4.1 点的位置与坐标表示 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 以三级分层设计构建“概念理解-综合应用-创新探究”巩固路径，覆盖平面直角坐标系全知识点，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有序数对、坐标系概念、特殊点坐标特征|选择填空聚焦单一知识点辨析，解答题结合图形描点求面积，强化几何直观| |能力提升|点坐标综合计算、分类讨论、距离公式应用|含参数坐标范围、多解问题训练推理意识，不规则图形面积计算渗透转化思想| |拓展探究|规律探究、新定义问题|动点坐标规律分析发展创新意识，“伴随点”概念深化符号意识与抽象能力|

4.1 点的位置与坐标表示 课时作业 苏科版 · 八年级上册 · 第4章 平面直角坐标系 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．理解有序数对的意义，能用有序数对表示物体的位置． 2．认识平面直角坐标系，了解坐标轴、原点、象限等概念，能在坐标系中根据坐标描出点，由点写出坐标． 3．掌握各象限内及坐标轴上点的坐标特征，会求点到坐标轴的距离． 4．能建立适当的平面直角坐标系，用坐标描述地点的位置，体会数形结合思想． 二、知识梳理 知识点1 有序数对 像“第3列第5排”这样，用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义．我们把这种有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫作有序数对，记作 (a，b)． 注意：(a，b) 与 (b，a) 在 a≠b 时表示的是两个不同的位置，“有序”二字不能忽视． 知识点2 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系． 水平的数轴叫作 x 轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫作 y 轴（纵轴），取向上为正方向；两轴的交点 O 叫作原点． 两条坐标轴把平面分成四个部分，按逆时针方向依次叫作第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限． 图1 平面直角坐标系与四个象限 知识点3 点的坐标 由点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a、b 分别叫作点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对 (a，b) 叫作点 P 的坐标，记作 P(a，b)．书写时横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开． 坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点4 特殊位置点的坐标特征 点的位置 坐标特征 点的位置 坐标特征 第一象限 (+，+) x 轴上 (a，0)，纵坐标为 0 第二象限 (-，+) y 轴上 (0，b)，横坐标为 0 第三象限 (-，-) 原点 (0，0) 第四象限 (+，-) 一、三象限角平分线上 横、纵坐标相等 平行于 x 轴的直线上 纵坐标相同 二、四象限角平分线上 横、纵坐标互为相反数 平行于 y 轴的直线上 横坐标相同 知识点5 点到坐标轴的距离 点 P(a，b) 到 x 轴的距离为 |b|，到 y 轴的距离为 |a|． （口诀：到 x 轴的距离看纵坐标，到 y 轴的距离看横坐标．） 若 A(x₁，m)、B(x₂，m) 两点在平行于 x 轴的直线上，则 AB=|x₁-x₂|；若 A(n，y₁)、B(n，y₂) 两点在平行于 y 轴的直线上，则 AB=|y₁-y₂|． 知识点6 用坐标表示地理位置 （1）建立坐标系：选择一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向； （2）确定单位长度：根据具体问题确定适当的比例尺； （3）描点、写坐标：在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和名称． 三、典例精析 【例1】已知点 P(2m-4，m+1) 在 y 轴上，求 m 的值及点 P 的坐标． 【分析】y 轴上的点横坐标为 0． 【解答】由题意得 2m-4=0，解得 m=2，所以 m+1=3，点 P 的坐标为 (0，3)． 【例2】已知点 M 在第二象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 5，求点 M 的坐标． 【解答】第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正．点 M 到 x 轴的距离为 3，则 |y|=3，y=3；到 y 轴的距离为 5，则 |x|=5，x=-5．所以 M(-5，3)． 【易错提醒】“到 x 轴的距离”对应的是纵坐标的绝对值，不要与横坐标混淆． 【例3】已知点 A(1，-2)，AB∥y 轴，且 AB=4，求点 B 的坐标． 【解答】AB∥y 轴，所以点 B 的横坐标也是 1．设 B(1，y)，则 |y-(-2)|=4，即 y+2=4 或 y+2=-4，解得 y=2 或 y=-6．所以点 B 的坐标为 (1，2) 或 (1，-6)． 【方法点拨】点 B 可能在点 A 的上方，也可能在点 A 的下方，要分类讨论，防止漏解． 四、基础巩固 （一）选择题 1．在平面直角坐标系中，点 P(-3，4) 位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列各点中，在 x 轴上的是（　　） A．(0，-3) B．(-3，1) C．(3，0) D．(1，3) 3．点 P(5，-12) 到 x 轴的距离是（　　） A．5 B．12 C．13 D．-12 4．若 a<0，b>0，则点 Q(b，a) 在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．教室里，小明坐在第 3 列第 5 排，记作 (3，5)．那么小红坐在第 5 列第 3 排应记作（　　） A．(3，5) B．(5，3) C．(3，3) D．(5，5) 6．已知点 A(m+2，m-1) 在 x 轴上，则 m 的值为（　　） A．-2 B．1 C．-1 D．2 （二）填空题 7．点 A(-4，-6) 在第______象限，它到 y 轴的距离是______． 8．点 B 在 y 轴的负半轴上，且到原点的距离为 2，则点 B 的坐标为______． 9．已知点 M(3，-2)，MN∥y 轴，且 MN=5，则点 N 的坐标为______． 10．点 P(，-3) 在第______象限，它到 x 轴的距离是______． 11．若点 (x，y) 的坐标满足 xy=0，则这个点在______上． 12．若点 A(2，a) 在第一、三象限的角平分线上，则 a=______． （三）解答题 13．如图2，写出点 A、B、C、D、E、F 的坐标，并指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上． 图2 14．在图3的平面直角坐标系中描出点 A(-2，0)、B(3，0)、C(1，3)，依次连接 A、B、C、A，并求△ABC 的面积． 图3 15．图4是某学校的平面示意图．以校门为原点，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向，每个小正方形的边长代表 50 米． 图4 （1）写出图书馆、教学楼、食堂、体育馆、实验楼的坐标； （2）小亮从校门出发，先向东走 150 米，再向北走 100 米，他到达了哪里？ （3）教学楼到实验楼之间的水平距离和竖直距离分别是多少米？ 五、能力提升 16．若点 P(2a-1，3-a) 在第二象限，则 a 的取值范围是（　　） A．a< B．a>3 C．<a<3 D．a<3 17．已知点 A(-3，2)，点 B(x，y)，若 AB∥x 轴，且 AB=4，则点 B 的坐标为（　　） A．(1，2) B．(-7，2) C．(1，2) 或 (-7，2) D．(-3，6) 或 (-3，-2) 18．已知 |x|=3，|y|=2，且点 P(x，y) 在第四象限，则点 P 的坐标为______． 19．已知点 P(m-1，2m+4) 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标为______． 20．已知 A(-2，-1)、B(4，-1)、C(2，3)． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC，并求△ABC 的面积； （2）在 y 轴上是否存在点 P，使△ABP 的面积为 6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图5，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(-3，0)、B(4，0)、C(2，3)、D(-1，4)，求四边形 ABCD 的面积． 图5 六、拓展探究 22．如图6，一个动点从原点出发，按“向上、向右、向下、向右”的方向依次不断地移动，每次移动 1 个单位长度，得到点 A₁(0，1)、A₂(1，1)、A₃(1，0)、A₄(2，0)、…… 图6 （1）写出点 A₅、A₆、A₈ 的坐标； （2）写出点 A₄ₙ 的坐标（n 为正整数）； （3）求点 A₂₀₂₆ 的坐标． 23．【新定义】对于平面直角坐标系中的点 P(x，y)，我们把点 Q(2x+y，x+2y) 叫作点 P 的“伴随点”． （1）求点 P(1，-3) 的“伴随点”坐标； （2）若点 M 的“伴随点”为 N(4，5)，求点 M 的坐标； （3）若点 P(a，-a) 在第二、四象限的角平分线上，其“伴随点”在第几象限或哪条坐标轴上？（a≠0） 参考答案与解析 四、基础巩固 1．B 【解析】点 P(-3，4) 的横坐标为负、纵坐标为正，符号为 (-，+)，所以在第二象限． 2．C 【解析】x 轴上的点纵坐标为 0，只有 (3，0) 满足． 3．B 【解析】点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，|-12|=12．注意距离不能为负数，D 错误． 4．D 【解析】因为 b>0，a<0，所以点 Q(b，a) 的符号为 (+，-)，在第四象限． 5．B 【解析】由 (3，5) 表示“第 3 列第 5 排”可知，前一个数表示列，后一个数表示排，所以第 5 列第 3 排记作 (5，3)． 6．B 【解析】x 轴上的点纵坐标为 0，所以 m-1=0，m=1，此时点 A 的坐标为 (3，0)． 7．三；4 【解析】横、纵坐标都为负，在第三象限；到 y 轴的距离为 |-4|=4． 8．(0，-2) 【解析】y 轴负半轴上的点横坐标为 0、纵坐标为负，到原点距离为 2，所以纵坐标为 -2． 9．(3，3) 或 (3，-7) 【解析】MN∥y 轴，则点 N 的横坐标为 3．设 N(3，y)，|y+2|=5，得 y=3 或 y=-7． 10．四；3 【解析】>0，-3<0，所以点 P 在第四象限；到 x 轴的距离为 |-3|=3． 11．坐标轴 【解析】xy=0，则 x=0 或 y=0．x=0 时点在 y 轴上，y=0 时点在 x 轴上，所以点在坐标轴上． 12．2 【解析】第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，所以 a=2． 13．【答案】A(3，2)，在第一象限；B(-2，3)，在第二象限；C(-4，-1)，在第三象限；D(2，-3)，在第四象限；E(0，-2)，在 y 轴上；F(-3，0)，在 x 轴上． 【解析】由各点分别向 x 轴、y 轴作垂线，读出垂足对应的数即可．注意 E、F 两点在坐标轴上，不属于任何象限． 14．【答案】画图如图7；△ABC 的面积为 ． 图7 【解析】点 A、B 都在 x 轴上，AB=3-(-2)=5．过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H，则 CH=3．所以 S△ABC=×AB×CH=×5×3=． 15．【答案】 （1）每格代表 50 米．图书馆 (100，150)，教学楼 (-150，100)，食堂 (-100，-100)，体育馆 (200，-50)，实验楼 (0，200)（单位：米）． （2）向东 150 米即横坐标为 150，再向北 100 米即纵坐标为 100，到达点 (150，100)，对应宿舍楼． （3）教学楼 (-150，100)，实验楼 (0，200)，水平距离为 0-(-150)=150（米），竖直距离为 200-100=100（米）． 【点拨】若以“格”为单位，图书馆坐标为 (2，3)；本题每格代表 50 米，所以要把格数乘 50 换算成实际距离． 五、能力提升 16．A 【解析】第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，所以 2a-1<0 且 3-a>0，解得 a< 且 a<3，所以 a<． 17．C 【解析】AB∥x 轴，则 y=2；|x-(-3)|=4，得 x=1 或 x=-7．所以 B(1，2) 或 B(-7，2)． 18．(3，-2) 【解析】|x|=3，则 x=±3；|y|=2，则 y=±2．第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负，所以 x=3，y=-2． 19．(-6，-6) 或 (-2，2) 【解析】由题意 |m-1|=|2m+4|． ① 若 m-1=2m+4，则 m=-5，P(-6，-6)； ② 若 m-1=-(2m+4)，则 3m=-3，m=-1，P(-2，2)． 20．【答案】（1）画图如图8，△ABC 的面积为 12；（2）存在，P(0，1) 或 P(0，-3)． 图8 【解析】（1）A、B 两点纵坐标都是 -1，AB∥x 轴，AB=4-(-2)=6．点 C 到直线 AB 的距离为 3-(-1)=4．S△ABC=×6×4=12． （2）设 P(0，t)，点 P 到直线 AB 的距离为 |t+1|．由 ×6×|t+1|=6，得 |t+1|=2，所以 t=1 或 t=-3．故 P(0，1) 或 P(0，-3)． 21．【答案】 图9 【解析】如图9，过点 D、C 分别作 x 轴的垂线，垂足为 F(-1，0)、E(2，0)． 则 AF=-1-(-3)=2，FE=2-(-1)=3，EB=4-2=2，DF=4，CE=3． S△ADF=×2×4=4； S梯形DFEC=×(4+3)×3=； S△CEB=×2×3=3． 所以 S四边形ABCD=4++3=． 【方法总结】求坐标系中不规则图形的面积，常用“割补法”：过顶点作坐标轴的垂线，把图形分割成三角形、梯形等规则图形． 六、拓展探究 22．【答案】（1）A₅(2，1)，A₆(3，1)，A₈(4，0)；（2）A₄ₙ(2n，0)；（3）A₂₀₂₆(1013，1)． 【解析】（1）继续按“上、右、下、右”移动：A₄(2，0) 向上得 A₅(2，1)，向右得 A₆(3，1)，向下得 A₇(3，0)，向右得 A₈(4，0)． （2）A₄(2，0)，A₈(4，0)，…，每 4 次移动横坐标增加 2，所以 A₄ₙ(2n，0)． （3）2026÷4=506……2，所以 A₂₀₂₆ 与 A₂ 的位置规律相同，在 A₂₀₂₄(1012，0) 的基础上先向上再向右各 1 个单位，得 A₂₀₂₆(1013，1)． 23．【答案】（1）(-1，-5)；（2）M(1，2)；（3）在第二、四象限的角平分线上（当 a>0 时在第四象限，当 a<0 时在第二象限）． 【解析】（1）2×1+(-3)=-1，1+2×(-3)=-5，所以“伴随点”为 (-1，-5)． （2）设 M(x，y)，则 2x+y=4，x+2y=5．两式相加得 3x+3y=9，即 x+y=3；两式相减得 x-y=-1．解得 x=1，y=2，所以 M(1，2)． （3）点 P(a，-a) 的“伴随点”为 (2a-a，a-2a)，即 (a，-a)，与点 P 本身重合．当 a>0 时，(a，-a) 在第四象限；当 a<0 时，(a，-a) 在第二象限． 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