临潭县第一中学2026-2027学年高二上学期数学月考模拟卷

**基本信息** 融合“将军饮马”古代数学文化与动点运动等现实情境，梯度覆盖数列、直线与圆核心知识，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|数列通项公式（第1题）、直线倾斜角（第5题）|第8题“将军饮马”渗透文化传承| |多选|3/18|等差等比数列性质（第9题）、直线方向向量（第10题）|第11题递推数列综合考查推理能力| |填空|3/15|等比数列求和（第12题）、圆的标准方程（第14题）|第13题动点距离最值体现几何直观| |解答|5/77|数列求和（第15题）、直线与圆综合（第18题）|第19题圆上点运动求最值强化数学思维|

临潭县第一中学2026-2027学年上学期月考模拟卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于数列，，，，…， 由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 2．已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，， ，，, ，，， . 3．记等差数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，解得，又，所以. 4．若、、成等比数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据 “三数成等比数列” 的条件，运用等比中项性质列出等式；再将等式两边展开整理，求出值即可. 【详解】、、成等比数列，， 整理可得，. 5．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 6．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为.又所求直线经过点，由点斜式得 ，整理得，即. 7．与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取所求直线上任意一点，可求得关于轴的对称点的坐标，将其代入即可求解. 【详解】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即.故选：D. 8．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列的公差为2 B．数列是等比数列 C．的最小值为1 D．数列为递增等差数列 【答案】ACD 【详解】设等差数列公差为，则有， 解得，A选项正确； ，， ，不是常数，数列不是等比数列，B选项错误； ，由，的最小值为1，C选项正确； 设，则，故数列是首项为1公差为1的等差数列， 即数列为递增等差数列，D选项正确. 10．已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【分析】A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然，而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误；对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限，可得始终不过第四象限，D正确． 11．已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则，所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式.则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为，故D项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为等比数列的前n项和，已知，，则的值为______. 【答案】63 【分析】应用等比数列前n项和的性质，，，仍成等比数列求解即可. 【详解】根据片段和性质，有，则，解得. 13．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】 【分析】找到点关于直线的对称点，即可得到即为的最小值. 【详解】    如图所示，设点关于直线的对称点为，则，， 连接， ，则即为的最小值， ，所以为的最小值为． 14．经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【答案】 【详解】设圆心为 ，因为圆心在直线 上，故. 圆经过 、，所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得， 展开得， 化简， 代入 ，得. 所以圆心为 ，半径. 故圆的标准方程为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 16．（15分）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知等式用等比数列通项公式转化为关于公比的一元二次方程，结合正项条件求得，即可得到的通项公式； （2）先化简得到为等差数列，利用分组求和法，分别计算等比数列和等差数列的前项和，相加得到. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，得 ，即 ， 解得（舍去） . 所以数列的通项公式为： . （2） 由(1)得， 当时，， 又，故是首项为，公差为的等差数列. 设等比数列的前项和为，等差数列的前项和为， 由分组求和得. 计算：， 计算：， 因此. 17．（15分）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因，，， 设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为0时，直线过原点和点， 则其方程为，即； 当截距不为0时，依题意，可设直线， 代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）设关于的对称点，则中点在上且， 则， 解得，，故． 18．（17分）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 19．（17分）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2026-2027学年上学期月考模拟卷 高二 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第一册第1-2章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．记等差数列的前项和为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．若、、成等比数列，则（     ） A． B． C． D． 5．已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 6．经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列的公差为2 B．数列是等比数列 C．的最小值为1 D．数列为递增等差数列 10．已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 11．已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设为等比数列的前n项和，已知，，则的值为______. 13．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 14．经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 16．（15分）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分）已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标． 18．（17分）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 19．（17分）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $