25.2.2公式法同步训练2026—2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 练习围绕“公式法”核心，通过选择、填空、解答三层设计，覆盖根的判别式、求根公式等知识点，梯度从概念理解到综合应用，适配新授课知识巩固与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|判别式计算、求根公式参数识别|直接考查概念，如选择3识别a,b,c值，填空8计算判别式，夯实抽象能力| |中档层|根的情况判断、参数范围求解|结合推理，如选择2求参数取值范围，解答16纠错求根过程，发展运算与推理意识| |提升层|实际情境应用、综合证明|融入模型与创新，如选择5液体悬浮问题，解答19证明方程总有实根，培养模型意识与理性精神|

25.2.2公式法 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 2.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 3.用求根公式解一元二次方程时，，，的值是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4.是下列哪一个方程的根(    ) A. B. C. D. 5.如图，小球悬浮于液体中即，已知，若，小球质量，，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.一元二次方程的根的情况为(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7.若是关于的一元二次方程的一个根，则下列对的值估计正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 8.一元二次方程根的判别式的值是          ． 9.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是          ． 10.若方程的一根为，则它的另一根为          ． 11.已知关于的一元二次方程中，，则          ． 12.若关于的方程有实数根，则关于的方程的根的情况是          ． 13.若实数，满足，则          ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况： ． 15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 当时，判断方程根的情况 若该方程有两个相等的实数根，求的值． 16.本小题分 解方程时，有一位同学解答如下： 解：，，， ， ，即，． 请你分析以上解答有无错误；如有错误，请写出正确的解题过程． 17.本小题分 已知关于的一元二次方程． 若是方程的一个解，写出，满足的关系式． 当时，利用根的判别式判断方程的根的情况． 若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的正整数，的值，并求出此时方程的根． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程，其中，均为常数． 现有两组条件：，，要使原方程有两个不相等的实数根，请从这两组条件中选择符合要求的一组，并说明理由 在中，的条件下，解这个一元二次方程． 19.本小题分 已知关于的一元二次方程． 证明：无论为何值，该方程总有实数根． 若该方程的实数根有一个是正整数，求的最大值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，，， ， 所以方程没有实数根． 故选：． 把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 2.【答案】  【解析】解：方程有两个实数根， 根的判别式， 即，且． 故选：． 若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  【解析】解：根据题意， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：． 先计算判别式，得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 本题考查了一元二次方程的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】且  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】没有实数根  【解析】依题意，得， ，， 关于的方程是一元二次方程， ， 此方程没有实数根． 13.【答案】  14.【答案】【小题】 解：，，， ． 方程有两个不相等的实数根． 【小题】 原方程可化为． ，，， ． 方程没有实数根． 15.【答案】【小题】 解：当时，原方程可化为， ． 方程没有实数根． 【小题】 根据题意得，解得． 故的值为． 16.【答案】解：解答有错误，正确的解法是：解：方程整理得，  这里，，，，，  即，．  17.【答案】【小题】 解：是方程的一个解，． 【小题】 ，方程有两个不相等的实数根． 【小题】 方程有两个相等的实数根，，即，为正整数，取，方程为，解得答案不唯一，合理即可 18.【答案】【小题】 选择，理由如下：要使原方程有两个不相等的实数根，当，时，，符合题意当，时，，不符合题意，选择． 【小题】 由知，方程为，化简得，则，，．   19.【答案】【小题】 ，因为，故，所以该方程总有实数根 【小题】 ，，可知，即，的最大值是   第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $