精品解析：江苏省淮阴中学初中集团校2019-2020学年上学期期中考试九年级数学试卷

淮阴中学集团校初三期中考试 数学 一、选择题（本大题共8小题，共24分．请将答案填涂在答题卡上） 1. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆高度，测得长为米的标杆，其影子长度为米，并测得旗杆的影子长度为6米，则旗杆的高度为（ ） A. 3米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 6. 如图，在中，是斜边上的高，，则长为（ ） A. 10 B. 20 C. 12．5 D. 15 7. 函数y1＝ax2+bx+c与y2＝x的图象如图所示，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（ ）． A. 1＜x＜3 B. x＜1 C. x＞3 D. x＜1或x＞3 8. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共24分，请将答案填写在答题卡上） 9. 抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是______________． 10. 中，，， ，则的长为_______． 11. 已知两点都在抛物线上，则的大小关系为_____．（填“”或“”或“”） 12. 已知：如图，，则的长为___． 13. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 14. 2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡行进200米，则他下降的高度为______米． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在A'处，若的延长线恰好过点C，则的值为__________． 16. 如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1,......，按此规律继续下去，则矩形AB2019C2019C2018的面积为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC=4，BC=3． (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)当DE=DC时，求AD的长． 19. 画图题： （1）如图，图①、图②、图③的正方形网格中，的顶点均在格点上，按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形（要求：所画的两个三角形都与相似但都不与全等，图②和图③中新画的三角形不全等）． （2）在边长为1的方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形． ①如图④，请你在所给的方格纸中，以O为位似中心，将放大为原来的两倍得； ② ； （3）如图④中， ． 20. 已知如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于C点． （1）分别求的坐标； （2）抛物线位于x轴上方的部分上是否存在点M，使，若有，请求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由． 21. 如图，小亮蹲在地上，小芳站在小亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部、小芳的头顶及小亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，．然后测出两人之间的距离，小芳与楼之间的距离（，，在一条直线上），小芳的身高，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．请帮他们求出住宅楼的高度． 22. 2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离. 23. 如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． （1）求y与x的关系式； （2）球能否越过球网？ 24. 在中，为边上的中点，． （1）求的值； （2）若，求的值． 25. 某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克的售价x（元）满足一次函数关系，其中部分数据如表： 售价x（元/千克） 40 50 60 销售量y（千克） 180 150 120 （1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润收入成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？ 26. 方法回忆：如图1，点A为线段外一点，．当点A在线段的延长线上时，即A在线段外，且共线时，线段的长取得最大值为． （1）操作探究： ①点A为线段外一动点，且，如图2所示，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，连接．请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②线段长的最大值为 ． （2）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点P为线段外一动点，且，请直接写出线段长的最大值． （3）迁移：如图4，中，为外一点且，连接，求的最大值，并说明理由 27. 如图1，经过原点O的抛物线（为常数，）与x轴相交于另一点．直线在第一象限内和此抛物线相交于点，与抛物线的对称轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，直接写出满足条件的点P的坐标； （3）直线l沿着x轴向右平移得到直线，与线段相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作轴于点E．把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上时（图2），求直线的解析式； （4）如图3，连接，把绕点A顺时针旋转90°得到，在抛物线对称轴上是否存在点F，使是为以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出F点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮阴中学集团校初三期中考试 数学 一、选择题（本大题共8小题，共24分．请将答案填涂在答题卡上） 1. 已知为锐角，且，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解答． 【详解】∵为锐角，且， ∴． 故选A． 【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案． 【详解】解：∵， ∴a=b, ∴== ， 故选B． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质得出a=b是解题关键. 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据“平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”即可解答． 【详解】∵， ∴， 即， ∴． 故选：A 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆高度，测得长为米的标杆，其影子长度为米，并测得旗杆的影子长度为6米，则旗杆的高度为（ ） A. 3米 B. 9米 C. 12米 D. 15米 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比的性质，列比例式求解，即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵同一时刻同一地点物高与影长成正比， ∴， 解得：， 即旗杆高度为12米． 6. 如图，在中，是斜边上的高，，则长为（ ） A. 10 B. 20 C. 12．5 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得到，将数据代入计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是斜边上的高，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 7. 函数y1＝ax2+bx+c与y2＝x的图象如图所示，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（ ）． A. 1＜x＜3 B. x＜1 C. x＞3 D. x＜1或x＞3 【答案】A 【解析】 【分析】y1＜y2的自变量x的取值范围，从图上看就是二次函数图象在一次函数图象下方时，对应横坐标x的取值范围． 【详解】从图上看当1＜x＜3时二次函数图象在一次函数图象下方 ∴1＜x＜3 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、不等式的性质，从而完成求解． 8. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共24分，请将答案填写在答题卡上） 9. 抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是______________． 【答案】（2，1） 【解析】 【分析】 根据二次函数的顶点式求解． 【详解】解：由题意可得抛物线的顶点坐标为（2，1）， 故答案为（2，1）． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题关键． 10. 中，，， ，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先利用三角函数值求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 11. 已知两点都在抛物线上，则的大小关系为_____．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的开口方向与对称轴，利用二次函数的增减性即可比较两个函数值的大小． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵两点都在抛物线上，， ∴． 12. 已知：如图，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是， ∴对称轴， 解得：， ∴方程的解是：，． 14. 2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡行进200米，则他下降的高度为______米． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查坡度比，勾股定理，熟练掌握坡度比是解题的关键．设下降的高度为，故水平宽度为米，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：坡度为的斜坡， 故设下降的高度为，故水平宽度为米，， ， 解得； 故下降的高度为米． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在A'处，若的延长线恰好过点C，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键． 先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在中，， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1,......，按此规律继续下去，则矩形AB2019C2019C2018的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理可求得AC的长，根据面积比等于相似比的平方可得矩形AB1C1C的面积，同理可求出矩形AB2C2C1、AB3C3C2，……的面积，从而可发现规律，根据规律即可求得第2019个矩形的面积，即可得答案. 【详解】∵在矩形ABCD中，AD=2，CD=1， ∴AC==， ∵矩形ABCD与矩形AB1C1C相似， ∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的相似比为， ∴矩形AB1C1C与矩形ABCD的面积比为， ∵矩形ABCD的面积为1×2=2， ∴矩形AB1C1C的面积为2×=， 同理：矩形AB2C2C1的面积为×==， 矩形AB3C3C2的面积为×==， …… ∴矩形ABnCnCn-1面积为， ∴矩形AB2019C2019C2018的面积为=， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，根据求出的结果得出规律并熟记相似图形的面积比等于相似比的平方是解题关键.． 三、解答题（本大题共11小题，共102分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的混合运算，特殊角的三角函数值，以及实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． （1）根据特殊角的三角函数、算术平方根、负整数指数幂进行化简，然后再合并同类项，即可得到答案； （2）根据特殊角的三角函数、零指数幂、绝对值进行化简，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC=4，BC=3． (1)求证：△ADE∽△ABC； (2)当DE=DC时，求AD的长． 【答案】(1)证明见解析；(2) ． 【解析】 【分析】（1）由∠C=∠DEA=90°，而∠A是公共角，即可得出△ADE∽△ABC； （2）可设AD=x，由△ADE∽△ABC可得，列出关于x的方程即可求解． 【详解】（1）∵DE⊥AB， ∴∠DEA=∠ACB=90°， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC； （2）设AD=x，则由题意知：DC=DE=4-x， ∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°， ∴AB=5， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 解得：x=， ∴AD=． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 19. 画图题： （1）如图，图①、图②、图③的正方形网格中，的顶点均在格点上，按要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形（要求：所画的两个三角形都与相似但都不与全等，图②和图③中新画的三角形不全等）． （2）在边长为1的方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形． ①如图④，请你在所给的方格纸中，以O为位似中心，将放大为原来的两倍得； ② ； （3）如图④中， ． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似作图可得； （2）①连接并分别延长一倍即可得其对应点，顺次连接即可； ②根据三角形的面积公式求解即可； （3）过作交的延长线于，再根据求解． 【小问1详解】 解：如图所示，和即为所求， 【小问2详解】 解：①即为所求． ②． 【小问3详解】 解：如图，过作交的延长线于， 由网格可知， ． 20. 已知如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于C点． （1）分别求的坐标； （2）抛物线位于x轴上方的部分上是否存在点M，使，若有，请求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）令，再解方程得到的坐标； （2）设，再根据构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：令，即， 解得， ； 【小问2详解】 解：存在， ， ， 设， ， 即， 又在轴上方， ，即， 解得， 故存在，或． 21. 如图，小亮蹲在地上，小芳站在小亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部、小芳的头顶及小亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，．然后测出两人之间的距离，小芳与楼之间的距离（，，在一条直线上），小芳的身高，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离．请帮他们求出住宅楼的高度． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答． 过点作，垂足为，交于点，由相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的对应边成比例可得出的长，最后与相加得到的长． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，，，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 答：住宅楼的高度为． 22. 2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离. 【答案】 【解析】 【详解】分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=AD=700，DE=AE=700，则BE=300，所以DF=300，BF=700，再在Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可． 详解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°， 在Rt△ADE中，AE=AD=×1400=700， DE=AE=700， ∴BE=AB-AE=1000-700=300， ∴DF=300，BF=700， 在Rt△CDF中，CF=DF=×300=100， ∴BC=700+100=800． 答：选手飞行的水平距离BC为800m． 点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 23. 如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． （1）求y与x的关系式； （2）球能否越过球网？ 【答案】（1） （2）球能越过球网 【解析】 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【小问1详解】 解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； 【小问2详解】 ∵当时，， ∴球能越过球网． 24. 在中，为边上的中点，． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意证出，进而设出和的值，再结合勾股定理求出的值即可得出答案； （2）根据斜中定理求出和的值，结合和的值求出和的值，相减即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴. 又∵， ∴. 设，则. 在中， ， 则. 【小问2详解】 解：∵为斜边上的中点， ∴， ∴. 则， ， ∴. 25. 某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克的售价x（元）满足一次函数关系，其中部分数据如表： 售价x（元/千克） 40 50 60 销售量y（千克） 180 150 120 （1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润收入成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），每千克的售价为70元时可获得最大利润，最大利润是2700元 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据利润收入成本列出函数关系式即可，将结果化为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查， ∴， 设y与x之间的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为2700， 即每千克的售价为70元时可获得最大利润，最大利润是2700元． 26. 方法回忆：如图1，点A为线段外一点，．当点A在线段的延长线上时，即A在线段外，且共线时，线段的长取得最大值为． （1）操作探究： ①点A为线段外一动点，且，如图2所示，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，连接．请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②线段长的最大值为 ． （2）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点P为线段外一动点，且，请直接写出线段长的最大值． （3）迁移：如图4，中，为外一点且，连接，求的最大值，并说明理由 【答案】（1）①，理由见解析；②7 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； ②根据点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （2）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，证明，得到，由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点，证是等腰直角三角形，得到，，即可求出线段长的最大值； （3）过点作，使，分别证、，再结合即可求解． 【小问1详解】 解：①，理由如下： 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②由（1）可知，当点D位于的延长线上时，线段的长度取得最大值为， 是等边三角形， ， ，即线段的长度的最大值为7， ， 长的最大值为7； 【小问2详解】 解：如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可知，，， 是等腰直角三角形， ，， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， ， 即线段长的最大值为． 【小问3详解】 解：如图4，过点作，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 的最大值． 27. 如图1，经过原点O的抛物线（为常数，）与x轴相交于另一点．直线在第一象限内和此抛物线相交于点，与抛物线的对称轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上找一点P，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，直接写出满足条件的点P的坐标； （3）直线l沿着x轴向右平移得到直线，与线段相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作轴于点E．把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上时（图2），求直线的解析式； （4）如图3，连接，把绕点A顺时针旋转90°得到，在抛物线对称轴上是否存在点F，使是为以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出F点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 （3） （4）或或或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数上点的特征求得点的坐标，再根据待定系数法求抛物线解析式即可； （2）由抛物线的对称轴为直线，得到，从而有，，．分和两种情况，根据相似三角形的对应边成比例求出，即可解答； （3）设直线的解析式为，可得点，根据点的坐标可推得为等腰直角三角形，结合对称的性质和正方形的判定可得四边形是正方形，根据正方形的性质可求得点的坐标，结合二次函数的性质可得，列一元二次方程求解即可得到的值，即可得出答案； （4）根据旋转可得，求得，，根据等腰三角形的顶点分情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线：在第一象限内和此抛物线相交于点， ∴把代入得，， ∴； ∵抛物线与轴相交于另一点，与直线相交于点， ∴把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解∶∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 把代入，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵，， ∴，． 当时，， 即， ∴， ∴； 当时，， 即， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，过点作轴交于点，交抛物线对称轴直线于点， 设直线的解析式为， ∵直线与轴相交于点， 将代入得， ∴点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 即直线与轴和轴的夹角是， ∵直线沿着轴向右平移得到直线，且轴， ∴，， 根据题意可知，是沿直线折叠得到的， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 故点的横坐标为， ∵点在抛物线上， 则，即， ∵四边形是正方形， ∴轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， 即， 故， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为． 【小问4详解】 解：如图，直线交轴于点，作于点，则， 由旋转得，， ∴，， 若点为等腰三角形的顶点，则存在两个满足条件的点： 当时，在中，， ∴； 当时，在中，， ∴； 若点为等腰三角形的顶点，则存在两个满足条件的点： 当时，在中，， 则 ∴； 当时，在中，， 则 ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数上点的特征，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，旋转的性质，轴对称的特征，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，能够根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $