精品解析：黑龙江大庆市第五十一中学2026-2027学年九年级上学期开学验收数学测试题

大庆市第五十一中学2026年9月开学验收（初三）数学试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下六个数：，，，，，，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：在，，，，，中， ，，，是有理数，，，是无理数，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 2. 的三条边分别为、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】依据勾股定理逆定理（若三角形三边满足 ，则以、、为边的三角形是直角三角形 ）和三角形内角和定理（三角形内角和为 ），对每个选项逐一分析，判断是否能得出三角形为直角三角形．本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理的内容及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】选项A：由 ，整理得 ，符合勾股定理逆定理，说明边 对应的角为直角，△ABC 是直角三角形． 选项B：由 ，结合三角形内角和 ，可得 ，因此△ABC 是直角三角形． 选项C：设三个角分别为 、、，则 ，解得 ．最大角为 ，非直角，故△ABC 不是直角三角形． 选项D：验证 ，满足勾股定理逆定理，说明△ABC 是直角三角形． 综上，选项C不能判断△ABC为直角三角形． 故选：C 3. 一组由小到大排列的数据为，0，4，x，6，16，其中位数为5，则众数是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．先根据中位数的概念找出最中间的两个数的平均数求出x值，再根据众数的概念求解． 【详解】解：根据题目提供的数据，可以看到这组数据的中位数应是4与x和的平均数，即 ， 解得：，这样这组数据中出现次数最多的就是6，即众数是6． 故选：B． 4. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设有好酒瓶，薄酒瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意得： 故选：A． 5. 在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲． B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义求解可得答案． 【详解】解：，，，， ， 成绩最稳定的是甲， 故选：A． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 6. 将点向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：向左平移个单位，点的横坐标为； 向下平移个单位，纵坐标为， 则点的坐标为. 7. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 8. 如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（ ） A. 关于的方程的解是 B. 关于的方程组的解是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于的不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线的交点坐标即可判断A、B，根据图象即可判断C、D． 【详解】解：∵两直线相交于点， ∴方程的解是，方程组的解是， 故A、B正确，不符合题意； ∵当时，直线在直线的上方， ∴当时，函数的值比函数的值大， 故C正确，不符合题意； ∵当时，直线在直线的上方， ∴当时，，整理得：， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用图像法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法和步骤． 9. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ∵，，N是的中点， ∴， ∴，， ∴； 如图2， ∵，，N是的中点， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴蚂蚁沿长方体表面从点M爬行到点N处的最短路程为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键． 10. 如图1，四边形中，，°，，动点从点出发，沿折线方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ） A. 144 B. 134 C. 124 D. 114 【答案】A 【解析】 【分析】从图2看，，，过点作交于点，在Rt中，，则，当点在点处时，，解得，则四边形的面积，即可求解． 【详解】解：从图2来看，， 过点作交于点， 则 在中，， 当点在点处时， 解得 则四边形的面积 故选：A 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到等腰三角形性质和勾股定理的运用等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 11. 的平方根是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，先根据算术平方根的定义得到，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 的平方根是 故答案为：，． 12. 点关于y轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，根据该规律求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标满足横坐标互为相反数，纵坐标不变，且点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 13. 一次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】轴上所有点的纵坐标为，令一次函数中，求解即可得到交点坐标． 【详解】解：∵一次函数图像与轴交点的纵坐标为， ∴令，代入， 得， 解得， ∴一次函数的图像与轴的交点坐标是． 14. 将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______． 【答案】如果两直线平行，那么同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，如果部分是命题的题设，那么部分是命题的结论；命题“两直线平行，同位角相等”中，“两直线平行”是命题的题设， “同位角相等”是命题的结论，据此改写即可． 【详解】解：如果两直线平行，那么同位角相等； 故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等． 15. 一组数据1，3，5，7，9的方差为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据方差公式S2= 计算即可得出答案. 【详解】解：∵ 数据为1，3，5，7，9， ∴平均数为：=5， ∴方差为：[（1-5）2+（3-5）2+（5-5）2+（7-5）2+（9-5）2] =8. 故答案为8. 【点睛】本题考查方差的计算，熟记方差公式是解题关键. 16. 若一个正数的两个平方根分别是a+3和2﹣2a，则这个正数的立方根是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一个正数的平方根有2个，且互为相反数求出a的值，即可确定出正数的立方根． 【详解】根据题意得：a+3+2-2a=0， 解得：a=5， 则这个正数为（5+3）2=64， 则这个正数的立方根是4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了立方根以及平方根的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 17. 如图，，则等于______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先得出，则，故，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点作， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 18. 如果某公司一销售人员的个人月收入y与其每月的销售量x成一次函数（如图所示），那么此销售人员的销售量在4千件时的月收入是_____元． 【答案】1100 【解析】 【详解】设一次函数解析式为y=kx+b，由图象可得，解得 ， 所以一次函数的解析式为：y=200x+300，当x=4时，y=200×4+300=1100， 故答案为1100. 19. 如图，在中，，，于点E，于点D，则的度数为________．​ 【答案】##65 【解析】 【分析】本题综合考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，余角的性质，先求出，再根据同角的余角相等可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴， ∵于点E，于点D， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为4，则以底边为边长的正方形的面积为_____． 【答案】20或80 【解析】 【分析】分高在等腰三角形内部和高在等腰三角形外部两种情况，利用勾股定理逐步计算底边的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形为锐角三角形，高在三角形内时，如下图， 根据题意，腰长，，且， 由勾股定理得，高将该腰分成的一段长， ∴剩余一段长， ∴底边的平方，即正方形面积为； ②当等腰三角形为钝角三角形，高在三角形外时，如下图， 根据题意，腰长，，且， ∴由勾股定理得，垂足到等腰三角形顶角顶点的距离， ∴垂足到等腰三角形底角顶点的距离为， ∴底边的平方为 ，即正方形面积． 综上所述，以底边为边长的正方形的面积为20或80． 三．简答题（共6小题，共60分） 21. 计算． （1） （2）化简求值：，其中， ． 【答案】（1）4 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： , 把， 代入得： 原式. 22. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法是解题的关键．先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】解：方程组整理得， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以方程组的解为：． 23. 完成下列证明： 已知：是线段的延长线，平分，，那么与相等吗？ 解：平分，（ ） ．（ ） ，（ ） ∴ ，（ ） ．（ ） ． 【答案】已知，，角平分线的定义，已知，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等证明即可； 【详解】略 24. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 84 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由． （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1）84，86，30 （2） 七年级学生的航天知识竞赛成绩较好，理由：因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好； （3）293人 【解析】 【分析】（1）利用扇形百分比计算C、D组人数，根据中位数定义找排序后中间两数求中位数，识别出现次数最多的数据得到众数，再通过百分比总和求m的值； （2）根据题干所给信息分析即可； （3）用样本中不低于90分的占比，估算七、八年级对应人数，求和得到总估计人数． 【小问1详解】 解：解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，， ∴， ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴， ∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人． 25. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； （2）求全全警察提速后的速度，并求、的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （4）全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 【答案】（1）全全 （2）全全提速后速度为米/秒，， （3）折线①中线段所在直线的函数解析式为 （4）全全警官加速后经过秒追上安安警官 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出全全提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用待定系数法求所在直线的函数解析式，与所在直线的函数解析式联立，求出交点的横坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全； 【小问2详解】 解：全全提速前速度为（米/秒）， 全全提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ， 当时，安安警官的路程为米， 安安警官的速度为（米/秒）， ； 【小问3详解】 解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为； 【小问4详解】 解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为， 联立， 解得， 时，全全警官追上安安警官， （秒）， 全全警官加速后经过秒追上安安警官． 26. 新定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意点M，如果将点M先向右平移a（）个单位长度，再向上平移a个单位长度，得到点，那么称点为点M的a加关联点． 