32.1正弦、余弦与正切（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦余弦、正切概念及锐角三角函数完整定义，通过复习正弦概念，以“直角三角形中锐角确定时其他边的比是否为定值”设问，搭建新旧知识衔接的学习支架。 采用类比迁移探究模式，延续“猜想—验证—相似证明”流程培养推理意识，梯度例题涵盖概念辨析、实际情境（如火箭发射仰角）及几何综合题，渗透几何直观与模型意识，助力学生夯实基础、提升综合思维，为教师提供层次分明的教学资源。

32.1正弦、余弦与正切（第2课时）教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 余弦、正切的概念，锐角三角函数的完整定义；利用余弦、正切的定义进行相关计算。借助相似的直角三角形探究锐角邻边与斜边、对边与邻边比值的不变性。 2. 内容分析 本课时是锐角三角函数的第二课时，建立在上节课正弦学习的基础之上。学生已经理解：在直角三角形中，确定锐角的对边与斜边的比值为定值。本节课继续沿用“相似三角形”作为推理工具，进一步研究直角三角形中另外两组边的比值：邻边比斜边、对边比邻边。通过猜想、信息技术验证、相似三角形推理证明，得到余弦、正切的概念，整合得到完整的锐角三角函数的定义。本节课既是上一节正弦知识的延伸拓展，也为后续特殊角的三角函数值、解直角三角形、实际应用等知识的学习奠定理论基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并认识锐角三角函数(cos A，tan A)。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(cos A，tan A)。 （2）能根据余弦、正切的定义建立直角三角形的边角关系，并正确进行计算。 2. 目标解析 （1）学生类比正弦的探究过程，经历猜想、验证、相似证明的探究流程，理解当锐角大小确定，邻边与斜边、对边与邻边的比值均为固定值；能准确说出余弦、正切的文字定义与符号表达，可以在直角三角形中准确区分一个锐角的对边、邻边；理解三角函数的函数对应关系。 （2）已知直角三角形部分边长，学生会结合勾股定理求出未知边长，熟练求出锐角的余弦、正切值；能在标准图形、网格、折叠、圆等综合情境中识别或构造直角三角形，找准对应边完成计算。 三、教学问题诊断分析 学情分析：经过第1课时正弦的学习，学生已经初步理解“角度定，比值定”，会识别锐角的对边、斜边。但是本节课新增邻边概念，学生极易混淆同一个锐角的对边与邻边；容易混淆正弦、余弦、正切三组比值的分子分母；常见误区：分不清“对边、邻边”，邻边是该锐角旁边的直角边，不包含斜边，学生容易把斜边当成邻边；记混公式，余弦、正切分子分母颠倒；遇到折叠、圆、等腰三角形等需要自己作垂线构造直角三角形的题型，找不到对应的直角，不会提取边的长度。 应对策略：反复辨析同一个锐角的对边、邻边，更换三角形摆放方向，让学生反复口头表述，强化记忆。类比正弦的探究路径开展课堂探究，实现知识迁移，借助相似三角形讲清比值不变的原理，不要死记硬背公式。设置多层次例题：基础辨析、简单计算、实际模型、几何综合，循序渐进。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能根据余弦、正切的定义进行计算。 四、教学过程设计 （一）复习引入 1.正弦的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦 ( sine)，记作sinA，即sinA= = . 2.填空：当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= . 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= . 设计意图：复习回顾上节课正弦的定义与特殊角的正弦值，唤醒旧知。由已经学习的一组比值，自然抛出疑问：直角三角形中，同一个锐角，其余边的比值是否同样为定值？实现新旧知识衔接，为本节课探究余弦、正切做好铺垫，顺利引出本节课学习内容。 （二）合作探究 探究 如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.此时，其他边之间的比是否也随之确定呢? 为什么? 追问1 “其他边之间的比”可以有哪些形式？ 答： = ， = . 追问2 这些比值是不是固定值？ 猜想 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比也是一个固定值. 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的邻边与斜边的比都是一个固定值. 余弦的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦 ( cosine)，记作cosA，即cosA= = . 探究 如图，任意画 Rt△ABC和Rt△A'B'C′，使∠C=∠C′=90°，∠A=∠A'. 与 有什么关系?为什么? 解：因为∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C′. 因此 = ，即 = . 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数确定时，无论这个直角三角形大小如何 . ∠A的对边与邻边的比都是一个固定值. 正切的概念 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切 ( tangent)，记作tanA，即tanA= = . 锐角三角函数 ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数. 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A 是∠A的函数. 同样地 ，cos A，tan A也是∠A的函数. 设计意图：采用类比迁移的探究思路，延续上节课“猜想——信息技术直观验证——相似三角形严谨证明”的探究模式。从已经学习的正弦拓展到余弦、正切，最后归纳得到完整的锐角三角函数的概念。让学生明白余弦、正切和正弦本质逻辑完全一致：角度确定，对应边的比值就唯一确定，初步体会“锐角三角函数”的函数对应思想，落实本节课教学重点。 （三）典例分析 例1 在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（  C  ） A． B． C． D． 例2 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ A ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6. 求sin A，cos A，tan A 的值. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC===8. 因此 sinA= = = ， cosA= = = ， tanA= = = . 例4 如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，求的值． 解：∵与相切于点B， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 设计意图：例1属于概念辨析选择题，针对学生容易混淆sin、cos、tan分子分母的易错点，巩固三个三角函数的定义；例2结合火箭升空的现实情境，建立直角三角形模型，体会三角函数在实际问题中的运用；例3基础计算题，完整求出同一个锐角的正弦、余弦、正切值，夯实基础；例4几何综合题型，结合圆的切线、相似三角形等知识，提升综合运用能力，满足不同层次学生的学习需求。四道例题梯度递进，突破本节课教学重难点。 （四）巩固练习 1．在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（ D  ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍 C．只有发生变化 D．都不变 2.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC===5. 因此 sinA= = ，sinB= = ， cosA= = ，cosB= = ， tanA= = ，tanB= = . （2）在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB===. 因此 sinA= = = ， sinB= = ， cosA= = = ，cosB= = ， tanA= = ， tanB= = . 3.在Rt△ABC中，∠C=90° . 如果各边长都扩大到原来的2倍，那么∠A的正弦值、余弦值和正切值有变化吗?请说明理由. 解：∠A的正弦值、余弦值和正切值都没有变化.理由如下： 如图，sinA= ，sinA'= = ， cosA= ，cosA'= = ， tanA= ，tanA'= = . 4．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，求的值． 解：∵折叠，， ∵四边形是矩形，， ，， ，， 在中，， ，解得， ． 设计意图：习题由浅入深，兼顾概念理解、基础运算、几何综合，及时反馈课堂学习效果，巩固新知。 （五）归纳总结 （六）感受中考 1．（2026年山东德州）如图，在中，，，则的值为（B） （解题图） A． B． C． D． 2．（2026年福建）如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点D．若，则的值是（  B   ） （解题图） A． B． C． D． 3．（2026陕西）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ B ） （解题图） A． B． C． D． 4．（2026广东）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则__6___． 解：由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ . ∴． 设计意图：选用中考题型，让学生感受中考中锐角三角函数的考查形式：很多题目不会直接给出现成的直角三角形，需要构造直角。让学生体会三角函数与几何其他知识的联系，拓宽学生解题思维。 （七）小结梳理 设计意图：借助思维导图，系统梳理直角三角形中角与角、边与边、边与角之间的关系，帮助学生构建完整的知识框架。 （八）布置作业 1.必做题：习题32.1 第1，8题. 2.探究性作业：习题32.1 第12题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $