专题06 直线与圆的位置关系（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

**基本信息** 江苏多地九年级期中数学试题汇编，聚焦直线与圆位置关系四大高频考点，通过选择、填空、解答及作图题，系统考查切线证明、内切圆计算、正多边形性质，注重几何直观与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约10题|直线与圆位置关系判断、正多边形内角|结合地球纬度等生活情境| |填空|约15题|切线长计算、内切圆半径|融入足球射门等实际问题| |解答/作图|约25题|切线证明、尺规作圆|综合考查几何推理与作图能力，如过点作圆切线|

专题06 直线与圆的位置关系 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．C 2．B 考点02 圆的切线 1．B 2．B 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D 9．【答案】25 【分析】 连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数． 【详解】 解：连接OB，如图， ∵边AB与⊙O相切，切点为B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠C， ∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C， ∴∠C=∠AOB=25°． 故答案为：25． 【点睛】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 10．【答案】12 【分析】 根据切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角，得到，，，并把的周长转化为，即可解答. 【详解】 设与的切点为E， ∵、分别是的切线，且切点为A、B ∴ 同理可得， 则的周长. 故答案为：12 11．【答案】（1） 如图所示，点M即为所求；      （2）如图所示，直线即为所求；      （3）如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了无刻度直尺作图，切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点M，连接，则点M即为所求； （2）取格点E，作直线，则直线即为所求，可证明； （3）取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即， ∴与相切；     （2）      【分析】 （1）连接，，由是的直径，得到，根据三角形中位线的性质得到，得到，于是得到结论； （2）连接，由勾股定理求出，根据三角形中位线的性质得，则，再由勾股定理可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∴， ∵半径为，， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 13．【答案】 【分析】 依题意，分别标识出切点，连接，如下图，根据切线长定理得出，，，，求出四边形是正方形，得出，得出方程，求出即可． 【详解】 解：设与的切点分别是，连接，    ∵是的内切圆， ∴，，，． ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查勾股定理，正方形性质和判定，切线长定理，三角形的内切圆与内心的应用，关键是能根据题意求出关于内切圆半径的等式． 14．【答案】（1） 与相切．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是 的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又为半径， ∴与相切．     （2）      【分析】 （1）连接，由等边对等角得出，由直角三角形两锐角互余得出，由对顶角相等得出，等量代换可得出，，由等边对等角得出，进而可得出，进一步即可得出与相切． （2）设，则，由勾股定理得出，则，再利用勾股定理分别求出和，再根据三角形的周长求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， 由题意知：，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中， ∴， 在中， ， ∴的周长为： 【点睛】 本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形两锐角，等边对等角，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 15．【答案】（1） 如图，即为所求：      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题考查复杂作图-作圆、作垂线，涉及切线的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键． （1）过A作，在上取点O，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点； （2）过A作，连接，作的垂直平分线交于O，连接，则，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点，且过直线外的一点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过A作，连接，作的垂直平分线交于O，连接，则，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点，且过直线外的一点． 16．【答案】（1） 作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求，如图： （2）5或20 【分析】 此题主要考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定和性质是解决问题的关键 (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求； (2)作的平分线，过点点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求，过点M作交的延长线于点E，于点E，设的半径为R，则，先求出，证明和全等得，则，证明四边形是矩形得、．则．然后在中，由勾股定理求出R即可． 【详解】 解∶ (1)理由如下∶过点O作于点K，如图1所示: 是线段的垂直平分线, ，, 是的半径， 是的切线， 点O是的平分线上的点，，， ． 是的半径, 是切线， 经过边的中点，且与边，相切． 故为所求； (2)依题意有以下两种情况∶ ① 作的平分线，过点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求; 理由如下：过点M作，交的延长线于点E，于点F， 如图2所示∶ 为的半径，，是的切线， 点M在的平分线上，， , 是的半径, 直线是的切线, 经过点B且与、两条边所在直线相切， 故为所求， 设的半径为R，则． 在中，，． 由勾股定理得∶， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得∶， ， 解得∶． 的半径为5； ② 延长到T，作的平分线，过点B作，交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求， 理由：过点M作于点K，连接交于点Q，过点M作， 如图3所示∶ 由作图得是的切线， 平分，， ， ， 是的半径， 是的半径， 又， 是的切线， ， 是的垂直平分线 在中，，，由勾股定理得∶， ， ， , 在中，由勾股定理得∶, , 解得∶， 综上所述∶的半径长为5或20, 故答案为∶5或20． 17．【答案】（1） 证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 18．【答案】50 【分析】 由，可得，再根据切线的性质可得，进而可得的度数．本题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，另外还考查了等腰三角形的性质及三角形内角和．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】 解：，， ， 若与相切， 则， 则． 故答案为：50． 19．【答案】（1）证明：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴；     （2）的半径      【分析】 （1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】 本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 20．【答案】（1） 证明：连接并延长交于H，连接、，则， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，又是的半径， ∴为的切线；     （2）的半径为5      【分析】 本题考查切线的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键． （1）连接并延长交于H，连接、，先证明为线段的垂直平分线得到，，根据平行线的性质可得，然后根据切线的判定可得结论； （2）设，先在中，利用勾股定理求解，再在中，利用勾股定理列方程求得r即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， 在中，， ∴， 则， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为5． 21．【答案】 【分析】 本题考查的是切线性质的应用，连接，，根据题意得到，则根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，计算即可． 【详解】 解：连接，， 由题意得，， 圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B， ，， ∴ ∴ ∴，即圆形玉佩的半径为， 故答案为： 22．【答案】（1） 证明：如图1，设交于点， 是的直径，是\overset{\overparen }{BD}的中点， ，\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AD}， ，， ，， ， ，平分， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线．     （2）      【分析】 （1）设交于点，由是的直径，是\overset{\overparen }{BD}的中点，得，\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AD}，所以，，推导出，则，由，得，即可证明是的切线； （2）根据题意先证明四边形是正方形，再根据计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2， 是的直径，且的半径为2， ，， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形 ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】 本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 23．【答案】（1） 证明：在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， 在中，， ∴， ∵为直径， ∴与相切；     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理逆定理、切线的判定、切线长定理、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据即可得证； （2）记与切点为M，由切线长定理可得，，设，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，记与切点为M， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可． 【详解】 解：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 25．【答案】（1） 如图① ，和为所作；      （2） 如图② ，和为所作． 【分析】 本题考查了作图——基本作图，过圆外一点，作圆的切线，线段的垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了点与圆的位置关系，垂径定理． （1）如图① ，以P点为圆心，的长为半径画弧交于点Q、点，则和满足条件； （2）先过O点作于E点，再以O点为圆心，的长为半径作圆，接着连接，再作的垂直平分线得到的中点F，然后以F点为圆心，的长为半径作圆交半径为的圆于G、Q点，直线交于C、D两点，直线交于两点，则和满足条件． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图知是半径为的圆的切线，切点分别为点，点， ∴，， 连接，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，得． 26．【答案】证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵弦平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是切线的性质，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质证明即可． 【详解】 略 27．【答案】6． 【详解】 试题分析：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案为6． 考点：切线的判定． 28．【答案】（1）如图：直线AC即为所求； （2）如图：直线AB、AC即为所求． 【分析】 （1）先根据网格特点和圆周角定理，连接圆内长方形的对角线即为圆的直径，再根据全等三角形的判定证明直径和AC为斜边的两个直角三角形全等，进而可得到AC与直径垂直，由切线的性质可得出直线AC即为所求； （2）根据切线的性质作图即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 【点睛】 本题考查网格中作圆的切线，涉及切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质等知识，理解网格特点，借助网格中的线和角关系，选择所学相关知识解决问题是解答的关键． 29．【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查了切线的性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等； （1）根据切线的性质以及折叠得出，进而根据等面积法得出的长，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）当与相切时，分两种情况讨论，同（1）的方法，根据切线的性质以及勾股定理，即可求解， 【详解】 解：（1）当与相切时，如图， 设切于点，连接， 将沿翻折，得到． ， 经过点， ， 即， 在中，， 故答案为：． （2）当与相切时，如图， 设切于点，连接，交于，连接， 切于点， ，， ， ， ，， ， 将沿翻折，得到． ， ，， ，即， ， 在中，，解， 解得或舍去； 当的反向延长线与相切时， 设切于点，连接，交轴于， ， ， ， ， ， ， ， ，即 解得： 故答案为：或． 30．【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.75． 【分析】 （1）连接OD，通过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∠EDB＋∠ODA＝90°，进而得出OD⊥DE，根据切线的判定即可得出结论； （2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8－x，根据OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可解决问题； 【详解】 （1）连接OD， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A， ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠EDB＋∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． （2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，∠AHO=∠C=90°， ∵∠CAB=HAO， ∴△AOH∽△ABC， ∴，    ∴， ∴AH＝，AD＝， 设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x， ∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2， ∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2， 解得：x＝4.75， ∴DE＝4.75． 【点睛】 本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 31．【答案】（1)连接OD， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠A， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB， ∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA， ∴∠EOC=∠DOC， 又∵OE=OD，OC=OC， ∴△EOC≌△DOC（SAS）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD⊥DC， ∴CD是⊙O的切线； （2）平行四边形OABC的面积S=12 【详解】 试题分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可． 试题解析：（1）略 （2）∵△EOC≌△DOC， ∴CE=CD=4， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC=3， ∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12． 考点：1、全等三角形的性质和判定；2、切线的判定与性质；3、平行四边形的性质． 32．【答案】（1） 如图，    即为所做；     （2）      【分析】 （1）作的角平分线交于点D，再以点D作为圆心，为半径画圆，问题即可作答； （2）先求出，设半径为r，根据切线长定理可得，则有，，在中，，即有，解方程即可求解． (1) 小问详解： 证明：过O点作于点D，如图，    根据作图可知：平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴点D在上， ∵，， ∴与、相切； (2) 小问详解： ∵在中，，，， ∴， 设半径为r， ∴， ∵与、相切， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了切线的判定与性质，角平分线的尺规作图，角平分线定理，勾股定理，切线长定理等知识，灵活利用角平分线的性质定理作图，是解答本题的关键． 33．【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质以及勾股定理的应用等；根据切线的性质得出，进而根据等面积法得出的长，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； 【详解】 解：当与相切时，如图， 设切于点，连接， ， ，即， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 34．【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 （1）首先连接．根据平行四边形的性质，可知，从而得到内错角相等，即，．又因为和都是圆的半径，所以，根据等边对等角，得到．通过等量代换，可得．然后利用“边角边”证明和全等．根据全等三角形对应角相等的性质，得到．因为是的切线，所以，即．因此，，即．最后根据切线的判定定理，得出是的切线． （2）首先过点作于点．在中，已知斜边，直角边，根据勾股定理求出另一直角边的长度，即圆的半径．因为也是半径，所以．然后利用三角形面积公式，通过面积相等法（）求出高的长度．接着在中，利用勾股定理求出的长度．根据垂径定理，，得 ．然后计算出的长度，．最后利用三角形面积公式计算的面积． (1) 小问详解： 证明：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 是的切线， ，即， ，即， 是的半径， 是的切线． (2) 小问详解： 解：过点作于点，连接，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， ． 35．【答案】10 【分析】 本题主要考查切线的性质，确定圆的条件，圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质，确定圆的条件，圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；作经过两点的，且与直线相切，切点为点，此时最大，连接并延长，交于点，连接，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：作经过两点的，且与直线相切，切点为点， ∴此时最大，理由如下： 如图，已知为的外接圆，直线是过点的一条直线，点是直线上的一动点，连接，交于点，连接， ∵， ∴， ∴当直线与相切时，且重合时，最大， 连接并延长，交于点，连接，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 故答案为10． 36．【答案】（1）如图：      （2） 如下图： 【分析】 本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线和垂直平分线的作法以及角平分线的性质． （1）根据题意可得，作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，根据角平分线的性质可得，到的距离等于，即半径，可得与边相切； （2）过点作交延长线于点，由（1）作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，即可求解． (1) 小问详解： 解：作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，则即为所求， 由题意可得，平分，， ∴到的距离等于，即半径， ∴与边相切； (2) 小问详解： 解：按照垂线的作法，过点作交延长线于点， 再由（1）作的角平分线交于点， 以为圆心，以为半径画圆，则即为所求， 由（1）可得，与边相切． 37．【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线为的切线；     （2）的半径是．      【分析】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得，结合题意推出，从而由平行线的判定得到，进而利用平行线的性质进行证明即可； （2）连接，在中根据勾股定理求得，根据直角三角形边之间的关系推出，从而根据平行线的性质推出，得出是等边三角形，进而求得的半径； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是． 38．【答案】（1）① ②     （2） 解：补全图形如下： 证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“对分四边形”；     （3）或4或8      【分析】 （1）根据定义的判断和推理得出① ②； （2）根据画法画出图形，证明，再证；再由全等三角形性质得出、，根据“对分四边形”的定义即可判定； （3）分为，，三种情形，画出图形，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：因为菱形的对角线平分每组对角， 所以菱形是“对分四边形”， 因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等， 所以至少两组邻边相等， 故答案是① ②； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：①如图3， 当，，是的切线时，由对称性可知：此时，都是的切线． 连接并延长交于E，连接，， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ②如图4， 当，，是的切线时， 连接并延长交于F，连接并延长交于点E， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴． ③如图5， 当，，是的切线时， 由②可得∶，， ∴， ∴， 综上所述：的值为 或或8． 【点睛】 本题考查了圆的切线性质，全等三角形的判定和性质,解决问题的关键是正确分类及找出角之间的关系，转化求解． 39．【答案】 【分析】 本题考查切线的性质及垂线段最短，确定最小时点的位置是解题的关键，由于为切线，故是直角三角形，又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可． 【详解】 解：∵切于点 Q， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当最小时，最小， ∵点O到直线l的距离为4， ∴的最小值为4， ∴的最小值为：， 故答案为：． 40．【答案】（1） 证明：如图，连接，     ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切；     （2）      【分析】 （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，证明出是等边三角形，求出，然后根据阴影部分的面积代数求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 【点睛】 本题主要考查圆的切线的判定，不规则图形的面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 41．【答案】（1） 如图，点即为所求；      （2） 如图，线段，即为所求． 【分析】 本题考查了作垂线，角平分线，切线的判定和性质； （1）构造正方形，作直线，即可； （2）连接，过点作的垂线，作的角平分线，分别交于点，延长交于点，则，根据圆的对称性可得，则弦，，即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．【答案】（1）C； （2）① ③ ； （3）如果一个三角形存在强准接圆，则这个三角形为等腰三角形，理由如下： 如图，为的“强准接圆”， 连接， 根据题意可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （4）①；② 半径长为或2或或或或． 【分析】 此题考查“准接圆”的定义，全等三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理等， （1）根据“准接圆”的定义直接判断即可； （2）根据“准接圆”的定义判断各选项； （3）结合题意画出图形，证明，推出，由此得到如果一个三角形存在强准接圆，那么为等腰三角形； （4）① 如图，由（3）结论可知，由此得到四边形是正方形，即可得到； ② 根据“准接圆”的定义，分六种情况，理由勾股定理分别求解． 【详解】 解：（1）选项A经过三个顶点，不与边相切，不符合题意； 选项B与三边相切，但不经过定点，不符合题意； 选项C经过两个顶点，且与边相切，符合题意； 选项D与两边相切，但只经过定点C，不符合题意； 故答案为: C; （2）① 根据定义可知任意三角形都存在准接圆，故① 为真命题; ② 如图，当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，故② 为假命题; 当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，其直径等于以其经过的两个顶点为端点的边， 如图，此时为直径，， ， 此时满足三角形准接圆的直径大于以其经过的两个顶点为端点的边，故③ 正确； 故答案为：① ③ ； （3）略 （4）① 如图，由（3）结论可知， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ② 第一种情况：圆经过顶点B，C，且与边相切，此时； 第二种情况：圆经过顶点A，C，且与边相切，此时； 第三种情况，圆经过顶点B，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第四种情况，圆经过顶点A，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第五种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 则， ∴ 在中，， ∴， 解得； 第六种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 此时， ∴ 在中，， ∴， 解得； 综上，半径长为或2或或或或． 43．【答案】（1） 证明：连接，连接交于点H，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是~ \overset{\overparen }{BC}的中点， ∴\overset{\overparen }{CD}=\overset{\overparen }{BD}， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，连接交于点H，连接，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定定理可得出答案； （2）连接根据勾股定理求出的长，过点D作出直角三角形斜边上的高，用面积法求出这个高，再利用题目给出的平行，结合（1）中的结论能够推出全等的三角形，再根据垂径定理得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，延长交于点M，过点D作，G为垂足， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了圆心角定理，垂径定理，切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，用面积法求高，题目的综合性很强． 44．【答案】（1） 证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线．     （2）劣弧长，      【分析】 本题考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，结合条件可得，进而证明是的切线； （2）连接，证明是等边三角形，进而根据圆周角定理可得的度数，进而根据弧长公式求解的长，，继而推导出，，则，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接OC，如图 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：； ； ∵， ∴， ∴， ∴． 45．【答案】4+ 【分析】 如图所示：设圆O与BC的切点为M，连接OM．由切线的性质可知OM⊥BC，然后证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=a+2，AC=2a，从而可求得∠ACB=30°，从而得到，故此可求得AB=，则BC=+3．求得AB+BC=4+． 【详解】 解：解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM． ∵BC是圆O的切线，M为切点， ∴OM⊥BC． ∴∠OMG=∠GCD=90°． 由翻折的性质可知：OG=DG． ∵OG⊥GD， ∴∠OGM+∠DGC=90°． 又∵∠MOG+∠OGM=90°， ∴∠MOG=∠DGC． 在△OMG和△GCD中， ， ∴△OMG≌△GCD． ∴OM=GC=1． CD=GM=BC-BM-GC=BC-2． ∵AB=CD， ∴BC-AB=2． 设AB=a，则BC=a+2． ∵圆O是△ABC的内切圆， ∴AC=AB+BC-2r． ∴AC=2a． ∴． ∴∠ACB=30°． ∴， ∴． 故答案为：． 考点：1、三角形的内切圆与内心；2、矩形的性质；3、翻折变换（折叠问题） 46．【答案】 【分析】 本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 第一步，连接，作的平分线，交于点，作于H，证明得到，进而得到，，故平分和，平分，利用角平分线的性质定理得到点到四边形的各边的距离相等，是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形木板．第二步，求解，设，得到，，通过证明，利用相似比即可得到答案． 【详解】 解：连接，作的平分线，交于点，作于H， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分和， ∵平分， ∴点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形木板，其半径为， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， ∴圆形木板的半径为． 故答案为：． 47．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）设与边、分别相切于点，通过切线性质可得四边形为正方形，后得到，再利用相似三角形性质即可得到本题答案． （2）根据题意可知与边相切，此时与只有一个公共点；当与边相切，且经过点时，此时设与切点为，设，根据勾股定理可得，再利用相似三角形性质和判定可求出的值，继而得到本题答案． （3）分情况讨论，当与边切于点时，利用相似三角形性质和判定求出的值；当与边切于点时，利用相似三角形性质和判定求出的值；当经过点时，过点作，利用相似三角形性质和判定求出的值，继而得到本题答案． (1) 小问详解： 解：设与边、分别相切于点，连接，如图所示： ， ∵与边、分别相切于点， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：； (2) 小问详解： 解：若与边相切，则与边只有一个公共点， ∵与边相切， ∴由（1）知，可取； 当与边相切且经过点时， 设与边相切于点，连接，如图： ， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∵与边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∵当点与点重合时，与边相切于点，与边只有一个公共点， ∴， ∵若与边相切，与边只有一个公共点， ∴， 综上所述：或； (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴当点为中点时，经过三点， ∴符合，且与边、有3个公共点，此时， 当与边切于点时，连接，如图： ， 则， ∵与边切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：，解得：， ∵与边、有3个公共点， ∴的取值范围为：； 当与边切于点时，连接，如图： ， 则， ∵与边切于点时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 当经过点时，连接，过点作于点，如图： ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴或， ∵与边、有3个公共点， ∴的取值范围为：， 综上，与边、有3个公共点，的取值范围为或． 48．【答案】 【分析】 根据折叠图形轴对称的性质，设折叠后\overset{\overparen }{CD}的圆心G，然后构造，证明，推出，易证是的中位线，从而求出关于的数量关系，进而根据轴对称的性质求出的长度，再由勾股定理求出，即可由垂径定理求出的长度，最后根据的取值范围得出的取值范围． 【详解】 解：如图，折叠后\overset{\overparen }{CD}与相切于点F，设点G为\overset{\overparen }{CD}的圆心，点E为中点，连接，延长交于点P，交于点M， 设， 根据题意，得点G与点O关于对称，， ∵，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵折叠后与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点G与点O关于对称， ∴，， ∴点M是中点， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了图形的折叠，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识点，求出关于长度的数量关系是解答本题的难点． 49．【答案】（阅读理解）证明：在上取一点E，使，连接， ∵三角形是等边三角形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， 又∵， ， ， ∴； （方法探究）（1），，；（2）；（问题解决）正方形的边长为2 【分析】 （阅读理解）在上取一点E，使，连接，首先证明是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （方法探究）（1）根据阅读理解中的结论，结合费马点和费马距离的定义，即可获得答案； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点；根据题意易得，然后由勾股定理确定的值，即可确定的费马距离； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到，过作，交的延长线于H，连接，易得是等边三角形，进而可知，结合的最小值为，可得的最小值为，即，，P，C在同一直线上，确；设正方形的边长为，在中，可知，，进而可得，，然后在中，由勾股定理得求得的值，即可获得答案． 【详解】 解：（阅读理解）① 略； （方法探究）（1） 在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据① 的结论，易知，；根据两点间线段最短，我们可以得到线段的长度为的费马距离． 故答案为：，，； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，则，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点，如下图所示： （方法不唯一） ∵，且为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的费马距离是； 故答案为：； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到， 过作，交的延长线于H，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴，，P，C在同一直线上，即， 设正方形的边长为， ∵，， ， 在中，，，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为2． 【点睛】 本题主要考查了费马点和费马距离、三角形和圆的综合应用、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 50．【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）由条件得点，再根据中点坐标求出点的横坐标为，由点和点的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则，点的纵坐标为； （2）线段与反比例函数有交点的临界状态为点在反比例函数图象上，设点，利用中点坐标表示出点，利用和勾股定理建立方程即可解出的取值范围，即的取值范围； （3）连接，为直径，则直径所对的圆周角，结合得垂直平分，，可判断点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆，则直线与相切；直线过定点，设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接，利用勾股定理得，再通过三角形面积公式列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． (2) 小问详解： 当点在反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． (3) 小问详解： 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】 本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的性质，中点坐标，勾股定理，切线的性质定理等，熟练掌握“到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆”以及数形结合的思想是解题的关键． 考点03 三角形的内切圆 1．B 2．C 3．D 4．【答案】（1）     （2） 证明：∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定． （1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； (2) 小问详解： 证明：略． 5．【答案】 【分析】 本题考查直角三角形内切圆半径的计算，能够求出内切圆半径是解题的关键． 先利用勾股定理求出斜边长度，再根据等面积法计算半径，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，在中，，连接，过点作于点，于点，于点， ∴四边形为正方形， 由勾股定理得 ． 设内切圆的半径为r，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在直角三角形中，． 故答案为： ． 考点04 正多边形与圆 1．C 2．A 3．C 4．C 5．【答案】六 【分析】 根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】 解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 6．【答案】 【分析】 本题考查了正五边形以及圆周角定理，解题的关键是掌握正五边形的性质以及圆周角定理． 正五边形的中心角为，进而可以求出，得出的度数的取值范围即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵正五边形的中心角为， ， 点P与点A，E不重合， ∴的度数的取值范围是． 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理． 连接、、，易知四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解． 【详解】 解：如图，连接、、， 在正八边形中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴， 同理，， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 8．【答案】2． 【详解】 如图，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm， ∴边长为2cm， ∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴OA=AB=2，即该圆的半径为2， 故答案为2． 9．【答案】 【分析】 本题主要考查正多边形和圆的综合，切线的性质定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数；连接，过D作于G，过E作于H，证出，得到，求出四边形是矩形，得到，再结合计算求解即可． 【详解】 解：连接，过D作于G，过E作于H， ∴，        ∵是的切线，              ∴， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 过O作于M， ∴， ∴， ∴的半径长为； 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据圆内接正方形性质，利用为等腰直角三角形直接求解即可． （2）根据轴对称的性质，判定正方形的中心为线段的中点，过点O分别作正方形的两条对角线与两圆的交点即可确定最大内接正方形． （3）为使三台路由器覆盖范围内接正方形最大，另三台路由器采用等边三角形布放且边长等于每台路由器的覆盖半径，利用三台路由器的覆盖范围为轴对称图形，作等边的外接正方形，且正方形的定点在覆盖区域的边缘上，再利用正方形对角线的长度即可求解正方形边长的最大值． (1) 小问详解： 解：如图，正方形为内接正方形． 根据题意正方形场地为路由器覆盖的圆形内接正方形，则为等腰直角三角形． ∴正方形边长． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图，设点O为中点，直线交内接正方形于E，F， ∵正方形是轴对称图形， ∴点O为对角线和的交点， 设正方形边长， ∵和为等腰直角三角形，点为与的切点， ∴， ∴． 在中，， ∴，即， 解得， 则． 故此时正方形场地的边长为． (3) 小问详解： 解：为使内接正方形最大，三台路由器P、Q、R按照等边三角形布放，且．如图所示， 则，为等边三角形， 连接并延长交于点A，分别连接并延长交于点B、点D， 由于三个圆围成的区域关于直线对称， 则，为等腰直角三角形． 又∵， ∴四边形为正方形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的基本性质，切线的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识点，熟练应用轴对称图形的性质是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 4大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）已知直线经过点，将直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为2的相交（圆心O为坐标原点），则m的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 2．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（     ） A. 3 B.  C.  D. 4 5．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A. 4 B.  C. 5 D.  7．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，中，，，G是的重心，的中点为D，以G为圆心，长为半径画⊙G，过C点作⊙G的两切线段，其中E、F为切点，则与的度数和为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，PA、PB分别切于A、B，并与的另一条切线分别相交于D、C两点，已知，则的周长=　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； （2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； （3）在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 12．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点，作于点． （1）求证：与相切； （2）若半径为，，求的长． 13．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，，，，则它的内切圆的半径等于　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，是 的高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，． （1）与有怎样的位置关系？ 请说明理由； （2）若求 的周长． 15．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）已知直线和上一点，利用直尺和圆规作，分别满足下列条件： （1）如图①，使得与直线相切于点（作出一个满足条件的即可）； （2）如图②，使得与直线相切于点，且过直线外的一点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 16．（25-26学年九上·江苏常州·期中）（1）如图，在中，，求作，使它经过边的中点，且与边、相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若过点B，且与、两条边所在直线相切，当，时，的半径长为        ． 17．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 18．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，A、B是上的两点，如果，那么当　　　　　　时，与相切． 19．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，，． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 21．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为　　　　　　　　 22．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是\overset{\overparen }{BD}的中点，过点作，与的延长线交于点 （1）求证：是的切线； （2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 23．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，是的边上一点，以为直径作．已知，，． （1）求证：与相切； （2）若与也相切，则的周长为                 ． 24．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接．若，则　　　　　　　（用含的代数式表示）． 25．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）如图①，点在上，作弦，使； （2）如图②，点在内，过点作弦，使． 26．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点．求证． 27．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=　　　　　cm时，BC与⊙A相切． 28．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）（多选）在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的所有切线． （1）如图1，点A在圆上； （2）如图2，点A在圆外． 29．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心、为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴运动，运动时间为．连接，将沿翻折，得到．当　　　　　时，直线与相切；当　　　　　时，直线与相切． 30．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长． 31．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题： （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积． 32．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）已知如图，在中，，，．    （1）请用尺规作图的方法，在上找一点O，以O为圆心作圆，使得该圆与、两边都相切．（保留作图痕迹，不写作法） （2）填空：的半径            ． 33．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心、6为半径作圆．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为．当　　　　s时， 直线与相切． 34．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． （1）求证：是的切线； （2）若，则的面积＝______． 35．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）11月1日晚，2025年“苏超”迎来了总决赛，南通队与泰州队的终极之战在南京奥体中心打响，也为首届“苏超”画上了完美的句号．如图，已知足球球门宽约为米，一球员从距B点米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿着与垂直的方向带球．在直线上（球场内）找到一点P，使得点P为最佳射门点（即最大），则此时点P到点C的距离为　　　　　　　米． 36．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，已知中，．请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）： （1）作，使圆心在边上，经过点且与边相切，请在图1中完成作图； （2）已知点D为边上一点（不与点A、B重合），连接，作，使圆心在边上，经过点C且与边相切，请在图2中完成作图． 37．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． （1）求证：直线为的切线； （2）若，求的半径． 38．（25-26学年九上·江苏常州·期中）有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． （1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是                    ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 （2）如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法：①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B；②连接并延长，交于点C；③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． （3）如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 39．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，的半径为1，点O到直线l的距离为4，点P 是直线l上的一个动点，切于点 Q， 则的最小值为　　　　　　． 40．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，是的直径，C是上一点，于点 D，延长至点 F，使得． （1）求证：与相切； （2）当，时，请直接写出阴影部分的面积_______．（结果保留） 41．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 （1）在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； （2）点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 42．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（     ） A．      B．        C．      D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是                 （填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长随着的变化而变化，关于的函数表达式是                 ； ②当时，直接写出的准接圆的半径长． 43．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）过点作弦，若，求的长． 44．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外，． （1）请说明是的切线； （2）若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 45．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值　　　　　　． 46．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）小张家里有一块如图所示的四边形木板余料，小张想用该木板裁剪出一个面积最大的圆形木板，已知，为直角，那么裁剪出来的圆形木板的半径为　　　　　　　　　cm． 47．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）在中，，，，以边上一点为圆心，为半径作． （1）如图1，若与边、都相切，求的值； （2）若与边相切，与边只有一个公共点，求的取值范围； （3）若，且与边、有3个公共点，直接写出的取值范围． 48．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，弓形纸片所在的半径为为弦．将纸片沿折叠，若折叠后与相切，则的取值范围是　　　　　　　． 49．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 50．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． （1）当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； （2）点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； （3）若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 考点03 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）在下列命题中，正确的是（       ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 三点确定一个圆 D. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 2．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（     ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 4．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． （1）若，求的度数； （2）若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 5．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，在中，．点是内切圆的圆心，连接，则　　　　　　　　　　． 考点04 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（   ）． A.  B.  C. 3 D.  2．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）已知两个正多边形的边数的比为，每个内角度数的比为，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为和x，列得方程： 小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为和，列得方程： ，则下列说法正确的是（       ） A. 小明的方法正确 B. 小芳的方法正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 4．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则\overset{\overparen }{CE}的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正　　　　　　边形． 6．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，是正五边形的边上的动点（与点不重合），连接，则的度数的取值范围是　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，在正八边形中，若，则　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是　　　　　　　　cm． 9．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域． （1）如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； （2）如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 4大高频考点概览 考点01 直线与圆相离、相切、相交 考点02 圆的切线 考点03 三角形的内切圆 考点04 正多边形与圆 考点01 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交，圆心的到直线的距离小于半径求解即可． 【详解】 解：、、、是四个半径为5的等圆，有一个圆的圆心到直线的距离为4， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心， 圆心到直线的距离为4是， 故选：C． 2．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）已知直线经过点，将直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为2的相交（圆心O为坐标原点），则m的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查直线与圆的关系，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答． 利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】 解：∵直线经过点，把点代入直线， 得．解得． 将直线向上平移个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为， 设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，(如图所示) 当时，； 当时，． ，，即，． 在中，． 过点O作于D， ， ． ， 由直线与圆的位置关系可知， ． 故选：B． 考点02 圆的切线 1．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】 解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键． 根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：是外接圆，是直径， ∴， ∴在中，， ∵是内切圆， ∴是的角平分线， ∴， ∴在中，， 故选：B． 3．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据切线的性质可得，求得，根据三角形内角和定理求得，再根据平行线的性质可得． 本题考查了切线的性质，三角形内角和定理和平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，与相切于点A．交于点B，点C在上，且．若，，则的长为（     ） A. 3 B.  C.  D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用勾股定理求出，最后根据，据此计算即可． 【详解】 解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，，， ， ∵， ∴， ， ，解得：． 故选：B． 5．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是的切线，点是切点，延长交于点，连接，，则的长为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．连接、，由是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，得到是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】 解：连接、，则， 是的直径， ，， 与相切于点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 6．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，的周长为26，，与三边分别相切于点，，，若，则的长为（　　） A. 4 B.  C. 5 D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线长定理得到，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵的周长为26， ∴， ∵， ∴， ∵与三边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点E，F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 7．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，中，，，G是的重心，的中点为D，以G为圆心，长为半径画⊙G，过C点作⊙G的两切线段，其中E、F为切点，则与的度数和为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 连接，，，根据重心的性质得出，进而得出，根据切线长定理得出，根据三角形内角定理即可求解． 【详解】 解：如图所示，连接，，， ∵是的重心，的中点为， ∴在上， ∴， ∵、是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了切线长定理，根据特殊角的三角函数值求角度，三角形重心的性质，三角形内角和定理，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 8．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 连接，由切线的性质，三角形内角和定理求出，再利用圆周角定理和圆的性质求得是等边三角形，结合直径所对的圆周角，利用勾股定理求得， 然后利用直角三角形的面积减去扇形的面积求解． 【详解】 解：连接，如下图 ∵是的切线， ∴，即， ∴， ， ． ， ， ． ∴，， 是等边三角形， ． 在中，是直径， ， ， 即， ， ， ∴阴影部分的面积 ． 故选：D． 【详解】【点晴】 本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质，作出辅助线是解题关键． 9．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A=40°，则∠ACB=　　　　　　　　　　　． 【答案】25 【分析】 连接OB，如图，利用切线的性质得∠ABO=90°，再利用互余得到∠AOB=50°，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算∠C的度数． 【详解】 解：连接OB，如图， ∵边AB与⊙O相切，切点为B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∴∠AOB=90°-∠A=90°-40°=50°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠C， ∴∠AOB=∠OBC+∠C=2∠C， ∴∠C=∠AOB=25°． 故答案为：25． 【点睛】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，PA、PB分别切于A、B，并与的另一条切线分别相交于D、C两点，已知，则的周长=　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 根据切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角，得到，，，并把的周长转化为，即可解答. 【详解】 设与的切点为E， ∵、分别是的切线，且切点为A、B ∴ 同理可得， 则的周长. 故答案为：12 11．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； （2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； （3）在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 【答案】（1） 如图所示，点M即为所求；      （2）如图所示，直线即为所求；      （3）如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查了无刻度直尺作图，切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点M，连接，则点M即为所求； （2）取格点E，作直线，则直线即为所求，可证明； （3）取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点，作于点． （1）求证：与相切； （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即， ∴与相切；     （2）      【分析】 （1）连接，，由是的直径，得到，根据三角形中位线的性质得到，得到，于是得到结论； （2）连接，由勾股定理求出，根据三角形中位线的性质得，则，再由勾股定理可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∴， ∵半径为，， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 13．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，在中，，，，则它的内切圆的半径等于　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 依题意，分别标识出切点，连接，如下图，根据切线长定理得出，，，，求出四边形是正方形，得出，得出方程，求出即可． 【详解】 解：设与的切点分别是，连接，    ∵是的内切圆， ∴，，，． ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查勾股定理，正方形性质和判定，切线长定理，三角形的内切圆与内心的应用，关键是能根据题意求出关于内切圆半径的等式． 14．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）如图，是 的高，以为直径作交的延长线于点 E，连接，． （1）与有怎样的位置关系？ 请说明理由； （2）若求 的周长． 【答案】（1） 与相切．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵是 的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 又为半径， ∴与相切．     （2）      【分析】 （1）连接，由等边对等角得出，由直角三角形两锐角互余得出，由对顶角相等得出，等量代换可得出，，由等边对等角得出，进而可得出，进一步即可得出与相切． （2）设，则，由勾股定理得出，则，再利用勾股定理分别求出和，再根据三角形的周长求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， 由题意知：，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， 在中， ∴， 在中， ， ∴的周长为： 【点睛】 本题主要考查了圆切线的证明，直角三角形两锐角，等边对等角，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 15．（25-26学年九上·江苏扬州·期中）已知直线和上一点，利用直尺和圆规作，分别满足下列条件： （1）如图①，使得与直线相切于点（作出一个满足条件的即可）； （2）如图②，使得与直线相切于点，且过直线外的一点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1） 如图，即为所求：      （2） 如图，即为所求． 【分析】 本题考查复杂作图-作圆、作垂线，涉及切线的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键． （1）过A作，在上取点O，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点； （2）过A作，连接，作的垂直平分线交于O，连接，则，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点，且过直线外的一点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过A作，连接，作的垂直平分线交于O，连接，则，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点，且过直线外的一点． 16．（25-26学年九上·江苏常州·期中）（1）如图，在中，，求作，使它经过边的中点，且与边、相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若过点B，且与、两条边所在直线相切，当，时，的半径长为        ． 【答案】（1） 作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求，如图： （2）5或20 【分析】 此题主要考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定和性质是解决问题的关键 (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求； (2)作的平分线，过点点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求，过点M作交的延长线于点E，于点E，设的半径为R，则，先求出，证明和全等得，则，证明四边形是矩形得、．则．然后在中，由勾股定理求出R即可． 【详解】 解∶ (1)理由如下∶过点O作于点K，如图1所示: 是线段的垂直平分线, ，, 是的半径， 是的切线， 点O是的平分线上的点，，， ． 是的半径, 是切线， 经过边的中点，且与边，相切． 故为所求； (2)依题意有以下两种情况∶ ① 作的平分线，过点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求; 理由如下：过点M作，交的延长线于点E，于点F， 如图2所示∶ 为的半径，，是的切线， 点M在的平分线上，， , 是的半径, 直线是的切线, 经过点B且与、两条边所在直线相切， 故为所求， 设的半径为R，则． 在中，，． 由勾股定理得∶， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得∶， ， 解得∶． 的半径为5； ② 延长到T，作的平分线，过点B作，交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求， 理由：过点M作于点K，连接交于点Q，过点M作， 如图3所示∶ 由作图得是的切线， 平分，， ， ， 是的半径， 是的半径， 又， 是的切线， ， 是的垂直平分线 在中，，，由勾股定理得∶， ， ， , 在中，由勾股定理得∶, , 解得∶， 综上所述∶的半径长为5或20, 故答案为∶5或20． 17．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 18．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，A、B是上的两点，如果，那么当　　　　　　时，与相切． 【答案】50 【分析】 由，可得，再根据切线的性质可得，进而可得的度数．本题主要考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，另外还考查了等腰三角形的性质及三角形内角和．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】 解：，， ， 若与相切， 则， 则． 故答案为：50． 19．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴；     （2）的半径      【分析】 （1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】 本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 20．（25-26学年九上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，，． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于H，连接、，则， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，又是的半径， ∴为的切线；     （2）的半径为5      【分析】 本题考查切线的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键． （1）连接并延长交于H，连接、，先证明为线段的垂直平分线得到，，根据平行线的性质可得，然后根据切线的判定可得结论； （2）设，先在中，利用勾股定理求解，再在中，利用勾股定理列方程求得r即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， 在中，， ∴， 则， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为5． 21．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查的是切线性质的应用，连接，，根据题意得到，则根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，计算即可． 【详解】 解：连接，， 由题意得，， 圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B， ，， ∴ ∴ ∴，即圆形玉佩的半径为， 故答案为： 22．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是\overset{\overparen }{BD}的中点，过点作，与的延长线交于点 （1）求证：是的切线； （2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 【答案】（1） 证明：如图1，设交于点， 是的直径，是\overset{\overparen }{BD}的中点， ，\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AD}， ，， ，， ， ，平分， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线．     （2）      【分析】 （1）设交于点，由是的直径，是\overset{\overparen }{BD}的中点，得，\overset{\overparen }{AB}=\overset{\overparen }{AD}，所以，，推导出，则，由，得，即可证明是的切线； （2）根据题意先证明四边形是正方形，再根据计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2， 是的直径，且的半径为2， ，， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形 ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】 本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 23．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，是的边上一点，以为直径作．已知，，． （1）求证：与相切； （2）若与也相切，则的周长为                 ． 【答案】（1） 证明：在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， 在中，， ∴， ∵为直径， ∴与相切；     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理逆定理、切线的判定、切线长定理、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据即可得证； （2）记与切点为M，由切线长定理可得，，设，建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，记与切点为M， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，与相切，为切点，的延长线交于点，连接．若，则　　　　　　　（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】 本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据三角形的外角性质、直角三角形的性质计算即可． 【详解】 解：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）已知是的弦，分别根据下列要求，用直尺和圆规作图，保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （1）如图①，点在上，作弦，使； （2）如图②，点在内，过点作弦，使． 【答案】（1） 如图① ，和为所作；      （2） 如图② ，和为所作． 【分析】 本题考查了作图——基本作图，过圆外一点，作圆的切线，线段的垂直平分线，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了点与圆的位置关系，垂径定理． （1）如图① ，以P点为圆心，的长为半径画弧交于点Q、点，则和满足条件； （2）先过O点作于E点，再以O点为圆心，的长为半径作圆，接着连接，再作的垂直平分线得到的中点F，然后以F点为圆心，的长为半径作圆交半径为的圆于G、Q点，直线交于C、D两点，直线交于两点，则和满足条件． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图知是半径为的圆的切线，切点分别为点，点， ∴，， 连接，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理，得． 26．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点．求证． 【答案】证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵弦平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查的是切线的性质，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质证明即可． 【详解】 略 27．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=　　　　　cm时，BC与⊙A相切． 【答案】6． 【详解】 试题分析：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案为6． 考点：切线的判定． 28．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）（多选）在方格纸中，仅用无刻度直尺过点A画出圆的所有切线． （1）如图1，点A在圆上； （2）如图2，点A在圆外． 【答案】（1）如图：直线AC即为所求； （2）如图：直线AB、AC即为所求． 【分析】 （1）先根据网格特点和圆周角定理，连接圆内长方形的对角线即为圆的直径，再根据全等三角形的判定证明直径和AC为斜边的两个直角三角形全等，进而可得到AC与直径垂直，由切线的性质可得出直线AC即为所求； （2）根据切线的性质作图即可． 【详解】 解：（1）略 （2）略 【点睛】 本题考查网格中作圆的切线，涉及切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质等知识，理解网格特点，借助网格中的线和角关系，选择所学相关知识解决问题是解答的关键． 29．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心、为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴运动，运动时间为．连接，将沿翻折，得到．当　　　　　时，直线与相切；当　　　　　时，直线与相切． 【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查了切线的性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等； （1）根据切线的性质以及折叠得出，进而根据等面积法得出的长，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）当与相切时，分两种情况讨论，同（1）的方法，根据切线的性质以及勾股定理，即可求解， 【详解】 解：（1）当与相切时，如图， 设切于点，连接， 将沿翻折，得到． ， 经过点， ， 即， 在中，， 故答案为：． （2）当与相切时，如图， 设切于点，连接，交于，连接， 切于点， ，， ， ， ，， ， 将沿翻折，得到． ， ，， ，即， ， 在中，，解， 解得或舍去； 当的反向延长线与相切时， 设切于点，连接，交轴于， ， ， ， ， ， ， ， ，即 解得： 故答案为：或． 30．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长． 【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）4.75． 【分析】 （1）连接OD，通过线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∠EDB＋∠ODA＝90°，进而得出OD⊥DE，根据切线的判定即可得出结论； （2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，由△AOH∽△ABC，可得，推出AH＝，AD＝，设DE＝BE＝x，CE＝8－x，根据OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2，列出方程即可解决问题； 【详解】 （1）连接OD， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A， ∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°， ∴∠EDB＋∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． （2）连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH，∠AHO=∠C=90°， ∵∠CAB=HAO， ∴△AOH∽△ABC， ∴，    ∴， ∴AH＝，AD＝， 设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x， ∵OE2＝DE2＋OD2＝EC2＋OC2， ∴42＋（8﹣x）2＝22＋x2， 解得：x＝4.75， ∴DE＝4.75． 【点睛】 本题考查切线的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 31．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题： （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积． 【答案】（1)连接OD， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠A， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB， ∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA， ∴∠EOC=∠DOC， 又∵OE=OD，OC=OC， ∴△EOC≌△DOC（SAS）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD⊥DC， ∴CD是⊙O的切线； （2）平行四边形OABC的面积S=12 【详解】 试题分析：（1）连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可． 试题解析：（1）略 （2）∵△EOC≌△DOC， ∴CE=CD=4， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC=3， ∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12． 考点：1、全等三角形的性质和判定；2、切线的判定与性质；3、平行四边形的性质． 32．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）已知如图，在中，，，．    （1）请用尺规作图的方法，在上找一点O，以O为圆心作圆，使得该圆与、两边都相切．（保留作图痕迹，不写作法） （2）填空：的半径            ． 【答案】（1） 如图，    即为所做；     （2）      【分析】 （1）作的角平分线交于点D，再以点D作为圆心，为半径画圆，问题即可作答； （2）先求出，设半径为r，根据切线长定理可得，则有，，在中，，即有，解方程即可求解． (1) 小问详解： 证明：过O点作于点D，如图，    根据作图可知：平分， ∵，， ∴，， ∴， ∴点D在上， ∵，， ∴与、相切； (2) 小问详解： ∵在中，，，， ∴， 设半径为r， ∴， ∵与、相切， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了切线的判定与性质，角平分线的尺规作图，角平分线定理，勾股定理，切线长定理等知识，灵活利用角平分线的性质定理作图，是解答本题的关键． 33．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为圆心、6为半径作圆．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为．当　　　　s时， 直线与相切． 【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质以及勾股定理的应用等；根据切线的性质得出，进而根据等面积法得出的长，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； 【详解】 解：当与相切时，如图， 设切于点，连接， ， ，即， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 34．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． （1）求证：是的切线； （2）若，则的面积＝______． 【答案】（1）见解析     （2）      【分析】 （1）首先连接．根据平行四边形的性质，可知，从而得到内错角相等，即，．又因为和都是圆的半径，所以，根据等边对等角，得到．通过等量代换，可得．然后利用“边角边”证明和全等．根据全等三角形对应角相等的性质，得到．因为是的切线，所以，即．因此，，即．最后根据切线的判定定理，得出是的切线． （2）首先过点作于点．在中，已知斜边，直角边，根据勾股定理求出另一直角边的长度，即圆的半径．因为也是半径，所以．然后利用三角形面积公式，通过面积相等法（）求出高的长度．接着在中，利用勾股定理求出的长度．根据垂径定理，，得 ．然后计算出的长度，．最后利用三角形面积公式计算的面积． (1) 小问详解： 证明：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 是的切线， ，即， ，即， 是的半径， 是的切线． (2) 小问详解： 解：过点作于点，连接，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， ． 35．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）11月1日晚，2025年“苏超”迎来了总决赛，南通队与泰州队的终极之战在南京奥体中心打响，也为首届“苏超”画上了完美的句号．如图，已知足球球门宽约为米，一球员从距B点米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿着与垂直的方向带球．在直线上（球场内）找到一点P，使得点P为最佳射门点（即最大），则此时点P到点C的距离为　　　　　　　米． 【答案】10 【分析】 本题主要考查切线的性质，确定圆的条件，圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质，确定圆的条件，圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；作经过两点的，且与直线相切，切点为点，此时最大，连接并延长，交于点，连接，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：作经过两点的，且与直线相切，切点为点， ∴此时最大，理由如下： 如图，已知为的外接圆，直线是过点的一条直线，点是直线上的一动点，连接，交于点，连接， ∵， ∴， ∴当直线与相切时，且重合时，最大， 连接并延长，交于点，连接，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 故答案为10． 36．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图，已知中，．请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）： （1）作，使圆心在边上，经过点且与边相切，请在图1中完成作图； （2）已知点D为边上一点（不与点A、B重合），连接，作，使圆心在边上，经过点C且与边相切，请在图2中完成作图． 【答案】（1）如图：      （2） 如下图： 【分析】 本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线和垂直平分线的作法以及角平分线的性质． （1）根据题意可得，作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，根据角平分线的性质可得，到的距离等于，即半径，可得与边相切； （2）过点作交延长线于点，由（1）作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，即可求解． (1) 小问详解： 解：作的角平分线交于点，以为圆心，以为半径画圆，则即为所求， 由题意可得，平分，， ∴到的距离等于，即半径， ∴与边相切； (2) 小问详解： 解：按照垂线的作法，过点作交延长线于点， 再由（1）作的角平分线交于点， 以为圆心，以为半径画圆，则即为所求， 由（1）可得，与边相切． 37．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． （1）求证：直线为的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线为的切线；     （2）的半径是．      【分析】 本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得，结合题意推出，从而由平行线的判定得到，进而利用平行线的性质进行证明即可； （2）连接，在中根据勾股定理求得，根据直角三角形边之间的关系推出，从而根据平行线的性质推出，得出是等边三角形，进而求得的半径； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是． 38．（25-26学年九上·江苏常州·期中）有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． （1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是                    ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形” ②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 （2）如图1，为的切线，A为切点．在上是否存在点B、C， 使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？ 小明的作法：①以P为圆心，长为半径作弧，与交于点B；②连接并延长，交于点C；③点B、C 即为所求． 请根据小明的作法补全图形，并证明四边形是“对分四边形”． （3）如图2，的半径为5，是的弦，，点C是上的动点，若存在四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是的切线，直接写出的长度． 【答案】（1）① ②     （2） 解：补全图形如下： 证明：连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“对分四边形”；     （3）或4或8      【分析】 （1）根据定义的判断和推理得出① ②； （2）根据画法画出图形，证明，再证；再由全等三角形性质得出、，根据“对分四边形”的定义即可判定； （3）分为，，三种情形，画出图形，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：因为菱形的对角线平分每组对角， 所以菱形是“对分四边形”， 因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等， 所以至少两组邻边相等， 故答案是① ②； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：①如图3， 当，，是的切线时，由对称性可知：此时，都是的切线． 连接并延长交于E，连接，， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． ②如图4， 当，，是的切线时， 连接并延长交于F，连接并延长交于点E， ∵是的切线， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴， ∴． ③如图5， 当，，是的切线时， 由②可得∶，， ∴， ∴， 综上所述：的值为 或或8． 【点睛】 本题考查了圆的切线性质，全等三角形的判定和性质,解决问题的关键是正确分类及找出角之间的关系，转化求解． 39．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，的半径为1，点O到直线l的距离为4，点P 是直线l上的一个动点，切于点 Q， 则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查切线的性质及垂线段最短，确定最小时点的位置是解题的关键，由于为切线，故是直角三角形，又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可． 【详解】 解：∵切于点 Q， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 当最小时，最小， ∵点O到直线l的距离为4， ∴的最小值为4， ∴的最小值为：， 故答案为：． 40．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）如图，是的直径，C是上一点，于点 D，延长至点 F，使得． （1）求证：与相切； （2）当，时，请直接写出阴影部分的面积_______．（结果保留） 【答案】（1） 证明：如图，连接，     ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切；     （2）      【分析】 （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，证明出是等边三角形，求出，然后根据阴影部分的面积代数求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 【点睛】 本题主要考查圆的切线的判定，不规则图形的面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 41．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 （1）在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； （2）点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 【答案】（1） 如图，点即为所求；      （2） 如图，线段，即为所求． 【分析】 本题考查了作垂线，角平分线，切线的判定和性质； （1）构造正方形，作直线，即可； （2）连接，过点作的垂线，作的角平分线，分别交于点，延长交于点，则，根据圆的对称性可得，则弦，，即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）一般地，经过三角形的两个顶点且与该三角形的一条边相切的圆叫作这个三角形的“准接圆”．特别地，当“准接圆”还与该三角形的另一条边相切时，该圆叫作该三角形的“强准接圆”． 【概念理解】 （1）以下四个图中，是的准接圆的是（     ） A．      B．        C．      D． 【深入思考】 （2）以下命题：①任意三角形都存在准接圆；②三角形准接圆的圆心一定在该三角形的外部；③三角形准接圆的直径大于或等于以其经过的两个顶点为端点的边．其中，是真命题的是                 （填序号） （3）如果一个三角形存在强准接圆，那么它应满足什么条件？说明理由． 【计算求解】 （4）已知在中，． ①若存在强准接圆，则强准接圆的半径长随着的变化而变化，关于的函数表达式是                 ； ②当时，直接写出的准接圆的半径长． 【答案】（1）C； （2）① ③ ； （3）如果一个三角形存在强准接圆，则这个三角形为等腰三角形，理由如下： 如图，为的“强准接圆”， 连接， 根据题意可知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （4）①；② 半径长为或2或或或或． 【分析】 此题考查“准接圆”的定义，全等三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理等， （1）根据“准接圆”的定义直接判断即可； （2）根据“准接圆”的定义判断各选项； （3）结合题意画出图形，证明，推出，由此得到如果一个三角形存在强准接圆，那么为等腰三角形； （4）① 如图，由（3）结论可知，由此得到四边形是正方形，即可得到； ② 根据“准接圆”的定义，分六种情况，理由勾股定理分别求解． 【详解】 解：（1）选项A经过三个顶点，不与边相切，不符合题意； 选项B与三边相切，但不经过定点，不符合题意； 选项C经过两个顶点，且与边相切，符合题意； 选项D与两边相切，但只经过定点C，不符合题意； 故答案为: C; （2）① 根据定义可知任意三角形都存在准接圆，故① 为真命题; ② 如图，当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，故② 为假命题; 当“准接圆”与边的切点恰好为顶点时，此时圆心在三角形的边上，其直径等于以其经过的两个顶点为端点的边， 如图，此时为直径，， ， 此时满足三角形准接圆的直径大于以其经过的两个顶点为端点的边，故③ 正确； 故答案为：① ③ ； （3）略 （4）① 如图，由（3）结论可知， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ② 第一种情况：圆经过顶点B，C，且与边相切，此时； 第二种情况：圆经过顶点A，C，且与边相切，此时； 第三种情况，圆经过顶点B，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第四种情况，圆经过顶点A，C，且与边相切， 过点O作，交于点M，交于点N， 则，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 第五种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 则， ∴ 在中，， ∴， 解得； 第六种情况，圆经过顶点A，B，且与边相切， 过点O作，交于点M， 此时， ∴ 在中，， ∴， 解得； 综上，半径长为或2或或或或． 43．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，是的直径，点在上，是的中点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）过点作弦，若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，连接交于点H，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是~ \overset{\overparen }{BC}的中点， ∴\overset{\overparen }{CD}=\overset{\overparen }{BD}， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）连接，连接交于点H，连接，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定定理可得出答案； （2）连接根据勾股定理求出的长，过点D作出直角三角形斜边上的高，用面积法求出这个高，再利用题目给出的平行，结合（1）中的结论能够推出全等的三角形，再根据垂径定理得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，延长交于点M，过点D作，G为垂足， ∴， ∵， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了圆心角定理，垂径定理，切线的判定定理，全等三角形的判定与性质，用面积法求高，题目的综合性很强． 44．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）如图，已知是的直径，点C、D在上，点E在外，． （1）请说明是的切线； （2）若时，求劣弧的长和阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的切线．     （2）劣弧长，      【分析】 本题考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，结合条件可得，进而证明是的切线； （2）连接，证明是等边三角形，进而根据圆周角定理可得的度数，进而根据弧长公式求解的长，，继而推导出，，则，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接OC，如图 ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：； ； ∵， ∴， ∴， ∴． 45．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值　　　　　　． 【答案】4+ 【分析】 如图所示：设圆O与BC的切点为M，连接OM．由切线的性质可知OM⊥BC，然后证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=a+2，AC=2a，从而可求得∠ACB=30°，从而得到，故此可求得AB=，则BC=+3．求得AB+BC=4+． 【详解】 解：解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM． ∵BC是圆O的切线，M为切点， ∴OM⊥BC． ∴∠OMG=∠GCD=90°． 由翻折的性质可知：OG=DG． ∵OG⊥GD， ∴∠OGM+∠DGC=90°． 又∵∠MOG+∠OGM=90°， ∴∠MOG=∠DGC． 在△OMG和△GCD中， ， ∴△OMG≌△GCD． ∴OM=GC=1． CD=GM=BC-BM-GC=BC-2． ∵AB=CD， ∴BC-AB=2． 设AB=a，则BC=a+2． ∵圆O是△ABC的内切圆， ∴AC=AB+BC-2r． ∴AC=2a． ∴． ∴∠ACB=30°． ∴， ∴． 故答案为：． 考点：1、三角形的内切圆与内心；2、矩形的性质；3、翻折变换（折叠问题） 46．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）小张家里有一块如图所示的四边形木板余料，小张想用该木板裁剪出一个面积最大的圆形木板，已知，为直角，那么裁剪出来的圆形木板的半径为　　　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 本题考查四边形的内切圆，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形的判定及性质，证明该四边形的内切圆是所求的面积最大的圆是解题的关键． 第一步，连接，作的平分线，交于点，作于H，证明得到，进而得到，，故平分和，平分，利用角平分线的性质定理得到点到四边形的各边的距离相等，是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形木板．第二步，求解，设，得到，，通过证明，利用相似比即可得到答案． 【详解】 解：连接，作的平分线，交于点，作于H， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分和， ∵平分， ∴点到四边形的各边的距离相等， ∴是四边形的内切圆，它是所求的面积最大的圆形木板，其半径为， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， ∴圆形木板的半径为． 故答案为：． 47．（25-26学年九上·江苏泰州姜堰区·期中）在中，，，，以边上一点为圆心，为半径作． （1）如图1，若与边、都相切，求的值； （2）若与边相切，与边只有一个公共点，求的取值范围； （3）若，且与边、有3个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）设与边、分别相切于点，通过切线性质可得四边形为正方形，后得到，再利用相似三角形性质即可得到本题答案． （2）根据题意可知与边相切，此时与只有一个公共点；当与边相切，且经过点时，此时设与切点为，设，根据勾股定理可得，再利用相似三角形性质和判定可求出的值，继而得到本题答案． （3）分情况讨论，当与边切于点时，利用相似三角形性质和判定求出的值；当与边切于点时，利用相似三角形性质和判定求出的值；当经过点时，过点作，利用相似三角形性质和判定求出的值，继而得到本题答案． (1) 小问详解： 解：设与边、分别相切于点，连接，如图所示： ， ∵与边、分别相切于点， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：； (2) 小问详解： 解：若与边相切，则与边只有一个公共点， ∵与边相切， ∴由（1）知，可取； 当与边相切且经过点时， 设与边相切于点，连接，如图： ， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∵与边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， ∵当点与点重合时，与边相切于点，与边只有一个公共点， ∴， ∵若与边相切，与边只有一个公共点， ∴， 综上所述：或； (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴当点为中点时，经过三点， ∴符合，且与边、有3个公共点，此时， 当与边切于点时，连接，如图： ， 则， ∵与边切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：，解得：， ∵与边、有3个公共点， ∴的取值范围为：； 当与边切于点时，连接，如图： ， 则， ∵与边切于点时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 当经过点时，连接，过点作于点，如图： ， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴或， ∵与边、有3个公共点， ∴的取值范围为：， 综上，与边、有3个公共点，的取值范围为或． 48．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，弓形纸片所在的半径为为弦．将纸片沿折叠，若折叠后与相切，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据折叠图形轴对称的性质，设折叠后\overset{\overparen }{CD}的圆心G，然后构造，证明，推出，易证是的中位线，从而求出关于的数量关系，进而根据轴对称的性质求出的长度，再由勾股定理求出，即可由垂径定理求出的长度，最后根据的取值范围得出的取值范围． 【详解】 解：如图，折叠后\overset{\overparen }{CD}与相切于点F，设点G为\overset{\overparen }{CD}的圆心，点E为中点，连接，延长交于点P，交于点M， 设， 根据题意，得点G与点O关于对称，， ∵，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵折叠后与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点G与点O关于对称， ∴，， ∴点M是中点， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了图形的折叠，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识点，求出关于长度的数量关系是解答本题的难点． 49．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）【阅读理解】①如图1，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②定义：在所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法． （1）如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据①的结论，易知______，______；根据两点间线段最短，我们可以得到线段______的长度为的费马距离． （2）在图3中，作出的费马点P（要求尺规作图）．如果，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，P是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长． 【答案】（阅读理解）证明：在上取一点E，使，连接， ∵三角形是等边三角形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∵， ∴， 又∵， ， ， ∴； （方法探究）（1），，；（2）；（问题解决）正方形的边长为2 【分析】 （阅读理解）在上取一点E，使，连接，首先证明是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （方法探究）（1）根据阅读理解中的结论，结合费马点和费马距离的定义，即可获得答案； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点；根据题意易得，然后由勾股定理确定的值，即可确定的费马距离； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到，过作，交的延长线于H，连接，易得是等边三角形，进而可知，结合的最小值为，可得的最小值为，即，，P，C在同一直线上，确；设正方形的边长为，在中，可知，，进而可得，，然后在中，由勾股定理得求得的值，即可获得答案． 【详解】 解：（阅读理解）① 略； （方法探究）（1） 在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、．根据① 的结论，易知，；根据两点间线段最短，我们可以得到线段的长度为的费马距离． 故答案为：，，； （2）分别以点为圆心，以的长度的半径作弧，交于点，则，易知为等边三角形，再分别作的垂直平分线交于点，以点为圆心，的长度为半径作圆，连接交于点，连接，则点P为的费马点，如下图所示： （方法不唯一） ∵，且为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即的费马距离是； 故答案为：； （问题解决）将沿点B逆时针旋转到， 过作，交的延长线于H，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵的最小值为， ∴的最小值为， ∴，，P，C在同一直线上，即， 设正方形的边长为， ∵，， ， 在中，，，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍去）， ∴正方形的边长为2． 【点睛】 本题主要考查了费马点和费马距离、三角形和圆的综合应用、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 50．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，为半径的，交轴于点，点是上的一个动点，作点关于点的对称点，连接． （1）当点刚好落在轴上时，点的坐标为_________； （2）点在运动过程中，若线段与反比例函数有交点，求交点横坐标的取值范围； （3）若由点所组成的图形与直线有且仅有一个交点时，请直接写出的值． 【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）由条件得点，再根据中点坐标求出点的横坐标为，由点和点的横坐标相同得两个点在同一竖直方向上，则，点的纵坐标为； （2）线段与反比例函数有交点的临界状态为点在反比例函数图象上，设点，利用中点坐标表示出点，利用和勾股定理建立方程即可解出的取值范围，即的取值范围； （3）连接，为直径，则直径所对的圆周角，结合得垂直平分，，可判断点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆，则直线与相切；直线过定点，设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接，利用勾股定理得，再通过三角形面积公式列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点的坐标为， ∴点，的半径为2； 当点刚好落在轴上时，点的横坐标为0， ∵点为线段中点， ∴点的横坐标为， 此时点和点在同一竖直方向，则点或， 故答案为：或． (2) 小问详解： 当点在反比例函数图象上时，设点， 则点， ∵点在圆上， ∴，， 解得或， ∵， ∴或， ∴， 即交点横坐标的取值范围为． (3) 小问详解： 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则点所组成的图形是以点为圆心，4为半径的圆， 由条件得直线与该圆相切， ∵， ∴直线过定点， 设直线与轴交于点，与轴交于点，与切于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】 本题是圆与函数的综合题，主要考查了圆的性质，中点坐标，勾股定理，切线的性质定理等，熟练掌握“到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆”以及数形结合的思想是解题的关键． 考点03 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·江苏连云港海州区·期中）在下列命题中，正确的是（       ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 三点确定一个圆 D. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 【答案】B 【分析】 根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案． 【详解】 解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定能够重合，故本选项错误； B、直径所对的圆周角是直角，故本选项正确； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； D、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断． 2．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（     ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解． 【详解】 解：如图 根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大； 故选D． 4．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． （1）若，求的度数； （2）若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定． （1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； (2) 小问详解： 证明：略． 5．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）如图，在中，．点是内切圆的圆心，连接，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查直角三角形内切圆半径的计算，能够求出内切圆半径是解题的关键． 先利用勾股定理求出斜边长度，再根据等面积法计算半径，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，在中，，连接，过点作于点，于点，于点， ∴四边形为正方形， 由勾股定理得 ． 设内切圆的半径为r，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在直角三角形中，． 故答案为： ． 考点04 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（   ）． A.  B.  C. 3 D.  【答案】C 【分析】 本题考查等边三角形的性质和圆的对称性．圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，根据正六边形的周长等于圆的周长进行求解即可． 【详解】 解：的半径为1，圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1， 则正六边形的周长为， 由于圆的周长为，当半径为1时，， 解得． 故选：C． 2．（25-26学年九上·江苏常州·期中）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了正多边形的性质和内角和公式，根据正多边形内角和公式求出正十二边形的内角和再除以12正十二边形一个内角的大小即可． 【详解】 解：该正十二边形一个内角的大小为：， 故选：A 3．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）已知两个正多边形的边数的比为，每个内角度数的比为，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为和x，列得方程： 小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为和，列得方程： ，则下列说法正确的是（       ） A. 小明的方法正确 B. 小芳的方法正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】C 【分析】 本题考查正多边形的边数与内角的关系．小明设边数分别为和x，则内角分别为和，根据其比为列方程；小芳设内角度数分别为和，则边数分别为和，根据其比为列方程，即可判断解答． 【详解】 解：小明设边数为和x，则内角分别为和，根据其比为，列方程得， ， 即， 所以小明的方法正确． 小芳设内角度数为和，则边数分别为和，其比为，列方程得 ， 即 所以小芳的方法正确． 故两人方法都正确． 故选：C． 4．（25-26学年九上·江苏南京玄武区·期中）如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则\overset{\overparen }{CE}的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】 解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， \therefore \overset{\overparen }{AE}=\overset{\overparen }{AF}， ， ，， \therefore \overset{\overparen }{CE}的长度为， 故选：C 5．（25-26学年九上·江苏镇江·期中）如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正　　　　　　边形． 【答案】六 【分析】 根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】 解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 6．（25-26学年九上·江苏南京秦淮区·期中）如图，是正五边形的边上的动点（与点不重合），连接，则的度数的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正五边形以及圆周角定理，解题的关键是掌握正五边形的性质以及圆周角定理． 正五边形的中心角为，进而可以求出，得出的度数的取值范围即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵正五边形的中心角为， ， 点P与点A，E不重合， ∴的度数的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）如图，在正八边形中，若，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理． 连接、、，易知四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解． 【详解】 解：如图，连接、、， 在正八边形中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴， 同理，， ∴四边形为正方形， ∴． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·江苏无锡新吴区·期中）已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是　　　　　　　　cm． 【答案】2． 【详解】 如图，∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm， ∴边长为2cm， ∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB， ∴△OAB为等边三角形， ∴OA=AB=2，即该圆的半径为2， 故答案为2． 9．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）如图，与正六边形的边分别相切于点C，F．若，则的半径长为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查正多边形和圆的综合，切线的性质定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数；连接，过D作于G，过E作于H，证出，得到，求出四边形是矩形，得到，再结合计算求解即可． 【详解】 解：连接，过D作于G，过E作于H， ∴，        ∵是的切线，              ∴， ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 过O作于M， ∴， ∴， ∴的半径长为； 故答案为：． 10．（25-26学年九上·江苏南京建邺区·期中）某型号路由器的信号覆盖范围是半径为的圆形区域．现需要为正方形场地布置该型号的路由器，使信号覆盖场地的每个区域． （1）如图①，在点处布置一台路由器，则正方形场地边长的最大值是______； （2）如图②，在点处各布置一台路由器，且．请画出最大正方形场地的示意图，并求此时正方形场地的边长： （3）若布置三台路由器，则正方形场地边长的最大值是_____． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据圆内接正方形性质，利用为等腰直角三角形直接求解即可． （2）根据轴对称的性质，判定正方形的中心为线段的中点，过点O分别作正方形的两条对角线与两圆的交点即可确定最大内接正方形． （3）为使三台路由器覆盖范围内接正方形最大，另三台路由器采用等边三角形布放且边长等于每台路由器的覆盖半径，利用三台路由器的覆盖范围为轴对称图形，作等边的外接正方形，且正方形的定点在覆盖区域的边缘上，再利用正方形对角线的长度即可求解正方形边长的最大值． (1) 小问详解： 解：如图，正方形为内接正方形． 根据题意正方形场地为路由器覆盖的圆形内接正方形，则为等腰直角三角形． ∴正方形边长． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图，设点O为中点，直线交内接正方形于E，F， ∵正方形是轴对称图形， ∴点O为对角线和的交点， 设正方形边长， ∵和为等腰直角三角形，点为与的切点， ∴， ∴． 在中，， ∴，即， 解得， 则． 故此时正方形场地的边长为． (3) 小问详解： 解：为使内接正方形最大，三台路由器P、Q、R按照等边三角形布放，且．如图所示， 则，为等边三角形， 连接并延长交于点A，分别连接并延长交于点B、点D， 由于三个圆围成的区域关于直线对称， 则，为等腰直角三角形． 又∵， ∴四边形为正方形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的基本性质，切线的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识点，熟练应用轴对称图形的性质是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $