第二十六章《二次函数》单元检测提高卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学第二十六章二次函数提高卷，120分钟100分，含选择、填空、解答题，全面覆盖定义、图像性质、平移、最值及实际应用，注重能力梯度与真实情境，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|二次函数定义、顶点坐标、图像性质|结合图像分析（题7对称轴与系数关系）、跨知识综合（题8一次函数与二次函数图像辨析）| |填空题|4/8|平移、方程与函数关系、增减性|概念辨析（题16二次函数定义参数）、图像翻折应用（题19增减性与对称轴关系）| |解答题|8/62|解析式求解、实际应用（利润、物理运动）、综合探究|文化情境（题12扎染利润模型）、科技应用（题26发石车抛物线轨迹）、创新概念（题27“伴随直线”探究）|

人教版九年级上册数学第二十六章单元检测卷 二次函数（提高卷） 时间：120分钟 满分：100分  姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标是（ ） A.             B. C.           D. 3.将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A.       B. C.       D. 4.二次函数的最大值是（ ） A.             B. C.         D. 5.对于二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A.图象的开口向上 B.函数的最小值为 C.图象的对称轴为直线 D.当时，随的增大而增大 6.已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A.        B. C.        D. 7.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，现有下列结论，其中错误的是（　　） A．abc＞0 B．4a+b＝0 C．c﹣3a＞0 D．9a+3b+c＜0 第7题图 第11题图 8.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9.若函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A.             B.且 C.且         D. 10.已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+a﹣3（a为常数）的图象只经过第二、三、四象限，则a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a≤3 B．﹣3＜a＜1 C．a≥3 D．a＞﹣1 11.小明在学习二次函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　） A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上 B．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小 C．x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根 D．若x＜3，则y＜0 12.大理白族扎染的染料是从板蓝根等植物中提取的.某扎染工坊推出体验活动，每件白T恤进价20元，定价为每件50元时，每天可售出40件.经市场调查发现，每降价1元，每天可多售出4件.设每件降价元，每天获得的利润为元，则与的函数关系式为（ ）A.        B. C.      D. 13.将二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标是（0，﹣6） B．当x＝1时，函数取得最大值 C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 第13题图 第14题图 14.如图，抛物线（）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 15.矩形ABCD中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动．设运动的时间为ts．当t＝3s时，点P，Q的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当t＝6s时，四边形APCQ是平行四边形； ②△APQ的最大面积为cm2； ③当△APQ的面积为10cm2时，t＝2s或t＝10s． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 第15题图 第18题图 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.若y＝（a+2）x|a|+3x﹣1是二次函数，则a的值为　 　． 17.如果将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后经过原点，那么m的值是　 　． 18.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为　 　． 19.抛物线，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.（本题6分）关于x的函数y＝（a2+2a+5）x2+3ax+1（a为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 21.（本题6分）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+2 x … … y … … （1）在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） （2）根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性． 22.（本题7分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（2，5）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当﹣2≤x＜2时，直接写出y的取值范围． 23.（本题7分）小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s），经过实验，发现h与t2成正比例关系，而且当h＝20时，t＝2． （1）求h关于t的函数解析式；（不用写出自变量的取值范围） （2）若小球落地所用的时间为4s，求其离地面的高度是多少？ 24.（本题8分）如图，已知直线交x轴正半轴于点C，交y轴正半轴于点B，抛物线y＝ax2+经过B，C两点，交x轴负半轴于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当四边形BOCE面积最大时，求点E的坐标． 25.（本题8分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1，其中m为实数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）当m﹣1≤x≤m+2时，求函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的最大值． （3）若该二次函数图象的顶点在直线y＝2x上，当﹣2≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 26.（本题8分）图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． 27.（本题12分）在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线y＝a（x﹣h）2+k的“伴随直线”为y＝a（x﹣h）+k．例如：抛物线y＝2（x+1）2﹣3的“伴随直线”为y＝2（x+1）﹣3，即y＝2x﹣1． （1）在上面规定下，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的“伴随直线”为　 　 ． （2）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4a（a≠0）与x轴交于点A，B，与其“伴随直线”相交于点C，D（点C在点D的左侧）． ①求点A，B，C，D的坐标（其中点C，D的坐标可用含a的代数式表示）； ②如果点P（x，y）是直线AD上方抛物线上的一个动点，△PAD的面积记为S，求当a＝﹣2时，S取得的最大值． 答案与解析 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C A B D D B D D C A D A C B D 详细解析： 1.C 二次函数定义：形如（）.A为一次函数，B分母含不是整式，D中可能为0，只有C符合. 2.A 抛物线顶点式的顶点为，故的顶点为. 3.B 平移规律：右移个单位，；上移个单位，.得. 4.D ，开口向下，最大值为. 5.D ，开口向上，对称轴，最小值；当时随增大而减小，故D错误. 6.B ，对称轴.，，，故. 7.D 由图象开口向下知，，，（①正确）；对称轴，，，（②正确）；时（③正确）；时（④错误）.故错误的为D. 8.D 分情况讨论：当时，过一、二、三象限，开口向下；当时，过二、三、四象限，开口向上.逐一验证，D符合. 9.C 当时，为一次函数，与轴有交点；当时，，解得且.综上，且. 10.A ∵y＝﹣x2﹣4x+a﹣3＝﹣（x+2）2+a+1， ∴开口向下，顶点坐标为（﹣2，a+1），对称轴为直线x＝﹣2， 当x＝0时，y＝a﹣3， ∴二次函数y＝﹣x2﹣4x+a﹣3与y轴的交点为（0，a﹣3）， ∵图象只经过第二、三、四象限， ∴ 解得﹣1＜a≤3． 11.D ，当时，，，，故D说"若则"错误（时，但时，x为负数时...，，确实都小于0）.等等，时，时，时.所以时，D说不准确（时），但D说"若，则"忽略了的情况，故D错误. 12.A 每件利润，销量，总利润. 13.C 对于二次函数y＝2x2﹣4x﹣6， 令x＝0，得：y＝﹣6， ∴原二次函数y＝2x2﹣4x﹣6与y轴的交点坐标为（0，﹣6）， 翻折后新函数图象与y轴的交点坐标是（0，6）， 故A选项错误，不符合题意； 结合图象可知，函数没有最大值， 故B选项错误，不符合题意； 二次函数y＝2x2﹣4x﹣6， 令y＝0，则有2x2﹣4x﹣6＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴原二次函数y＝2x2﹣4x﹣6与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）， 翻折后新函数图象与x轴的交点坐标不变，为（﹣1，0），（3，0），图象与x轴两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4， 故C选项正确，符合题意； 二次函数y＝2x2﹣4x﹣6，对称轴为直线，翻折后新函数图象的对称轴不变，为x＝1，由图象可知，函数在1＜x＜3时，y的值随x值的增大而减小，当x＞3时，y的值随x值的增大而增大， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 14.B ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴b＝2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； 由函数图象可知，当﹣3＜x＜0时，抛物线在x轴上方， ∴当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1且开口向下， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，即当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1且开口向下， ∴当x＝﹣1时，抛物线有最大值y＝a﹣b+c， ∴am2+bm+c≤a﹣b+c， ∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共3个， 故选：B． 15.D 由题意，∵AB＝5cm，AD＝7cm， ∴可分下面三种情形分析： 当0＜t≤5时，S＝t2； 当5＜t≤7时，S＝t； 当7＜t＜12时，S＝35﹣﹣﹣＝﹣t2+6t． ①当t＝6s时，如图所示， ∴CQ＝AB+BC﹣6＝12﹣6＝6（cm），AP＝6cm，即AP＝CQ， 又∵AP∥CQ， ∴四边形APCQ是平行四边形，故①正确； ②当0＜t≤5时，S＝t2，则S最大值为； 当5＜t≤7时，S＝t，则S最大值为； 当7＜t＜12时，S＝35﹣﹣﹣＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣6）2+18，此时最大值小于， 综上，△APQ的最大面积为cm2，故②正确； ③当0＜t≤5时，S＝t2， 令S＝10，则t＝2s，负值舍去； 当5＜t≤7时，S＝t， 令S＝10，则t＝4＜5，不合题意； 当7＜t＜12时，S＝35﹣﹣﹣＝﹣t2+6t， 令S＝10，则﹣t2+6t＝10， ∴t＝2或10， ∵7＜t＜12， ∴t＝10． 综上，t＝2s或t＝10s，故③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 题号 16 17 18 19 答案 2 3 详细解析： 16. 由二次函数定义，且，解得. 17. 平移后，过原点得，. 18. 即，交点横坐标即为方程的解. 19. ，对称轴，开口向上.当时随增大而减小，需对称轴，即，. 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.（本题6分） 解：乙的说法正确. 二次项系数. ，. 无论取何实数，二次项系数均不为零，此函数一定是二次函数. 21.（本题6分） 解： （1）列表： -3 -2 -1 0 1 y -6 0 2 0 -6 函数图象为开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为，过点、、、、.（图象略） （2）顶点坐标：；对称轴：直线；开口方向：向下. 增减性：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 22.（本题7分） 解： （1）将代入，得. 将代入，得，解得. 二次函数解析式为. （2），对称轴，开口向上. 当时： 时取最小值； 时； 时（取不到）. 的取值范围为. 23.（本题7分） 解： （1）设（）. 将，代入，得，解得. 关于的函数解析式为. （2）当时，. 小球离地面的高度为米. 24.（本题8分） 解： （1）直线， 令，得，； 令，得，. 将，代入，得 解得，. 抛物线解析式为. （2）由（1）知，，. 四边形的面积. （定值）. 设，其中. 过作轴交于点，则. . . . 当时，四边形面积最大，最大值为. 此时. 25.（本题8分） 解：（1）由y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（m，﹣1）； （2）由y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝m， ∵1＞0，开口向上， ∴离对称轴越远的点函数值最大， ∵|m﹣1﹣m|＝1，|m+2﹣m|＝2，2＞1， ∴当x＝m+2时，函数取得最大值， 把x＝m+2代入得，y＝（m+2﹣m）2﹣1＝3， ∴当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的最大值为3； （3）∵二次函数图象的顶点（m，﹣1）在直线y＝2x上， ∴﹣1＝2m，解得：， ∴，对称轴为直线， ∵1＞0， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为， ∴①当时，在对称轴左侧，y随x增大而减小， 最大值为：当x＝﹣2时，， 最小值为：x＝n时，， 由题意得，， 解得，此解不满足，故舍去； ②当时，最小值为：当时，， 最大值为：当x＝﹣2时，或当x＝1时，， ∴， 当时，， 解得：x＝﹣2或x＝1，符合题意； ③当n＞1时，则x＝n处的，差大于，不符合要求； 综上可得：n的取值范围是． 26.（本题8分） 解： （1）由题意，抛物线顶点为，经过原点. 设抛物线解析式为. 将代入，得，解得. 石块运动轨迹所在抛物线的解析式为. （2）当时，. 点坐标为，防御墙高米，墙顶的纵坐标为. ，石块不能飞越防御墙. 27.（本题12分） 解： （1）. （2）①对于抛物线（）， 令，得，，， 解得或，，. "伴随直线"为. 联立抛物线与其伴随直线： 消去，得， 两边同除以（），得， 即，， 解得或. 当时，；当时，. 点在点的左侧，，. ②当时，抛物线为，，. 设，其中. 直线的解析式：设，代入，， 解得，，直线：. 如图，过作轴交于点，则. . . ，当时，取得最大值. 第页 共页 第页 共页 学科网（北京）股份有限公司 $