第六单元计算专项07：钉子板上的多边形-五年级数学上册（人教版·新教材）

**基本信息** 以皮克定理为核心，通过“推导-应用”双模块构建从特殊到一般的面积计算方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |公式的推导|6题（含表格推导、图形分析）|从特殊（b=1,2）到一般归纳皮克定理：S=n÷2+a-1|具体图形面积计算→钉子数统计→规律发现→公式生成| |面积计算|12题（含直接计算、逆用公式、图形比较）|公式直接应用与变式逆用（已知S求a）|公式应用→变式训练→综合解决不规则图形面积问题|

第六单元计算专项07：钉子板上的多边形 日期： 用时： 评价： 一、公式的推导 1．在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝( )；当多边形内有2枚钉子时，S＝( )。 2．在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米。如果围出的多边形边上有枚钉子，内有2枚钉子，这个多边形的面积用含有字母的式子表示是( )平方厘米。 3．钉子板上的多边形，当多边形内只有一枚钉子时，多边形的面积S与边上钉子数n之间的关系是S＝( )；当多边形内有2枚钉子时，多边形的面积S与边上钉子数n之间的关系是S＝( )。 4．根据钉子板上的图形完成下表（每小格表示1平方厘米）。 长方形 平行四边形 三角形 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 用n表示多边形边上的钉子数，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝（     ）。 5．下图中每两枚钉子之间的距离表示1厘米。 (1)以上四个图形内部都有( )枚钉子。 (2)图①的面积是( )平方厘米，图①边上的钉子数是( )枚。 (3)图②的面积是( )平方厘米，图②边上的钉子数是( )枚。 (4)当多边形内有2枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积。那么( )。 6．下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 图形编号 多边形的面积 /平方厘米 多边形边上的 钉子数/枚 ① ② ③ ④ （1）这些图形有什么共同特点？ 这些多边形，边上的钉子数越（     ），面积就越（     ）。这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子数的（     ）。图形内都只有（     ）枚钉子。 （2）当多边形内只有1枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，则S＝( )。 二、钉子板上的多边形面积 1．钉子板又叫几何平板。它是用一块正方形的木板或塑料制成。正面等分成若干个边长为1厘米的小正方形，每一个小正方形的每个顶点都钉着一个钉子。可以用皮筋圈在钉子上围成各种图形，下图钉子板上这个三角形的面积是( )平方厘米。 2．每两个钉子之间的距离均为1厘米（如图）。张丽在这样的钉子板上围了一个多边形，多边形内部有1枚钉子，边上8枚钉子。这个多边形面积是( )平方厘米。    3．小明在钉子板上围了一个多边形（每两枚钉子之间距离是1厘米），多边形的内部有3枚钉子，边上有6枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 4．下图钉子板中多边形的面积是( )平方厘米。如果在这个钉子板上围出一个内部有2枚钉子，边上有9枚钉子的多边形，这个多边形的面积是( )平方厘米。 5．在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米，围出的多边形边上有13枚钉子，多边形内有2枚钉子，这个多边形的面积是( )平方厘米。 6．如图，钉子板上围出的多边形的面积是钉子板上围出的多边形的面积是( )平方厘米。（水平及垂直相邻两点间的距离是1厘米） 7．如图上每个小方格表示，钉子板上的多边形面积是( )。 8．数学家发现了“皮克定理”：如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数，a表示内部的格点数，它们之间的关系可以表示为S＝n÷2＋a－1。如图，钉子板上围出一个多边形，它的面积是( )平方厘米。 9．钉子板上的多边形。鹬鹏用橡皮筋在钉子板上围出了4个图形，下面4个图形中，面积最大的是( )，面积最小的是( )。（请在括号里填上正确的序号） 10．在钉子板上的多边形实践活动中，小明发现多边形的面积与内部钉子数、边界钉子数之间有如下关系：面积＝内部钉子数＋边界钉子数÷2－1。他用橡皮筋围成一个多边形，边界上有16个钉子，面积是15平方厘米（相邻钉子间的距离均为1厘米）。 (1)这个多边形内部有( )个钉子。 (2)如果保持面积不变，边界钉子数减少到12个，那么内部钉子数需要达到( )个。 11．小红在下面的点子图上画了三个格点多边形，每个多边形的所有顶点都在点子上，如下图。 (1)求①号格点多边形的面积。 (2)②号格点多边形边界上的格点数是( )，内部的格点数是( )，它的面积是( )平方厘米。 (3)②号和③号格点多边形的面积相比较，哪一个比较大，请作出判断并说明理由。 12．同学们，还记得“钉子板上的多边形”吗？如果钉子板上多边形边上的钉子数有m枚，多边形内的钉子数有n枚。 (1)用含有字母的式子表示钉子板上多边形的面积。 (2)求下图中钉子板上多边形的面积。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、公式的推导 1． n÷2 n÷2＋1 【分析】钉子板上的多边形的面积公式是：S＝（n÷2）＋（b－1），其中n为多边形边上钉子数，b为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】（n÷2）＋（1－1）＝n÷2 （n÷2）＋（2－1）＝n÷2＋1 在钉子板上围成的多边形的面积S，与它边上的钉子数n，以及内部钉子数b的关系是：当多边形内只有1枚钉子时，S＝n÷2；当多边形内有2枚钉子时，S＝n÷2＋1。 2．n÷2＋1 【分析】钉子板上的多边形的面积公式：S＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】n÷2＋（2－1）＝ n÷2＋1 在钉子板上，每相邻两枚钉子的距离是1厘米。如果围出的多边形边上有枚钉子，内有2枚钉子，这个多边形的面积用含有字母的式子表示是n÷2＋1平方厘米。 3． n÷2 n÷2＋1 【分析】（1）用1厘米表示钉子板上相邻两个钉子之间的距离，在钉子板上围出正方形，正方形内只有一枚钉子时，根据正方形的面积＝边长×边长计算出正方形面积，找出面积与边上钉子数的关系；（2）在钉子板上围出梯形，梯形内有2枚钉子，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2计算出梯形面积，找出梯形面积与边上钉子数的关系，据此解答。 【详解】 如图所示：（1）当正方形内只有1枚钉子时，正方形的面积与边上钉子数的关系： 面积：2×2＝4（平方厘米） 边上的钉子数是8枚 关系：4＝8÷2 因此当多边形内只有1枚钉子时，边上钉子数为n时，S＝n÷2。 （2）当梯形内有2枚钉子时，梯形的面积与边上钉子数的关系： 面积：（1＋3）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 边上的钉子数是6枚 关系：4＝6÷2＋1 因此当多边形内有2枚钉子时，边上钉子数为n时，S＝n÷2＋1。 通过上面例子可得：钉子板上的多边形，当多边形内只有一枚钉子时，多边形的面积S与边上钉子数n之间的关系是S＝n÷2；当多边形内有2枚钉子时，多边形的面积S与边上钉子数n之间的关系是S＝n÷2＋1。 4．表格见详解；n÷2＋1 【分析】先分别通过长方形面积＝长×宽，平行四边形面积＝底×高，三角形面积＝底×高÷2求出三个图形的面积，再数边上的钉子数，填写多边形边上的钉子数，进行推导出当多边形内有2枚钉子时，它的面积的表达式。 【详解】长方形的长为3厘米，宽为2厘米，面积为3×2＝6（平方厘米），边上钉子数为10枚； 平行四边形的底为2厘米，高为2厘米，面积为2×2＝4（平方厘米），边上钉子数为6枚； 三角形的底为5厘米，高为2厘米，面积为5×2÷2＝5（平方厘米），边上钉子数为8枚。 据此填表如下： 长方形 平行四边形 三角形 多边形的面积/平方厘米 6 4 5 多边形边上的钉子数/枚 10 6 8 长方形的面积为6平方厘米，边上钉子数为10枚，内部钉子数有2枚，而6＝10÷2＋1； 平行四边形的面积为4平方厘米，边上钉子数为6枚，内部钉子数有2枚，而4＝6÷2＋1； 三角形的面积为5平方厘米，边上钉子数为8枚，内部钉子数有2枚，而5＝8÷2＋1。 因此，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝多边形边上的钉子数÷2＋1。 所以，用n表示多边形边上的钉子数，当多边形内有2枚钉子时，多边形面积S＝n÷2＋1。 5．(1)2 (2) 4 6 (3) 5 8 (4) 【分析】（1）观察4个图形，通过数一数即可确定四个图形内部都有2枚钉子。 （2）每两枚钉子之间的距离表示1厘米，图①是一个上底为1厘米，下底为3厘米，高为2厘米的梯形，利用梯形的面积公式即可求出图①的面积；通过数一数即可确定图①边上的钉子数量。 （3）图②是一个上底为2厘米，下底为3厘米，高为2厘米的梯形，利用梯形的面积公式即可求出图②的面积；通过数一数即可确定图②边上的钉子数量。 （4）根据公式：钉子板上多边形的面积＝边上钉子数÷2＋内部钉子数－1，如果n表示钉子数，内部有2枚钉子，把数和n带入公式，由此即可解答。 【详解】（1）以上四个图形内部都有2枚钉子。 （2）（1＋3）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝4（平方厘米） 图①的面积是4平方厘米，图①边上的钉子数是6枚。 （3）（2＋3）×2÷2 ＝5×2÷2 ＝5（平方厘米） 图②的面积是5平方厘米，图②边上的钉子数是8枚。 （4）S＝（n÷2）＋（2－1） ＝ n÷2＋1 当多边形内有2枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积。那么S＝ n÷2＋1。 【点睛】本题主要考查钉子板上多边形面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。 6．2；4 3；6 3.5；7 4；8 （1）多；大；一半；1 （2）n÷2 【分析】每两个钉子间的长是1厘米； ①三角形的底是2厘米，高是2厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据解答； ②梯形的上底是1厘米，下底是2厘米，高是2厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据解答即可； ③图形的面积可以看作是长为2厘米、宽为1厘米的长方形的面积加上上底是1厘米、下底是2厘米、高为1厘米的梯形的面积和，根据长方形的面积＝长×宽，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据解答即可； ④该图形是一个底为2厘米、高为2厘米的平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高解答。 每个多边形顶点上的钉子数加上边内的钉子数就是每个多边形边上的钉子的枚数。 （1） 观察图形可以发现：每个图形内部都只有一枚钉子； 这些多边形，边上的钉子数越多，面积就越大。 用这些多边形面积的平方厘米数除以它们边上钉子数即可解答。 图形内都只有1枚钉子。 （2）通过观察、比较、归纳表格中的数据发现多边形边上的钉子数与面积的关系解答。 【详解】①2×2÷2 ＝4÷2 ＝2（平方厘米） 3＋1＝4（枚） ②（1＋2）×2÷2 ＝3×2÷2 ＝6÷2 ＝3（平方厘米） 4＋2＝6（枚） ③2×1＋（1＋2）×1÷2 ＝2＋3×1÷2 ＝2＋3÷2 ＝2＋1.5 ＝3.5（平方厘米） 5＋2＝7（枚） ④2×2＝4（平方厘米） 4＋4＝8（枚） 图形编号 多边形的面积 /平方厘米 多边形边上的 钉子数/枚 ① 2 4 ② 3 6 ③ 3.5 7 ④ 4 8 （1） 根据表格中的数据可以发现：这些多边形，边上的钉子数越多，面积就越大。 这些多边形面积的平方厘米数是它们边上钉子数的一半。图形内都只有1枚钉子。 （2）4÷2＝2 6÷3＝2 7÷3.5＝2 8÷4＝2 所以当多边形内只有1枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，则S＝n÷2。 二、钉子板上的多边形面积 1．2 【分析】钉子板上的多边形的面积公式：S＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。此三角形边上钉子数是4，内部钉子数是1，把数据代入计算即可。 【详解】4÷2＋（1－1） ＝2＋0 ＝2（平方厘米） 这个三角形的面积是2平方厘米。 2．4 【分析】根据钉子板上多边形面积计算方法：多边形面积＝边上钉子数÷2＋（内部钉子数－1），把数据代入公式，即可求得这个多边形的面积。 【详解】8÷2＋（1－1） ＝4＋0 ＝4（平方厘米） 则这个多边形面积是4平方厘米。 【点睛】掌握钉子板上多边形面积计算方法是解答此题的关键。 3．5 【分析】根据钉子板上多边形面积计算方法：多边形面积＝边上钉子数÷2＋（内部钉子数－1），把数据代入公式，即可求得这个多边形的面积。 【详解】6÷2＋（3－1） ＝3＋2 ＝5（平方厘米） 这个多边形的面积是5平方厘米。 【点睛】掌握钉子板上多边形面积计算方法是解答此题的关键。 4． 3.5 5.5 【分析】钉子板上的多边形的面积，其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。把数据代入计算即可。 【详解】 （平方厘米） 所以图中多边形的面积是平方厘米。 （平方厘米） 所以第二空是平方厘米。 5．7.5 【分析】根据在钉子板上，，其中为多边形边上钉子数，为多边形内部钉子数，把数据代入计算即可。 【详解】 （平方厘米） 所以这个多边形的面积是7.5平方厘米。 【点睛】，其中为多边形边上钉子数，为多边形内部钉子数。 6．5.5 【分析】钉子板上的多边形的面积公式：S＝n÷2＋（a－1），其中n为多边形边上钉子数，a为多边形内部钉子数。此多边形边上钉子数是5，内部钉子数是4，把数据代入计算即可。 【详解】5÷2＋（4－1） ＝2.5＋3 ＝5.5（平方厘米） 钉子板上围出的多边形的面积是5.5平方厘米。 7．5.5 【分析】 如图：多边形可以分成3个小正方形和3个三角形，根据正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，分别求出每个图形的面积，最后把各部分面积相加，即可求出这个多边形的总面积。 【详解】1×1×3＋1×1÷2＋1×1÷2＋3×1÷2 ＝3＋0.5＋0.5＋1.5 ＝5.5（cm2） 8．5.5 【分析】分别数出n表示边上的格点数和a表示内部的格点数，代入S＝n÷2＋a－1，求值即可。求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】看图可知，n＝7，a＝3 S＝n÷2＋a－1 ＝7÷2＋3－1 ＝3.5＋3－1 ＝5.5（平方厘米） 它的面积是5.5平方厘米。 9． ② ① 【分析】长方形的面积＝长×宽，三角形的面积＝底×高÷2。 ①的面积为长3cm、宽2cm长方形的面积减去底1cm、高1cm三角形的面积； ②的面积为长4cm、宽2cm长方形的面积减去两个底1cm、高1cm三角形的面积和； ③的面积为长3cm、宽2cm长方形的面积； ④右边的三角形平移到左边，拼成一个长方形，④的面积为长3cm、宽2cm长方形的面积。 比较求出的面积的大小，即可解答。 【详解】①3×2－1×1÷2 ＝3×2－1÷2 ＝6－0.5 ＝5.5（平方厘米） ②4×2－1×1÷2×2 ＝8－1÷2×2 ＝8－0.5×2 ＝8－1 ＝7（平方厘米） ③3×2＝6（平方厘米） ④3×2＝6（平方厘米） 因为7＞6＞5.5，所以面积最大的是②，面积最小的是①。 10．(1)8 (2)10 【分析】（1）根据“面积＝内部钉子数＋边界钉子数÷2－1”，则“内部钉子数＝面积＋1－边界钉子数÷2”即可运算。 （2）保持面积不变，已知新的边界钉子数，所以同样代入关系式，变形计算得出此时的内部钉子数。 【详解】（1）15＋1－16÷2 ＝16－8 ＝8（个） （2）15＋1−12÷2 ＝16－6 ＝10（个） 11．(1)12平方厘米 (2) 14 13 19 (3)②号；理由：②图形面积为19平方厘米，③号图形面积为17.5平方厘米，19＞17.5，所以②号格点多边形的面积大。 【分析】分别数出多边形的内部格点数和边界上的格点数，根据皮克定理：格点多边形的面积＝边界的格点数÷2＋内部的格点数−1，来计算。 【详解】（1）①号多边形的边界上的格点数是12，内部格点数是7 （平方厘米） （2）②号多边形的边界上的格点数是14，内部格点数是13 （平方厘米） （3）③号格点多边形边界上的格点数是11，内部的格点数是13 （平方厘米） 理由：②图形面积为19平方厘米，③号图形面积为17.5平方厘米，19＞17.5，所以②号格点多边形的面积大。 12．(1)（m÷2＋n－1）平方厘米 (2)10.5平方厘米 【分析】（1）根据钉子板上多边形面积公式“多边形面积＝边上钉子数÷2＋内部钉子数－1”，用字母表示即可。 （2）先数出多边形边上的钉子数m和内部的钉子数n，再代入公式计算面积。 【详解】（1）答：钉子板上多边形的面积可以表示为：（m÷2＋n－1）平方厘米 （2）边上的钉子数：m＝7 内部的钉子数：n＝8 7÷2＋8－1 ＝3.5＋8－1 ＝11.5－1 ＝10.5（平方厘米） 答：这个多边形的面积是10.5平方厘米。 答案第1页（共2页） 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $