25.2.2 公式法 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学人教版九年级上册25.2.2公式法同步练，以“概念理解-技能应用-综合拓展”分层设计，通过梯度化题型构建从公式推导到参数分析的知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|求根公式推导、判别式概念、解题步骤|含推导步骤填空与基础解方程题，强化符号意识| |技能应用层|判别式判断根的情况、参数取值范围|设置含参方程判别式分析题，发展推理能力| |综合拓展层|公式法与其他方法联系、实际问题应用|跨方法解题与几何情境综合题，提升应用意识|

2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 ▌课时目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握公式法解一元二次方程的一般步骤，能运用求根公式熟练求解数字系数的一元二次方程。 2. 理解根的判别式（Δ＝b2－4ac）的意义，能根据判别式判断方程根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根），并能根据根的情况确定参数的取值范围。 3. 明确公式法与配方法、直接开平方法之间的内在联系，体会从特殊到一般的数学归纳思想，提升运算求解能力。 ▌课时目录 知识点01：求根公式的推导 知识点02：一元二次方程根的判别式 知识点03：判别式与根的情况 知识点04：公式法解题步骤 知识点05：利用判别式判断方程根的情况 知识点06：已知根的情况求参数取值范围 知识点07：公式法与配方法、直接开平方法的联系 ▌知识点01：求根公式的推导 对于形如（）的方程用配方法推导： 完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方得，； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 当时， 移项得求根公式：。 1．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）解方程：． 【答案】 ， 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴， ，． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 【答案】，． 【详解】解： 整理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）解方程：． 【答案 【详解】解：， 整理得：， ， ， ． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解下列方程：． 【答案】， 【分析】根据求根公式解方程． 【详解】解：，，， ∴， ∴， 解得，． ▌知识点02：一元二次方程根的判别式 式子叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用Δ（德尔塔）表示。 判别式的实质是求根公式中被开方数部分，它决定了方程是否有实数根以及根的个数。 注意：判别式只适用于一元二次方程，且必须满足的前提条件。计算Δ时，各项系数需连同符号代入，如方程2x²－3x－1＝0中，a＝2，b＝－3，c＝－1，则Δ＝(－3)²－4×2×(－1)＝9＋8＝17。 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、， 该方程没有实数根，符合题意； C、， 该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、， 该方程有两个相等的实数根，不符合题意． 6．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 7．（2026·安徽·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：选项A： ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B： ∵ ∴，方程没有实数根，不符合题意； 选项C： ∵ ∴，方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项D： ∵ ∴，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 8．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． ▌知识点03：判别式与根的情况 一元二次方程（）的根的情况由Δ的取值唯一确定： 1. 当时，方程有两个不相等的实数根，； 2. 当时，方程有两个相等的实数根（也称一个实数根），； 3. 当时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数不能开平方）。 例如：方程x²－5x＋6＝0中，Δ＝25－24＝1＞0，有两不等实根x₁＝3，x₂＝2；方程x²－4x＋4＝0中，Δ＝16－16＝0，有两相等实根x₁＝x₂＝2；方程x²－2x＋3＝0中，Δ＝4－12＝－8＜0，无实数根。 9．（2026·河南三门峡·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 【答案】D 【详解】解：由题意，可得， ∴该方程有两个实数根． 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】通过计算判别式并判断其符号即可确定方程根的情况即可 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 因此方程无实数根 11．（2026·河南平顶山·三模）一元二次方程的根的情况是（     ）． A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】计算一元二次方程根判别式的值即可判断根的情况． 【详解】 一元二次方程为 ， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 12．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． ▌知识点04：公式法解题步骤 用公式法解方程的规范步骤： 1. 化为一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）； 2. 计算判别式，判断根的情况； 3. 若，将a、b、c代入求根公式求出方程的根；若，直接写出“方程无实数根”； 4. 写出最终答案。 例如：解方程2x²－7x＋3＝0→a＝2，b＝－7，c＝3→Δ＝49－24＝25＞0→x＝(7－5)→x₁＝3，x₂＝0.5。注意：代入公式时b的值要连同符号代入（如b＝－7代入后为－(－7)＝7）。 13．（2026·江苏无锡·中考真题）解方程：； 【答案】， 【分析】利用公式法解一元二次方程即可； 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：这里，，． ∴， ∴， 即， 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 16．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）解方程：； 【答案】， 【详解】解： ，， ∴ ∴ 解得，； ▌知识点05：利用判别式判断方程根的情况 不解方程，直接通过计算Δ的值判断根的情况。步骤： 1. 将方程化为一般形式，确定a、b、c； 2. 计算； 3. 根据Δ的符号得出结论。 例如：判断方程3x²－2x＋1＝0的根的情况：a＝3，b＝－2，c＝1，Δ＝4－12＝－8＜0，故方程无实数根。 又如：判断方程(m－1)x²＋2x－1＝0（m≠1）的根的情况：Δ＝4＋4(m－1)＝4m，当m＞0且m≠1时Δ＞0，有两不等实根；当m＝0时Δ＝0，有两相等实根；当m＜0时Δ＜0，无实根。 此类含参问题需分类讨论，同时注意二次项系数不为0的隐含条件。 17．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程、一元二次方程、分式方程的求解方法以及一元二次方程根的判别式判断各选项是否存在实数根． 【详解】解：选项：，解得，有实数根； 选项：，解得，有实数根； 选项：，解得，有实数根； 选项：，，没有实数根； 18．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知三个实数，，满足，，，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】先由题意可得，，又，则，，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程无实数根． 19．（2026·安徽铜陵·一模）下列关于的方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元二次方程根的判别式判断是否存在实数根，对分式方程需检验根是否为增根，据此判断各选项即可. 【详解】解：选项A：原方程变形为，∵任意实数的平方非负，∴方程无实数根，不符合题意； 选项B：分式方程，两边同乘得，检验：当时，分母，∴是增根，原方程无实数根，不符合题意； 选项C：对于一元二次方程，计算判别式，∴方程无实数根，不符合题意； 选项D：对于一元二次方程，计算判别式，∵，∴，∴方程总有实数根，符合题意． 20．（2026·安徽·模拟预测）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】先计算判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为， ∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． ▌知识点06：已知根的情况求参数取值范围 已知方程根的情况，反推参数应满足的条件。核心思路：根据根的情况列出关于Δ的不等式或等式，再求解参数。常见题型： 1. 方程有两不等实根→Δ＞0； 2. 方程有两相等实根→Δ＝0； 3. 方程无实根→Δ＜0。 注意需同时满足二次项系数不为0的隐含条件。 例如：关于x的方程kx²－4x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：由题意得k≠0且Δ＝16－4k＞0，解得k＜4且k≠0。又如：关于x的方程x²＋(m－2)x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值。解：Δ＝(m－2)²－4m＝m²－8m＋4＝0，解得m＝4－2√3。 解题关键：列准Δ的等式或不等式，并注意a≠0的限制条件。 21．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 22．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 23．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个实数根时，根的判别式，据此列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 方程中，，， 代入得：， 化简得， 解得， 因此的取值范围是． 24．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． ▌知识点07：公式法与配方法、直接开平方法的联系 公式法是配方法的必然结果，是解一元二次方程的通用方法。 配方法通过配方将一般方程转化为可直接开平方的形式，公式法则是将配方过程一般化、公式化。 直接开平方法是公式法在Δ≥0且b＝0（即方程形如ax2＋c＝0）时的特例。 三者关系为：直接开平方法是基础，配方法推导公式，公式法是通法。 25．（24-25九年级上·福建泉州·期末）解下列方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 根据公式法解方程即可． 【详解】解： ，， ，． 26．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， 移项，得， 化二次项系数为1，得， ， ， ， 解得． 27．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用求根公式求解方程即可． 【详解】解：移项得， 合并同类项得， ，，， ， 由求根公式得， 解得：，． 28．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，， ∴ 解得，． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 2．（2026·贵州黔东南·三模）方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 3．（2026·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 4．（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。 【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 二、填空题 5．（2026·甘肃嘉峪关·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式，即， 解得． 6．（2026·广东潮州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的个数与判别式的关系，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，方程 是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 因此根的判别式满足 其中，，， 代入得： ． 解得． 7．（2026·广东江门·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】 1(答案不唯一) 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，据此将原方程整理为一般形式，求出的取值范围，即可得到符合条件的的值． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 化简得， 解得， 的值可以是． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 三、解答题 9．（25-26九年级上·青海海西·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得，． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． 【答案】(1)该方程有两个不相等的实数根 (2)①证明：∵的长是该方程的一个根， ∴．即．① ∵， ∴．② ①+②，得． ∴． ②解：在线段靠近的三等分点处，即． ∵， ∴． ∴． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算，得出，即可求解； （2）①根据的长是该方程的一个根，得出，结合已知，进而得出 ②根据，，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该方程有两个不相等的实数根． （2）略 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度人教版数学九年级上册课时同步训练 第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 ▌课时目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，掌握公式法解一元二次方程的一般步骤，能运用求根公式熟练求解数字系数的一元二次方程。 2. 理解根的判别式（Δ＝b2－4ac）的意义，能根据判别式判断方程根的情况（两个不等实根、两个相等实根、无实根），并能根据根的情况确定参数的取值范围。 3. 明确公式法与配方法、直接开平方法之间的内在联系，体会从特殊到一般的数学归纳思想，提升运算求解能力。 ▌课时目录 知识点01：求根公式的推导 知识点02：一元二次方程根的判别式 知识点03：判别式与根的情况 知识点04：公式法解题步骤 知识点05：利用判别式判断方程根的情况 知识点06：已知根的情况求参数取值范围 知识点07：公式法与配方法、直接开平方法的联系 ▌知识点01：求根公式的推导 对于形如（）的方程用配方法推导： 完整步骤： 1. 化二次项系数为1：方程两边同除以a，得； 2. 移项：； 3. 配方得，； 4. 左边写成完全平方式：； 5. 当时， 移项得求根公式：。 1．（25-26八年级下·甘肃兰州·期末）解方程：． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解方程 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）解方程：． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）解下列方程：． ▌知识点02：一元二次方程根的判别式 式子叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用Δ（德尔塔）表示。 判别式的实质是求根公式中被开方数部分，它决定了方程是否有实数根以及根的个数。 注意：判别式只适用于一元二次方程，且必须满足的前提条件。计算Δ时，各项系数需连同符号代入，如方程2x²－3x－1＝0中，a＝2，b＝－3，c＝－1，则Δ＝(－3)²－4×2×(－1)＝9＋8＝17。 5．（25-26八年级下·山东烟台·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 7．（2026·安徽·二模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． ▌知识点03：判别式与根的情况 一元二次方程（）的根的情况由Δ的取值唯一确定： 1. 当时，方程有两个不相等的实数根，； 2. 当时，方程有两个相等的实数根（也称一个实数根），； 3. 当时，方程没有实数根（因为在实数范围内负数不能开平方）。 例如：方程x²－5x＋6＝0中，Δ＝25－24＝1＞0，有两不等实根x₁＝3，x₂＝2；方程x²－4x＋4＝0中，Δ＝16－16＝0，有两相等实根x₁＝x₂＝2；方程x²－2x＋3＝0中，Δ＝4－12＝－8＜0，无实数根。 9．（2026·河南三门峡·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 10．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）关于的一元二次方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 11．（2026·河南平顶山·三模）一元二次方程的根的情况是（     ）． A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 12．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 ▌知识点04：公式法解题步骤 用公式法解方程的规范步骤： 1. 化为一般形式，确定a、b、c的值（注意符号）； 2. 计算判别式，判断根的情况； 3. 若，将a、b、c代入求根公式求出方程的根；若，直接写出“方程无实数根”； 4. 写出最终答案。 例如：解方程2x²－7x＋3＝0→a＝2，b＝－7，c＝3→Δ＝49－24＝25＞0→x＝(7－5)→x₁＝3，x₂＝0.5。注意：代入公式时b的值要连同符号代入（如b＝－7代入后为－(－7)＝7）。 13．（2026·江苏无锡·中考真题）解方程：； 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）解方程：． 15．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 16．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）解方程：； ▌知识点05：利用判别式判断方程根的情况 不解方程，直接通过计算Δ的值判断根的情况。步骤： 1. 将方程化为一般形式，确定a、b、c； 2. 计算； 3. 根据Δ的符号得出结论。 例如：判断方程3x²－2x＋1＝0的根的情况：a＝3，b＝－2，c＝1，Δ＝4－12＝－8＜0，故方程无实数根。 又如：判断方程(m－1)x²＋2x－1＝0（m≠1）的根的情况：Δ＝4＋4(m－1)＝4m，当m＞0且m≠1时Δ＞0，有两不等实根；当m＝0时Δ＝0，有两相等实根；当m＜0时Δ＜0，无实根。 此类含参问题需分类讨论，同时注意二次项系数不为0的隐含条件。 17．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）下列方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知三个实数，，满足，，，则关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 19．（2026·安徽铜陵·一模）下列关于的方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 20．（2026·安徽·模拟预测）一元二次方程的根的情况为（   ） A．无实数根 B．不能确定 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 ▌知识点06：已知根的情况求参数取值范围 已知方程根的情况，反推参数应满足的条件。核心思路：根据根的情况列出关于Δ的不等式或等式，再求解参数。常见题型： 1. 方程有两不等实根→Δ＞0； 2. 方程有两相等实根→Δ＝0； 3. 方程无实根→Δ＜0。 注意需同时满足二次项系数不为0的隐含条件。 例如：关于x的方程kx²－4x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。解：由题意得k≠0且Δ＝16－4k＞0，解得k＜4且k≠0。又如：关于x的方程x²＋(m－2)x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值。解：Δ＝(m－2)²－4m＝m²－8m＋4＝0，解得m＝4－2√3。 解题关键：列准Δ的等式或不等式，并注意a≠0的限制条件。 21．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 22．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 23．（2026·河北邯郸·模拟预测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 24．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 ▌知识点07：公式法与配方法、直接开平方法的联系 公式法是配方法的必然结果，是解一元二次方程的通用方法。 配方法通过配方将一般方程转化为可直接开平方的形式，公式法则是将配方过程一般化、公式化。 直接开平方法是公式法在Δ≥0且b＝0（即方程形如ax2＋c＝0）时的特例。 三者关系为：直接开平方法是基础，配方法推导公式，公式法是通法。 25．（24-25九年级上·福建泉州·期末）解下列方程：． 26．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）解方程 (1)； (2)． 27．（25-26九年级上·陕西安康·期末）解方程：． 28．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州黔东南·三模）方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南平顶山·三模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东清远·三模）若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（     ） A．或 B． C． D． 二、填空题 5．（2026·甘肃嘉峪关·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 6．（2026·广东潮州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 7．（2026·广东江门·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是______（写出一个即可）． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 三、解答题 9．（25-26九年级上·青海海西·期中）用公式法解方程：． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的方程 其中． (1)利用判别式判断该方程的根的情况； (2)C是线段上一点， ，的长是该方程的一个根， 且． ①求证； ②确定点在线段上的位置，并说明理由． / 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