21.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质&微课堂 函数值的大小比较-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

温馨提示：请做完题后再看答案！ 《作业手册》参考答案 第21章二次函数与反比例函数 9.(1)m=-1;(2)略 21.1二次函数 (3)0(4)0-4 1.C 10.函数y=x2的最小值为0，最大 2.(1)a≠2 值为16. (2)a=2,b≠-2 11.D12.(1,1) (2,4)±2 3.(1)y=2x2+2x+1.二次项系数为 13.a1>a2>a4>a 2,一次项系数为2，常数项为1. (2)y=2x十x十2.二次项系数为 14①y是2 2,一次项系数为1，常数项为2. (2)把y=3代人)=是，得云 4.A5.D6.C =2,2=-2,∴.(2,3)(-2,3) 描点略. (3)-2<x<2. 8.-2【变式】1 9.C10.B11.C 15.(1)a=1,k=-1,b=2. 12.y=4x2+260x+4000 (2)令y=一x+2中x=0,则y =2,∴.C(0,2), 1m-1≠0， 13.(1)由题意得 2+2m-1=2, :Sm=20cX111=3×2 解得m=-3. (2)由题意得{ m-1≠0， X1=1,5Am=20Cx1-2到= m2+2m-1=1, 2X2X2=2,∴.SaoB=SAc 解得m=-1土√5， +SAc=1+2=3. 14.1s-d+45(≤15). 21.2.2二次函数y=a.x2+bx十c (2)AB的长是9m 的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十 15.(1)y=7(20-2z)2=2r-40r 的图象和性质 十200，自变量的取值范围是0 1.y=x2+22.B ≤t10. 3.y=-x2+14.C5.B (2)能.理由如下：由题意，得26.D【变式1】>【变式2】> 一40t十200=8，解得=8,2=7.向上y轴(0,2)向下y轴 12(不合题意，舍去) (0,-5) 故当t=8秒时，重叠部分的面8.一10<y≤29.B10.D11.B 积等于8cm2. 12.813.2-4 21.2二次函数的图象和性质 14.能.设平移后图象的函数解析式 21.2.1二次函数y=a.x2的图象 为y=号2+把点(3，-3)代 和性质 1.A2.A 人解析式，得一3=3×32+， 3.(0,0)上y轴>< 低 4.B5.m<2 解得k=一6，所以把函数y一号 6.>【变式1】C【变式2】m<3 x2的图象沿y轴向下平移6个 7.图略 单位长度，得到的新的函数图象 8.A 经过点(3，一3). 25 15.(1)a=- 3c=1. 第3课时y=a(x一h)2十k的 图象和性质 (2)令y-0得：-32+1=0，解1.A【变式2或4 2.B3.C4.D 得：x=土3，∴.抛物线y=ax2+c 5.下x=5>5=5大3 与x轴的交点坐标为(-3,0)，6.(1)a=4; 3,0). (2)M>y2>y3 16.(1)(-4,5)或(4,5) 7.(2,-5)8.C9.A10.D (2)过点M作MELx轴于点E,11.-3≤a≤1 交抛物线)=女+1于点P,此12.（①y=一(x一6+5. 时PF+PM最小，最小值为ME= (2)当y=0时，x1=6+2√15， 3,易求点P5,),PM=3-7 x2-6一2√15（舍去），故可推 出(6+2√/15)m. 4 13.(1)y=(x-1)2-4.点A,点B Ss=×x- 的坐标分别为(-1,0)，(3,0). 8 (2)新抛物线的解析式为y=一(x 第2课时y=a(x一h)2的 -1)2+4. 图象和性质 14.(1)y=-(x-1)2+4,A,B的坐 1.C2.右33.-4-1 标分别为A(-1,0),B(3,0)； 4.D5.A6.D (2)点D的坐标为1,1)或(1w6), 7.(1 第4课时y=a.x2+bx+c的 (2)图象略 图象和性质 (3)当x<-1时，y随x的增大而 1.y=-2(x+1)2+3下x=-1 增大；当x=一1时，函数有最大值. (-1,3) 8.B9.D10.B 2.33.A4.D5.C 11.2>h>为12.a≤4 6.(1)a=-一2.顶点的坐标为（一1,4）. 13.(1)y=-(x+1)2. (2)设抛物线向下平移m个单位 (2)过C点作CD⊥x轴于D点，把 后经过原点，平移后的抛物线解 C(-4,b)代入得b=-(-4+1)2 析式为y=-(x十1)2+4-m,把 =一9，.C点坐标为(-4，一9). (0,0)代入得0=-1十4-m,解得 SAAc=S梯形OD一SA4D一SAOB m=3,所以抛物线向下平移3个单 位后可以经过原点 合×1+9)×4-号×9×3-号 : 7.y=2(d-6x+10)=2[x ×1×1=6. 14.(1)点A,B的坐标分别为(-2,0)， 3)2+11=2(x-3)2+2,顶点 (0,4),抛物线对称轴为x=一2. (2)S△0B=4. 坐标为(3,2). (3)存在.①以OA和OB为邻边8.D9.D10.A11.D12.6 可作平行四边形P1AOB,易求13.(1)a=2,顶点坐标为（一1,2）. 得P1(-2,4):②以AB和OB为 (2)①当m=2时，n=11, 邻边可作平行四边形P2ABO,易 ②点Q到y轴的距离小于2， 求得P2(一2，一4)，故P点的坐标 .|m<2,.-2<m<2, 为(-2,4)或(-2，-4). ∴.2≤n<11. 26 微课堂函数值的大小比较 专题一求二次函数的解析式 【示例】M<y2y<y2y<y2 [压轴题第(1)问] 【变式1】y=y2>y为 1.由抛物线的表达式知，c=一5= 【变式2】y<y<y yB,则OB=5=5OA=OC,则点 【变式3】y>y>y2 A、C、B的坐标分别为：(1,0)、 21.2.3二次函数表达式的确定 (-5,0)、(0,-5), 1.D2.A 设抛物线的表达式为：y=a(x 3.D止=号 (2)1 -3 5 1)(x+5)=a(x2+4x-5)=ax2 +bx-5, 4.y=-x2-2x十3 则a=1,故抛物线的表达式为：y= 5.y=x2+4x-5 x2+4x-5. 2 2.由题意，得c=-3,ab一b十c= 7.y=-x2+2x+3或y=x2-2x-3 4ac-=-4,且ab>0解得：a C 8.B9.A10.y=-4(x+2)2+4 4a 1.=号x-4. =1,b=2,∴.二次函数解析式为 y=x2+2x-3. |a=-1 12.(1) 3.设抛物线解析式为y=ax(x b=-21 10),,当t=2时，BC=4,∴点C (2),y=ax2+bx十3图象过点 的坐标为(2，一4)，∴.将点C坐标 (-m,0)和(3m,0),∴.抛物线的 代入解析式得2a(2-10)=-4, 对称轴为直线x=m,·y=a.x +bx十3的图象过点A(n,3), 解得：a=子，抛物线的函数表 (0,3),且点A不在坐标轴上， 达式为y-x .由图象的对称性得n=2m, 4.设点A、B的坐标分别为：(t,0)、(t ∴m=受：-2<mK-1, 十4,0)，则x=-1=2(1+1十 -2K经<-1.-4K-2 4),解得t=一3，即点A、B的坐标 13.(1)①3②S=+2 分别为：(-3,0)、(1,0)，0C= (2)由图2可得：当点P运动到 OA,则点C(0,3),设抛物线y1的 点B处时，PD=BD=6,当点 表达式为：y=a(x十3)(x-1)= P运动到点A处时，PD=AD a(x2+2x-3),则-3a=3,∴.a= =18,抛物线的顶点坐标为(4,2)， 一1,1=一x2一2x十3，根据图 ∴.BC=√BD-CD=√6-2=2， 形的对称性，y2=x2一2x一3. .抛物线经过点(2,6)， 5.(1)2±1 设S=a(t-4)2+2,将点(2,6) (2).y=x2-2kx+4k十5=(x 代入，得4a十2=6，解得：a=1, )2-+4k十5，.抛物线C2的 .S=(t-4)2+2=2-8t+18, 顶点为(k,一2十4k十5)，C2始终 在Rt△ABC中，AC=AD+CD 是C的伴随抛物线，可令k=0, =3√2+√2=4√2，AB= 顶点为(0,5)；k=1,顶点为(1， √JAC+BC=√(4W2)2+2=6, ∴AB的长为6，抛物线的解析 8》,由题意，得-1十d+e=8 e=5 式为S=2-8t+18(2≤t8), ∴.d=4,e=5.故抛物线C。的解 析式y=-x2+4x+5. 2721.2.2二次函数y=a. 第1课时二次函数y 01基础达标 知识点一 二次函数y=a.x2十k与y=a.x2之间 的平移关系 1.将二次函数y=x2一1的图象向上平移3个单 位长度，得到的图象所对应的函数表达式是 2.抛物线y=一6x2可以看作是由抛物线y= 一6x2+5按下列何种变换得到的 ( A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位 C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位 易错点1将图象平移与坐标轴平移混淆 3.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=一x2十 3不动，而坐标轴向上平移2个单位长度，那么 新坐标系中抛物线的解析式是 知识点二二次函数y=ax2十k的图象和性质 4.二次函数y=一2x2+3的图象大致是( B 5.对于二次函数y=x2十2，下列说法中错误的是 ( ) A.最小值是2 B.图象与y轴没有公共点 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.其图象关于y轴对称 6.已知函数y=x2一2，当函数值y随x的增大 而减小时，x的取值范围是 x2+bx+c的图象和性质 ax2十k的图象和性质 A.x<2 B.x>0 C.x>-2 D.x<0 【变式1】已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函 数y=ax2十1(a>0)的图象上，若x1>x2>0, 则y y2.(填“>”“<”或“=”) 【变式2】已知点A(一1，y1),B(2,y2)在抛物 线y=一3x2+2上，则y y2, 7.填写下列函数图象的开口方向，对称轴及顶点 坐标. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=3x2+2 =-4x2-5 易错点2求函数值的范围时忽视顶点处的取值 8.对于二次函数y=一3x2+2,当一2<x≤1时， y的取值范围是 02能力提升 9.给任意实数n,得到不同的抛物线y=一x2十 n,当n=0,士1时，关于这些抛物线有以下结 论：①开口方向不同；②对称轴不同；③都有最 低点；④可以通过平移一个抛物线得到另一 个.其中正确结论的个数有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.已知点(x1,M),(x2,2)均在抛物线y=x2 1上，下列说法中正确的是 A.若y1=y2,则C1=x2 B.若x1=一x2,则y1=一y2 C.若0<x1<x2,则y1>y2 D.若x1<x2<0,则y1>y2 6 11.如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC 的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则ac的 值为 () A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 21 y2-7x2-1 第11题图 第12题图 12.如图所示，两条抛物线1=一司文十1、为 2-1与分别经过点(-2,0)，(2,0)且平 行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面 积为 13.若抛物线y=ax2十k与y=一2x2十4关于x 轴对称，则a=,k= 14.能否通过上下平移二次函数y=号x的图象， 使得到的新的函数图象过点(3，一3)？若能，请 说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由。 15.如图，抛物线y=ax2十c与直线y=一2相交 于点A,B,与y轴交于点C(0,1),∠ACB=90°. (1)求出a,c的值. (2)求出抛物线y=ax2+c与x轴的交点坐标. 03思维拓展 16.已知抛物线y=子x2+1具有如下性质：该抛 物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为 3,3),P是抛物线y=2+1上-动点. (1)当△POF面积为4时，则点P的坐标为 (2)当PF十PM取最小值时，请直接写出最 小值及此时△PMF的面积 0 第2课时y=a(x 01基础达标 知识点一二次函数y=a(x一h)2与y=ax2之 间的平移 1.把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物 线的函数解析式为 A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2 2.将抛物线y=一(x十2)2向平移 个单位长度，得到抛物线y=一(x一1)2 3.把抛物线y=a(x一3)2向左移动2个单位长 度后，得到抛物线y=-4(x十h)2,则a= ,h= 知识点二二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 4.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x一5)2 (a≠0)的图象可能是 5.已知二次函数y=一（x一3)2，那么这个二次 函数的图象有 A.最高点(3,0) B.最高点（一3,0） C.最低点(3,0) D.最低点（一3,0） 6.关于二次函数y=一2(x十3)2，下列说法正确 的是 A.其图象的开口向上 B.其图象的对称轴是直线x=3 C.其图象顶点坐标是(0,3) D.当x>一3时，y随x的增大而减小 -h)2的图象和性质 7.已知抛物线y=a(x十h)2的对称轴为x= 一1，且过点(2，一3). (1)求抛物线的解析式. (2)画出函数的图象 (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增 大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或 最小值)？ 易错点函数y=ax2十c与y=a(x一h)2的图 象与性质区别不清 8.对于二次函数y=2x2+1和y=2(x一1)2，有 以下说法： ①它们的图象都是开口向上；②它们的图象的 对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0,0)；③当 x>0时，它们的函数值y都随着x的增大而 增大；④它们的图象开口大小是一样的.其中 正确的说法有 () A.1个 B.2个C.3个 D.4个 8 02能力提升 9.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上，则下 列各点在抛物线y=a(x十1)2上的是() A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) 10.同一直角坐标系中，一次函数y=a,x十c和二 次函数y=a(x十c)2的图象大致为 六兴和 B 11.已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都 在二次函数y=一2(x十2)2的图象上，则y1, y2,y的大小关系是 12.已知二次函数y=5(x一a)2,当x>4时，y随 x的增大而增大，则a的取值范围是 13.如图，抛物线y=a(x十1)2的顶点为A,图象 与y轴负半轴交点为B,且OB=OA. (1)求抛物线的解析式. (2)若点C(一4，b)在抛物线上，求△ABC的 面积 03思维拓展 14.如图，已知二次函数y=（x十2)2的图象与x 轴交于点A,与y轴交于点B. (1)写出点A,B的坐标及抛物线的对称轴， (2)求S△4OB的值 (3)在对称轴上是否存在一点P,使以P,A, O,B为顶点的四边形为平行四边形？若存 在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由， 第3课时y=a(x- 01基础达标 知识点一二次函数y=a(x一h)2十k与y= ax2之间的平移 1.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平 移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为 () A.y=(x+2)2-5 B.y=(x+2)2+5 C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+5 【变式】将抛物线y=(x十3)2向下平移1个单 位长度，再向右平移 个单位长度后，得 到的新抛物线经过原点. 知识点二二次函数y=a(x一h)2十k的图象和 性质 2.抛物线y=2(x十3)2+5的顶点坐标是() A.(3,5) B.（-3,5) C.(3,-5) D.(-3,-5) 3.(2025·浙江)在平面直角坐标系中，对于二次 函数y=(x一2)2十1，下列说法中错误的是 A.y的最小值为1 B.图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x=2 C.抛物线与y轴交于点(0,1) D.它的图象可以由y=x的图象向右平移2个 单位长度，再向上平移1个单位长度得到 4.如图，二次函数y=a(x十2)2十k的图象与x 轴交于A,B(一1,0)两点，则下列说法正确的 是 A.a<0 B.点A的坐标为（一4,0） C.当x<0时，y随x的增大 而减小 D.图象的对称轴为直线x=一2 h)2十k的图象和性质 5.抛物线y=一2(x一5)2+3的开口向 对称轴是直线 ,当x 时，y随 x的增大而减小，当x 时，函数y有最 值，为 6.已知抛物线y=a(x一3)2一1经过点(2,3). (1)求a的值， (2)若点A(一2，y1),B(1,y2),C(4,y3)都在抛 物线上，试比较y1,y2,y3的大小. 易错点将顶点式y=a(x一h)十k的顶点坐标 (h,k)弄错 7.抛物线y= 号(2一x)2一5的顶点坐标是 02能力提升 8.二次函数y=a(x十m)2+n的图象如图，则一 次函数y=mx十n的图象经过 A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 9.二次函数y=a(x一4)2一4(a≠0)的图象在2< x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这 一段位于x轴的上方，则a的值为（) A.1 B.-1 C.2 D.-2 10) 10.已知二次函数y=一(x一2)2+3，且一1≤x ≤1，下列说法正确的是 A.此函数的最大值为3 B.当x=一1时，函数有最大值一6 C.函数y的取值范围是2≤y≤3 D.函数y的取值范围是一6≤y≤2 11.当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x-1)2 一3有交点，则a的取值范围是 12.如图，某次体育测试中，一名男生推铅球的路 线是抛物线，最高点为(6,5)，出手处点A的 坐标为(0,2) (1)求抛物线的解析式， (2)问铅球可推出多远？ 个v/m 6 246 x/m 13.已知二次函数y=(x十m)2十k的顶点坐标 为(1，一4). (1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于 A,B两点的坐标. (2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个 新的抛物线，求新抛物线的解析式。 03思维拓展 14.如图，抛物线y=一(x十m)2+k与x轴交于 点A,B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴1 交x轴于点E,交抛物线于点M(1,4). (1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标， (2)D是直线l上的点且在第一象限内，若 △ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形， 求点D的坐标 0 B 第4课时y=a.x2+ 01 基础达标 知识点一 抛物线y=ax2十bx十c的对称轴和 顶点坐标 1.把二次函数y=一2x2-4x十1配成y=a(x- )2+k的形式为 ,所以 其图象的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 2.已知二次函数y=x2一6x+3a的顶点在x轴 上，则a= 知识点二二次函数y=ax2十bx十c的图象和 性质 3.在二次函数y=一x2十2x十1的图象中，若y 随x的增大而增大，则x的取值范围是() A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1 4将抛物线y=)-6x十21向左平移2个单 位后，得到新抛物线的解析式为 Ay=(红-8)2+5 By=-4)+5 C.y- 2(x-8)2+3 D.y=2x-402+3 5.下列对二次函数y=x2一x的图象的描述，正 确的是 A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的 6.如图，已知二次函数y=一x2+ax十3的图象 经过点（一2,3） bx十c的图象和性质 (1)求a的值和该抛物线顶点的坐标. (2)给出一种平移方案，使该二次函数的图象 平移后经过原点. 易错点用配方法将一般式化成顶点式时，忽视 了二次项系数不为1 7.求抛物线y=2-3x+5的顶点坐标。 02能力提升 8.二次函数y=(x一5)(x一1)的图象的对称轴 是直线 () A.x=-2 B.x=1 C.x=2 D.x=3 9.关于二次函数y=x2十a,x十a,下列说法正确 的是 () A.函数有最大值 B.函数图象交y轴于点(a,0) C.函数图象一定经过点(1,1) D.若a>0,则当x>0时，y随x的增大而增大 12 x+c的 10.已知一次函数y=b 13.如图，已知二次函数y=x2+ax十3的图象经 过点P(-2,3) 图象如图所示，则二次函数 (1)求a的值和图象的顶点坐标. y=ax2+bx十c在平面直角 (2)点Q(m,n)在该二次函数图象上. 坐标系中的图象可能是 ①当m=2时，求n的值： ②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象 直接写出n的取值范围. 11.当a≤x≤a十1时，函数y=x2一2x十1的最 小值为1，则a的值为 A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 12.已知y是x的二次函数，下表给出了y与x 的几对对应值： 0 1 2 y… 11 3 23 11 由此判断，表中a +++++微课堂函数值的大小比较+++++++++ 【示例】已知函数y=3(x一2)2+1图象上有两点A(1,y1),B(4,y2),试确定y1,y2的大小关系. 方法1（代入法）把A(1,y1),B(4,y2)分别代入y=3(x-2)2+1中，比较得 方法2（增减性法）点A关于对称轴对称的点为(3，y),抛物线的开口向上，在对称轴的右侧， y随x的增大而增大，比较得 方法3（距离比较法）对称轴为x=2,开口方向向上，在图象上的两点A(1,y1),B(4,y2)离对 称轴距离的大小关系为1一2<|4一2，即A点离对称轴近，比较得 【变式1】若点A(-1,y),B(3,),C(5,为)均在二次函数y=一x2十2.x十c的图象上，则y1,y2,3 的大小关系是 【变式2】若二次函数y=一x2+6x十k的图象经过A(-1,y),B(1,y2),C(3十√3，y3)三点，则 y1y2,y3的大小关系为 【变式3】已知点A(1,y),B(-√2，y2),C(-2,y)在函数y=a(x十1)2-m(a>0)上，则y1,2, y的大小关系是