第十五章《轴对称图形和等腰三角形》单元基础卷 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

**基本信息** 沪科版八年级上册第十五章《轴对称图形和等腰三角形》单元基础卷，通过选择、填空、解答题（12/4/8题，36/16/68分）覆盖轴对称图形识别、等腰三角形性质、尺规作图等核心知识，注重基础巩固与能力梯度提升，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|轴对称图形识别（1-2题）、垂直平分线性质（4-6题）、逆命题判断（7题）|结合“观成爱我”首字母等生活情境，考查几何直观与抽象能力| |填空题|4/16|角平分线距离（14题）、垂直平分线周长计算（15题）|联系加油站位置等实际问题，体现应用意识| |解答题|8/68|古代角尺平分角（22题）、等边三角形动态探究（24题）|融入传统文化与动态几何，培养推理能力与创新意识|

第十五章《轴对称图形和等腰三角形》单元基础卷 2026-2027学年沪科版数学八年级上册 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．“观成爱我”的首字母缩写为G、C、A、W，其中不是轴对称图形的选项是（　　） A． B． C． D． 2．欣赏下列的图案，可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是 (　　) A．两条直线平行，同旁内角相等 B．直角三角形两个内角的和为90度 C．成轴对称的两个三角形一定全等 D．等腰三角形的高和中线及角平分线互相重合 4．如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（　　） A．11 B．12 C．14 D．16 5．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D连接，若，则（ ） A． B． C． D． 7．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．同旁内角互补，两直线平行 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对顶角相等 8．用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图， 在中， ，平分，交 于点D，，则点 D到的距离是（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 10．如图，矩形的对角线，相交于点，，若，则的长为（　　）． A． B． C．10 D．20 11．如图，把绕着点C顺时针方向旋转，得到，点B刚好落在边上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果. 13．如图，左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字　 　. 14．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是　 　． 15．如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是　 　． 16．“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题是　 　，这个逆命题　 　(填“成立”或“不成立”). 三、解答题：本大题共8小题，共68分. 17．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，． （1）填空：的面积为 ； （2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出与； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 18．如图，在中，求作一点，使点到、的距离相等，且．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 19．图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作上于点Q，若，的面积是60，求的长． 20． 如图， AD 是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为E， F，连接EF，EF 与AD 相交于点G. AD 与EF 垂直吗?证明你的结论. 21．如图，点在线段上，，，，平分． （1）证明：≌； （2）若，，求的面积． 22． （1）【问题情境】 我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由； （2）【拓展实践】 某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 23．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC，D 是边AB 上的动点，连接CD，点 B 关于直线CD 的对称点为E，射线AE 与射线CD 交于点 F. （1）连接CE，求证：∠CAE=∠CEA. （2）当 BD<AD时，求∠AFC 的度数. （3）若AD=AC，求证：AE=CD. 24．在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． （1）【特例证明】 如图，当点是中点时，求证：． （2）【类比探究】当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图说明理由． （3）【拓展运用】点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A选项中的字母不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，符合题意； B选项中的字母是轴对称图形，不符合题意； C选项中的字母是轴对称图形，不符合题意； D选项中的字母是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图案是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【分析】 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A：两条直线平行，同旁内角互补，错误，不符合题意； B：直角三角形两个锐角的和为90度，错误，不符合题意； C：成轴对称的两个三角形一定全等，正确，符合题意； D：等腰三角形底边上的高和中线及顶角得角平分线互相重合，错误，不符合题意； 故答案为：C 【分析】根据直线平行性质，直角三角形性质，轴对称性质，等腰三角形性质逐项进行判断即可求出答案. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：是的垂直平分线， ， 的周长为22， ， ， ， ， ACD不符合题意，B项符合题意。 故答案选：B． 【分析】由于DE 是 AC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以点 D 到 A 和到 C 的距离相等，也就是 AD=CD。题目说△BCD 的周长是 22，BC=10，还有 AB=AC。接下来，把△BCD 的周长拆开：△BCD 的周长 = BD+CD+BC=22。因为 AD=CD，把 CD 换成 AD，式子就变成了 BD+AD+BC=22。由图可知BD +AD =AB，所以式子就简化成了 AB+BC=22。然后代入数值：已知 BC=10，所以 AB=22-10=12。又因为 AB=AC，所以 AC=12。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：C． 【分析】本题主要考查尺规作图——线段垂直平分线的作法、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用.解题的关键是由作图步骤明确直线MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”从而得出AD=BD，进而得到∠DAB=∠B=50°；结合等腰三角形AB=AC，可得∠C=∠B=50°，再利用三角形内角和求出∠BAC=180°−50°−50°=80°；最后，∠DAC=∠BAC−∠DAB=80°−50°=30°. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：C． 【分析】根据作图过程可得MN是线段AB的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，由等边对等角得∠B=∠BAD=50°，∠B=∠C=50°，然后根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，最后根据角的构成，由∠CAD=∠BAC-∠BAD计算即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意． 、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意； 故答案为：． 【分析】分别写出各命题的逆命题并判断它们的真假即可得出答案。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：A、由图可知：尺规作图是作BC的垂直平分线，所以AD是 的中线，故A符合题意； B、由图可知：尺规作图是作AB的垂直平分线，所以AD不是 的中线，故B不符合题意； C、由图可知：AD不是 的中线，故C不符合题意； D、由图可知：AD是 的平分线，所以AD不是 的中线，故D不符合题意； 故答案为：A . 【分析】根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项. 9．【答案】A 【解析】【解答】解：过点D作于点E， ，平分， ， 故答案为：A． 【分析】本题做辅助线之后，即为所求，然后根据角平分线性质得出，从而得出答案。 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2AO=10，，AB=CD， 又∵， ∴在RtADC中， ∴， ∴， ∴； 故答案为：B． 【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，从而可得答案. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得：， ∵把绕着点C顺时针方向旋转，得到， ∴， ∴． 故选：A． 【分析】 根据旋转的性质可以得到，且旋转角，最后结合等腰三角形等边对等角的性质即可求出对应角度，得到结果. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：①∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在△ACD和△BCE中 ∴， ∴， ∴结论正确； ②由①得：， ∴∠CAD=∠CBE， ∵， ∴， 在△ACP和△BCQ中 ∴， AP=BQ， ∴结论正确； ③由②得：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴结论正确； ④由② 可得：， ∴结论正确； ⑤∵， ∴， ∴结论错误， ⑥作，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴结论正确； ⑦由③得：是等边三角形， ∴结论正确； ∴正确的有6个. 故答案为：C． 【分析】①由等边三角形的性质，用边角边可得，然后由全等三角形的对应边相等可求解； ②由①中的全等三角形可得∠CAD=∠CBE，结合已知，用边角边可得，然后由全等三角形的对应边相等可求解； ③由②可得，由全等三角形的对应边相等可得CP=CQ，根据有一个角等于60°的等腰三角形可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，然后根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可判断求解； ④由②可求解； ⑤由③得是等边三角形，于是可得，则； ⑥作，，根据全等三角形的面积相等可得，根据角平分线的判定“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”可求解； ⑦由③得是等边三角形． 13．【答案】2 【解析】【解答】左边是计算器上的数字“5”，若以直线为对称轴，则它的轴对称图形是数字为2， 故答案为2. 【分析】根据轴对称的性质作出图形，然后判断数字即可. 14．【答案】80​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可. 15．【答案】16 【解析】【解答】解：由尺规作图得垂直平分线， 所以，且， 又， 所以的周长为：． 故答案为：16． 【分析】 根据尺规作图得MN是AB的垂直平分线，则由线段垂直平分线的性质知AD＝BD、AB＝2AE＝2BE，则的周长转化为AC+BC＝10，再利用周长计算公式并整体代值求出AB+AC+BC即可． 16．【答案】有一个内角等于60°的三角形是等边三角形；不成立 【解析】【解答】解：根据题意得： “等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题是：有一个内角等于60°的三角形是等边三角形． 有一个内角等于60°的等腰三角形才是等边三角形，故“有一个内角等于60°的三角形是等边三角形”不成立． 故答案为：有一个内角等于60°的三角形是等边三角形；不成立. 【分析】把原命题的结论作条件，条件作结论即可得“等边三角形中有一个内角等于60°”的的逆命题，再根据等边三角形的判定定理可知“有一个内角等于60°的三角形是等边三角形”不成立． 17．【答案】（1）5 （2）解：如图， ∴△A1B1C1为所求；△A2B2C2为所求. （3）解：存在，理由如下： 由（2）可知，， ， 的面积是的面积的一半，， ， 设，则S△PB1B2=×B1B2×， 即×2×=2.5， 解得：m=2.5或m=-2.5， 点P的坐标为，. 【解析】【解答】 （1）解：由图可知： S△ABC. 故答案为：5. 【分析】（1）根据网格图的特征并结合三角形ABC的面积的构成即可求解； （2）根据平移变换的性质分别作出的A、B、C对应点，，对应点，依次连接得到即可求解；根据翻折的性质在作出对应点，，依次连接得到即可； （3）根据的面积是△ABC的面积的一半，设，根据S△PB1B2=2.5可列关于m的方程，解方程即可求解． 18．【答案】解：如图，的垂直平分线和的角平分线相交于点，点即为所求； 【解析】【分析】 先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。所以要使点P到AB、AC的距离相等，则点P应在∠BAC的平分线上；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。所以要使PA=PB，则点P应在线段AB的垂直平分线上。然后通过尺规作图作出这两条线，它们的交点就是满足条件的点P。 19．【答案】（1）解：是的平分线 理由如下：在和中，， ∴ ∴， ∴平分． （2）解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理即可求出答案. （2）根据角平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案. 20．【答案】解：AD 与EF 垂直，理由如下： ∵ AD 是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠AED=∠AFD=90° 在Rt△ADE和Rt△ADF中： DE=DF， AD=AD ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴∠EDA=∠FDA， 即AD平分∠EDF， ∵DE=DF， ∴AD与EF垂直. 【解析】【分析】 由于AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，故DE=DF（角平分线上的点到两边距离相等）；连接EF后，△DEF为等腰三角形，通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AD是其顶角∠EDF的角平分线；根据等腰三角形三线合一的性质得到AD垂直于EF，解答即可. 21．【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ≌； （2）解：由（1）知≌， ， 又平分， ，， 垂直平分， ，． ， ， 即的面积是． 【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠A=∠B，再利用“SAS”证出≌即可； （2）利用全等三角形的性质可得DC=CE，再利用垂直平分线的性质求出，最后利用三角形的面积公式求出即可. 22．【答案】（1）解：理由：由题意得， ， ∴∠AOC=∠BOC， ∴OC是∠AOB的平分线. （2）解：如图，点E即为所求 【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC是∠AOB的平分线； （2）先作出线段MN的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，它们的交点即是点E. 23．【答案】（1）证明： ：点B关于直线CD的对称点为E， ∴BC = CE， ∵AC= BC， ∴AC = CE， ∴△ACE是等腰三角形， ∴∠CAE=∠CEA； （2）解：点B关于直线CD的对称点为E， ∴CF垂直平分BE， ∵CE= CB= CA， ∴∠CAE= ∠CEA， ∠CBE= ∠CEB， ∴∠CEB +∠AEC'= (360°- 90°)÷2 = 135°， ∴∠BEF= 45°， ∴∠AFC = 45°； （3）相等，证明如下： 由(1) 知，AD= AC= CE， ∵AC = CD， ∴∠ADC= 67.5°， 又∵∠ADC=∠DCB+∠ABC， ∴∠DCB = 22.5°， 又∵点B关于直线CD的对称点为E， ∴∠ECD=∠DCB= 22.5°， ∴ ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°， 在△ACD与△CAE中， ∴△ACD≌△CAE（SAS） ∴AE=CD 【解析】【分析】 (1)由点B关于直线CD的对称点为E，得BC = CE再根据AC= BC，可知CA = CE，从而证明结论； (2)根据等边对等角得∠CAE=∠CEA， ∠CBE=∠CEB，则∠CEB +∠AEC = (360°- 90°)÷2= 135°，再根据CF垂直平分BE，可得答案； (3)当AD= AC，则∠ADC= 67.5°，得∠BCD= 22.5°，由轴对称的性质得∠ECD=∠DCB =22.5°，从而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB= 45°，再利用SAS证明△AEC≌△ADC即可. 24．【答案】（1）证明：∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 （2）解：当点为上任意一点时，如图，．理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）或 【解析】（3）解：分为两种情况： ①如图，当点在延长线上时，过点作，交的延长于点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：的长是或． 【分析】（1）根据等边三角形性质可得平分，，，，则，，再根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，则，即，即可求出答案． （2）过作交于，根据等边三角形性质可得，，则，由等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据角之间的关系可得，由全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案. （3）分情况讨论：①当点在延长线上时，过点作，交的延长于点，根据等边三角形性质可得，，则，即，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，则∠ACE=90°，再根据角之间的关系可得，，即可求出答案；当点在上时，根据等边三角形性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，由角平分线性质可得，再根据含30° 角的直角三角形性质可得，，则，再根据边之间的关系即可求出答案. （1）解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：当点为上任意一点时，如图，．理由如下： 如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：分为两种情况： ①如图，当点在延长线上时，过点作，交的延长于点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：的长是或． 学科网（北京）股份有限公司 $