15.1 轴对称图形 课时作业 2026-2027学年沪科版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学沪科版八年级上册15.1轴对称图形同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，通过概念辨析、性质应用、实际迁移三阶路径，强化几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|轴对称图形概念、对称轴判断、性质基础应用|选择填空结合生活实例（如汉字、英文字母对称判断），强化概念辨析| |能力提升|轴对称性质推理、对称图形作图、坐标对称规律|网格作图与几何计算结合（如补全轴对称图形、周长角度计算），发展推理能力| |拓展探究|正多边形对称轴规律、最短路径问题、实际应用|“将军饮马”模型与生活场景（如公交站选址），培养应用意识与创新思维|

沪科版 · 八年级上册 · 数学课时作业　15.1 轴对称图形 15.1　轴对称图形　课时作业 （沪科版　八年级上册　第15章）　班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 　学习目标 1．理解轴对称图形的概念，能判断一个图形是不是轴对称图形，会找出它的对称轴． 2．理解两个图形成轴对称的概念，能说出轴对称与轴对称图形的区别和联系． 3．掌握轴对称的性质，会用性质进行有关的计算与推理． 4．会画出一个图形关于已知直线的对称图形，能补全轴对称图形． 　一、知识点梳理 知识点1　轴对称图形 定义：如果一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴． 注意：对称轴是一条直线，不是线段或射线；一个轴对称图形可能有一条对称轴，也可能有多条对称轴． 图形 对称轴的条数 线段 2 条（它本身所在的直线和它的垂直平分线） 角 1 条（角平分线所在的直线） 等腰三角形（不等边） 1 条 等边三角形 3 条 长方形 2 条；正方形 4 条；圆有无数条 知识点2　两个图形成轴对称 定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）． 区别与联系：轴对称图形说的是一个图形自身的特征；成轴对称说的是两个图形之间的关系．若把成轴对称的两个图形看作一个整体，它就是一个轴对称图形；反过来，把一个轴对称图形沿对称轴分成的两部分成轴对称． 知识点3　轴对称的性质 性质1：成轴对称的两个图形是全等形，对应线段相等，对应角相等． 性质2：对称轴垂直平分任意一对对应点所连的线段． 性质3：成轴对称的两个图形，对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 几何语言：如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，则 AB=A′B′，∠A=∠A′，且 l 垂直平分 AA′，BB′，CC′． 知识点4　作轴对称图形 作法（以作点关于直线 l 的对称点为例）：过已知点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 O，在垂线上截取 OA′=OA，点 A′就是点 A 关于 l 的对称点． 作图形的对称图形：先作出图形中各个关键点（如顶点）的对称点，再把这些对称点按原来的顺序连接起来． 易错提醒 ①判断轴对称图形时，要真正想象“沿对称轴对折后两部分能否完全重合”，不能只看“形状差不多”．例如平行四边形（非矩形、非菱形）不是轴对称图形． ②“对称轴垂直平分对应点连线”中，被平分的是对应点连线，不要与“图形的边被平分”混淆． ③在网格中作对称图形时，要保证对应点到对称轴的格数相同． 　二、例题精讲 例1　下列图形中，是轴对称图形的有哪些？各有几条对称轴？ （1）等腰三角形；（2）平行四边形；（3）长方形；（4）圆；（5）等边三角形． 解：（1）是，1 条；（2）不是；（3）是，2 条；（4）是，无数条；（5）是，3 条． 方法点拨：平行四边形绕中心旋转 180° 后能与自身重合，但沿任何一条直线折叠都不能完全重合，所以它不是轴对称图形． 例2　如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，AB=5，∠B=50°，AA′与 l 交于点 P，AP=2． （1）求 A′B′的长和∠B′的度数；（2）求 AA′的长，并说明 l 与 AA′的位置关系． 