5.2等可能条件下的概率 -同步练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以“基础提质-能力提升-素养提优”分层设计，覆盖等可能性、概率公式及树状图/列表法等知识点，从概念理解到综合应用，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|等可能性判断、概率公式直接应用|以选择、填空为主，如摸球概率计算，巩固概念| |能力提升|复杂情境概率（路线、方案选择）、综合应用（方程与概率）|结合实际问题，如樱桃购买方案分析，提升推理能力| |素养提优|跨情境概率（投球试验装置）、创新应用|通过树状图分析小球落点概率，培养数学眼光与创新意识|

第5章等可能条件下的概率 5.1 等可能性 基础提质 1.从一个装有4个红球、3个蓝球、2个白球和1个黑球的不透明袋子中(各球除颜色外其余均相同)，随机摸出一个球，下列事件中发生的概率最小的是( ) A.摸出红球 B.摸出蓝球 C.摸出白球 D.摸出黑球 2.下列随机事件属于“等可能性事件”的是( ) A.交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B.掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C.小明用随机抽签的方式选择A，B，C三种答案,分别选中A,B,C D.在适宜的条件下种一粒油菜种子，种子“发芽”与“不发芽” 3.有5 张背面完全相同的卡片，正面分别写着0，3，5，7，9，将卡片背面朝上混放在一起，从中任意抽出1张. (1)会有哪些可能的结果?这些结果的出现是等可能的吗? (2)抽出的卡片上的数字大于5 与抽出的卡片上的数字小于5是等可能的吗?为什么? 能力提升 4.笼子里关着一只松鼠，笼子的主人决定把松鼠放归大自然，如图，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门(A，B或C)，再经过第二道门(D或E)才能出去，松鼠走出笼子的不同路线(经过的两道门)共有( ) A.12种 B.6种 C.5种 D.2种 5.陈鹏和孙杰两人计划购买樱桃，此时樱桃园仅有三箱樱桃，价钱相同，但质量略有区别，分为1级、2级、3级，其中1级最好，3级最差，挑选时，三箱樱桃不同时拿出，只能一箱一箱地看，也不告知该箱的质量等级，两人分别提供了不同的方案： 陈鹏：无论如何总是买第一次拿出来的那箱； 孙杰：不买第一箱，仔细观察第一箱樱桃，若第二箱樱桃的质量比第一箱好，就买第二箱樱桃，否则就买第三箱. (1)三箱樱桃出现的先后顺序共有哪几种结果? (2)选择谁的方案，买到1级的可能性大?为什么? 5.2等可能条件下的概率 第1课时 一次试验下的概率 基础提质 知识点 概率公式 1.2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼.将分别印有“巳”“巳”“如”“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为( ) A. B. C. D. 2.一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷这枚骰子，则朝上一面所标的数字为奇数的概率为 . 3.从2,,,中随机抽取一个根式，与是同类二次根式的概率是 . 4.在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球有3个，白球有5个，黑球有若干个，若从中任意摸出一个球是白球的概率是 (1)学科学的思想求盒子中黑球的个数. (2)求任意摸出一个球是红球的概率. 能力提升 5.5张不同卡片上分别写有数字2,3,4,5,6,从中任意取出3张,则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 . 6.一个盒中装有x颗白色小球和y颗黑色小球，这些小球仅颜色不同，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是 ，如果再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是 ，则原来盒中有白色小球 颗. 7.如图，点A，B在由边长为1 的小正方形组成的网格的格点上，在网格格点中任取一点 C(除点A，B外)，则使△ABC 的面积为1 的概率是 . 8.从-3,-2,-1,0,1,2，3这7个数中任意选一个数作为m的值，求使关于x的分式方程 的解是负数，且关于x的一次函数y=(m-3)x-4的图象不经过第一象限的概率. 第2课时 两次试验下的概率 基础提质 知识点1画树状图法求概率 1.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是 ( ) A. B. C. D. 2.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 ( ) A. D. B. C. 3.为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看.现有A，B，C3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看. (1)甲同学选择A 电影的概率为 . (2)求甲、乙2位同学选择不同电影的概率(请用画树状图法说明理由). 知识点2用列表法求概率 4.有两组扑克牌各三张，牌面数字分别为1，2，3，随机从每组牌中各抽取一张，牌面上的数字和是奇数的概率是 ( ) A. B. C. D. 5.如图，随机闭合开关K₁，K₂，K₃中的两个，能让两盏灯泡L₁，L₂同时发光的概率为 . 6.通过学习化学我们知道：紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色，遇碱性溶液变蓝色.化学课上老师让同学用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这四种溶液分别是 A.盐酸(呈酸性)， B.白醋(呈酸性)，C.氢氧化钠溶液(呈碱性)， D.氢氧化钙溶液(呈碱性)中的一种. (1)甲同学从中任选一瓶无色溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，则该瓶溶液恰好变蓝的概率为 . (2)乙同学从中任选两瓶无色溶液，将紫色石蕊试液滴入其中进行检测，请用列表法求两瓶无色溶液恰好都变蓝的概率. 能力提升 7.有四根外形完全相同的导线穿过一个不透明的盒子，仅两端露在盒子外面.现将同一端的四根导线随机分为两组，并把同一组的两根导线末端连在一起，则导线能形成一个闭环线路(即四根导线依次首尾相连)的概率是( ) A. B. C. D.1 8.四张相同的卡片上分别写有-1，-5，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限的概率为 . 9.有三张正面分别标有-1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数记为a，不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数记为b，则使关于x的不等式组 的解集中有且只有2个非负整数解的概率为 . 10.学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具.有两个特制的正方体魔方，魔方A 的六个面分别标有数1,2,2,3,3,3;魔方B的六个面分别标有数-1,0,0,1,1,1.(1)若同时抛掷这两个魔方，魔方A，B落地后朝上一面的数分别记为a 和b.将a，b代入关于x的一元二次方程 中，求该方程有实数根的概率. (2)同时抛掷这两个魔方，求魔方 A 朝上一面的数大于魔方B 朝上一面的数的概率. 素养提优 11.做投球试验的装置如图所示.试验时，将小球从M 处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子内.已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的. (1)若投入一个小球，求它通过管道B 的概率. (2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 .(填写所有正确结论的序号) ①最先填满的是甲盒. ②4个盒子中的小球的数量一样多. ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量. ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等. 第5章 等可能条件下的概率 5.1 等可能性 基础提质 1. D∵每个球被摸出的机会都相同，且黑球的数量最少，∴摸出黑球的概率最小. 2. CA.∵交通信号灯出现红色、绿色和黄色的时间通常不相等，∴A不是等可能性事件；B.∵图钉结构不对称，∴钉尖朝上和朝下的概率不相等，∴B不是等可能性事件；C.∵用随机抽签方式选择A，B，C三种答案，每种答案被选中的概率均为 ，∴C是等可能性事件；D.∵在适宜的条件下种一粒油菜种子，种子“发芽”的可能性大于“不发芽”的可能性，∴D不是等可能性事件.故选C. 3.解析(1)从5张卡片中任意抽出1张，抽出的卡片上的数字可能是0，3，5，7，9，这些结果的出现是等可能的. (2)是等可能的.理由：∵抽出的卡片上的数字大于5有7，9，共2种，抽出的卡片上的数字小于5有0，3，共2种，∴抽出的卡片上的数字大于5与抽出的卡片上的数字小于5是等可能的. 能力提升 4. B松鼠走出笼子的不同路线(经过的两道门)可以是A→D,A→E,B→D,B→E,C→D,C→E,共有6种.故选 B. 5.解析 (1)共有六种结果:(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1). (2)陈鹏的方案买到1级的情况有2种:(1,2,3),(1,3,2);孙杰的方案买到1级的情况有3种:(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),∴选择孙杰的方案,买到1级的可能性大. 5.2等可能条件下的概率 第1课时 一次试验下的概率 基础提质 1. D从中随机抽取一张，一共有4种等可能的结果，其中抽取到的卡片上印有汉字“巳”的结果有2种，概率为 故选 D. 2.答案 解析 由题意可知，共有6种等可能的结果，其中朝上一面所标的数字为奇数的结果是1，3，5，共3种，∴朝上一面所标的数字为奇数的概率为 3.答案 解析 ∴与是同类二次根式的有 ∴随机抽取一个根式，与是同类二次根式的概率是 4.解析 (1)设盒子中黑球的个数为x， ∵从中任意摸出一个球是白球的概率是 解得x=7. 经检验，x=7是原分式方程的解且符合题意. ∴盒子中黑球的个数为7. (2)根据题意得任意摸出一个球是红球的概率为 能力提升 5.答案 解析 从写有数字2，3，4，5，6的卡片中任意取出3张,结果可能为(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4，5，6)，共有10种等可能的结果，其中可以作为三角形的三边长的结果为(2,3,4),(2,4,5),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6),共7种,∴任意取出3张，这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 6.答案 6 解析 根据题意得 解得 经检验， 是原分式方程的解且符合题意，∴原来盒中有白色小球6颗. 7.答案 2/9 解析 如图， 任取一点C(除点A，B外)共有20-2=18种等可能的结果，其中能使△ABC的面积为1的结果有4种，即点C₁,C₂,C₃,C₄,∴使△ABC 的面积为1 的概率为 8.解析 解分式方程 得：x=-m-3, ∵分式方程 的解是负数， ∴-m-3<0且-m-3≠-1,∴m>-3且m≠-2, ∵关于x的一次函数y=(m-3)x-4的图象不经过第一象限,∴m-3<0,∴m<3, 综上所述,-3<m<3且m≠-2, ∴在-3,-2,-1,0,1,2,3这7个数中,满足条件的是-1,0,1,2,共4个,∴满足条件的概率为 第2课时 两次试验下的概率 基础提质 1. D画树状图如下： 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中2 只雏鸟都是雄鸟的结果有1种，∴2 只雏鸟都是雄鸟的概率是 .故选D. 2. B画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为 故选 B. 3.解析(1) (2)画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为 4. D 列表如下: 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 由表可知，共有9种等可能的结果，其中数字和是奇数的结果有4种，∴随机从每组牌中各抽取一张，牌面上的数字和是奇数的概率是 5.答案 解析 列表如下： K₁ K₂ K₃ K₁ (K₁,K₂) (K₁,K₃) K₂ (K₂,K₁) (K₂,K₃) K₃ (K₃,K₁) (K₃,K₂) 由表可知，共有6种等可能的结果，其中能让两盏灯泡 同时发光的结果有(K₁,K₃),(K₃,K₁),共2种，∴能让两盏灯泡L₁，L₂同时发光的概率为 6.解析(1) (2)列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表可知，共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变蓝的结果有2种，∴两瓶溶液恰好都变蓝的概率为 能力提升 7. B设四根导线两端分别为A,a;B,b;C,c;D,d. ∵将同一端的四根导线随机分为两组，∴选取其中两根组成一组后，另外两根必成一组， 画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，只有当两端分组方式不同时，才能形成一个闭环线路，其中导线能形成一个闭环线路的结果有6种，∴导线能形成一个闭环线路(即四根导线依次首尾相连)的概率是 故选B. 8.答案 解析 若一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,则k<0,b<0.列表如下: -1 -5 2 4 -1 (-1,-5) (-1,2) (-1,4) -5 (-5,-1) (-5,2) (-5,4) 2 (2,-1) (2,-5) (2,4) 4 (4,-1) (4,-5) (4,2) 由表格可得，共有12种等可能的结果，其中满足k<0，b<0的结果有(-1,-5),(-5,-1),共2种,∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限的概率为 9.答案 解析 画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，对于不等式组 解不等式①,得x<5.当a>0时,解不等式②，得 若不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，则 所以b=2,a=1符合要求.当a<0时，解不等式②，得 若不等式组的解集中有且只有2个非负整数解，则 不存在符合题意的结果，故所有结果中只有1种结果符合要求，故使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数解的概率为 10.解析 (1)由条件可知 依题意，Δ的结果有下表所示的可能： a b 1 2 2 3 3 3 -1 5 8 8 13 13 13 0 1 4 4 9 9 9 0 1 4 4 9 9 9 1 -3 0 0 5 5 5 1 -3 0 0 5 5 5 1 -3 0 0 5 5 5 由表可知，共有36种等可能的结果，其中使 0的结果有 33 种，∴该方程有实数根的概率为 (2)列表如下： AB 1 2 2 3 3 3 -1 (1,-1) (2,-1) (2,-1) (3,-1) (3,-1) (3,-1) 0 (1,0) (2,0) (2,0) (3,0) (3,0) (3,0) 0 (1,0) (2,0) (2,0) (3,0) (3,0) (3,0) 1 (1,1) (2,1) (2,1) (3,1) (3,1) (3,1) 续表 AB 1 2 2 3 3 3 1 (1,1) (2,1) (2,1) (3,1) (3,1) (3,1) 1 (1,1) (2,1) (2,1) (3,1) (3,1) (3,1) 由表可知一共有36种等可能的结果，其中魔方A朝+一面的数大于魔方B 朝上一面的数的结果有33种，∴魔方A 朝上一面的数大于魔方B朝上一面的数的概率为 素养提优 11.解析 (1)小球通过两层管道下落，可能出现的结果4种,即(P,A),(P,B),(Q,B),(Q,C),它它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足小球通过管道B的结果有2种,分别是(P,B),(Q,B),∴投入一个小球，它通过管道B的概率为 = (2)画树状图如图， 由树状图可知，小球落到甲盒的概率为 ，落到乙盒的概率为 ，落到丙盒的概率为 ，落到丁盒的概率为 ∴最先填满的是乙盒或丙盒，故①说法错误； ∵小球落到4个盒子中的概率不一样，∴4个盒子中的小球的数量不一样多，故②说法错误； .1小球落到甲盒的概率小于小球落到乙盒的概率， .甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，故③说法正确； ∵小球落到乙盒的概率等于小球落到丙盒的概率， ∴乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，故 ④说法正确.故答案为③④. 学科网（北京）股份有限公司 $