3.3圆的对称性 -同步练-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到素养拓展，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础提质|圆的旋转不变性、圆心角弧弦关系、弧的度数、垂径定理|以选择、填空为主，直接对应单一知识点，如弧的度数计算、垂径定理基础应用| |能力提升|圆心角与圆周角综合、动态问题、实际情境应用|结合平行四边形、进度条等情境，如“圆形进度条线段长度变化”，培养空间观念| |素养提优|多解问题、跨学科应用|联系《九章算术》、纸杯测量等实际问题，如“用矩形纸条测杯口直径”，发展应用意识与创新思维|

3.3圆的对称性 第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系 基础提质 知识点1 圆的旋转不变性 1.如图，原点O为三个同心圆的圆心，大圆直径AB=8cm ，则图中阴影部分的面积为 cm². 知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系 2.如图，AB 是⊙O 的直径,∠AOD=70°,C 是1BD的中点,则∠DOC=( ) A.65° B.55° C.110° D.60° 3.如图,在⊙O 中,下列结论不正确的是( ) A. AB=CD B.∠BOC=∠AOC D. S△AOB=S△COD 4.如图，在⊙O中，若 则AC与2CD的大小关系是AC 2CD.(填“>”“<”或“=”) 5.如图,点 A 在半圆O上,BC 是直径, 若AB=2,则BC的长为 . 6.如图,⊙O的弦AB,CD的延长线相交于点 P,且 PA=PC.求证:AB=CD. 知识点 3 弧的度数 7.⊙O 中，弦AB 的长恰好等于半径，则AB的的度数是 °. 8.如图，AB，CD是⊙O的直径,弦CE∥AB,若∠AOC=75°,则 的度数是 . 能力提升 9.如图，已知AB,CD 是⊙O 的弦,且AB=CD,若∠BOD=84°,则∠ACO的度数是( ) A.48° B.42° C.44° D.46° 10.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段 MN的长度记为d(x).下列描述正确的是( ) A.当x₁>x₂时， B.当 时， C.当 时， D.当 时， 11.如图,点A,B,C,D在⊙O上,且 E是AB延长线上一点,且BE=AB,F是 EC的中点,若BF=6cm,则BD= cm. 12.如图,AB 是⊙O 的直径,点 D,C 在⊙O 上,∠DOC=90°,AC=2, 则⊙O 的半径为 . 13.如图所示，以▱ABCD的顶点A 为圆心，AB长为半径作圆，分别交 AD,BC 于点 E,F,延长 BA 交⊙A 于点 G. (1)求证: (2)若BF的度数为70°,求∠C的度数. 素养提优 14.如图，在⊙O中,C是优弧ACB 的中点,D,E 分别是OA,OB上的点,且AD=BE,弦CM,CN分别过点D,E. (1)求证:CD=CE. (2)求证: 第2课时 垂径定理 学科网（北京）股份有限公司 基础提质 知识点1 圆的轴对称性 1.下列说法中，不正确的是( ) A.圆是轴对称图形 B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 知识点2 垂径定理 2.下列结论中： ①弦的垂直平分线经过圆心； ②平分弦的直径垂直于弦； ③平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦； ④平分弦的直径，平分这条弦所对的弧. 错误的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,AB 为⊙O 的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,OB,若AB=OA,AC=3,则OA的长为 . 4.在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10 cm，在操场地上砸出一个深2cm 的小坑，如图，则该坑的直径AB 为 cm. 5.如图,在⊙O中,C,D分别是AB和弦AB的中点,若AB=8,CD=2,则⊙O的半径是 . 能力提升 6.已知⊙O的半径为10,P为⊙O内一点,且OP=6,则过P点且长度为整数的弦有( ) A.5条 B.6条 C.8条 D.10条 7.如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，若AB=6, 则⊙O的半径是( ) B. C. D.5 8.《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径,弦AB⊥DC 于E,ED=1寸,AB=6寸，求直径CD的长.则CD的长是 寸. 9.在平面直角坐标系中，以点A(3,0)为圆心,为半径作⊙A，直线y=kx-3k+2与⊙A交于B,C 两点,则BC 的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 10.如图,AB 是⊙O的直径,AB=2,点 C 在线段AB上几何画板演示运动,过点 C 的弦 DE⊥AB,将DBE沿DE 翻折交直线AB 于点 F，当 DE 的长为正整数时，线段 FB的长为 . 11.一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦AB 是水底，弦CD 表示水面，EF 过圆心 O 且 EF⊥AB,EF = AB = 8 米,CD∥AB. (1)求桥洞所在圆的半径. (2)当水深GF 为5米时，求此时水面CD的宽. 素养提优 12.一次综合实践主题为“只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?”小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB=8cm,CD=6cm,请你帮忙计算纸杯杯口的直径. 学科网（北京）股份有限公司 微专题 与垂径定理相关的多解问题 1.已知AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB于点 E,若CD=6,AB=10,则AE的长为 . 2.已知⊙O 的直径 CD=10 cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为 . 3.在⊙O中,弦AB∥CD,AB=16,CD=12,⊙O的直径为20,则弦AB,CD之间的距离为 . 4.半径为2 的⊙O 中有两条弦AB,AC,AB=2 则∠BAC= . 3.3圆的对称性 第1课时 圆心角、弧、弦之间的关系 基础提质 1.答案 4π 解析 ∵AB=8cm,∴ (cm),根据题意可知，阴影部分的面积 大圆的面积 2. B ∵∠AOD=70°, ∴∠BOD=180°-∠AOD=110°, ∵C是BD的中点， 故选 B. 3. B ∵DB=CA, ∴∠AOC=∠BOD,AB+AD=CD+AD, ∴AB=CD,故 A,C 选项不符合题意,选项B符合题意； ∵OA=OB=OC=OD,AB=CD, ∴△AOB≌△COD(SSS), 故选项D不符合题意.故选 B. 4.答案 < 解析 如图,连接AB,BC, ∵AB=BC=CD,∴AB=BC=CD, 在△ABC中,AB+BC>AC,∴AC<2CD. 5.答案 2 解析 连接OA(图略)， BC:是直径， ∴∠AOB=∠AOC=90°. ∵在Rt△AOB中, OA=OB,AB=2, 6.证明 如图,连接AC,OA,OB,OC,OD, ∵PA=PC,∴∠PAC=∠PCA,∵OA=OC,∴ ∠OAC=∠OCA,∴ ∠OAB = ∠OCD, ∵OA=OB,OC=OD,∴∠OAB= ∠OBA,∠OCD = ∠ODC,∴ ∠AOB =∠COD,∴AB=CD. 7.答案 60 解析 如图,连接OA,OB,∵AB=OA=OB,∴△ABC为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴AB的度数是60°. 8.答案 30° 解析 连接OE，如图， ∵CE∥AB,∴∠C=∠AOC=75°.∵OC=OE,∴∠E=∠C=75°,∴∠COE=180°-2×75°=30°, ∴CE的度数是30°. 能力提升 9. A 如图，连接OA. ∵AB=CD,∴ ∠AOB =∠COD,即∠BOD+∠AOD =∠AOC+∠AOD,∴∠AOC=∠BOD=84°,∵ OA=OC, 故选 A. 10. C A.当x₁>x₂时,d(x₁)与d(x₂)可能相等,可能不等，不符合题意. B.当 时,x₁>x₂或. x₂,不符合题意. C.当 时， 符合题意. D.当 时， 不符合题意.故选 C. 11.答案 12 解析 如图，连接AC. ∵F是 EC 的中点,∴ CF=EF,∵ BE=AB,∴ BF 是△EAC的中位线, ∴BD=2BF=12 cm. 12.答案 解析 如图,作半径OE⊥AB,连接DE,BE,作 BF⊥DE 交ED的延长线于点 F,∵ ∠DOC=90°,∠AOE=∠BOE= 90°,∴ ∠DOE=∠AOC,∴ DE = AC =2,∵OD=OE,OD=OB, ∴ ∠BDE=∠ODE+ 135°,∴ ∠BDF = 180°-135°= 45°,∴ DF = BF, ∴DF=BF=2,∴ EF=DE+DF=4,∴在 Rt△BFE 中,由勾股定理得 BE= ∵OB=OE,OB²+OE²= ∴⊙O的半径为\sqrt{10} 13.解析 (1)证明:如图,连接AF. ∵点A为圆心,∴AB=AF,∴∠ABF=∠AFB,∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD∥BC,∴ ∠AFB =∠DAF,∠GAD=∠ABF,∴∠DAF=∠GAD, 的度数为70°,∴ ∠BAF=70°,∵AB=AF, ∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠C=180°-∠B=125°. 素养提优 14.证明 (1)如图,连接OC. ∵C 是优弧 ACB 的中点, ∴ ∠COD=∠COE,∵OA=OB,AD=BE,∴OD=OE,∵OC=OC,∴△COD≌△COE(SAS),∴CD=CE. (2)如图,连接OM,ON,由(1)知△COD≌△COE,∴∠CDO=∠CEO,∠OCD=∠OCE,∵OC=OM=ON,∴ ∠OCM =∠OMC,∠OCN = ∠ONC,∴ ∠OMD =∠ONE,∵ ∠ODC = ∠OMD +∠MOD, ∠CEO =∠ONE+∠EON,∴∠MOD=∠EON, 第2课时 垂径定理 基础提质 1. C圆是轴对称图形，故A 说法正确；圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故B，D说法正确，C说法错误.故选 C. 2. B平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，平分弦(不是直径)的直径，平分这条弦所对的弧，故②④错误，易知①③正确.故选 B. 3.答案 6 解析 ∵OC⊥AB于点 C, ∴AB=2AC=2×3=6,∴OA=AB=6. 4.答案 8 解析 如图，过点O作OE⊥AB于点D，交圆O于点E，连接OA, 根据题意得DE=2cm, ∴OD = 5-2 = 3(cm),∴ 在 Rt△AOD 中,AD = ,∵OE⊥AB,∴AB=2AD=8cm. 5.答案 5 解析 如图,连接OA,OD,OC, ∵点 C,D 分别是和弦AB 的中点,AB=8,∴OD⊥AB,OC⊥AB, ∴O，D，C三点在一条直线上,设半径OA=OC=r,则OD=OC-CD=r-2, ∵在 Rt△AOD 中,由勾股定理得 解得r=5,故⊙O的半径是5. 能力提升 6. C 如图,AB是直径,过点 P作CD⊥AB,交圆于C,D两点，由垂径定理知，点P 是 CD的中点，由勾股定理得 ∴CD=2PC=16,∴ CD是过点P最短的弦,长为16,AB 是过 P 最长的弦,长为20,∴过点 P 且长度为整数的弦还有长为17，18，19的各两条，∴总共有 8 条过点 P 且长度为整数的弦.故选 C. 7. A 如图,过点O 作OE⊥AB,垂足为F,交⊙O 于点E,连接OA,AE,则 ∵在Rt△AEF中, 设半径为R,则OA=R,OF=R-2,∵在 Rt△AOF中,由勾股定理得， 解得 故选 A. 8.答案 10 解析 连接OA，如图， ∵AB⊥DC,且AB=6寸,∴AE=BE=3寸,设⊙O的半径为a寸,则OC=OD=OA=a寸,∵ED=1寸,∴OE=(a-1)寸,∵在 Rt△AOE中,解得a=5,∴CD=5×2=10寸. 9.答案 6 解析 ∵y= kx-3k+2=k(x-3)+2,∴直线y= kx-3k+2过定点(3,2),设该定点为 P,∵点A(3,0),∴AP=2,易知过点 P 的所有弦中，与AP垂直的弦最短，∴当直线y= kx-3k+2与AP垂直时,BC的值最小,如图所示, 由垂径定理得 BP=CP, 在 Rt△ABP 中,由勾股定理得 ∴BC=2BP=6,∴ BC的最小值为6. 知识拓展 圆中过某点的最长弦为直径，最短弦为与过这点的直径垂直的弦. 10.答案 或 或2 解析 ∵AB 为直径,DE 为弦,∴DE≤AB,∴当 DE的长为正整数时,DE=1或2.当 DE=2时,DE为直径,∵DE⊥AB,∴将DBE沿 DE 翻折后,点 F 与点 A重合,∴FB=AB=2.如图1,当DE=1,且点 C在线段OB上时,连接OD,则 ∵DE⊥AB,∴ 如图2,当DE=1,且点 C在线段OA 上时,连接OD, 同理可得 综上，线段 FB的长为 或 或2. 11.解析 (1)连接OA,如图,设⊙O 的半径为r米,则OF=(8-r)米,∵EF⊥AB,∴ 米，在Rt△OAF 中, 解得r=5,∴桥洞所在圆的半径为5米. (2)连接OC,如图,∵AB∥CD,EF⊥AB,∴EF⊥CD,∴CG=DG,∵OF=8-5=3(米),∴OG=GF-OF=5-3= 2(米),在 Rt△OCG 中, (米), 米，即此时水面CD的宽为2米. 素养提优 12.解析 如图，设圆心为点O，过点O作OM⊥CD于点M,延长MO交AB于点N,连接OD,OB, 则 ∵CD∥AB,∴ MN⊥AB,∴MN=7cm,BN=AB=×8=4(cm),设OM=x cm,∴ ON=MN-OM=(7-x) cm,∵ OM²+MD²= 解得x=4,∴OM=4cm, ∴纸杯杯口的直径为5×2=10(cm). 微专题 1.答案 1或9 解析 有两种情况：①如图1，连接OC， ∵直径AB⊥弦CD,∴ ∵AB=10,∴OC=OA=5, 在Rt△OCE中, ∴AE=OA-OE=1. ②如图2，同理可得OE=4,∴AE=OE+OA=9.综上，AE的长为1或9. 2.答案 2cm或4cm 解析 连接AC,AO,如图, ∵⊙O 的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm, OD=OC=5cm. 当C点位置如图1所示时， ∵OA=5cm,AM=4 cm,CD⊥AB, ∴在 Rt△OAM中, ∴CM=OC+OM=5+3=8(cm), ∴在 Rt△ACM中,AC=²+4²=4(cm). 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm,∴MC=5-3=2(cm), 在Rt△AMC中 综上，AC 的长为2cm或4cm. 3.答案 2或14 解析 ①当弦AB，CD 在圆心同侧时，如图1，连接OA,OC,过点O作OE⊥CD 于点E,交AB于点 F, 则 ∵AB∥CD,∴OE⊥AB, ∴在Rt△COE中, 在Rt△AOF中, ∴EF=OE-OF=8-6=2. ②当弦AB，CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OE⊥CD 于点 E,延长EO 交AB 于点 F,连接OA,OC, 同①可知OE=8,OF=6, ∴EF=OE+OF=8+6=14. 综上,弦AB,CD 之间的距离为2或14. 4.答案 75°或15° 解析 ①当两弦在圆心异侧时，如图1，过点 O 作OD⊥AB于点 D,OE⊥AC于点 E,连接OA,则 ∴∠BAO=30°,∠CAO=45°, ∴ ∠BAC=∠BAO+∠CAO=30°+45°=75°. ②当两弦在圆心O 同侧时，如图2，过点O 作OD⊥AB于点 D,OE⊥AC 于点 E,连接OA, 同理可得∠BAO=30°,∠CAO=45°, ∴ ∠BAC=∠CAO-∠BAO=45°-30°=15°. 综上,∠BAC 的度数为75°或15°. 学科网（北京）股份有限公司 $