29.1.2 过三点的圆 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“过三点的圆”展开，涵盖过一点、两点及不在同一直线上三点作圆的规律，三角形外接圆与外心概念，以及反证法证明思想。课堂导入先复习圆、圆心等基本概念，再通过递进式探究活动构建知识支架，引导学生从简单到复杂理解知识脉络。 其亮点在于以“牛刀小试”中圆形玻璃碎片问题培养数学眼光，通过反证法证明同一直线三点不能作圆发展推理意识，结合画图观察不同三角形外心位置强化几何直观。采用探究式教学与问题驱动，小结系统梳理知识，助力学生提升空间观念与探究能力，也为教师提供清晰教学脉络和实用实例。

第二十九章 圆 R·九年级数学上册 29.1 圆的有关概念 29.1.2 过三点的圆 学习目标 1.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用. 2.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 3.了解反证法的证明思想. 复习回顾 O r A C B 概念： 1.圆 2.圆心 3.半径 4.弦 5.直径 6.弧 7.等圆 8.等弧 探索新知 探究1：经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ A 可作无数个圆，圆心为点 A 以外任意一点，半径为这点与点 A 的距离. 探究2：经过两个点A，B能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ A B 可作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上. A 探究3：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ B C l1 l2 O 分别作线段AB，BC的垂直平分线 l1，l2， 设l1，l2相交于点O，则OA=OB=OC. 以点O为圆心，OA为半径，作出⊙O. 由作法可知，经过A，B，C三点可以作一个并且只可以作一个圆. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 1.小明不慎把家中的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为得到与原来大小一样的圆形玻璃，小明 带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 牛刀小试 B 2.如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ 【选自教材第118页 练习 第1题】 解：让A，B两点落在圆上，沿CD画一条直线，再用同样的方法，将A，B两点放在圆上另外两点上，再沿CD画一条直线，两条直线相交于点O，则点O即为圆心. 通过探究活动发现过不在同一条支线上的三点可以作圆，说明圆与三角形存在对应关系. A B C l1 l2 1.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆. 如图，☉O是△ABC的外接圆. △ABC叫作☉O的内接三角形. 2.三角形外接圆的圆心叫作三角形的外心. 作图：三角形三边中垂线的交点. 性质：到三角形三个顶点的距离相等. O 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并说说各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内， 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点， 钝角三角形的外心位于三角形外. 3.如图，在5×7的网格中，各小正方形的边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外，把你认为外心也是O的三角形都写出来. 牛刀小试 △ABD，△ACD，△BCD. 思考：我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆. 那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ l A B C 证明：假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆. l1 l2 P 设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. ∴经过同一条直线上的三个点不能作圆. 反证法 先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法. 用反证法证明命题的一般步骤 否定结论 假设命题的结论不成立. 推出矛盾 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾. 肯定结论 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 试一试：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”. A B C D E F 1 2 证明：假设∠1≠∠2，过点O作直线A'B′，使∠EOB′= ∠2. A′ B′ 根据“同位角相等，两直线平行”，可得A'B′∥CD. 这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明假设 ∠1≠∠2 不正确，从而 ∠1=∠2. 4.用反证法说明：400人中至少有两个人的生日相同. 牛刀小试 【选自教材第119页 练习 第1题】 证明：假设400人中每个人生日都不相同，则400个人中有400个生日日期，对应着有400天，这与一年中平年有365天，闰年有366天矛盾， ∴假设不成立， ∴400人中至少有两个人的生日相同. 5.用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 【选自教材第119页 练习 第2题】 证明：假设△ABC中有两个角是直角，即∠A=∠B=90°， ∴∠A+∠B+∠C >180°， 这与三角形内角和等于180°矛盾，这说明假设不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是直角. 随堂练习 1.判断下列说法是否正确. （1）任意的一个三角形一定有一个外接圆.( ) （2）一个圆有且只有一个内接三角形.( ) （3）经过任意三点一定可以确定一个圆. ( ) （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( ) √ × × √ 2.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. 【选自教材第118页 练习 第2题】 A B C B A C O D 解：如图，⊙O即为所求.连接AO，BO，CO，延长AO交BC于点D. ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°. 由作图知，AD垂直平分BC，BO平分∠ABC. ∴∠ODB=90°，BD=CD=BC=1，∠OBC=∠ABC=30°. ∴BO=2DO. 设DO=x，则BO=2x. 在Rt△OBD中，根据勾股定理，得 BO2=DO2+BD2， ∴(2x)2=x2+1，∴ x= （负值已舍去）. ∴BO= ，即外接圆的半径长为. 3.如图，已知点E是△ABC的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，连接EP，EQ，分别交BC于点F，D.若BF=10，DF=6，CD=8，则△ABC的面积为_______. A B C P Q F D E 96 课堂小结 过点画圆 过一点可以作无数个圆. 过两点可以作无数个圆. 过不在同一直线上的三个点确定一个圆. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆. 反证法证明 1.否定结论 2.推出矛盾 3.肯定结论 三角形的外心 $