解：（1）由轴对称的性质得 A′B′=AB=5，∠B′=∠B=50°． （2）因为 l 垂直平分 AA′，所以 A′P=AP=2，AA′=2AP=4，且 l⊥AA′． 例3　如图，在网格中画出△ABC 关于直线 l 的对称图形△A′B′C′． 解：分别作出 A，B，C 三点关于 l 的对称点 A′，B′，C′（对应点与 l 的距离相等且连线与 l 垂直），再顺次连接，即得△A′B′C′（见参考答案）． 　三、基础巩固 （一）选择题（每题只有一个正确选项） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．圆 2．正方形的对称轴共有（　　） A．1 条 B．2 条 C．4 条 D．无数条 3．下列说法中，正确的是（　　） 　　A．两个全等的图形一定成轴对称 　　B．轴对称图形只有一条对称轴 　　C．对称轴是一条直线 　　D．成轴对称的两个图形一定分居对称轴两侧且不能有公共点 4．下列汉字中，是轴对称图形的是（　　） A．王 B．书 C．习 D．为 5．若△ABC 与△DEF 关于直线 l 对称，且∠A=65°，∠B=40°，则∠F 的度数为（　　） A．40° B．65° C．75° D．105° 6．成轴对称的两个图形，下列说法中错误的是（　　） 　　A．它们全等 　　B．对应角相等 　　C．对应点连线互相平行 　　D．对称轴垂直平分对应点连线 7．下列英文大写字母中，有两条对称轴的是（　　） A．A B．B C．H D．E 8．一个轴对称图形沿对称轴折叠后，下列说法正确的是（　　） 　　A．对应线段可能不相等 　　B．对应角可能不相等 　　C．对应点到对称轴的距离相等 　　D．对称轴一定经过图形的顶点 9．在镜子中看到的时刻是 10:51，则实际时刻是（　　） A．10:51 B．12:01 C．15:01 D．10:15 10．下列图形中对称轴条数最多的是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．圆 D．长方形 （二）填空题 11．线段是轴对称图形，它有________条对称轴，分别是________________________． 12．如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，若 BC=6，∠A=70°，则 B′C′=________，∠A′=________． 13．角是轴对称图形，它的对称轴是________________所在的直线． 14．如图，点 A 与点 A′关于直线 l 对称，AA′与 l 交于点 P，若 AA′=8，则 AP=________，∠APl=________． 15．在平面直角坐标系中（如图），点 A 的坐标是________，点 A 关于 x 轴的对称点 C 的坐标是________，点 A 关于 y 轴的对称点 B 的坐标是________． 16．若一个轴对称图形的一条对称轴把它分成的两部分面积分别为 S₁，S₂，则 S₁________S₂（填“>”“<”或“=”）． 17．等腰三角形有________条对称轴，等边三角形有________条对称轴． 18．把一张长方形纸片对折两次后剪去一个角，展开后得到的图形________（填“是”或“不是”）轴对称图形． 　四、能力提升 19．如图，在网格中画出△ABC 关于直线 l 的对称图形△A′B′C′，并写出画图的依据． 20．如图是一个轴对称图形的一半，直线 l 是它的对称轴，请把这个图形补充完整． 21．如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 对称，AB=8，BC=5，AC=6． （1）求△A′B′C′的周长；（2）若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求∠B′的度数． 22．在平面直角坐标系中，点 A(3，2)，B(-3，2)，C(3，-2)． （1）在图中描出这三点；（2）点 A 与点 B 关于哪条坐标轴对称？点 A 与点 C 呢？ （3）观察坐标的变化，你能发现关于 x 轴、y 轴对称的两点坐标有什么规律？ 23．如图，A，B 两点在直线 l 的同侧，点 P 在直线 l 上． （1）作出点 A 关于直线 l 的对称点 A′；（2）说明 PA=PA′的理由； （3）当点 P 在 l 上什么位置时，PA+PB 最小？请在图中标出这个点． 24．一个轴对称图形的两个对应点分别为 M，N，对称轴为 l． （1）线段 MN 与直线 l 有什么位置关系？（2）若 M，N 之间的距离为 10，求点 M 到 l 的距离． 25．如图，长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠． （1）折叠前后的两个三角形有什么关系？（2）直线 BD 是长方形 ABCD 的对称轴吗？为什么？ 26．请分别画出下列图形的所有对称轴（在草稿纸上画出示意图即可）：（1）等腰三角形；（2）长方形；（3）正六边形．并写出对称轴的条数． 　五、拓展探究 27．【规律探究】正三角形有 3 条对称轴，正方形有 4 条对称轴，正五边形有 5 条对称轴． （1）正六边形有________条对称轴；（2）正 n 边形有________条对称轴； （3）你认为“正 n 边形的对称轴一定都经过它的中心”这句话正确吗？ 28．如图，在网格中，A，B 是两个格点．请在网格中再找出所有的格点 C，使△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形（在图中标出并说明理由）． 29．在一条笔直的公路 l 的同侧有两个村庄 A，B．现要在公路上修建一个公共汽车站 P，使 P 到 A，B 两村的距离之和最小． （1）请说明确定点 P 的方法；（2）用轴对称的性质说明这样作出的 P 使 PA+PB 最小． 　六、易错辨析（正确的画“✓”，错误的画“✗”） 30．对称轴是一条线段．（　　） 31．平行四边形是轴对称图形．（　　） 32．成轴对称的两个图形一定全等．（　　） 33．全等的两个图形一定成轴对称．（　　） 34．对称轴垂直平分连接两个对应点的线段．（　　） 35．一个轴对称图形的对称轴可能不止一条．（　　） 　七、实际应用 36．中国传统的剪纸、脸谱、京剧脸谱和许多建筑都体现了对称美．请举出生活中三个轴对称图形的实例，并分别说出它们各有几条对称轴． 37．小明在镜子中看到墙上电子钟的示数为 10:51． （1）实际时刻是多少？（2）请说明判断的依据． 38．某公园设计了一个轴对称的花坛，对称轴是一条南北方向的直线．若花坛东侧有一处景观距对称轴 12 m，则西侧对应景观距对称轴多远？两处景观之间的距离是多少？ 　参考答案及解析 三、基础巩固 1．B 【解析】平行四边形沿任何直线折叠都不能使两旁部分完全重合，不是轴对称图形． 2．C 【解析】两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线，共 4 条． 3．C 【解析】全等的两个图形不一定成轴对称；轴对称图形的对称轴可能有多条；成轴对称的两个图形也可以有公共点（如公共点在对称轴上）． 4．A 【解析】“王”沿竖直方向的直线折叠后两部分完全重合． 5．C 【解析】∠C=180°-65°-40°=75°，∠F 与∠C 是对应角，所以∠F=75°． 6．C 【解析】对应点连线都与对称轴垂直，所以它们互相平行或在同一条直线上；当两个对应点连线在同一条直线上时就不是“平行”了，故 C 的说法不准确． 7．C 【解析】字母 H 有水平和竖直两条对称轴；A 只有 1 条竖直对称轴，B，E 只有 1 条水平对称轴． 8．C 【解析】对称轴垂直平分对应点连线，所以对应点到对称轴的距离相等． 9．B 【解析】镜面成像左右互换，10:51 在镜中看到的实际是 12:01． 10．C 【解析】圆有无数条对称轴． 11．2；它本身所在的直线和它的垂直平分线 12．6；70° 【解析】成轴对称的两个图形全等，对应线段相等、对应角相等． 13．角平分线 14．4；90° 【解析】l 垂直平分 AA′，所以 AP=AA′=4，且 l⊥AA′． 15．A(3，2)；C(3，-2)；B(-3，2) 【解析】关于 x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； 　　关于 y 轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 16．= 【解析】对称轴两旁的部分能完全重合，所以面积相等． 17．1；3 【解析】这里的等腰三角形指底边和腰不相等的等腰三角形． 18．是 【解析】对折后剪出的图形，展开后关于折痕成轴对称． 四、能力提升 19．见下图 【解析】作图依据：对称轴垂直平分对应点连线．具体作法是：过 A，B，C 分别作 l 的垂线，在垂线上取相同长度得到 A′，B′，C′，再顺次连接． 20．见下图 【解析】把已知部分中的每个端点关于 l 作对称点，再按原顺序连接即可． 21．（1）19；（2）60° 【解析】（1）成轴对称的两个图形全等，所以△A′B′C′的周长=8+5+6=19． 　　（2）设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，则 9x=180°，x=20°，∠B=60°，所以∠B′=∠B=60°． 22．（1）见图；（2）A 与 B 关于 y 轴对称，A 与 C 关于 x 轴对称；（3）见解析 【解析】（3）关于 x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点 (a，b) 关于 x 轴的对称点是 (a，-b)； 　　关于 y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数，即点 (a，b) 关于 y 轴的对称点是 (-a，b)． 23．见解析 【解析】（1）过点 A 作 l 的垂线，垂足为 H，在垂线上截取 HA′=HA，点 A′即为所求． 　　（2）因为 l 垂直平分 AA′，点 P 在 l 上，所以 PA=PA′（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 　　（3）连接 A′B 交 l 于点 P，此时 PA+PB=PA′+PB=A′B 最小． 24．（1）l 垂直平分 MN；（2）5 【解析】M，N 是一对对应点，对称轴垂直平分 MN，所以点 M 到 l 的距离为 MN=5． 25．（1）全等；（2）不是 【解析】（1）折叠前后的两个三角形能够完全重合，所以△ABD≌△CDB． 　　（2）不是．沿 BD 折叠后，点 A 与点 C 并不重合（除非长方形是正方形的特殊情形也不重合），长方形两旁的部分不能完全重合，所以对角线所在直线不是它的对称轴．长方形的对称轴是两组对边中点连线所在的直线，共 2 条． 26．（1）1 条；（2）2 条；（3）6 条 【解析】正六边形的对称轴是 3 条对角线所在直线和 3 条对边中点连线所在直线． 五、拓展探究 27．（1）6；（2）n；（3）正确 【解析】正 n 边形有 n 条对称轴．当 n 为偶数时，是 条对角线所在直线和 条对边中点连线所在直线；当 n 为奇数时，是 n 条“顶点与对边中点连线”所在的直线． 　　这些直线都经过正 n 边形的中心． 28．所有在 AB 的垂直平分线上的格点 【解析】以 AB 为底边的等腰三角形满足 CA=CB，所以点 C 在线段 AB 的垂直平分线上． 　　在网格中作出 AB 的垂直平分线，它上面的格点（除 AB 中点外）都符合条件． 29．见解析 【解析】（1）作点 A 关于 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于点 P，点 P 就是所求的车站位置． 　　（2）设 Q 是 l 上任意一点．由轴对称性质得 QA=QA′，PA=PA′． 　　所以 QA+QB=QA′+QB≥A′B=PA′+PB=PA+PB，当且仅当 Q 与 P 重合时取等号，故 PA+PB 最小． 　　方法点拨：这就是著名的“将军饮马”问题，核心是用轴对称把“折线段之和”转化为“两点之间线段最短”． 六、易错辨析 30．✗ 【解析】对称轴是一条直线，可以向两方无限延伸． 31．✗ 【解析】平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形． 32．✓ 【解析】成轴对称的两个图形能完全重合． 33．✗ 【解析】全等只说明形状、大小相同，两个图形的位置不一定关于某条直线对称． 34．✓ 【解析】这是轴对称的基本性质． 35．✓ 【解析】如长方形有 2 条，正方形有 4 条，圆有无数条． 七、实际应用 36．答案不唯一 【解析】例如：五角星（5 条）、蝴蝶图案（1 条）、中国结（1 条）、汽车标志、窗花剪纸等． 37．（1）12:01；（2）见解析 【解析】镜面成像时左右互换，把 10:51 左右翻转（同时每个数字也左右翻转）后得到 12:01． 　　也可以把纸转到背面对着光看，读出的就是实际时刻． 38．12 m；24 m 【解析】对称轴垂直平分两处对应景观的连线，所以西侧景观到对称轴也是 12 m，两处相距 12+12=24（m）． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $