第二十六章 二次函数单元过关监测题（提高卷） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元提高卷，通过选择（10题30分）、填空（6题18分）、解答（8题72分）梯度设计，覆盖图像性质、平移、最值及实际应用等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|开口方向（1）、顶点坐标（4）、图像平移（3）|结合图像辨析，强化几何直观| |填空题|6/18|二次函数定义（11）、解析式确定（13）|开放题（12）考查参数取值，培养创新意识| |解答题|8/72|待定系数法（17）、实际应用（21喷水池/22广告牌/23游乐场收益）|综合题（24）结合几何图形，提升推理能力；应用题融入生活场景，体现模型意识|

第二十六章 二次函数单元过关监测题（提高卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）． A．开口向下，顶点坐标（5，2） B．开口向上，顶点坐标（5，2） C．开口向下，顶点坐标（－5，2） D．开口向上，顶点坐标（－5，2） 2．当a>0，b<0，c<0时，下列有可能是抛物线y=ax2+bx+c的图象的是（ ）． 3．把抛物线y=－2x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（ ）． A．y=－2 (x+3)2 －2 B．y=－2 (x+2)2+2 C．y=－2 (x－3)2 －2 D．y=－2 (x－3)2+2 4．如图1所示，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）． A．x>3 B．x<3 C．x>1 D．x<1 5．二次函数的顶点坐标为（－1，－3.2），其部分图象如图2所示，关于的一元二次方程的两个根为1.3和m，则m的值为（ ）． A．－1.3 B.－2.3 C.－0.3 D.－3.3　 6．已知二次函数y=2x2+8x+7的图象上有三点A，B，C，则 y1、y2、y3的大小关系为（ ）． A．y1 > y2> y3 B．y2> y1> y3 C．y2> y3> y1 D．y3> y2> y1 7．抛物线的图象一个与x轴交点的横坐标是p，那么该抛物线的顶点坐标是（ ）． A．（0，－2） B．　 C．　 D． 8．如图3所示，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为（ ）． A．－3 B.3 C.12 D.－6 9．已知二次函数的图象如图4所示，则下列结论：①a，b同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，x的值只能取0．其中正确的个数是（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个 10．如图5所示，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是（ ）． A．x > 1 B．x < −1 C．0 < x < 1 D．−1 < x < 0 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．若是二次函数，则m= ． 12．若二次函数y=ax2－4x +c的图象开口向下，交y轴于负半轴，其中a、c为整数，请写出一个符合条件的解析式_____________． 13．已知二次函数的图象经过点（1，－1），则这个二次函数的关系式为 ． 14．张力同学在校运动会上投掷标枪，标枪运行的高度h（m）与水平距离x（m）的关系式为h=－x2+x+2，则大力同学投掷标枪的成绩是_____m． 15．已知二次函数，当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 16．已知二次函数经过点M（－1，2）和点N（1，－2），交x轴于A，B两点，交y轴于C，则①；②该二次函数图像与y轴交与负半轴；③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；④若；以上说法正确的序号为 ． 三、解答题（共72分） 17．（6分）已知：四点A（1，2），B（3，0），C（－2，20），D（－1，12），试问，�是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四点，如果存在，请求出它的解析式；如果不存在，�请说明理由． 18．（6分）已知一次函的图象过点（0，5）． ⑴ 求m的值，并写出二次函数的解析式； ⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴． 19．（8分）已知二次函数y=x2+4x+k－1． (1)若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； (2)若抛物线的顶点在x轴上，求k的值． 20．（8分）一次函数y＝x－3的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．一个二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B． （1）求点A，B的坐标； （2）求二次函数的解析式及它的最小值． 21．（10分）新区广场要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线落下，且在过OA的任意平面上的抛物线如图6所示，建立平面直角坐标系(如图7所示)，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=－x2+，请回答下列问题： （1）花形柱子OA的高度； （2）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外? 22．（10分）天宇广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告牌设计费为每平方米1 000元，设矩形的一边长为x米，广告牌的面积为S平方米． （1）写出广告牌面积S与边长x的函数关系式；并确定自变量的取值范围； （2）将矩形广告牌的边长设计为多少米时，公司获得的设计费最多？并求出此最大值； （3）为使广告美观，客户要求矩形满足：长2＝宽×（长＋宽），此时设计费是多少?（精确到1元） 23．（10分）为迎接国庆节长假的到来，永乐游乐场投资150万元引进一项大型娱乐设施.若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元.而该娱乐设施开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y（万元），且y=ax+bx;若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数. (1)若维修保养费用第1个月为2万元， 第2个月为4万元，求y关于x的解析式; (2)求纯收益g关于x的解析式; (3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资? 24．（14分）二次函数的图象的一部分如图8所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)． (1)试求，所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 一、选择题 1．A. 2．B. 3．D. 4．C. 5．D. 6．C. 7．D. 8．B. 9．B. 10．D. 二、填空题 11．－2. 12．答案不唯一，只要满足a＜0、c＜0的整数即可，如y=－2x2－4x －7等． 13．. 14．48. 15．m≥l. 16．①②④ . 三、解答题 17．存在． 设解析式为y=ax2+bx+c，把A（1，2），B（3，0），C（－2，20）三点代入，得 解得a=1，b=－5，c=6 所以解析式为y=x2－5x+6． 把x=－1代入，y=1+5+6=12，所以点D在该函数的图象上． 所以存在，其解析式为y=x2－5x+6． 18．⑴将x=0，y=5代入关系式，得m+2=5，所以m=3，所以解析式为：y=x2+6x+5； ⑵y=x2+6x+5= x2+6x+9－4=(x+3)， 所以顶点坐标是(－3，－4)，对称轴是直线x=－3． 19． (1)∵抛物线与x轴有两个不同的交点 ∴b2－4ac＞0 即16－4k+4＞0 解得k＜5； (2) ∵抛物线的顶点在x轴上 ∴顶点纵坐标为0，即=0 解得k=5． 20．（1）令，得，点的坐标是；令，得，点的坐标是； （2）二次函数的图象经过点， ，解得：． 二次函数的解析式是， ， 函数的最小值为． 21． (1)当x=0时，y=1.5，所以花形柱子OA的高度为1.5m； (2)当y=0时，－x2+=0，解得，，所以半径至少是3m． 22．（1）因为周长为12米，一边的长为x米，所以矩形的另一边的长为（6－x）米， 所以S=x（6－x）=－x2+6x．所以S与x的函数关系式为：S=－x2+6x（0<x<6）； （2）设广告设计费为y元， 则y=1000S=－1000x2+6 000x， 配方，得y=－1000（x－3）2+9000， 当x=3时，y有最大值为9 000（元）． 即矩形广告牌设计为边长为3米的正方形时，矩形的面积最大，此时公司可获得最多设计费为9 000（元）； （3）为使设计美观，设做成矩形的长为x米， 则宽为（6－x）米，长+宽为6米，由x2=6（6－x），整理，得（x+3）2=45． 解得，（舍去）． 所以y=－1000x2+6 000x （元）． 即当矩形的设计长为米，设计费用为8 499元． 23．（1）由题意，当x=1时，y=2；当x=2时，y=2+4=6，分别代人y=ax+bx，得a=b=1.所以y关于x的解析式为y=x+x； (2)根据“创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的“纯收益”得“纯收益(g)=创收－投资－维修保养费用”，即g=33x－150－( x+x)=－x+32x－150； （3）g=－x+32x－150=－（x－16）2+106， 即设施开放16个月后， 游乐场的纯收益达到最大； 又因为g=－（x－16）2+106中，a=－1<0， 顶点坐标（16，106）， 说明在0<x≤16时，g随着x的增大而增大，但当x≤5时，g<0;而当x=6时，g>0，所以6个月后能收回投资. 24．(1)将A（1，0），B（0，l）代入得： ，可得：； （2）由(1)可知：，顶点M的纵坐标为， 因为，由同底可知：， 整理得：，得： 由图象可知：，因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴x=， ∴， ∴舍去，从而 （3）① 由图可知，A为直角顶点不可能； ② 若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意； ③ 若设B为直角顶点，则可知． 令，可得：， 得：，代入中，得． 解得：，由－1＜a＜0，不合题意．所以不存在． 综上所述：不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $