29.1.1圆的有关概念（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆的有关概念，涵盖圆的描述性与集合性定义、点与圆的位置关系及弦、直径、弧等相关概念。通过蒙古包、车轮等生活实例导入，衔接小学初步认知，搭建从生活现象到数学抽象的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主线，通过圆规画圆抽象圆的形成过程，用点到圆心距离推导位置关系，培养数学眼光与思维。结合矩形顶点共圆等例题及概念辨析训练，帮助学生建立几何直观，教师可依托系统流程高效开展概念教学。

第二十九章 圆 29.1 圆的有关概念 29.1.1圆的有关概念 学 习 目 标 1 2 3 理解圆的描述性定义和集合性定义，掌握圆心、半径的概念，会用符号表示圆. 掌握点与圆的三种位置关系及其判定方法，能根据点到圆心的距离判断点与圆的位置关系. 理解弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等与圆有关的概念. 探究 问题1 圆是一种常见的几何图形，圆形物体在生活中随处可见．圆也是一种美丽的图形，具有多种对称性. ①草原上的蒙古包 ②马车车轮 章节导入 ③十五的满月 ④圆圆的月饼 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”，本章我们将探索与圆有关的线段、角的位置关系和数量关系，得到圆的有关性质？ 章节导入 新课引入 探究 生活中有哪些与圆有关的物体呢？ 柠檬 茶具 自行车车轮 都有与圆有关的形状 新课引入 在小学，我们已经初步认识了圆。那么，从数学的角度： ①圆到底是怎样形成的？ ②圆有哪些基本要素？ ③平面内的点与圆有怎样的位置关系？ 今天我们就来系统学习圆的有关概念. 新知探究 探究1：圆的定义 点击图片动态演示画圆过程 探究 你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗？ 圆规的一只脚固定，另一只脚绕着固定点旋转一周，就画出了一个圆。 在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆。 新知探究 圆的集合性定义 从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 （3）圆心为O，半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 ⊙O 圆心 确定圆的位置 半径 （确定圆的大小） 探究1：圆的定义 新知探究 探究2：点与圆的位置关系 探究 观察画圆的过程，平面被圆分成几部分？平面内的点与圆有几种位置关系？ 平面被圆分成三部分： 平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 圆内 圆上 圆外 新知探究 探究2：点与圆的位置关系 探究 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内。 设⊙O的半径为，任意一点P到圆心的距离，则有： 读作"等价于"，它表示从符号的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 也就是说，点在圆外可以推出d＞r，反过来d＞r也可以推出点在圆外。 点P在圆外 ⇔ ； 点P在圆上 ⇔ ； 点P在圆内 ⇔ 点与圆的位置关系 教材例题 【分析】利用矩形对角线相等且互相平分的性质，证明四个点到定点O的距离相等，即可证四点共圆． 如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 。 求证：，，， 四个点在以点 为圆心的同一个圆上。 证明： 四边形 为矩形，对角线 ， 相交于点 ， ∴，，． ． ∴，，，四个点在以点为圆心，为半径的圆上. （1）选定点：选择一个待定点为圆心； 新知探究 探究2：点与圆的位置关系 用圆的定义判断多点共圆的方法 方法总结 （2）判距离：判断其他点到这个待定点的距离是否相等； （3）定共圆：若距离相等，则这些点共圆，反之这些点不共圆. 新知巩固 点与圆的位置关系 【分析】判断四边形四个顶点是否共圆，看对角线交点到四个顶点距离是否全部相等． 下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形，四个顶点一定在同一个圆上的是________。 解： ①平行四边形：对角线互相平分但不相等，交点到四个顶点距离不全相等，四点不共圆； ②矩形：对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点距离相等，四点共圆； ③菱形：对角线互相垂直平分但长度不相等，交点到四个顶点距离不全相等，四点不共圆。 答案：② 新知探究 探究3：与圆有关的概念 弦与直径 注意： （1）圆中有无数条弦； （2）直径是最长的弦，但弦不一定是直径； （3）直径长是半径长的2倍。 O 连接圆上任意两点的线段叫作弦 C D 经过圆心的弦叫作直径 A B 新知探究 探究3：与圆有关的概念 因为直径经过圆心，直径的两个端点在圆上，直径长等于； 而任意一条不经过圆心的弦，与圆心构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，弦长小于。 所以直径是最长的弦。 探究 为什么直径是圆中最长的弦？ 点击图片动态演示证明过程 大于半圆的弧叫作优弧 新知探究 探究3：与圆有关的概念 弧 O 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。 A B 例如：以A、B为端点的弧记作，读作"圆弧AB"或"弧AB " O 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。 O 小于半圆的弧叫作劣弧 新知探究 探究3：与圆有关的概念 （1）弧包括优弧、劣弧和半圆三类； 易混总结 （2）半圆既不是劣弧，也不是优弧； （3）优弧用三个字母表示（如），劣弧用两个字母表示（如 ）. ①弦是直的线段，只有两个端点在圆上，其他部分在圆内；弧是曲的，所有点都在圆上。 弦与弧的区别与联系 ②每条弧都只对应一条弦，而每条弦都对应两条弧（一条优弧和一条劣弧，直径对应两条半圆） 新知探究 探究3：与圆有关的概念 等圆的概念： 能够重合的两个圆叫作等圆。 容易看出，同圆或等圆的半径相等； 反过来，半径相等的两个圆是等圆。 等弧的概念： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 O A O A 点击图片动态演示过程 新知探究 探究3：与圆有关的概念 （1）等弧只能出现在同圆或等圆中； 知识总结 等弧与等圆 确定等弧的两个要素 （1）观察两弧所在的圆是不是同圆或等圆； （2）看两弧长度是否相等。 如果两个圆的半径不相等，那么即使弧的长度相等，也不能互相重合，不是等弧； （2）等弧是全等图形，而不仅仅是弧的长度相等； 长度相等的两条弧不一定是等弧，因为它们可能不在同圆或等圆中，弯曲程度不同，无法重合. 新知巩固 与圆的位置关系 下列命题正确的有（ ） ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆。 ①√：直径是经过圆心的弦，是最长的弦； ②×：弦不一定经过圆心，所以弦不一定是直径； ③√：半径相等的两个半圆能互相重合，是等弧； ④×：等弧必须在同圆或等圆中，长度相等的弧不一定能重合； ⑤√：弧包括劣弧、优弧、半圆，所以半圆是弧，但弧不一定是半圆。 【分析】依据弦、直径、弧、等弧的定义逐个辨析命题，判断正误． 所以正确的有①③⑤，共3个 巩固训练1 圆的基本概念辨析 【分析】根据圆的基本概念进行辨析. 下列说法正确的个数是__________________ ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． 解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 巩固训练1 圆的基本概念辨析 变式题 如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接． 若，则的度数为（     ）   A． B． C． D． 解：∵， ∴ ． ∵， ∴ ，． ∴ 巩固训练2 求圆中弦的条数 【分析】弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦．根据圆的弦的定义解答． 如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 巩固训练2 求圆中弦的条数 变式题 如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解：根据弦的定义可知 AB、CD和BD都是圆的弦 所以⊙O中的弦的条数为3 故选：B． 巩固训练3 求过圆内一点的最长弦 【分析】根据题意，可得圆的直径为，直径是圆上最长的弦，即，即可得到答案． 已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 解：∵、为上的两点，若的半径为， ∴， ∴D不符合题意． 故选：D． 巩固训练3 求过圆内一点的最长弦 如图，⊙O的半径OA=1，D是半径OA上一点（不与点O重合），过点D作弦BC⊥OA，沿BC把BAC翻折得到BEC，连接OB、OC，当弦BC的长是整数时，BEC的长为（ ） A. π B. C. D. 解：∵⊙O的半径OA=1，∴OB=OC=OA=1， ∵D是半径OA上一点（不与点O重合），∴0＜BC＜2， ∵弦BC的长是整数，∴弦BC=1， ∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC=60°， ∴BAC的长=， ∴BEC的长为 课堂总结 本节课你学到了什么？ 27 感谢聆听! 28 $