3.3 勾股定理的简单应用 题型专练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 苏科版八年级上册勾股定理应用同步练，以“典例引领+分层举一反三”构建从基础应用到综合情境的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典例|单一公式应用|传统文化情境（如《直指算法统宗》秋千问题）引入，建立基础模型| |基础举一反三|核心技能训练|求高度/距离、圆柱中筷子长度等基础计算，以选择/填空题为主| |综合举一反三|复杂情境应用|梯子滑落动态问题、最短路径（圆柱展开）、逆定理面积计算，含解答题与实际决策问题|

苏科版（2024）八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 题型专练 【题型1】求高度或距离 【典例】[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A.11.5尺 B.12.5尺 C.13.5尺 D.14.5尺 【举一反三1】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里.它们离开港口1.5小时后分别位于点Q，R处，此时两船的距离是(　　) A.32海里   B.42海里 C.40海里   D.30海里 【举一反三2】如图，已知地面上A，B在一条直线上，AB=40米，当无人机从A处竖直上升30米时，无人机到B处的距离为(　　) A.60米   B.50米   C.45米   D.40米 【举一反三3】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为      （滑轮上方的部分忽略不计）． 【举一反三4】如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，每米造价a元，铺完整个楼梯总造价需要_______元.  【举一反三5】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【举一反三6】如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方． 【题型2】水杯中的筷子问题 【典例】如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（    ） A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺 【举一反三2】如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】将一根24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的最小值是　　　　　，h的最大值是　　　　　. 【举一反三4】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是      ． 【举一反三5】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ 【举一反三6】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．    【题型3】与梯子滑落相关的问题 【典例】如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在离水面点A高度为8 m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，此人以1 m/s的速度收绳，7 s后船移动到点D的位置(假设绳子是直的)，则船向岸边移动了(　　) A.9 m   B.8 m C.7 m   D.6 m 【举一反三2】如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则是（　　） A.米 B.米 C.米 D.米 【举一反三3】如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何.译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺(绳索比木柱长3尺，即AC－AB＝3)，牵着绳索退行，在距木柱底部8尺(BC＝8)处时而绳索用尽.则木柱长为　　　　尺. 【举一反三4】如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【题型4】是否受到影响问题 【典例】如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为　　　　. 【举一反三1】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为50 m，则这辆小汽车的速度是　　　　　m/s. 【举一反三2】小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【举一反三3】2023年9月5日，台风“海葵”在福建东山登陆，台风中心由东向西沿路线直插内地（如图所示）．市坐落在这条笔直路线的一侧点A处，到登陆路线的距离为600公里，假使台风中心P周围1000公里以内均能被台风影响；台风中心P以200公里/小时的速度在登陆路线上沿方向行进时，请问该市是否会受台风影响?若能，请求出该市总共影响多长时间?若不能，请说明理由． 【题型5】最短路径问题 【典例】如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（）是（    ） A. B. C. D.无法确定 【举一反三2】如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草.他们仅仅少走了(　　) A.5 m    B.4 m    C.3 m    D.2 m 【举一反三3】如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块.已知AD=8米，AB=7米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是　  米.  【举一反三4】如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为         ． 【举一反三5】如图，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于轴对称的图形（用刻度尺作画，禁止反复涂抹）； (2)求的面积； (3)在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 【题型6】利用逆定理解决面积问题 【典例】如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A.48 B.54 C.24 D.60 【举一反三1】如图，点E在正方形ABCD的内部，AE⊥BE，AE=4，BE=3，则正方形ABCD的面积是(　　) A.9   B.16 C.25   D.36 【举一反三2】如图，所在的直线是的对称轴，， 则的面积为         ． 【举一反三3】一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，且其周长为24 cm，则其面积为　　. 【举一反三4】第十二届世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行．这是中国大陆第一次举办世界运动会．运动会一切准备工作正在有序进行．运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图所示，四边形ABCD为休闲区域，四周是步道，AB⊥BC，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC．经测量AB＝9，BC＝12，CD＝8，AD＝17． （1）求氢能源环保电动步道AC的长； （2）求休闲区域四边形ABCD的面积． 【举一反三5】如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E. (1)求证：△AEC是等腰三角形； (2)若AB＝4，BC＝8，求图中△ACE的面积. 【题型7】勾股定理逆定理的实际应用 【典例】有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，出租车司机王师傅从A地出发，要到距离A地13km的C地去，先沿：北偏东70°方向行驶了12km，到达B地，然后再从B地行驶了5km到达C地，此时王师傅位于B地的（    ） A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 【举一反三2】如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金      元．    【举一反三3】图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为      ． 【举一反三4】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积． 【举一反三5】在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 苏科版（2024）八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 题型专练（参考答案） 【题型1】求高度或距离 【典例】[传统文化]在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，那么绳索有多长（　　） A.11.5尺 B.12.5尺 C.13.5尺 D.14.5尺 【答案】D 【解析】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为14.5尺． 故选：D． 【举一反三1】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行12海里.它们离开港口1.5小时后分别位于点Q，R处，此时两船的距离是(　　) A.32海里   B.42海里 C.40海里   D.30海里 【答案】D 【解析】 “远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴∠1=∠2=45°， ∴∠RPQ=∠1+∠2=90°， ∵“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口1.5小时， ∴PQ=16×1.5=24(海里)，PR=12×1.5=18(海里)， ∴QR===30(海里). 【举一反三2】如图，已知地面上A，B在一条直线上，AB=40米，当无人机从A处竖直上升30米时，无人机到B处的距离为(　　) A.60米   B.50米   C.45米   D.40米 【答案】B 【解析】 如图所示， 依题意，AC=30米，∠CAB=90°， ∴CB===50(米). 【举一反三3】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为      （滑轮上方的部分忽略不计）． 【答案】 【解析】设旗杆高度为，过点C作于B， 则 在中， 即， 解得：，即旗杆的高度为17米． 故答案为：． 【举一反三4】如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，每米造价a元，铺完整个楼梯总造价需要_______元.  【答案】 17a 【解析】 根据题意得，整个楼梯图形为直角三角形，根据勾股定理得， 所有台阶横面长为=12(m)， ∴所有楼梯表面的长度为5+12=17(m)， ∴总造价为17a元. 【举一反三5】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【举一反三6】如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方． 【答案】（1）解：小明的猜想是不正确的；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 焊接的钢索BF的长的平方为388． 【题型2】水杯中的筷子问题 【典例】如图是一个底面半径为，高为的圆柱形花器（壁厚不计），插花时，小颖同学为了使效果美观（花茎不超出花器口），需预留花茎最长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图， 为圆柱形花器底面直径，是圆柱形花器高， ∴， ∴线段的长度就是圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度， ∴． ∴． 故圆柱形花器内所能容下的最长花茎的长度为． 故选：B． 【举一反三1】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（    ） A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺 【答案】C 【解析】设水池的深度为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：，即：水池的深度为12尺． 故选：C． 【举一反三2】如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中， ∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度， ∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为， 最长时等于杯子斜对角长度的平方为：， ∴最长时等于杯子斜对角长度是， ∴a的取值范围是：， 即， 故选：C． 【举一反三3】将一根24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm，则h的最小值是　　　　　，h的最大值是　　　　　. 【答案】 11　12 【解析】 当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24－12＝12. 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 此时，筷子在杯子内的长度＝＝13(cm)， 故h＝24－13＝11. 【举一反三4】如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度是      ． 【答案】5 【解析】由图形可知，牙刷在水杯内的长度的平方为， 则牙刷在水杯内的长度为， 牙刷的长为， ， 即牙刷露在杯子外面的长度是， 故答案为：5． 【举一反三5】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？ 【答案】解：设竹竿长为x 尺，由题意，得： 解得， 答：竹竿长10尺． 【举一反三6】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．    【答案】解：设水池的深度为尺， 由题意得： 解得：， 则， 答：芦苇长13尺． 【题型3】与梯子滑落相关的问题 【典例】如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则梯子的长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设梯子的长度为，则墙高为， 由勾股定理可得：， 解得：， 梯子的长度为， 故选：A． 【举一反三1】如图，在离水面点A高度为8 m的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，此人以1 m/s的速度收绳，7 s后船移动到点D的位置(假设绳子是直的)，则船向岸边移动了(　　) A.9 m   B.8 m C.7 m   D.6 m 【答案】A 【解析】 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝17 m，AC＝8 m， ∴AB＝＝15(m)， ∵此人以1 m/s的速度收绳，7 s后船移动到点D的位置， ∴CD＝17－1×7＝10(m)， 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝6(m)， ∴BD＝AB－AD＝15－6＝9(m)， 即船向岸边移动了9 m. 【举一反三2】如图，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则是（　　） A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】B 【解析】由题意可知，，米，米，米， （米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）， 即梯子顶端A下落了米． 故选：B． 【举一反三3】如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何.译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺(绳索比木柱长3尺，即AC－AB＝3)，牵着绳索退行，在距木柱底部8尺(BC＝8)处时而绳索用尽.则木柱长为　　　　尺. 【答案】 【解析】 设木柱长为x尺，根据题意得 AB2＋BC2＝AC2， 则x2＋82＝(x＋3)2， 解得x＝， ∴木柱长为尺. 【举一反三4】如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【答案】解：过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 【题型4】是否受到影响问题 【典例】如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为　　　　. 【答案】 10 【解析】 如图，连接BD，BN，BM，BM与AC交于点P， ∵正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线AC为对称轴的对称点， ∴直线AC即为BD的垂直平分线， ∴BN＝DN， ∴DN＋MN＝BN＋MN， 当点N在BM与AC的交点P处时，DN＋MN取得最小值，最小值为BM的长， ∵正方形ABCD的边长为8，且DM＝2， ∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，∠BCD＝90°， ∴BM＝＝10， ∴DN＋MN的最小值为10. 【举一反三1】如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30 m的C处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为50 m，则这辆小汽车的速度是　　　　　m/s. 【答案】 20 【解析】 由题意得，在Rt△ABC中，AC＝30 m，AB＝50 m， 根据勾股定理可得BC＝＝40(m)， 故小汽车的速度为＝20(m/s). 【举一反三2】小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】解：如图，出发3秒钟时，米，米， ∵AC=40米，AB=30米， ∴AC1=28米，AB1=21米， ∴在中， ∴米＞25米， ∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰． 【举一反三3】2023年9月5日，台风“海葵”在福建东山登陆，台风中心由东向西沿路线直插内地（如图所示）．市坐落在这条笔直路线的一侧点A处，到登陆路线的距离为600公里，假使台风中心P周围1000公里以内均能被台风影响；台风中心P以200公里/小时的速度在登陆路线上沿方向行进时，请问该市是否会受台风影响?若能，请求出该市总共影响多长时间?若不能，请说明理由． 【答案】解：该市能受台风影响，理由如下： ∵公里公里， ∴该市能受台风影响，如图，假设从点开始受台风影响，到点不受台风影响，连接、， 则公里， ， 公里， 公里， ∴该市受台风影响的时间为： (小时)， ∴该市能受台风影响，该市总共影响8小时． 【题型5】最短路径问题 【典例】如图，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，若，点P移动的最短距离为，则圆柱的底面周长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接， 在圆柱的侧面展开图中，，，设， ∵点移动的最短距离为， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴圆柱的底面周长为：． 故选：C． 【举一反三1】如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，点B与点A相对，要爬行的最短路程（）是（    ） A. B. C. D.无法确定 【答案】A 【解析】如图，将圆柱展开： ∵圆柱高，底面圆半径为， ∴， 根据勾股定理得：， 则， 即爬行的最短路程是， 故选：A． 【举一反三2】如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草.他们仅仅少走了(　　) A.5 m    B.4 m    C.3 m    D.2 m 【答案】B 【解析】 根据题意，得长方形花圃的四个角为90°， ∴花圃内的一条“路”长==13(m)， ∴仅仅少走了5+12-13=4(m). 【举一反三3】如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块.已知AD=8米，AB=7米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为4米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是　  米.  【答案】17 【解析】如图，将木块展开，AC即为所求， 则AB=7+4+4=15(米)，BC=AD=8米， 在Rt△ABC中，AC===17(米). ∴最短路径为17米. 【举一反三4】如图，无盖长方体盒子的长为，宽为，高为，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程为         ． 【答案】 【解析】如图， ∵长方体盒子的宽为，高为，， ∴． ∴． 故答案为：． 【举一反三5】如图，三个顶点的坐标分别是． (1)画出关于轴对称的图形（用刻度尺作画，禁止反复涂抹）； (2)求的面积； (3)在轴上作一点，使得的值最小．画出点（在（1）问坐标系作图，保留作点的过程痕迹），并直接写出最小值． 【答案】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：； （3）解：如图，点即为所求； 最小值为． 【题型6】利用逆定理解决面积问题 【典例】如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（    ） A.48 B.54 C.24 D.60 【答案】C 【解析】如图，连接， ， ，，， ， ， ，，， ， 为直角三角形， 这个图形的面积， 故选：C． 【举一反三1】如图，点E在正方形ABCD的内部，AE⊥BE，AE=4，BE=3，则正方形ABCD的面积是(　　) A.9   B.16 C.25   D.36 【答案】C 【解析】 ∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， ∵AE=4，BE=3， ∴AB2=AE2+BE2=42+32=25， ∴正方形ABCD的面积是25. 【举一反三2】如图，所在的直线是的对称轴，， 则的面积为         ． 【答案】 【解析】， 是直角三角形， ， 是的对称轴， ， ， 故答案为：． 【举一反三3】一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，且其周长为24 cm，则其面积为　　. 【答案】 24 cm2 【解析】 ∵三角形的三边长的比为3∶4∶5， ∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x， ∵其周长为24 cm， ∴3x＋4x＋5x＝24，解得x＝2， ∴三角形的三边长分别是6 cm，8 cm，10 cm， ∵62＋82＝102， ∴此三角形是直角三角形， ∴S＝×6×8＝24(cm2). 【举一反三4】第十二届世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行．这是中国大陆第一次举办世界运动会．运动会一切准备工作正在有序进行．运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图所示，四边形ABCD为休闲区域，四周是步道，AB⊥BC，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道AC．经测量AB＝9，BC＝12，CD＝8，AD＝17． （1）求氢能源环保电动步道AC的长； （2）求休闲区域四边形ABCD的面积． 【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12， 由勾股定理得AC15； ∴氢能源环保电动步道AC的长是15； （2）证明：∵CD＝8，AD＝17，AC＝15， ∴AD2＝172＝289，CD2+AC2＝82+152＝289， ∴AD2＝CD2+AC2， ∴∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACDAB•BCAC•CD9×1215×8＝54+60＝114． 【举一反三5】如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E. (1)求证：△AEC是等腰三角形； (2)若AB＝4，BC＝8，求图中△ACE的面积. 【答案】 (1)证明　∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∵将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处， ∴∠F＝∠B，AB＝AF，BC＝FC， ∴AF＝CD，∠F＝∠D， 在△AEF与△CED中， ∴△AEF△CED(AAS)， ∴AE＝CE， ∴△AEC是等腰三角形. (2)解　∵AB＝4，BC＝8， ∴CF＝AD＝BC＝8，AF＝CD＝AB＝4， ∵△AEF△CED， ∴AE＝CE，FE＝DE， ∴DE2＋CD2＝CE2＝(CF－EF)2＝(CF－DE)2， 即DE2＋42＝(8－DE)2， ∴DE＝3， ∴S△ACE＝S△ADC－S△CDE ＝AD·CD－DE·CD ＝×8×4－×3×4 ＝10. ∴图中△ACE的面积为10. 【题型7】勾股定理逆定理的实际应用 【典例】有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接，如图， ∵， ， ∵米，米， ∴米， ∵米，米， ， ∴为直角三角形， ∴这块草坪的面积． 故选：B． 【举一反三1】如图，出租车司机王师傅从A地出发，要到距离A地13km的C地去，先沿：北偏东70°方向行驶了12km，到达B地，然后再从B地行驶了5km到达C地，此时王师傅位于B地的（    ） A.北偏东20°方向上 B.北偏西20°方向上 C.北偏西30°方向上 D.北偏西40°方向上 【答案】B 【解析】如图，过B作，交AF于点D， ∵AB＝15km，BC＝5km，AC＝13km， ∴， 即∠ABC＝90°， ∴∠1+∠CBD=90°， 又∵∠DAB＝70°， ∴∠1＝90°﹣70°＝20°， ∵∠2+∠CBD=90°， ∴∠2＝∠1＝20°， 即C点在B点北偏西20°方向上， 故选：B． 【举一反三2】如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金      元．    【答案】11700 【解析】连接，    、米，米， ∴， BD=25（米）， 米，米， ， 是直角三角形， 四边形的面积为： （平方米）， 则（元）， 即铺这块空地需要投入11700元， 故答案为：11700． 【举一反三3】图①是超市儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点C到的距离为      ． 【答案】 【解析】过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ∵，，， ，， ， 为直角三角形，即， ， ，即， ， 故答案为：． 【举一反三4】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积． 【答案】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【举一反三5】在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度， ∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案． 学科网（北京）股份有限公司 $