例如，将点先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到点，则点为点N的5加关联点． （1）已知点． ①在点，，中，是点P的a加关联点有 ： ② 若点Q是点P的a加关联点，已知点，，且点Q在线段 上，求点Q 的坐标． （2）已知点，． ①若点P在线段上，点为点 P的a加关联点，当点恰好落在x轴上，求a的取值范围； ②若，分别为A，B的a加关联点，连接，若，求出a的值； （3）如图2，正方形的顶点坐标分别为，，，，点是x轴上的一个动点，点T的2加关联点为W，连接，若线段与正方形的边有两个交点，直接写出t的取值范围 ． 【答案】（1）①N；② （2）①；② （3）． 【解析】 【分析】（1）①根据点P的a加关联点坐标为，分别计算确定a的值，即可判断；②先求出直线的解析式为，由点Q是点P的a加关联点，得，根据点Q在线段 上，得，求出a即可得到； （2）①由点P在线段上，设，且，得到，列得，再得到，求出；②由，得到，求出四边形的面积，的面积，再根据，得到，分时，时求解得； （3）先确定点，且点W在直线上，再根据线段与正方形的边有两个交点，得到，求解即可． 【小问1详解】 解：①，点P的a加关联点坐标为， 点，则，无解，故点M不符合； 点，则，解得，符合； 点，则，无解，故点C不符合； 故点N是点P的3加关联点； ②设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，点Q是点P的a加关联点， ∴， ∵点Q在线段 上， ∴将点Q的坐标代入中， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：①∵，点P在线段上， ∴设，且， ∵点为点 P的a加关联点， ∴， ∵点恰好落在x轴上， ∴ ∴， ∴， 解得； ②∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，底边，高为a， ∴四边形的面积， ∵的面积，， ∴，即， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得（舍去）或； ∴； 【小问3详解】 解：∵点是x轴上的一个动点，点T的2加关联点为W， ∴， ∴点W在直线上， ∵线段与正方形的边有两个交点， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第五十一中学2026年9月开学验收（初三）数学试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下六个数：，，，，，，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 的三条边分别为、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 3. 一组由小到大排列的数据为，0，4，x，6，16，其中位数为5，则众数是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 5.5 4. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 5. 在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（ ） A. 甲． B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 将点向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，一次函数（，是常数，且）与正比例函数（是常数，且）的图象相交于点，下列判断不正确的是（ ） A. 关于的方程的解是 B. 关于的方程组的解是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于的不等式的解集是 9. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，四边形中，，°，，动点从点出发，沿折线方向以m单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中， 的面积与运动时间（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ） A. 144 B. 134 C. 124 D. 114 二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 11. 的平方根是________ 12. 点关于y轴对称的点的坐标是______． 13. 一次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 14. 将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______． 15. 一组数据1，3，5，7，9的方差为________． 16. 若一个正数的两个平方根分别是a+3和2﹣2a，则这个正数的立方根是_____． 17. 如图，，则等于______． 18. 如果某公司一销售人员的个人月收入y与其每月的销售量x成一次函数（如图所示），那么此销售人员的销售量在4千件时的月收入是_____元． 19. 如图，在中，，，于点E，于点D，则的度数为________．​ 20. 已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为4，则以底边为边长的正方形的面积为_____． 三．简答题（共6小题，共60分） 21. 计算． （1） （2）化简求值：，其中， ． 22. 解方程组： 23. 完成下列证明： 已知：是线段的延长线，平分，，那么与相等吗？ 解：平分，（ ） ．（ ） ，（ ） ∴ ，（ ） ．（ ） ． 24. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 a 83 众数 84 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ． （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由． （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 25. 随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． （1）如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； （2）求全全警察提速后的速度，并求、的值； （3）求折线①中线段所在直线的函数解析式； （4）全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 26. 新定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意点M，如果将点M先向右平移a（）个单位长度，再向上平移a个单位长度，得到点，那么称点为点M的a加关联点． 例如，将点先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到点，则点为点N的5加关联点． （1）已知点． ①在点，，中，是点P的a加关联点有 ： ② 若点Q是点P的a加关联点，已知点，，且点Q在线段 上，求点Q 的坐标． （2）已知点，． ①若点P在线段上，点为点 P的a加关联点，当点恰好落在x轴上，求a的取值范围； ②若，分别为A，B的a加关联点，连接，若，求出a的值； （3）如图2，正方形的顶点坐标分别为，，，，点是x轴上的一个动点，点T的2加关联点为W，连接，若线段与正方形的边有两个交点，直接写出t的取值范围 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $