．【答案】
【分析】
本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质勾股定理等知识，证明是解答的关键．
连接、、、，根据弦、弧关系和等腰三角形的性质得到，结合圆内接四边形的性质推导出，证明得到，进而利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：连接、、、，如图，
∵是\overset{\overparen }{AB}的中点，
∴\overset{\overparen }{AD}=\overset{\overparen }{BD}，
∴，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
41．【答案】（1）
证明：连接，，延长交于点，
点A在的垂直平分线上．
点O在的垂直平分线上
垂直平分
即
即
； （2）
证明：连接、，如图：
，
，
．
【分析】
本题考查线段垂直平分线性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．
（1）连接，，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质可证得垂直平分，进而证得，从而得出结论；
（2）连接、，根据等腰三角形的性质，结合圆周角定理证得，进而证得，从而得出结论．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
42．【答案】36
【分析】
本题考查了圆的内接四边形，垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握基本性质是解题关键；
连接，设，通过等腰三角形性质和内角和定理得到，再通过平行线性质和角度的和差关系得到，，再通过圆的内接四边形性质列出方程解方程即可．
【详解】
解：连接，设，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵四边形内接，
∴，
即，
解得，
∴，
故答案为：36．
43．【答案】（1）①；② （2）
分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点．
【分析】
本题考查了新定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，理解勾股点的定义是解答本题的关键．
（1）① 根据直径所对的圆周角是直角可知，当点在以为直径的圆上或圆内时符合题意；
② 由① 知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点，然后求出当点P在圆外时使时的最大值即可求解．
（2）分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点．
(1) 小问详解：
① 如图，在圆上取一点P，则，
∵圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角，
∴当点P在以为直径的圆上或圆内时，线段存在点A和点B，使得，
∴点D是线段的勾股点，点F不是线段的勾股点．
∵，
∴点E在圆上，
∴点E是线段的勾股点．
综上可知，线段的勾股点是，
故答案为：；
(2) 小问详解：
② 由① 知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点．
当点P在圆外时，如图，在圆上取点A和点B，使，在直线上取点P，使是等腰直角三角形，以为直角边构造等腰直角三角形，连接，
则，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
∵，
∴的最大值是，
∴所有点组成的区域的面积是以点O为圆心，以为半径的圆，围成的区域，
∴所有点组成的区域的面积；
（3）略
44．【答案】（1）①；②； （2）
证明：延长交圆于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心． （3）
证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【分析】
（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
(1) 小问详解：
解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
略
【点睛】
本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．
45．【答案】（1）； （2）
证明：如图，延长，交圆于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【分析】
（1）① 由圆周角定理可得，可证是等边三角形，即可求解；② 由题意可得当点到距离最大时，的面积最大，即可求解；（2）由同弧所对圆周角相等可得，由三角形的外角的性质可得结论；（3）以为边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，可得当点在上方的圆上时，分别求出点在圆上和线段与圆相切时，的值，即可求解．
(1) 小问详解：
解：① 令圆心为，连接，
∴
即是等边三角形，；
② 当点到的距离最大时，的面积最大，如图1，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，
∴，
∴
∴，
∴的最大面积为：；
故答案为：；；
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：如图2，以为斜边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，连接，
∴，
∴，
∴，
当点在上方的圆上时，，
∵轴，轴，
∴四边形是矩形，
当点或点在圆上时，
∵，
∴三点共线，
∴，
∴，
∴，
当与圆相切时，点与切点重合，存在一个点使得，此时到的距离为，
∴，即：，
∴．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，圆的有关知识，解题关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹．
46．【答案】（1）
① ，② ，③ ，
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴． （2）①3，②
【分析】
本题考查了圆的基本性质及勾股定理．
（1）先证明，得同位角相等，再利用等边对等角即可得解；
（2）① 连接，可得，则，所以为等腰直角三角形，即，据此求解即可；② 由题易得，再分别表示出、，建立方程求出关系式即可．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：① 如图，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
∴，
此时四边形是矩形，
∴．
② 如图，作，连接，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
47．【答案】
【分析】
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
如图，连接，根据题意可知都是等边三角形，进而可得四边形是平行四边形，即有，因此可证，得到，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得，再求出，设，则，因此，由即可求出答案．
【详解】
解：如图，连接，
、为半圆的三等分点，
，
又，
都是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
故答案为：．
48．【答案】（1）；
（2）弧中的任意一点P都满足条件，如图所示：
（3）
（4）
【分析】
本题主要考查圆周角的定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理，熟练掌握圆周角的定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理是解题的关键；
（1）根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质可进行求解；
（2）以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，进而问题可求解；
（3）由作图可知，然后可得，进而问题可求解；
（4）由题意易得，所以点Q是在半径为200的圆上运动的点，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴所在的圆的半径长为；
故答案为90，；
（2）略
（3）连接，交于点P，如图所示：
根据圆外的点到圆上的动点距离的最值问题“当且仅当圆外的点，圆上的动点及圆心三点共线时取得最值”可知：此时的值最小，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴由作图可知：，
∴，
过点作于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为；
（4）∵四边形是平行四边形，，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
由是定值，且所对的线段也是定值，可知点Q的运动轨迹是一段圆弧，如图所示，
连接，过点O作于点H，交，分别于点F，G，
∵，
∴，
∴由（3）可知，，
要使的面积最小，由图可知当且仅当点Q与点重合时最小，
∵，
∴优弧所对的圆心角度数为，
∴，
∵，
∴，
同理（3）可得，
∴，
∴的面积最小为；
故答案为．
49．【答案】
【分析】
作，有，即取得最大值时也取得最大值，然后由圆周角定理和，可得点P在以为弦，圆心角的上运动，连接，，，，，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，，接着根据得到的最大值，进而根据，得到的最大值，据此计算线段长度的最大值即可．
【详解】
解：如图，作于点D，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当取得最大值时也取得最大值；
∵，
∴点P在以为弦，圆心角的上运动，
连接，，，，，与交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，，
在中，，，
∴，,
∴，
解得，
∴，
，
在中，，，
∴，
∵，
∴当O、E、P三点共线时，取得最大值，最大值为，
又∵，
∴当时，此时取得最大值，最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、两点间线段最短，垂线段最短等，根据圆周角定理得到点P的轨迹，从而求得的最大值是解题的关键．
50．【答案】
【分析】
根据固定边和固定角，确定点C的轨迹是以为弦、圆周角为的圆，取中点N，连接，由于是中线，D是中点，M是中点，因此点M的轨迹是点C轨迹圆的相似缩小圆,最后，求点B到点M轨迹圆的最小距离，即点B到轨迹圆圆心的距离减去轨迹圆的半径即可求解．
【详解】
解：，
点C在以为弦的圆上，
如图所示，取中点N，连接，
则，
，
．
点D为中点，
，，
则，
则，
，
点M始终在点N的下方处，
则点M的轨迹为以中点Q为圆心，为半径的圆上．
如图，连接，
则当点M在与圆Q的交点处时，取得最小值，
在中，
，
则，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了含30度角的直角三角形特征，圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形的相关计算，点的轨迹、圆的性质，勾股定理等知识，能根据题意得出点M的运动轨迹是解题的关键．
51．【答案】（1）
证明：如图，交于点，连接．
∵为直径，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴． （2） （3）
【分析】
（1）先证明和，然后推出即可证明结论．（2）根据圆周角定理推出，然后在中分别求出和的长度，再根据勾股定理在中求出的长度．
（3）先根据圆周角定理证明四边形为平行四边形，然后得出为等腰直角三角形，再由得出为常数．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：如图，过点作的垂线，为垂足．
∵，
∴，
在中，．
∴，
在中，．
(3) 小问详解：
解：结论：．
如图，连接延长与的延长线交于点，连接，，．
∵，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查圆的性质（直径、弧与圆周角）、等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，解题中用到的思想是转化思想（将线段转化为全等三角形的对应边）、常数思想（通过几何关系推导固定比值）；方法技巧是利用弧相等转化圆周角与弦长，结合等腰直角三角形的边长比例简化计算．解题关键是熟练应用圆的基本性质和全等三角形判定，避免弧与角的对应关系混淆．易错点是忽略直径对应的直角，或在全等三角形证明中对应边 / 角匹配错误．
考点06 弧长和扇形面积
1．B
2．B
3．B
4．D
5．【答案】
【分析】
本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．
根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】
解：，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
6．【答案】
【分析】
本题考查圆锥侧面积的计算，解题思路是先明确圆锥侧面积的计算公式，再将题目中给定的底面半径和母线长代入公式进行计算．
根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】
解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长．
已知，，
则．
故答案为：．
7．【答案】
【分析】
本题主要考查了圆锥的相关知识，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．根据题意可知，圆锥母线长，圆锥底面周长为，结合“圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长”确定的值，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如下图，
由题意，可知，圆锥底面周长为，
则有，解得，
所以，
即倒入溶液的高度不能超过．
故答案为：．
8．【答案】
【分析】
本题考查弧长的计算，根据砝码提起的长度等于半径为圆心角为的弧长，由此即可计算．
【详解】
解：根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
9．【答案】
【分析】
本题考查了扇形的面积与弧长的关系，熟记扇形的面积是解题的关键．
根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长．
【详解】
，扇形的面积为，半径为3，
∴
∴
∴这个扇形的弧长是．
故答案为：．
10．【答案】
【分析】
本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
根据题意使用弧长公式计算即可．
【详解】
解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了．
故答案为：．
11．【答案】6π
【分析】
由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解．
【详解】
解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π．
故答案为：6π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
12．【答案】12
【分析】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积等于扇形的面积，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用弧长公式建立方程求解．
【详解】
解：设圆锥的母线长为，则扇形的弧长为 ．
圆锥的底面周长为．
根据弧长相等，得，
解得．
故答案为：12．
13．【答案】30π
【分析】
利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．
【详解】
解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．
故答案为30π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．【答案】
【分析】
根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：正方形，
∴，，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴
∴阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．
15．【答案】
【分析】
本题考查了弧长的计算，利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可，掌握弧长的计算方法是解题的关键．
【详解】
解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
∴，
故答案为：．
16．【答案】
【分析】
本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解．
【详解】
解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示：
由题意得：，，
∴四边形是矩形，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
17．【答案】（1）54；（2）；（3）
【分析】
本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式．
（1）直接利用扇形的面积公式计算即可；
（2）设，根据弧长公式得到l_{\overset{\overparen }{BC}}=\frac{n\times 2r\times \pi }{360},l_{\overset{\overparen }{AD}}=\frac{n\times 2\left(r+AB\right)\times \pi }{360}，进而求出r\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}=r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积=S_{\mathrm{扇形}AOD}-S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{1}{2}AB\left(r+l_{\overset{\overparen }{BC}}\right)，则可计算出扇环的面积；
（3）设梯形的高为h，由（2）得S_{2}=\frac{1}{2}\left(l_{\overset{\overparen }{EH}}+l_{\overset{\overparen }{FG}}\right)\cdot EF=\frac{1}{2}\left(AD+BC\right)\cdot EF，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论．
【详解】
解：（1）该纸筒的侧面积为；
故答案为：54；
（2）设，
∴l_{\overset{\overparen }{BC}}=\frac{n\times 2r\times \pi }{360},l_{\overset{\overparen }{AD}}=\frac{n\times 2\left(r+AB\right)\times \pi }{360}，
∴\frac{l_{\overset{\overparen }{BC}}}{l_{\overset{\overparen }{AD}}}=\frac{n\times 2r\times \pi }{n\times 2\left(r+AB\right)\times \pi }=\frac{r}{r+AB}，
∴r\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}=r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}，
∵S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}OB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}},S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{1}{2}\left(OB+AB\right)\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}，
∴扇环的面积为
=\frac{1}{2}\left(OB+AB\right)\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-\frac{1}{2}OB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}
=\frac{1}{2}\left(r+AB\right)\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-\frac{1}{2}\left(r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}\right)
=\frac{1}{2}r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}+\frac{1}{2}AB\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-\frac{1}{2}r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}+\frac{1}{2}AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}
=\frac{1}{2}AB\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}+\frac{1}{2}AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}
=\frac{1}{2}AB\left(l_{\overset{\overparen }{AD}}+l_{\overset{\overparen }{BC}}\right)，
∵l_{\overset{\overparen }{AD}}=30\mathrm{cm},l_{\overset{\overparen }{BC}}=20\mathrm{cm},AB=8\mathrm{cm}，
∴扇环的面积为；
（3）设图形的高为h，
由（2）得S_{2}=\frac{1}{2}\left(l_{\overset{\overparen }{EH}}+l_{\overset{\overparen }{FG}}\right)\cdot EF，
∵等于的长，等于的长，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
18．【答案】（1），扇形的面积约为； （2）圆锥的高为； （3）最少需要准备个半径为的圆形纸片．
【分析】
（1）连接，，先证明是等边三角形，利用垂径定理结合三角函数的知识求得，即可求得，再利用扇形的面积公式求解即可；
（2）先求得圆锥的底面半径，过点作垂直于底面，连接，在中，利用勾股定理求解即可；
（3）根据每个圆形纸片可制作的扇形纸片3张，据此计算即可求解．
(1) 小问详解：
解：连接，，记与交于点，
由折叠的性质知，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，
∴，
解得，
∵，，
∴，，
∴扇形的面积；
(2) 小问详解：
解：设圆锥的底面半径为，，
由题意得，
∴，
过点作垂直于底面，连接，
在中，，
即圆锥的高为；
(3) 小问详解：
解：每个圆形纸片制作的扇形纸片：
（个）
制作20个这样的立体图形，需要的扇形纸片：
（个）
，
答：最少需要准备个半径为的圆形纸片．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，圆锥的相关计算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
19．【答案】（1）M（2，1） （2）
【分析】
（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）根据扇形的面积公式，即可求得．
(1) 小问详解：
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）；
故答案为：（2，1）．
(2) 小问详解：
连接MA、MC，如图所示：
.
由作图知，∠AMC=90°，
所以扇形PAC的面积为：
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理，正确确定圆心是解题的关键．
20．【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
(1) 小问详解：
解：由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P(2，0)，
故答案为：(2，0)；
(2) 小问详解：
解：连接AC，
根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，
∠AOP=∠PQC=90°，
由勾股定理得，
AP= =PC，
∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，
∴AP2+CP2=AC2，
∴∠APC=90°，
∴弧ABC的长为，
答：弧ABC的长为π．
【点睛】
本题考查弧长的计算、垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．
21．【答案】
【分析】
本题主要考查了求扇形的面积，四点共圆，
先说明点O，M，P，N在以为直径的圆上，可知当时，，最大，再根据扇形的面积公式求出答案．
【详解】
解：由，可得，
∴点O，M，P，N在以为直径的圆上，为此圆的直径时，最大，
当时，，最大，
此时扇形的面积为．
故答案为：．
22．【答案】5
【分析】
根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．
【详解】
设圆锥的母线长为Rcm，
圆锥的底面周长＝2π×2＝4π，
则×4π×R＝10π，
解得，R＝5（cm）
故答案为:5
【点睛】
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
23．【答案】
【分析】
本题主要考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
故答案为：．
24．【答案】（1）如图，
（2）．
【分析】
（1）结合三角形的外接圆与外心的性质，分别作，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求．
（2）由图可得，由勾股定理可得，再利用弧长公式计算即可．
(1) 小问详解：
解：分别作、的垂直平分线、，相交于点，则点即为所求．
证明：∵，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴直线垂直平分，
∴，
同理可证垂直平分，
∴，
∴，即点是的外接圆的圆心；
(2) 小问详解：
解：由勾股定理得，，，，
∴，
∴，
∴劣弧的长为．
【点睛】
本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的判定及性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心、弧长的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．【答案】（1）5 （2）
（i）① 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，
理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点
，
是等边三角形
在中，
在四边形中，
四边形是矩形
、
能剪出作为圆锥底面的圆形纸片；
② 示意图如图所示，
；
（ii）
【分析】
（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可；
（2）（i）① 由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可；
② 当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可；
（ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可．
(1) 小问详解：
解：由题意可知，，
解得
故答案为：；
(2) 小问详解：
（i）① 略
② 此时；
如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G，
则，，
在中，
；
（ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图，
此时，
此时；
情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图，
、
此时
．
【点睛】
本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键．
26．【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可；
（2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可．
(1) 小问详解：
解：∵四边形为正方形，，且点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴\overset{\overparen }{EF}的长度为，
设该纸帽的底面半径为，
∴，
解得；
(2) 小问详解：
解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，
此时，，，
∴丝带的最短长度为的长度，
∵，
∴为等边三角形，
∴根据三线合一得，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，，
∴丝带的最短长度为．
【点睛】
本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质．
27．【答案】
【分析】
设底面半径为r，先利用勾股定理求出扇形的半径OA，再根据弧长等于底面周长列方程求解.
【详解】
设底面半径为r，
∵OA==5，
∴，
解得r=，
故答案为：.
【点睛】
此题考查网格与勾股定理，弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图的扇形的弧长与底面圆之间的等量关系是解题的关键.
试卷第1页，共3页
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专题05 圆
6大高频考点概览
考点01 圆的有关概念
考点02 过三点的圆
考点03 垂直于弦的直径
考点04 圆心角
考点05 圆周角
考点06 弧长和扇形面积
考点01 圆的有关概念
1．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（ ）
A. 点A在外
B. 点A在上
C. 点A在内
D. 不能确定
2．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）若点P在内，且，则的半径可能为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3．（25-26学年九上·江苏南通·期中）⊙的半径为3，点到圆心的距离为5，点与⊙的位置关系是（ ）
A. 无法确定
B. 点在⊙上
C. 点在⊙外
D. 点在⊙内
4．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）已知点在直径为6的上，则的长度是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
5．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）已知的直径为，点在外，则长可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
6．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4 cm
7．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ）
A. 在圆内
B. 在圆上
C. 在圆外
D. 不能确定
8．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
9．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内
B. 点在上
C. 点在外
D. 无法确定
10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
11．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）下列说法错误的是（ ）
A. 直径是圆中最长的弦
B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 面积相等的两个圆是等圆
D. 半径相等的两个半圆是等弧
12．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，是⊙的直径，点在⊙上，，垂足为，，点是⊙上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为6，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
13．（25-26学年九上·江苏南京·期中）平面内，若的半径为，，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”)
14．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）半径为4，点A到点O距离为3，则点A在 （填“上”“内”或“外”）．
15．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒．
（1）当时，的面积为______；
（2）是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值．
16．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，在矩形中，，动点P在边上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿向点A运动，同时动点Q在对角线上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）当P、Q两点间的距离为时，运动时间_________；
（2）当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值．
考点02 过三点的圆
1．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）命题“直角三角形的外心是其斜边的中点．”是 命题．（填“真”或“假”）
3．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点A、B、P的坐标分别为． 若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ．
4．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）尺规作图：作已知圆的一条直径．
要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．
5．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有 个．
考点03 垂直于弦的直径
1．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ）
A.
B. 4
C.
D. 8
2．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，是的半径，是的弦，且于点D．若，则弦的长是 ．
3．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为 米．
4．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，的半径为，圆心到的距离，则 ．
5．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则 ．
6．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，点在内，已知的半径为，，则经过点的最短弦长为 ．
7．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“经典方程”：____________________；
（2）求证：关于的“经典方程”必有实数根；
（3）如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数．
8．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
9．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为 ．
10．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（1）如图（1），点在上；
（2）如图（2），点不在上．
11．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，内接于，．连接并延长，交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若的半径为5，，求的长．
12．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）尺规作图：如图，已知线段、是直线外一点，作与直线相交于点A，B，且．
13．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
14．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，是的弦，点，在\overset{\overparen }{AB}上，，，垂足分别为，，．
（1）如图（1），若是的直径，求证：．
（2）如图（2），若不是的直径，
①求证：；
②若，则的半径为___________．
15．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上．
（1）若点B是的中点，求证：；
（2）若，，求的半径r．
考点04 圆心角
1．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和．
（1）以点为位似中心，将放大得到，使得点A、B、C的对应点分别为、、，请在所给的网格图中画出；
（2）若的外接圆圆心为点，则圆心的坐标为__________，的半径为__________，的度数为__________．
3．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，点在上，，．求证．
4．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知AB，CD是的弦，点与AB，CD位置如图所示，．
（1）求证．
（2）仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线，说明理由．
（3）若之间的距离为39，求的半径．
考点05 圆周角
1．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，在中，，则的大小是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，点在上，若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
3．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，，是的半径，若，则的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
4．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
5．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知，分别与相切于A，B两点，点在上，不与点A，B重合．若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
6．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）下列说法正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 同一平面内三点确定一个圆
C. 相等的圆周角所对的弧相等
D. 任何三角形有且只有一个内切圆
7．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
8．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图， 四边形是的内接四边形， 若， 则的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
9．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
10．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，是的直径，C、D是半圆上的两点，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
12．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
13．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
14．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若 ，则的长度是（ ）
A.
B.
C.
D.
15．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 50°
B. 80°
C. 100°
D. 130°
16．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，在的外接圆中，，是直径，作交于点F，交于点E，连接，下列结论不一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 四边形为菱形
17．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，AB是直径，点是圆上一动点（不与点A、B重合），以AO、AC为邻边作平行四边形OACD，射线OD交于点，连结AE、BC交于点F，BC与OD相交于点．则下列结论：①CD与相切；②若点为AE的中点，则；③若，则；④连接BE，作交AB于点，则．其中正确的是（ ）
A. ①③
B. ②④
C. ③④
D. ②③④
18．（25-26学年九上·江苏南通·期中）求证：圆内接平行四边形是矩形．
下面已经画出了图形，并写出了已知和求证，请将该命题的证明过程补充完整．
已知：如图，内接于．
求证：是矩形．
证明：
19．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为 ．
20．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，．
（1）求证：\overset{\overparen }{BM}=\overset{\overparen }{CN}；
（2）若的半径为5，，则______．
21．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则 °．
22．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）四边形是的内接四边形，若，则 ．
23．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为 ．
24．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面C处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为 ．
25．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD是半径,且OD∥AC，求证：=.
26．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为
27．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦．若，，则 ．
28．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，\overset{\overparen }{DB}的度数为，则 ．
29．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于，．求证：．
30．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，是五边形的外接圆，C是\overset{\overparen }{BD}的中点，若，，则的度数为
31．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，在四边形中，，若，，则 ．
32．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）点A，B，C在上的位置如图，已知，则 °．
33．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD= ．
34．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图,木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的半径，他将角尺的直角顶点A放在圆周上，角尺的另两条直角边分别与圆相交，交点分别为B、C，度量AB=8，AC=6，则圆的半径是 .
35．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接，交于点F．
（1）若，求的半径；
（2）若，求的度数．
36．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）四边形是的内接四边形，为上一点（不与，重合），且的度数为，则 ．
37．（25-26学年九上·江苏南通·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
如图1，在中，是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=___________°．
（2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数．
（3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值．
（4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与，重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，则的取值范围为___________．
38．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）【特例感知】
（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为 ，点D到直线的距离为 ；
【类比迁移】
（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．
39．（25-26学年九上·江苏南京·期中）（1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：．
（2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
（3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围．
40．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，是\overset{\overparen }{AB}的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为 ．
41．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，是的外接圆，．过点B作，垂足为F，与交于点D，连接并延长，与交于点
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：．
42．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，已知内接于，作的垂直平分线交于点，连接．若，则 °．
43．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下的定义；若图形上存在点和点，使得，则称点是图形的勾股点．如图（1），已知点，连接MN．
（1）①在点中，线段的勾股点是__________．
②如图（2），以线段为直径作，若点是的勾股点，求所有点组成的区域的面积．
（2）如图（3），将点M，N沿轴正方向向上平移3个单位长度，得到点，顺次连接点，，得到矩形．若点是矩形的勾股点，请在图中用阴影描出所有点组成的区域，无须说明理由．
44．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
45．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，是的弦，，．
（1）该圆的半径长为______；面积的最大值为______；
（2）如图，若点在弓形内部，证明：．
（3）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，坐标为，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，则的取值范围为______．
46．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，的半径为5，为直径，E为上一点，过点E作弦，M是上一动点，点N为线段上一点，点F为线段上异于O，M的一点.
（1）若_______，_______，求证：_______；（请将信息“①M、N、B三点共线；②；③；”分别填入三条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
（2）在（1）的条件下：
①若，，求的长；
②设，，当时，求y关于x的函数关系式．
47．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，在以为直径的半圆中，、为半圆的三等分点，过点作，交延长线于点，连接交于点，则 ．
48．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）【问题】：有一张平行四边形纸片，，，，请在纸片上找一点P，使得．
【探究】：小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点．
体会小明的思考过程，回答下列问题：
（1_______°；所在的圆的半径长为_______用含a的代数式表示）．
【类比】：请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题：
如图2，若【问题】中纸片上有一点P，且．
（2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）；
（3）在（2）条件下连接，求线段的最小值（用含a的代数式表示）．
【应用】：（4）如图3，四边形是一块平行四边形空地，经测量，，．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为，，，，且．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹．为节约成本，要求面积尽可能的小，则面积的最小值为_______．
49．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，，O为射线上一点，以O为圆心，作半径为2的，，为上的点，且。若射线上存在点P，使得，且点P在外，则线段长度的最大值为 ．
50．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）在中，，是中线，是的中点，则长度的最小值是 ．
51．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图1， AB是⊙O的直径， C在⊙O上， ∠BAC=45°， 弧CE=弧BD， 连接AD， CD．
（1）求证∶ CD⊥AE；
（2）若AB=4， ∠BAD=30°， 求AE的长；
（3）若D在如图2所示位置时，连接BD，则 的值是否为常数？若是常数，请求此值：若不是常数，请说明理由．
考点06 弧长和扇形面积
1．（25-26学年九上·江苏常州·期中）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（）
A.
B.
C.
D.
2．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在地球上，两地经度相同，纬度分别为（即）和（即）．已知地球的半径约为，则地球表面两地的距离（即的长）约为（ ）
A.
B.
C.
D.
3．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
4．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：
①勒洛三角形是中心对称图形；
②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为；
③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
5．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ．
6．（25-26学年九上·江苏南通·期中）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ．
7．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．
8．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了 ．（结果保留）
9．（25-26学年九上·江苏南京·期中）已知扇形的面积为，半径为3，则这个扇形的弧长是 （结果保留）．
10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了 （结果保留π）．
11．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
12．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是 ．
13．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
14．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．
16．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为 ．
17．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____；
（2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积：
（3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）．
18．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）【主题】利用圆形纸片制作立体图形
【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水；
【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）；
活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）；
活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形；
【实践探究】
（1）计算的长和扇形的面积（取3）；
（2）求圆锥的高；
（3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？
19．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）求扇形MAC的面积．（结果保留π）
20．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
（2）求弧ABC的长．
21．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，已知扇形的半径，点P为弧上一动点，作，，垂足为M、N，当取最大值时，扇形的面积为 ．
22．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 cm．
23．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为 ．
24．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图是的网格，网格边长为，的顶点在格点上，其外接圆如图所示．
（1）仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出外接圆的圆心（保留作图痕迹）；
（2）求劣弧的长．
25．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面．
（1）该圆锥的底面圆的半径为______cm；
（2）已知矩形纸片的边长分别为，
（i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．
①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由；
②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值．
（ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围．
26．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽．
（1）求该纸帽的底面半径．
（2）如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度．
27．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，扇形是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为 ．
试卷第1页，共3页
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专题05 圆
6大高频考点概览
考点01 圆的有关概念
考点02 过三点的圆
考点03 垂直于弦的直径
考点04 圆心角
考点05 圆周角
考点06 弧长和扇形面积
考点01 圆的有关概念
1．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（ ）
A. 点A在外
B. 点A在上
C. 点A在内
D. 不能确定
【答案】A
【分析】
本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可．
【详解】
解：∵，
∴点A在外
故选：A
2．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）若点P在内，且，则的半径可能为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】D
【分析】
本题考查点和圆的位置关系，点P在圆内时，点P到圆心的距离小于圆的半径．掌握点和圆的位置关系是解题的关键．
【详解】
∵点P在内，
∴，
∵，
∴，
∴的半径可能为6．
故选：D．
3．（25-26学年九上·江苏南通·期中）⊙的半径为3，点到圆心的距离为5，点与⊙的位置关系是（ ）
A. 无法确定
B. 点在⊙上
C. 点在⊙外
D. 点在⊙内
【答案】C
【分析】
本题考查点与圆的位置关系． 若的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在上；当时，点P在内；当时，点P在外．熟记相关结论即可．
【详解】
解：∵
∴ 点P在外；
故选：C
4．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）已知点在直径为6的上，则的长度是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】B
【分析】
本题考查圆的基本性质：半径等于直径的一半．
点在圆上，是半径；根据直径求半径即可．
【详解】
解：∵的直径为6，
∴半径．
故选：B．
5．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）已知的直径为，点在外，则长可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
本题考查了点和圆的位置关系，本题先求解圆的半径，再利用点在圆外，可得，从而可得答案；熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解题的关键．
【详解】
解：∵的直径为，点在外，
∴的半径为，
∴，
∴长可能是．
故选：A．
6．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4 cm
【答案】A
【分析】
由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
【详解】
解： ∵点A在半径为2cm的圆内，
∴点A到圆心的距离小于2cm，
故选：A．
【点睛】
本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
7．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）已知的半径为3，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（ ）
A. 在圆内
B. 在圆上
C. 在圆外
D. 不能确定
【答案】C
【分析】
本题考查的是点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键；
当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；据此即可得出答案．
【详解】
解：∵的半径为3，,
∴点M到圆心的距离大于圆的半径，
∴点M在圆外．
故选：C．
8．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A
【详解】
点在圆内，点到圆心的距离小于半径，
又因为圆的半径为6，
所以OP的长小于6，
因为5＜6，所以选项A符合题意，
故选A
9．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内
B. 点在上
C. 点在外
D. 无法确定
【答案】C
【分析】
此题考查三角形三边关系和点与圆的位置关系．通过三角形三边关系确定的最小值，与半径比较即可判断位置关系．
【详解】
解：∵点P在上，
∴．
又∵，
在中，根据三角形三边关系：，
∴（半径），
∴ 点A在外．
故选：C
10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D
【分析】
根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
【点睛】
本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
11．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）下列说法错误的是（ ）
A. 直径是圆中最长的弦
B. 长度相等的两条弧是等弧
C. 面积相等的两个圆是等圆
D. 半径相等的两个半圆是等弧
【答案】B
【分析】
根据直径的定义对进行判断；根据等弧的定义对进行判断；根据等圆的定义对进行判断；根据半圆和等弧的定义对进行判断．
【详解】
解：A、直径是圆中最长的弦，所以选项的说法正确，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以选项的说法错误，符合题意；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以选项的说法正确，不符合题意；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以选项的说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
12．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，是⊙的直径，点在⊙上，，垂足为，，点是⊙上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为6，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，三角形中位线定理等知识，连接，取的中点，连接和，设的半径为，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，确定当点三点共线时，有最大值，此时，得到，根据直角三角形的性质求得，得到，求出即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】
解：如图，连接，取的中点，连接和，设的半径为，
点为的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
，
点是上的动点（不与重合），点为顶点，
点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上，则，
当点三点共线时，有最大值，此时，
，
，
，
点为的中点，
，
，
解得：，
，
在中，，
故选：B．
13．（25-26学年九上·江苏南京·期中）平面内，若的半径为，，则点在 ．(填“内”、“上”或“外”)
【答案】内
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小进行判断．
【详解】
解：的半径，点到圆心的距离，
，
故点在内．
故答案为：内．
14．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）半径为4，点A到点O距离为3，则点A在 （填“上”“内”或“外”）．
【答案】内
【分析】
根据点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内判断即可得到答案．
【详解】
解：∵ ，
∴点在圆内，
故答案为：内．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系：在圆上，在圆外，在圆内．
15．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，设运动时间为t秒．
（1）当时，的面积为______；
（2）是否存在一个时刻，使得点Q在的垂直平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值．
【答案】（1）28； （2）存在，； （3）当或时A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上
【分析】
（1）由矩形的性质得出，，，由题意得出，，，，由矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即可得出答案；
（2）由得出，解方程可得出答案；
（3）证出A、P、D三点在以为直径的圆上，由圆周角定理得出，由勾股定理得出方程，解方程即可．
(1) 小问详解：
解：∵四边形是矩形，
，，，
由题意得：，，
，，
当时，，，，，
的面积，
故答案为：28；
(2) 小问详解：
解：存在；
当时，Q在DP的垂直平分线上，
，
解得，舍去，；
(3) 小问详解：
解：，
、P、D三点在以DP为直径的圆上，
若点Q也在圆上，则，
，，，，
；
解得，，
当或时，A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质、三角形面积、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，在矩形中，，动点P在边上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿向点A运动，同时动点Q在对角线上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）当P、Q两点间的距离为时，运动时间_________；
（2）当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值．
【答案】（1）运动时间或． （2）或或．
【分析】
（1）如图，连接，过作于，求解，结合，，可得，求解，，再进一步利用勾股定理求解即可．
（2）由（1）得：，，，，，
∴，分三种情况：当为圆心时，则，当为圆心时，，当为圆心时，，进一步利用勾股定理建立方程求解即可．
(1) 小问详解：
解：如图，连接，过作于，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：或，
综上当P、Q两点间的距离为时，运动时间或．
(2) 小问详解：
解：由（1）得：，，，，，
∴，
当为圆心时，则，
∴，
解得：，
当为圆心时，，
∴，
解得：或（舍去），
当为圆心时，，
∴，
解得：或（舍去），
综上：的值为：或或．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
考点02 过三点的圆
1．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解．
【详解】
解：如图，
由图可知：的外心坐标是；
故选B．
2．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）命题“直角三角形的外心是其斜边的中点．”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】
此题考查了直角三角形外心的位置．直角三角形的外心是其外接圆的圆心，由于直角三角形的斜边是外接圆的直径，因此外心位于斜边的中点．据此进行判断即可．
【详解】
解：在直角三角形中，直角所对的边是斜边．根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此直角三角形的斜边是其外接圆的直径．外心是外接圆的圆心，圆心是直径的中点，故直角三角形的外心是斜边的中点．因此该命题是真命题．
故答案为：真．
3．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点A、B、P的坐标分别为． 若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键．
如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求．
【详解】
解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，
在圆上的格点有，，，
∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限，
∴点C的坐标为或或，
故答案为：或或．
4．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）尺规作图：作已知圆的一条直径．
要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．
【答案】如图所示，直径与即为所作．
【分析】
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
方法1：在圆上任取弦，作线段的垂直平分线，与圆分别交于点，，连接，根据垂径定理可知为已知圆的一条直径；
方法2：在圆上任取弦，过点作的垂线，交圆于点，连接，由圆周角定理可知为已知圆的一条直径．
【详解】
解：略．
5．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，在中，，，．点P沿着折线段运动，若点P在运动的过程中，的外心O在的边上，则符合条件的点P有 个．
【答案】4
【分析】
本题主要考查了三角形外心的定义，直角三角形的性质．作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，根据的外心一定在直线上，得出当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是外心，点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，画图得出答案即可．
【详解】
解：作线段的垂直平分线，分别交、于点F、E，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的外心一定在直线上，
∴当的外心O在的边上时，直线与、的交点F、E就是的外心，
∴点P在以点F为圆心，为半径的圆上，或以点E为圆心，为半径的圆上，
∴如图，，与、、的交点即为点P的位置，
∵，
∴点在上，
∴符合条件的点P有4个，
故答案为：4．
考点03 垂直于弦的直径
1．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（ ）
A.
B. 4
C.
D. 8
【答案】C
【分析】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过等腰直角三角形得到是解题的关键．
先求出的度数，再结合垂径定理证是等腰直角三角形，求出的长度，即可求解．
【详解】
解：
的直径垂直于弦
又
．
故选：C．
2．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，是的半径，是的弦，且于点D．若，则弦的长是 ．
【答案】16
【分析】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
由垂径定理可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据即可求出弦的长．
【详解】
解：∵是半径，是的弦，且于点，
，
在中，根据勾股定理可得：，
，
故答案为：16．
3．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆在水面下的最深处到水面的距离为 米．
【答案】1
【分析】
本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可．
【详解】
解：如图，过点O作交于点E， 交⊙O于点D，如图，
∵，
∴米，
根据题意得：米，
设圆的半径为r米，
∵，
∴（米），
∵圆心到水面的距离为4米，
∴（米），
∴该圆在水面下的最深处到水面的距离为为1米，
故答案为：1．
4．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，的半径为，圆心到的距离，则 ．
【答案】6
【分析】
本题考查垂径定理、勾股定理，先根据勾股定理求得，再根据垂径定理求解即可．
【详解】
解：∵的半径为，圆心到的距离，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：6．
5．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则 ．
【答案】9
【分析】
本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由于点，，根据垂径定理得，而，，则，由勾股定理得，求得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】
：连接，
是的直径，是的弦，且于点，，
，
，，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：
6．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，点在内，已知的半径为，，则经过点的最短弦长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了垂径定理，正确理解过的最短的弦的位置是关键．先证出弦与垂直时，弦最短，进而即可求解．
【详解】
解：如图，过点作弦，过点作，，
，
，
，
当弦与垂直时，弦最短，如图所示：
，
则，
故答案为：．
7．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）定义：关于的方程，如果、、满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题：
（1）请写出一个“经典方程”：____________________；
（2）求证：关于的“经典方程”必有实数根；
（3）如图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于的方程是“经典方程”，求的度数．
【答案】（1） （2）
证明：关于的方程是“经典方程”，
且，
① 当时，
，
方程有两个实数根，
② 当时，
方程为，，
该方程有实数根，
“经典方程”必有实数根； （3）
【分析】
本题考一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义，是解决问题的关键．
（1）由“经典方程”满足的条件，即可写出一个“经典方程”；
（2）由是“经典方程”，得且，，时，，方程有两个实数根，时，方程，，方程有实数根，得“经典方程”必有实数根；
（3）作于，延长交于，根据垂径定理得，，，根据勾股定理得，根据“经典方程”得，再证推出；
(1) 小问详解：
解：∵中，，，
，，
∴，
∴满足“经典方程”，
∴“经典方程”可以为：，
故答案为：；
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：作于，延长交于，
，
，
∴，
，，
，
，
是“经典方程”，
，
，
，
，
，
，
∴，
．
8．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，用直尺和圆规作出圆的圆心．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
【答案】解：如图，点O即为所求作：
【分析】
本题考查尺规作图-确定圆心，先任意画一条弦，作垂直这条弦的直径，再作这条直径的垂直平分线与直径的交点即为圆心，此题还涉及垂径定理的推论．
【详解】
解：作图：任意画一条弦，作的垂直平分线得到直径，再作直径的垂直平分线交于O，则点O为直径的中点，即为此圆的圆心．
9．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，往半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为 ．
【答案】2
【分析】
本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，过点O作于点D，交于点C，由垂径定理可得，再在中解得的值，即可获得答案．
【详解】
解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：2．
10．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）已知是的一条弦，是内一点，在下列情形时，分别经过点作一条弦，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（1）如图（1），点在上；
（2）如图（2），点不在上．
【答案】（1）
如图（1），线段即为所求；
（2）
如图② ，线段即为所求．
【分析】
本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，垂径定理．
（1）如图① ，如图① ，过点O作，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求；
（2）连接，过点O作于点E，以O为圆心，为半径作弧交于点J，分别以O为圆心，以为半径画弧，以P为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点F，作直线交于点C，D，线段即为所求．
(1) 小问详解：
由作法可知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2) 小问详解：
由作法可知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，内接于，．连接并延长，交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）
证明：如图1，连接、，
∵内接于，
∴，
∵，
∴，
∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，
∴垂直平分； （2）
【分析】
本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．
（1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分；
（2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可．
(1) 小问详解：
略；
(2) 小问详解：
解：由（1）知，，，
由垂径定理可得，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
12．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）尺规作图：如图，已知线段、是直线外一点，作与直线相交于点A，B，且．
【答案】如图即为所求，
【分析】
本题考查尺规作图，垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先作线段的垂直平分线，得到长的线段，再过O点作于点，以为圆心，为半径画弧，分别与直线交于两点，最后以O为圆心，为半径画圆即为所求．
【详解】
略
13．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
【答案】
【分析】
本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径．
【详解】
解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
14．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，是的弦，点，在\overset{\overparen }{AB}上，，，垂足分别为，，．
（1）如图（1），若是的直径，求证：．
（2）如图（2），若不是的直径，
①求证：；
②若，则的半径为___________．
【答案】（1）
证明：连接，则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴； （2）
① 过O作于G，则，
∵，
∴，则，
过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，如图（2），
∵，，
∴，，
∴四边形、四边形是矩形，
∴，，，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
【分析】
此题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）连接，欲证与相等，先证、关系，再证明即可；
（2）① 过O作于G，先证明，过O作，分别交延长线、延长线于M、N，连接、，证明四边形、四边形是矩形得到，，，证明得到，进而可得结论；
② 连接，设，利用垂径定理和勾股定理求解x值即可解答．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：① 略
② 如图（2），连接，
设,
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，又，
∴，解得，
∴，则，
即该圆的半径为．
15．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上．
（1）若点B是的中点，求证：；
（2）若，，求的半径r．
【答案】（1）证明见解析 （2）10
【分析】
本题考查了垂径定理，弧、弦及圆心角间的关系，勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键．
（1）证明，可得，即可证明；
（2）由垂径定理可得，然后设的半径为r，由勾股定理即可列出方程，解方程即可求得答案．
(1) 小问详解：
证明：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2) 小问详解：
解：连接,
设的半径为r，，
则，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径为．
考点04 圆心角
1．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解．
【详解】
解：如图，连接，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
2．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和．
（1）以点为位似中心，将放大得到，使得点A、B、C的对应点分别为、、，请在所给的网格图中画出；
（2）若的外接圆圆心为点，则圆心的坐标为__________，的半径为__________，的度数为__________．
【答案】（1）
如图，即为所求．
（2），，
【分析】
该题考查了位似图形、勾股定理和勾股定理逆定理、三角形外接圆等知识点，解题的关键是正确作图．
（1）根据点和的坐标分别为和，得出和的相似比是，从而得出、，画图图形即可．
（2）根据的外接圆圆心即为三边垂直平分线的交点，作的垂直平分线，两直线的交点即为点，勾股定理求出即为的半径，证明是等腰直角三角形，得出，即可求解．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：如图，点即为所求，，
的半径为，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的度数为．
3．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，点在上，，．求证．
【答案】证明：∵，
∴\overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{CD}，
∵，
∴，
∴，
∴\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{CE}，
∴\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{DE}，
∴．
【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系，先由得\overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{CD}，由得，则\overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{CE}，求出\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{DE}，即可得出结论．
【详解】
略
4．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知AB，CD是的弦，点与AB，CD位置如图所示，．
（1）求证．
（2）仅用无刻度的直尺作弦CD的垂直平分线，说明理由．
（3）若之间的距离为39，求的半径．
【答案】（1）
证明：连接，
∵，
∴，
∴． （2）
如图，为的垂直平分线；
连接交于P点，连接并延长，与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴点和点都在的垂直平分线上，
∴为的垂直平分线． （3）25
【分析】
本题考查了垂直平分线基本性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握基本性质是解题关键；
（1）连接，通过圆周角定理得到，再根据平行线的性质即可得证；
（2）连接交于P点，如图，根据圆周角定理得到，则，由于，根据线段垂直平分 线的性质定理的逆定理得到点P和点O都在的垂直平分线上，从而判断垂直平分；
（3）连接、，交于E点，交于F点，设的半径为r，，则，根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，，再利用勾股定理列方程，解方程组即可．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：连接、，设的半径为r，，则，
∵，，
∴，
∴，，
在中，，即，
在中，，即，
联立方程① ② ，解得：（负值已舍去）．
考点05 圆周角
1．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，在中，，则的大小是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查圆周角定理，根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
2．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，点在上，若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
本题考查圆周角定理，根据圆周角定理直接求解即可．
【详解】
解：∵\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AB}，，
∴，
故选：D．
3．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，，是的半径，若，则的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
根据圆周角定理进行求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
4．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【详解】
解：连接，
是的中点，
，
，
，
故选：．
5．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）已知，分别与相切于A，B两点，点在上，不与点A，B重合．若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D. 或
【答案】D
【分析】
本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，求解，再根据的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案．
【详解】
解：如图，连接 ，分别与相切于两点，
，
，
，
，
的度数为或，
故选：D．
6．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）下列说法正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 同一平面内三点确定一个圆
C. 相等的圆周角所对的弧相等
D. 任何三角形有且只有一个内切圆
【答案】D
【分析】
本题考查圆的基本性质，包括弦与直径的关系、确定圆的条件、圆周角与弧的关系以及三角形内切圆的性质．选项A、B、C均需附加条件才成立，而选项D符合三角形内切圆的唯一性，即可得出答案．
【详解】
解：A、平分弦的直径垂直于弦，需弦不是直径才成立，但选项未指定，选项错误；
B：三点共线时不能确定圆，B选项错误；
C：相等的圆周角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，但选项未指定，C选项错误；
D：任何三角形的三条角平分线交于一点（内心），该点到三边距离相等，因此有且只有一个内切圆，D选项正确；
故选：D．
7．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后根据平角的定义即可得．
【详解】
解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
∴
故选：C．
8．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图， 四边形是的内接四边形， 若， 则的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】
本题考查圆内接四边形性质和圆周角定理，运用转化思想，关键是由圆内接四边形对角互补得，再由圆周角定理求，易错点为对圆内接四边形性质或圆周角定理的概念混淆．
【详解】
解：∵四边形是的内接四边形，
∴（圆内接四边形的对角互补）；
∵，
∴；
∴（圆周角定理），
故选C．
9．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，点A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴．
故选：D．
10．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，是的直径，C、D是半圆上的两点，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算，即可解答．
【详解】
解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：A．
11．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，是的直径，点和点是上的两点且位于直径的两侧．若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键．
根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可．
【详解】
解：，
，
是直径，
，
．
故选：A．
12．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式，掌握圆周角定理是解决本题的关键．先根据圆内接四边形对角互补求出，根据三角形内角和求出，再求\overset{\overparen }{CD}所对的圆心角，最后根据弧长公式求得\overset{\overparen }{CD}的长．
【详解】
解：在中，，
，
，
连接，则，
的半径为3，
\therefore \overset{\overparen }{DC}的长为．
故选：．
13．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【分析】
由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】
解：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
14．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在中，将沿着弦所在直线折叠，交弦于点，连接．若 ，则的长度是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【分析】
过点作于点的延长线交于点，连接，由折叠性质得点的对应点为点，则，证明得，在中，根据得，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，据此即可得出的长．
【详解】
解：过点作于点的延长线交于点，连接，如图所示：
，
由折叠性质得：点的对应点为点，
，
∴四边形内接于，
，
又 ∵，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即的长度是．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，圆周角定理，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，灵活运用含有角的直角三角形性质及勾股定理进行计算时解决问题的关键．
15．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 50°
B. 80°
C. 100°
D. 130°
【答案】D
【分析】
根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，得到∠A=50°，再根据圆内接四边形的对角互补可求得∠C．
【详解】
解： ∠BOD＝100°，
，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
．
故答案为：D．
16．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，在的外接圆中，，是直径，作交于点F，交于点E，连接，下列结论不一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 四边形为菱形
【答案】C
【分析】
根据等边对等角和平行线的性质得到，从而得出，可判断A选项；根据等腰三角形三线合一的性质证明，进而证明四边形为菱形，可判断D选项；证明四边形为平行四边形，再根据等弧所对的弦相等，推出，可判断B选项；不一定成立，可判断C选项．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，A选项结论正确，不符合题意；
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形，D选项结论正确，不符合题意；
如图，连接，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，B选项结论正确，不符合题意；
不一定成立，
C选项结论错误，符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
17．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，AB是直径，点是圆上一动点（不与点A、B重合），以AO、AC为邻边作平行四边形OACD，射线OD交于点，连结AE、BC交于点F，BC与OD相交于点．则下列结论：①CD与相切；②若点为AE的中点，则；③若，则；④连接BE，作交AB于点，则．其中正确的是（ ）
A. ①③
B. ②④
C. ③④
D. ②③④
【答案】D
【分析】
利用切线的定义，找出反例即可判断① 错误；利用平行四边形性质和中点证明，再结合中位线可判断② 正确；根据弦等转弧等，利用，得出平分，从而得出\overset{\overparen }{CE}=\overset{\overparen }{BE}，再根据等边三角形与含直角三角形的性质得出即可判断③ 正确；利用平行线与圆内接四边形对角互补可证得，再根据三角形内角和为结合可证明，即可判断④ 正确．
【详解】
① 当点C运动至下图时，与不相切，故① 错误；
②点F为中点，
，
四边形为平行四边形，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
为中位线，
，
故② 正确；
③，
\therefore \overset{\overparen }{AE}=\overset{\overparen }{BC}，
\therefore \overset{\overparen }{AC}\mathrm{＋}\overset{\overparen }{EC}=\overset{\overparen }{BE}+\overset{\overparen }{EC}，
\therefore \overset{\overparen }{AC}=\overset{\overparen }{BE}，
，
，
，
，
，
\therefore \overset{\overparen }{EC}=\overset{\overparen }{BE}=\overset{\overparen }{AC}，
，，
，
，
，
故③ 正确；
④ 如图，连接、、交于点H，
，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④ 正确；
综上所述，② ③ ④ 正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了切线的定义，垂径定理，相似三角形的判定，平行四边形的性质，圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握以上知识点并且灵活运用，是解本题的关键．
18．（25-26学年九上·江苏南通·期中）求证：圆内接平行四边形是矩形．
下面已经画出了图形，并写出了已知和求证，请将该命题的证明过程补充完整．
已知：如图，内接于．
求证：是矩形．
证明：
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定，由平行四边形的性质得到，由四边形内接于，得到，再得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】
略
19．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，是的外接圆，直径，，则长为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查圆周角的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解．
【详解】
解：连接，如图所示：
∵，是的直径，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
故答案为．
20．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，在中，，半径，，垂足为D，．
（1）求证：\overset{\overparen }{BM}=\overset{\overparen }{CN}；
（2）若的半径为5，，则______．
【答案】（1）
证明：，
\therefore \overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AC}，
，，
\therefore \overset{\overparen }{BM}=\frac{1}{2}\overset{\overparen }{AB}，\overset{\overparen }{CN}=\frac{1}{2}\overset{\overparen }{AC}
\therefore \overset{\overparen }{BM}=\overset{\overparen }{CN}； （2）2
【分析】
本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键．
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AC}，再根据垂径定理得\overset{\overparen }{BM}=\frac{1}{2}\overset{\overparen }{AB}和\overset{\overparen }{CN}=\frac{1}{2}\overset{\overparen }{AC}，即可得出结论；
（2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：如图，连接，
，，
，
，
，
．
故答案为：2 ．
21．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，四边形内接于，延长交于点．若，则 °．
【答案】110
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆周角定理得到，进而求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】
解：∵是的直径，
，
，
四边形内接于，
，
，
故答案为：110．
22．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）四边形是的内接四边形，若，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
根据圆内接四边形的性质得，，则利用可计算出，然后利用互补计算出．
【详解】
解：∵四边形是的内接四边形，
∴，，
∵，
设，则，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
23．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为 ．
【答案】度
【分析】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，根据直径所对的圆周角等于可得，进而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得．
【详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
24．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面C处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为 ．
【答案】
【分析】
取圆心O，连接 ，，，，根据圆周角定理得，设半径为r米，则米，在中，根据勾股定理得，解，圆弧所在圆的半径为米．
本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】
解：如图，取圆心O，连接 ，，，，
∵， 米，
∴，米，
∴，
设半径r为米，
则米，
在中，根据勾股定理得，
即，
解得，
∴圆弧所在圆的半径为米．
故答案为：．
25．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD是半径,且OD∥AC，求证：=.
【答案】证明：连接OC，
∵OD∥AC，
∴∠BOD=∠A，∠COD=∠C，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∴∠COD=∠BOD，
∴=.
【分析】
首先连接OC，由OD∥AC，易得∠BOD=∠A，∠COD=∠C，继而证得∠COD=∠BOD，则可得=.
【详解】
略
【点睛】
此题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于作辅助线.
26．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为
【答案】度
【分析】
本题考查了直径所对的圆周角等于，直角三角形的两个锐角互余，圆的内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由是的直径得，进而求得，再根据圆的内接四边形对角互补得，即可求解．
【详解】
解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
27．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦．若，，则 ．
【答案】
【分析】
根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
28．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，\overset{\overparen }{DB}的度数为，则 ．
【答案】105
【分析】
本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据圆周角定理求得
，，则，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可．
【详解】
解：连接，，如图，
∵是半圆的直径，
∴，
∵\overset{\overparen }{DB}的度数为，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴．
故答案为：105．
29．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，四边形内接于，．求证：．
【答案】证明：如图所示，连接，
，
\therefore \overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{CD}，
，
．
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴．
【分析】
本题主要考查了弧、弦和圆周角之间的关系，平行线的判定与性质、圆内接四边形的性质，连接，可证明\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{CD}，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据平行线的判定可得，则，结合圆内接四边形的对角互补和补角性质可证明结论．
【详解】
略
30．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，是五边形的外接圆，C是\overset{\overparen }{BD}的中点，若，，则的度数为
【答案】
【分析】
本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可．
【详解】
解：连接，，
四边形是的内接四边形，
，,
是\overset{\overparen }{BD}的中点，
\therefore \overset{\overparen }{BC}=\overset{\overparen }{CD}，
,
,
四边形是的内接四边形，
,
故答案为：．
31．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，在四边形中，，若，，则 ．
【答案】
【分析】
此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．根据得点A，B，C在以点O为圆心，以为半径的圆上，再根据圆心角与圆周角的关系得，然后根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵，
∴点A，B，C在以点O为圆心，以为半径的圆上，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
32．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）点A，B，C在上的位置如图，已知，则 °．
【答案】34
【分析】
本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键；
连接，通过等腰三角形的性质得到，，进而得到，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】
解：连接，
∵，
∴，，
∴，
∵\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AB}，，
∴，
∴．
故答案为： ．
33．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD= ．
【答案】40°
【详解】
连接CD，
则∠ADC=∠ABC=50°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°，
故答案为： 40°.
34．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图,木工师傅常用一种带有直角的角尺来测量圆的半径，他将角尺的直角顶点A放在圆周上，角尺的另两条直角边分别与圆相交，交点分别为B、C，度量AB=8，AC=6，则圆的半径是 .
【答案】5
【详解】
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角，得BC是直径，由于AB=8，AC=6，利用勾股定理得， ,则半径为5.
35．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接，交于点F．
（1）若，求的半径；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）10 （2）
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂径定理可得，，设，则，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案；
（2）连接，证明，得出，求出，根据圆周角定理即可得出答案．
(1) 小问详解：
解：是的直径，弦于点，
，，
设，则，
，
，
解得：，
即的半径为10；
(2) 小问详解：
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
36．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）四边形是的内接四边形，为上一点（不与，重合），且的度数为，则 ．
【答案】或
【分析】
本题主要考查圆周角定理和圆内接四边形的性质；先求出，再分两种情况：当点E在上时，当点在上时，计算即可．
【详解】
解：∵的度数为，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
当点E在上时，
∴，
当点在上时，
，
综上所述或，
故答案为：或．
37．（25-26学年九上·江苏南通·期中）（1）【学习心得】小悦同学在学习完《圆》这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
如图1，在中，是外一点，且，求的度数．
解：若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=___________°．
（2）【初步应用】如图2，已知，，，求的度数．
（3）【问题解决】如图3，在正方形中，已知，点是边上一点，且，点是边上一动点（点不与，重合），连接，作点关于直线的对称点，求线段的最小值．
（4）【问题拓展】如图4，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点（不与，重合），将沿所在直线翻折得到，连接，设的长为，则的取值范围为___________．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）通过线段，确定以为圆心、为半径作辅助圆，利用圆心角与圆周角的关系求解即可．
（2）由，构造以为圆心的辅助圆，结合圆周角定理和角的倍数关系求解即可．
（3）利用对称性质确定点的轨迹是圆，再根据圆外一点到圆上点的距离最小值公式（）求解即可．
（4）由翻折性质确定点的轨迹是圆，结合平行四边形性质、勾股定理和三角形三边关系求解取值范围即可．
【详解】
（1）解：以点为圆心，为半径作，
，
点、、在上，
（圆心角），
，
故答案为：；
（2）解：以为圆心，为半径作，
，
点、、在上，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：连接、、，
点关于直线的对称点是，
，
，，
，即，
点在以为圆心，为半径的圆上，
在中，，，
，
∵，
的最小值为；
（4）解：连接，过作于，
四边形是平行四边形，
，，
是中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
，，
，
∴是等腰直角三角形，，，
，
，，
，
根据三角形三边关系得，
，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了圆的性质（圆周角定理、圆的定义）、轴对称的性质、正方形和平行四边形的性质、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握辅助圆的构造方法是解题的关键．
38．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）【特例感知】
（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为 ，点D到直线的距离为 ；
【类比迁移】
（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．
【答案】（1）；；
（2），理由如下：
如图②，连接，作交的延长线于点N，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）．
【分析】
（1）利用角平分线的定义得出，再利用圆的内接四边形的性质即可求得，利用直径所对的圆周角是，继而求出，，再证明，利用相等的圆周角所对的弦相等得出，过点D作于点E，利用含的直角三角形的性质即可得解；
（2）连接，作交的延长线于点N，证明得到，再证明得到，从而得到；
（3）作于点G，交的延长线于点H，证明得到，设，再证明四边形是正方形，从而得到，从而得到，，，再利用建立方程，求出x，从而得解．
【详解】
（1）∵平分，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点D作于点E，则，，
则有，
∴，即点D到直线的距离为，
故答案为：；；
（2）略
（3）如图③，作于点G，交的延长线于点H，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得， (不符合题意，舍去)，
∴，
∴线段的长为．
【点睛】
本题考查圆的综合，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的解法等知识，灵活运用圆的性质和利用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．
39．（25-26学年九上·江苏南京·期中）（1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：．
（2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
（3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围．
【答案】（1）证明：设交于点E，连接，则，
∵，
∴；
（2）如图，作等边，作外接圆O，设与的交点为，，则，故点，即为所求作：
（3）
【分析】
（1）根据圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；
（2）根据等边三角形的性质和圆周角定理画图即可；
（3）在图（2）的基础上，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，再根据（1）中结论可得答案．
【详解】
（1）略
（2）略
（3）如图，由（2）中作图痕迹，得，，，
在中，，
由勾股定理得，
∴，则；
中，，，
∴，，
由勾股定理得，
∴，则；
过O作于G，连接，则，，
在中，，，
∴，；
在中，，，
∴，则，
∴，
，
由（1）知，当点C在内部时，，
∴．
【点睛】
本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的尺规作图及其性质、尺规作三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出图形是解答的关键．
40．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，是\overset{\overparen }{AB}的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】
本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质勾股定理等知识，证明是解答的关键．
连接、、、，根据弦、弧关系和等腰三角形的性质得到，结合圆内接四边形的性质推导出，证明得到，进而利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：连接、、、，如图，
∵是\overset{\overparen }{AB}的中点，
∴\overset{\overparen }{AD}=\overset{\overparen }{BD}，
∴，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，又，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
41．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，是的外接圆，．过点B作，垂足为F，与交于点D，连接并延长，与交于点
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：．
【答案】（1）
证明：连接，，延长交于点，
点A在的垂直平分线上．
点O在的垂直平分线上
垂直平分
即
即
； （2）
证明：连接、，如图：
，
，
．
【分析】
本题考查线段垂直平分线性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．
（1）连接，，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质可证得垂直平分，进而证得，从而得出结论；
（2）连接、，根据等腰三角形的性质，结合圆周角定理证得，进而证得，从而得出结论．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
略
42．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，已知内接于，作的垂直平分线交于点，连接．若，则 °．
【答案】36
【分析】
本题考查了圆的内接四边形，垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握基本性质是解题关键；
连接，设，通过等腰三角形性质和内角和定理得到，再通过平行线性质和角度的和差关系得到，，再通过圆的内接四边形性质列出方程解方程即可．
【详解】
解：连接，设，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
又∵四边形内接，
∴，
即，
解得，
∴，
故答案为：36．
43．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下的定义；若图形上存在点和点，使得，则称点是图形的勾股点．如图（1），已知点，连接MN．
（1）①在点中，线段的勾股点是__________．
②如图（2），以线段为直径作，若点是的勾股点，求所有点组成的区域的面积．
（2）如图（3），将点M，N沿轴正方向向上平移3个单位长度，得到点，顺次连接点，，得到矩形．若点是矩形的勾股点，请在图中用阴影描出所有点组成的区域，无须说明理由．
【答案】（1）①；② （2）
分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点．
【分析】
本题考查了新定义，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，理解勾股点的定义是解答本题的关键．
（1）① 根据直径所对的圆周角是直角可知，当点在以为直径的圆上或圆内时符合题意；
② 由① 知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点，然后求出当点P在圆外时使时的最大值即可求解．
（2）分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点．
(1) 小问详解：
① 如图，在圆上取一点P，则，
∵圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角，
∴当点P在以为直径的圆上或圆内时，线段存在点A和点B，使得，
∴点D是线段的勾股点，点F不是线段的勾股点．
∵，
∴点E在圆上，
∴点E是线段的勾股点．
综上可知，线段的勾股点是，
故答案为：；
(2) 小问详解：
② 由① 知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点．
当点P在圆外时，如图，在圆上取点A和点B，使，在直线上取点P，使是等腰直角三角形，以为直角边构造等腰直角三角形，连接，
则，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
∵，
∴的最大值是，
∴所有点组成的区域的面积是以点O为圆心，以为半径的圆，围成的区域，
∴所有点组成的区域的面积；
（3）略
44．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】（1）①；②； （2）
证明：延长交圆于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心． （3）
证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【分析】
（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
(1) 小问详解：
解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
略
【点睛】
本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．
45．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，是的弦，，．
（1）该圆的半径长为______；面积的最大值为______；
（2）如图，若点在弓形内部，证明：．
（3）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，坐标为，过点作轴，轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，则的取值范围为______．
【答案】（1）； （2）
证明：如图，延长，交圆于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【分析】
（1）① 由圆周角定理可得，可证是等边三角形，即可求解；② 由题意可得当点到距离最大时，的面积最大，即可求解；（2）由同弧所对圆周角相等可得，由三角形的外角的性质可得结论；（3）以为边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，可得当点在上方的圆上时，分别求出点在圆上和线段与圆相切时，的值，即可求解．
(1) 小问详解：
解：① 令圆心为，连接，
∴
即是等边三角形，；
② 当点到的距离最大时，的面积最大，如图1，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于，
∴，
∴
∴，
∴的最大面积为：；
故答案为：；；
(2) 小问详解：
略
(3) 小问详解：
解：如图2，以为斜边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，连接，
∴，
∴，
∴，
当点在上方的圆上时，，
∵轴，轴，
∴四边形是矩形，
当点或点在圆上时，
∵，
∴三点共线，
∴，
∴，
∴，
当与圆相切时，点与切点重合，存在一个点使得，此时到的距离为，
∴，即：，
∴．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，圆的有关知识，解题关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹．
46．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，的半径为5，为直径，E为上一点，过点E作弦，M是上一动点，点N为线段上一点，点F为线段上异于O，M的一点.
（1）若_______，_______，求证：_______；（请将信息“①M、N、B三点共线；②；③；”分别填入三条横线中，将题目补充完整，并完成证明．）
（2）在（1）的条件下：
①若，，求的长；
②设，，当时，求y关于x的函数关系式．
【答案】（1）
① ，② ，③ ，
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴． （2）①3，②
【分析】
本题考查了圆的基本性质及勾股定理．
（1）先证明，得同位角相等，再利用等边对等角即可得解；
（2）① 连接，可得，则，所以为等腰直角三角形，即，据此求解即可；② 由题易得，再分别表示出、，建立方程求出关系式即可．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：① 如图，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，
∴，
∴，
此时四边形是矩形，
∴．
② 如图，作，连接，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
47．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，在以为直径的半圆中，、为半圆的三等分点，过点作，交延长线于点，连接交于点，则 ．
【答案】
【分析】
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
如图，连接，根据题意可知都是等边三角形，进而可得四边形是平行四边形，即有，因此可证，得到，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得，再求出，设，则，因此，由即可求出答案．
【详解】
解：如图，连接，
、为半圆的三等分点，
，
又，
都是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
，
故答案为：．
48．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）【问题】：有一张平行四边形纸片，，，，请在纸片上找一点P，使得．
【探究】：小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点．
体会小明的思考过程，回答下列问题：
（1_______°；所在的圆的半径长为_______用含a的代数式表示）．
【类比】：请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题：
如图2，若【问题】中纸片上有一点P，且．
（2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）；
（3）在（2）条件下连接，求线段的最小值（用含a的代数式表示）．
【应用】：（4）如图3，四边形是一块平行四边形空地，经测量，，．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为，，，，且．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹．为节约成本，要求面积尽可能的小，则面积的最小值为_______．
【答案】（1）；
（2）弧中的任意一点P都满足条件，如图所示：
（3）
（4）
【分析】
本题主要考查圆周角的定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理，熟练掌握圆周角的定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理是解题的关键；
（1）根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质可进行求解；
（2）以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，进而问题可求解；
（3）由作图可知，然后可得，进而问题可求解；
（4）由题意易得，所以点Q是在半径为200的圆上运动的点，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴所在的圆的半径长为；
故答案为90，；
（2）略
（3）连接，交于点P，如图所示：
根据圆外的点到圆上的动点距离的最值问题“当且仅当圆外的点，圆上的动点及圆心三点共线时取得最值”可知：此时的值最小，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴由作图可知：，
∴，
过点作于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为；
（4）∵四边形是平行四边形，，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
由是定值，且所对的线段也是定值，可知点Q的运动轨迹是一段圆弧，如图所示，
连接，过点O作于点H，交，分别于点F，G，
∵，
∴，
∴由（3）可知，，
要使的面积最小，由图可知当且仅当点Q与点重合时最小，
∵，
∴优弧所对的圆心角度数为，
∴，
∵，
∴，
同理（3）可得，
∴，
∴的面积最小为；
故答案为．
49．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，，O为射线上一点，以O为圆心，作半径为2的，，为上的点，且。若射线上存在点P，使得，且点P在外，则线段长度的最大值为 ．
【答案】
【分析】
作，有，即取得最大值时也取得最大值，然后由圆周角定理和，可得点P在以为弦，圆心角的上运动，连接，，，，，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，，接着根据得到的最大值，进而根据，得到的最大值，据此计算线段长度的最大值即可．
【详解】
解：如图，作于点D，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当取得最大值时也取得最大值；
∵，
∴点P在以为弦，圆心角的上运动，
连接，，，，，与交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，，
在中，，，
∴，,
∴，
解得，
∴，
，
在中，，，
∴，
∵，
∴当O、E、P三点共线时，取得最大值，最大值为，
又∵，
∴当时，此时取得最大值，最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、两点间线段最短，垂线段最短等，根据圆周角定理得到点P的轨迹，从而求得的最大值是解题的关键．
50．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）在中，，是中线，是的中点，则长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】
根据固定边和固定角，确定点C的轨迹是以为弦、圆周角为的圆，取中点N，连接，由于是中线，D是中点，M是中点，因此点M的轨迹是点C轨迹圆的相似缩小圆,最后，求点B到点M轨迹圆的最小距离，即点B到轨迹圆圆心的距离减去轨迹圆的半径即可求解．
【详解】
解：，
点C在以为弦的圆上，
如图所示，取中点N，连接，
则，
，
．
点D为中点，
，，
则，
则，
，
点M始终在点N的下方处，
则点M的轨迹为以中点Q为圆心，为半径的圆上．
如图，连接，
则当点M在与圆Q的交点处时，取得最小值，
在中，
，
则，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了含30度角的直角三角形特征，圆周角定理，垂线段最短，解直角三角形的相关计算，点的轨迹、圆的性质，勾股定理等知识，能根据题意得出点M的运动轨迹是解题的关键．
51．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图1， AB是⊙O的直径， C在⊙O上， ∠BAC=45°， 弧CE=弧BD， 连接AD， CD．
（1）求证∶ CD⊥AE；
（2）若AB=4， ∠BAD=30°， 求AE的长；
（3）若D在如图2所示位置时，连接BD，则 的值是否为常数？若是常数，请求此值：若不是常数，请说明理由．
【答案】（1）
证明：如图，交于点，连接．
∵为直径，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∴． （2） （3）
【分析】
（1）先证明和，然后推出即可证明结论．（2）根据圆周角定理推出，然后在中分别求出和的长度，再根据勾股定理在中求出的长度．
（3）先根据圆周角定理证明四边形为平行四边形，然后得出为等腰直角三角形，再由得出为常数．
(1) 小问详解：
略
(2) 小问详解：
解：如图，过点作的垂线，为垂足．
∵，
∴，
在中，．
∴，
在中，．
(3) 小问详解：
解：结论：．
如图，连接延长与的延长线交于点，连接，，．
∵，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查圆的性质（直径、弧与圆周角）、等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理，解题中用到的思想是转化思想（将线段转化为全等三角形的对应边）、常数思想（通过几何关系推导固定比值）；方法技巧是利用弧相等转化圆周角与弦长，结合等腰直角三角形的边长比例简化计算．解题关键是熟练应用圆的基本性质和全等三角形判定，避免弧与角的对应关系混淆．易错点是忽略直径对应的直角，或在全等三角形证明中对应边 / 角匹配错误．
考点06 弧长和扇形面积
1．（25-26学年九上·江苏常州·期中）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积．本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和-重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键．
【详解】
解：根据题意可得，
小正方形的边长．
∴
故选：．
2．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，在地球上，两地经度相同，纬度分别为（即）和（即）．已知地球的半径约为，则地球表面两地的距离（即的长）约为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键．
根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴地球表面两地的距离（即的长）约为（）．
故选：B．
3．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】
本题主要考查了弧长的计算，垂径定理的推论，熟记弧长公式是解题的关键．先根据题意得出，结合已知条件求出的度数，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长．
【详解】
解：连接，，，如图所示：
∵A、P、B三点在同一直线上，
经过点，
由题意得为半圆的直径，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴阴影部分的周长为，
故选：B．
4．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：
①勒洛三角形是中心对称图形；
②在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为；
③在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等；
④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
【答案】D
【分析】
根据中心对称图形的概念、弧长公式、圆的周长公式、等边三角形的性质以及圆的性质，进行判断即可．
【详解】
解：① 勒洛三角形不是中心对称图形，故① 错误，不符合题意；
② 在图1中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为，故② 正确，符合题意；
③ 在图2中，设勒洛三角形中等边三角形的边长为，则圆的直径为，
所以勒洛三角形的周长为，圆的周长为，
故在图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故③ 正确，符合题意；
④ 夹在平行线之间的勒洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，
如在图1中，点到上任意一点的距离都相等，故使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故④ 正确，符合题意；
故上述结论中，所有正确结论的序号是：② ③ ④ ；
故选：D．
【点睛】
此题是新定义题，主要考查了平行线间的距离、等边三角形与圆的性质、中心对称、弧长公式等知识，正确理解新定义和熟练掌握相关概念与性质是解答此题的关键．
5．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【分析】
本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．
根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】
解：，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：．
6．（25-26学年九上·江苏南通·期中）已知圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是 ．
【答案】
【分析】
本题考查圆锥侧面积的计算，解题思路是先明确圆锥侧面积的计算公式，再将题目中给定的底面半径和母线长代入公式进行计算．
根据圆锥的侧面积公式进行计算即可．
【详解】
解：圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长．
已知，，
则．
故答案为：．
7．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了圆锥的相关知识，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．根据题意可知，圆锥母线长，圆锥底面周长为，结合“圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长”确定的值，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如下图，
由题意，可知，圆锥底面周长为，
则有，解得，
所以，
即倒入溶液的高度不能超过．
故答案为：．
8．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了 ．（结果保留）
【答案】
【分析】
本题考查弧长的计算，根据砝码提起的长度等于半径为圆心角为的弧长，由此即可计算．
【详解】
解：根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
9．（25-26学年九上·江苏南京·期中）已知扇形的面积为，半径为3，则这个扇形的弧长是 （结果保留）．
【答案】
【分析】
本题考查了扇形的面积与弧长的关系，熟记扇形的面积是解题的关键．
根据扇形的面积公式即可求得扇形的弧长．
【详解】
，扇形的面积为，半径为3，
∴
∴
∴这个扇形的弧长是．
故答案为：．
10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A 的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A 转过的度数为时，重物上升了 （结果保留π）．
【答案】
【分析】
本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
根据题意使用弧长公式计算即可．
【详解】
解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了．
故答案为：．
11．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留π）
【答案】6π
【分析】
由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解．
【详解】
解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π．
故答案为：6π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
12．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径是5，则其母线长是 ．
【答案】12
【分析】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积等于扇形的面积，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用弧长公式建立方程求解．
【详解】
解：设圆锥的母线长为，则扇形的弧长为 ．
圆锥的底面周长为．
根据弧长相等，得，
解得．
故答案为：12．
13．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于 ．
【答案】30π
【分析】
利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．
【详解】
解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．
故答案为30π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】
根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：正方形，
∴，，
∴，
∵正方形的边长为2，
∴
∴阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键．
15．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．
【答案】
【分析】
本题考查了弧长的计算，利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可，掌握弧长的计算方法是解题的关键．
【详解】
解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
∴，
故答案为：．
16．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解．
【详解】
解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示：
由题意得：，，
∴四边形是矩形，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
17．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）（1）某冰激凌纸筒展开后得到半径为，弧长为的扇形，则该纸筒的侧面积为____；
（2）如图①，某纸杯展开它的侧面得到扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），其中的长为的长为的长为．求扇环的面积：
（3）如图②，梯形面积为，扇环面积为，且等于的长，等于的长，，则______（选填“”、“”或“”）．
【答案】（1）54；（2）；（3）
【分析】
本题考查了扇形的面积，扇形面积计算公式为或（其中圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，l为扇形的弧长）．也考查了弧长公式和梯形的面积公式．
（1）直接利用扇形的面积公式计算即可；
（2）设，根据弧长公式得到l_{\overset{\overparen }{BC}}=\frac{n\times 2r\times \pi }{360},l_{\overset{\overparen }{AD}}=\frac{n\times 2\left(r+AB\right)\times \pi }{360}，进而求出r\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}=r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}，再利用扇形的面积公式得到扇环的面积=S_{\mathrm{扇形}AOD}-S_{\mathrm{扇形}BOC}=\frac{1}{2}AB\left(r+l_{\overset{\overparen }{BC}}\right)，则可计算出扇环的面积；
（3）设梯形的高为h，由（2）得S_{2}=\frac{1}{2}\left(l_{\overset{\overparen }{EH}}+l_{\overset{\overparen }{FG}}\right)\cdot EF=\frac{1}{2}\left(AD+BC\right)\cdot EF，根据梯形的面积公式得到，然后利用，即可得到结论．
【详解】
解：（1）该纸筒的侧面积为；
故答案为：54；
（2）设，
∴l_{\overset{\overparen }{BC}}=\frac{n\times 2r\times \pi }{360},l_{\overset{\overparen }{AD}}=\frac{n\times 2\left(r+AB\right)\times \pi }{360}，
∴\frac{l_{\overset{\overparen }{BC}}}{l_{\overset{\overparen }{AD}}}=\frac{n\times 2r\times \pi }{n\times 2\left(r+AB\right)\times \pi }=\frac{r}{r+AB}，
∴r\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}=r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}，
∵S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}OB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}},S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{1}{2}\left(OB+AB\right)\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}，
∴扇环的面积为
=\frac{1}{2}\left(OB+AB\right)\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-\frac{1}{2}OB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}
=\frac{1}{2}\left(r+AB\right)\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-\frac{1}{2}\left(r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}\right)
=\frac{1}{2}r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}+\frac{1}{2}AB\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}-\frac{1}{2}r\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}+\frac{1}{2}AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}
=\frac{1}{2}AB\cdot l_{\overset{\overparen }{AD}}+\frac{1}{2}AB\cdot l_{\overset{\overparen }{BC}}
=\frac{1}{2}AB\left(l_{\overset{\overparen }{AD}}+l_{\overset{\overparen }{BC}}\right)，
∵l_{\overset{\overparen }{AD}}=30\mathrm{cm},l_{\overset{\overparen }{BC}}=20\mathrm{cm},AB=8\mathrm{cm}，
∴扇环的面积为；
（3）设图形的高为h，
由（2）得S_{2}=\frac{1}{2}\left(l_{\overset{\overparen }{EH}}+l_{\overset{\overparen }{FG}}\right)\cdot EF，
∵等于的长，等于的长，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
18．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）【主题】利用圆形纸片制作立体图形
【素材】图1中半径为的圆形纸片（）若干，剪刀，胶水；
【实践操作】活动一：如图2，将圆形纸片沿直线折叠，使点落在圆上，记作点，连接，剪下扇形（圆心角小于）；
活动二：将剪下的扇形，粘贴成如图3所示的圆锥（接缝处忽略不计）；
活动三：将两个相同的圆锥粘贴成如图4所示的立体图形；
【实践探究】
（1）计算的长和扇形的面积（取3）；
（2）求圆锥的高；
（3）制作20个图4这样的立体图形，最少需要准备多少个半径为的圆形纸片？
【答案】（1），扇形的面积约为； （2）圆锥的高为； （3）最少需要准备个半径为的圆形纸片．
【分析】
（1）连接，，先证明是等边三角形，利用垂径定理结合三角函数的知识求得，即可求得，再利用扇形的面积公式求解即可；
（2）先求得圆锥的底面半径，过点作垂直于底面，连接，在中，利用勾股定理求解即可；
（3）根据每个圆形纸片可制作的扇形纸片3张，据此计算即可求解．
(1) 小问详解：
解：连接，，记与交于点，
由折叠的性质知，垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，，
∴，
解得，
∵，，
∴，，
∴扇形的面积；
(2) 小问详解：
解：设圆锥的底面半径为，，
由题意得，
∴，
过点作垂直于底面，连接，
在中，，
即圆锥的高为；
(3) 小问详解：
解：每个圆形纸片制作的扇形纸片：
（个）
制作20个这样的立体图形，需要的扇形纸片：
（个）
，
答：最少需要准备个半径为的圆形纸片．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，圆锥的相关计算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
19．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）求扇形MAC的面积．（结果保留π）
【答案】（1）M（2，1） （2）
【分析】
（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）根据扇形的面积公式，即可求得．
(1) 小问详解：
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB、BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）；
故答案为：（2，1）．
(2) 小问详解：
连接MA、MC，如图所示：
.
由作图知，∠AMC=90°，
所以扇形PAC的面积为：
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理，正确确定圆心是解题的关键．
20．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，．
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______．
（2）求弧ABC的长．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据垂径定理结合网格的性质可得答案；
（2）借助网格求出圆心角度数和半径，再利用弧长公式进行计算即可．
(1) 小问详解：
解：由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P(2，0)，
故答案为：(2，0)；
(2) 小问详解：
解：连接AC，
根据网格可得，OP=CQ=2，OA=PQ=4，
∠AOP=∠PQC=90°，
由勾股定理得，
AP= =PC，
∵AP2=22+42=20，CP2=22+42=20，AC2=22+62=40，
∴AP2+CP2=AC2，
∴∠APC=90°，
∴弧ABC的长为，
答：弧ABC的长为π．
【点睛】
本题考查弧长的计算、垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，掌握垂径定理以及网格特征是确定圆心坐标的关键，求出弧所在圆的半径和相应圆心角度数是求弧长的前提．
21．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，已知扇形的半径，点P为弧上一动点，作，，垂足为M、N，当取最大值时，扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了求扇形的面积，四点共圆，
先说明点O，M，P，N在以为直径的圆上，可知当时，，最大，再根据扇形的面积公式求出答案．
【详解】
解：由，可得，
∴点O，M，P，N在以为直径的圆上，为此圆的直径时，最大，
当时，，最大，
此时扇形的面积为．
故答案为：．
22．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为 cm．
【答案】5
【分析】
根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．
【详解】
设圆锥的母线长为Rcm，
圆锥的底面周长＝2π×2＝4π，
则×4π×R＝10π，
解得，R＝5（cm）
故答案为:5
【点睛】
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
23．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）如图，在扇形中，，圆心角，是上的点，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理求出，进而求出，利用阴影部分的面积等于求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
故答案为：．
24．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图是的网格，网格边长为，的顶点在格点上，其外接圆如图所示．
（1）仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出外接圆的圆心（保留作图痕迹）；
（2）求劣弧的长．
【答案】（1）如图，
（2）．
【分析】
（1）结合三角形的外接圆与外心的性质，分别作，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求．
（2）由图可得，由勾股定理可得，再利用弧长公式计算即可．
(1) 小问详解：
解：分别作、的垂直平分线、，相交于点，则点即为所求．
证明：∵，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴直线垂直平分，
∴，
同理可证垂直平分，
∴，
∴，即点是的外接圆的圆心；
(2) 小问详解：
解：由勾股定理得，，，，
∴，
∴，
∴劣弧的长为．
【点睛】
本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的判定及性质、勾股定理、三角形的外接圆与外心、弧长的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面．
（1）该圆锥的底面圆的半径为______cm；
（2）已知矩形纸片的边长分别为，
（i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上．
①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由；
②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值．
（ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）5 （2）
（i）① 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，
理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点
，
是等边三角形
在中，
在四边形中，
四边形是矩形
、
能剪出作为圆锥底面的圆形纸片；
② 示意图如图所示，
；
（ii）
【分析】
（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可；
（2）（i）① 由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可；
② 当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可；
（ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可．
(1) 小问详解：
解：由题意可知，，
解得
故答案为：；
(2) 小问详解：
（i）① 略
② 此时；
如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G，
则，，
在中，
；
（ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图，
此时，
此时；
情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图，
、
此时
．
【点睛】
本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键．
26．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图（1），正方形纸片边长为是的中点，点E，F分别在边上，扇形纸片的半径．剪下该扇形纸片，将其围成一个如图（2）所示的圆锥形纸帽．
（1）求该纸帽的底面半径．
（2）如图（3），是母线的中点，现要在该纸帽的侧面绕两圈丝带，丝带的起点是，终点是，求丝带的最短长度．
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）根据正方形的性质和锐角三角函数求出相关角的度数，利用弧长公式求出弧的长度，然后再利用圆的周长公式进行求解即可；
（2）点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，利用轴对称的性质确定最短路径，然后利用锐角三角函数和勾股定理解直角三角形即可．
(1) 小问详解：
解：∵四边形为正方形，，且点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴\overset{\overparen }{EF}的长度为，
设该纸帽的底面半径为，
∴，
解得；
(2) 小问详解：
解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，
此时，，，
∴丝带的最短长度为的长度，
∵，
∴为等边三角形，
∴根据三线合一得，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，，
∴丝带的最短长度为．
【点睛】
本题主要考查了扇形和圆锥的关系，弧长公式，线段和最小值，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数和勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握以上性质．
27．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，扇形是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【分析】
设底面半径为r，先利用勾股定理求出扇形的半径OA，再根据弧长等于底面周长列方程求解.
【详解】
设底面半径为r，
∵OA==5，
∴，
解得r=，
故答案为：.
【点睛】
此题考查网格与勾股定理，弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图的扇形的弧长与底面圆之间的等量关系是解题的关键.
试卷第1页，共3页
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