精品解析：甘肃省天水市2025-2026学年高二上学期1月月考阶段性检测数学

高二阶段性检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的一个子集为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的长轴长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称这个椭圆为“对偶椭圆”.已知椭圆是“对偶椭圆”，则该椭圆的焦距是（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得与重合 10. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. 的解析式可能为 D. 的解析式可能为 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（ ） A. 若能成立，则的取值范围为 B. 若，则的面积为 C. 直线与的斜率之积为 D. 若，的横坐标是的横坐标的4倍，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则__________. 13. 若双曲线的离心率为，则___________. 14. 现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是_______________千克. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 17. 已知数列满足，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）证明：数列为等差数列； （3）求的前项和. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线的左顶点，过点的直线与双曲线交于（均异于点）两点，直线的斜率分别为. （1）若直线的斜率为2，求的值； （2）若，求直线的方程； （3）已知点在双曲线的右支上，的重心为，内心为，且的面积为6，证明：到轴的距离相等. 19. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点，且. （i）求直线的方程； （ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二阶段性检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的一个子集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 抛物线交点坐标为，算出即可. 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题. 3. 椭圆的长轴长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆长轴长的定义求解即可. 【详解】因为椭圆的方程为，且， 所以长轴长. 故选：D. 4. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次方程表示双曲线的条件列不等式求参数范围即可. 【详解】由题意可得 ， 解得或 所以的取值范围是， 故选：C. 5. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程求出渐近线方程，再由倍角公式即可求解. 【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为，设直线的倾斜角为，则，则，故. 故选：A 6. 若将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称这个椭圆为“对偶椭圆”.已知椭圆是“对偶椭圆”，则该椭圆的焦距是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据“对偶椭圆”的定义计算即可. 【详解】因为椭圆是对偶椭圆，且，所以焦点在轴上， 由“对偶椭圆”的定义可知：， 又因为，故， 解得， 所以，即， 所以该椭圆的焦距 故选：C. 7. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离和半径，可得，再求出，即可求出结果. 【详解】在直线中，令，得，故，令，得，故， 所以， 圆心到直线的距离，所以， 由，得，化简得，解得. 故选：C. 8. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一个动点，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义得出，再应用两点间距离公式结合距离和最小值计算求解. 【详解】因为抛物线，所以且准线为， 由抛物线的定义可知，则， 因为且，所以， 则，当且仅当三点共线时，等号成立. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在，使得与重合 【答案】AB 【解析】 【分析】应用直线平行和垂直的判定列方程求参数值，结合各项判断正误即可. 【详解】由，得，解得或， 当或时，与都不重合，则A正确，C、D错误. 由，则，得，则B正确. 故选：AB 10. 已知是定义在上的奇函数，且，则（ ） A. B. C. 的解析式可能为 D. 的解析式可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，直接求出，判断A，B；由奇偶性的定义，结合题意，判断C，D. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B正确； 若，则其定义域为，且，则是偶函数，不是奇函数，所以C错误； 若，则其定义域为，且， 则是奇函数，且，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若，是上关于原点对称的两点为第一象限内一点），是上异于，的一点，直线与轴交于点，为的离心率，则下列说法正确的是（ ） A. 若能成立，则的取值范围为 B. 若，则的面积为 C. 直线与的斜率之积为 D. 若，的横坐标是的横坐标的4倍，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，由，得，推e范围；选项B，由对称性可知的面积等于的面积，再由焦点三角形的面积公式求解；选项C，设点，用椭圆方程得直线斜率之积；选项D，根据垂直和斜率关系，结合横坐标条件判断. 【详解】因为，所以四边形为矩形， 设椭圆的上顶点为，若要上存在点，使得， 则需，所以， 即，，A错误； 由对称性可知的面积等于的面积， 由焦点三角形的面积公式可知，的面积为，B正确； 设，，则，且，， 两式相减得， 可知，C正确； 由，得，因为，且， 所以，解得，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】由得， 由题意可得与抛物线上的点到抛物线准线的距离相等， 即. 故答案为：9. 13. 若双曲线的离心率为，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率列方程，解方程求得的值. 【详解】由，得（舍去）. 故答案为：2. 14. 现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是_______________千克. 【答案】5 【解析】 【分析】记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，设数列的公差为，由题意用基本量列不等式，解得，结合总质量求解即可. 【详解】记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的数列为的公差为， 由题意可得，所以，所以， 即， 因为，所以，解得， 质量最重的盒子最少是5千克. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）若为的左顶点，为上的动点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据焦点、离心率求出椭圆参数值，进而写出椭圆方程； （2）由（1）知，结合椭圆的性质确定面积最大时对应的位置，即可得. 【小问1详解】 由题意得，解得，所以的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，的坐标为，则， 由图知，当为的短轴的顶点时，的面积最大， 故面积的最大值为 16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出线段的中垂线方程，然后再与直线联立可求得圆心，再求出半径，即可求解； （2）将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为，再利用垂径定理可求公共弦的弦长. 【小问1详解】 由题可知直线的斜率为，线段的中点坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上， 由，得，所以圆心， 又， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 又圆的半径，所以由圆的弦长公式得. 故公共弦的方程为；公共弦的长为. 17. 已知数列满足，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）证明：数列为等差数列； （3）求的前项和. 【答案】（1）证明： 因为， 所以， 因为，所以， 则是首项为4，公比为2的等比数列； （2）证明： 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以是首项为2，公差为2的等差数列. （3） 【解析】 【分析】（1）由题设可得，进而求证即可； （2）由题设可得，进而求证即可； （3）由（1）（2）可求得，进而利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（1）知， 由（2）知， 所以，即， 故 . 18. 已知双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线的左顶点，过点的直线与双曲线交于（均异于点）两点，直线的斜率分别为. （1）若直线的斜率为2，求的值； （2）若，求直线的方程； （3）已知点在双曲线的右支上，的重心为，内心为，且的面积为6，证明：到轴的距离相等. 【答案】（1）30 （2） （3） 当点在第一象限时，设， 因为的面积为6，所以，所以 因为，所以，又，所以， 因为，所以， 设内切圆的半径为，则 因为， 所以，解得， 因为是的重心，所以，所以， 因为，所以到轴的距离相等. 同理可证，当点 位于第四象限时，到轴的距离相等. 综上： 到轴的距离相等. 【解析】 【分析】（1）写出直线的方程，与双曲线的方程进行联立，根据弦长公式求出的值； （2）设直线的方程为，，联立双曲线的方程，结合韦达定理，得出与的关系，从而求出，得到直线的方程； （3）由的面积为6，当在第一象限时求得点的纵坐标，代入双曲线方程，求得点的横坐标，从而求得，进而求得的内切圆半径，即内心到轴的距离；由点的坐标，可求得因为的重心的坐标，其纵坐标即为重心到轴的距离，即可证得到轴的距离相等，同理证明在第四象限时结论成立. 【小问1详解】 由题意可得， 因为直线的斜率为2，且过点，所以直线的方程为，即. 由，得， 设，则， 故. 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为，， 由，得， 则，且， 因为，所以 因为，所以，解得， 则直线的方程为，即. 【小问3详解】 略 19. 在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点，且. （i）求直线的方程； （ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点在轴上方， 由（i）知，，， 设的方程为，，，， 由，消去得， 所以，. 直线的斜率，方程为， 直线的斜率，方程为 由，消去得， 整理得 ， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）分析可知，曲线是以点为焦点的抛物线，可得出方程； （2）（i）设的方程为，联立曲线的方程，根据抛物线的焦点弦的性质求出的值即可求出的方程；（ii）设的方程为，写出直线与直线的方程，得出点的横坐标恒为，即得点在定直线上. 【小问1详解】 因为直线和之间的距离为1， 所以点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹是以点为焦点的抛物线， 设曲线的方程为，得，得， 故曲线的方程为; 【小问2详解】 （i）设，，的方程为， 由，消去得， 所以，. 因为， 所以，即直线的方程为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $