26.4 实际问题与二次函数（第3课时：抛物线型问题）教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦抛物线型实际问题与二次函数的应用，通过列举拱桥、投篮轨迹等生活中抛物线形物体导入，引导学生思考如何用坐标系刻画轨迹，衔接二次函数建模，为四步法学习搭建支架。 该资料以四步法（建系、转坐标、代系数、解问题）为主线，结合拱桥、工厂大门等真实情境，培养学生数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理能力，通过滑雪数据拟合模型发展模型观念，分层作业设计助力教师教学，提升学生应用意识与解决实际问题能力。

26.4 实际问题与二次函数 （第3课时）教学设计 课题 26.4 实际问题与二次函数（第3课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第3课时 课型 新授课 教学目标 （1）能从运动轨迹为抛物线形的实际问题中抽象出二次函数模型，会求二次函数的最小（大）值，运用二次函数最值解决抛物线型问题； （2）经历“建立坐标系—转化点的坐标—待定系数求解析式—求相关点坐标得解”的完整建模过程，体会数形结合、建模与化归思想，学会建立合适的坐标系使解题简便； （3）借助拱桥、大门、投篮等真实情境，感受二次函数刻画现实世界的能力，发展几何直观、应用意识与模型观念。 教学重点 用二次函数知识解决抛物线型实际问题，掌握“建立适当的平面直角坐标系—把线段长转化为点的坐标—待定系数法求解析式—求相关点坐标得解”的四步法，感受数学建模思想。 教学难点 利用二次函数解决实际问题时，如何建立合适的平面直角坐标系从而使解题简便。 教学方法 情境引入、类比分步设问、数形结合、模型归纳 教学准备 多媒体课件、方格纸、直尺 课后练习 必做：习题26.4第5、9题、投篮抛物线题；探究性作业：习题26.4第8题、双向隧道通行方案 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创景引入 创景引入： 教师提问：生活中你见过哪些抛物线形的物体？ 学生列举：拱桥、隧道顶、跳水/投球轨迹、喷泉、门窗拱线等。 教师追问：这些轨迹为什么能抽象成抛物线？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题？ 过渡归纳：把实际问题转化为二次函数问题，关键是建立合适的坐标系，今天我们就来探讨抛物线型问题。 列举抛物线形物体，思考如何用坐标系刻画其轨迹 以身边抛物线形物体引发认知冲突，自然过渡到二次函数建模，为后续拱桥等抛物线型例题与四步法归纳做铺垫。 二、探究1： 抛物线形拱桥（建系求最） 【探究新知】 探究1：抛物线形拱桥问题。 【问题】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m。水面下降 1 m，水面宽度增加多少？ 教师引导设问： 追问1：抛物线的顶点在哪？把它放进平面直角坐标系，怎么放比较好？ 学生回答：顶点是抛物线的最高点，应建立适当坐标系，使抛物线成为轴对称图形、计算最简。 追问2：求水面增加的宽度，关键是什么？ 学生回答：求出函数解析式，进而求水面与抛物线交点坐标，求解析式用待定系数法。 【解法1】以抛物线的顶点为原点、对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。设抛物线的函数解析式为 。由拱顶离水面 2 m、水面宽 4 m，知水面位置纵坐标为 ，且过点 。 代入得 ，解得 ，抛物线的函数解析式为 。 当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 。把 代入解析式得 ，即 ，解得 （取正值），故此时水面宽 米。 所以水面宽度增加 米。 追问3：还有其他建立坐标系的方法吗？ 【解法2】设水面 AB 所在直线为 x 轴、过 AB 中点 O 且与 AB 垂直的直线为 y 轴，则 O 为原点，顶点坐标为 (0,2)，且抛物线经过 A(−2,0)。 设顶点式 ，把 A(−2,0) 代入得 ，解得 ，故 。水面下降 1 m 后纵坐标为 ，代入得 ，结论与解法1一致。 师生共同小结：不同建系方式得到的解析式不同，但由同一实际图形得出的结果一致，关键在于建系要使已知点坐标尽量简洁。 设 过 (2,-2) 求 ，代 y=-3 得 x=√6、宽 2√6，比较两种建系 以教材经典拱桥问题驱动学生经历完整建模，重点突破“如何建坐标系更简便”这一难点，体会“换坐标系→解析式不同、结果一致”，发展数形结合与化归思想。 三、方法归纳： 抛物线型问题四步法 归纳总结：解决某些运动轨迹为抛物线形的实际问题，一般分为以下四个步骤： （1）建立适当的平面直角坐标系； （2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； （3）恰当选用二次函数的表达式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式； （4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解。 口诀：建系、转坐标、代系数、解问题。 复述四步法并内化口诀，说出每一步的操作要点 由具体例题上升到一般方法，帮助学生在抛物线型问题中先建坐标系再求解，形成稳定规范的解题程序，提升建模与迁移能力。 四、典例精讲： 例1 河上拱桥建模与通行判断 【典例精讲】例1（河上拱桥）： 河上有座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为 6 米时，水面离桥孔顶部 4 米。如图1，桥孔与水面交于 A、B 两点，以点 A 为坐标原点、所在水平线为横轴、过原点的铅垂线为纵轴建立平面直角坐标系。 （1）请求出此抛物线对应的二次函数表达式。 教师引导：由对称性，顶点在 AB 中点正上方，即顶点的横坐标为 3、纵坐标为 4，故顶点坐标为 (3,4)。 设顶点式 ，把 A(0,0) 代入得 ，解得 。 故此抛物线的二次函数表达式为 。 （2）因降暴雨水位上升，一艘装满货物的船露出水面部分高为、宽为 4.5 m。判断这艘船能否从桥下通过。 教师引导：把水位上升后的水面高度代入解析式，求出此时桥孔可通行宽度，再与船宽 4.5 m 比较。 学生独立计算并在组内交流；教师订正并作答：由图与计算可知，暴雨后这艘船不能从这座拱桥下通过。 小结：判断物体能否通过，关键是求出“对应高度处的可通行宽度”并与物体宽度比较。 设 代 (0,0) 求 ，再代水面高度判断船能否通过 以河上拱桥巩固待定系数法与顶点式求解析式，并进一步训练“由抛物线上点的纵坐标求横坐标、由宽度判断能否通行”，强化四步法的实际运用。 五、典例精讲： 例2 工厂大门求丝带长度 【典例精讲】例2（工厂大门）： 如图，一工厂大门为抛物线形，现量得地面宽度 AB=20 米，大门顶端距离地面 4 米。为了迎接国庆节，需在大门 C、D 两点处拉一条与地面平行的彩色丝带作装饰，当丝带到大门顶端的距离为 d 米时，求此彩色丝带所需要的长度。 教师引导：以大门中点为原点、地面所在直线为 x 轴、竖直对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。 由地面宽 AB=20，知 A(−10,0)、B(10,0)；大门顶端（顶点）到地面 4 米，故顶点坐标为 (0,4)。由对称性设顶点式。 设抛物线的解析式为 ，把 B(10,0) 代入得 ，解得 。 故抛物线的解析式为 。 教师提问：丝带与地面平行，其所在直线的纵坐标是多少？ 学生回答：丝带所在高度为纵坐标 4−d（距顶端 d 米），把 y=4−d 代入解析式即可求出 C、D 两点的横坐标。 由 ，得 ，故 ，丝带两端横坐标之差即丝带长度 米。 小结：求平行于 x 轴的线段长度，只要知道该直线的纵坐标，代入解析式求两交点横坐标之差即可。 设 代 (10,0) 求 ，再代 求丝带长度 通过大门装饰问题强化“求平行于 x 轴的线宽=两交点横坐标之差”的建模技巧，把线段长度计算转化为求抛物线上的点坐标，深化数形结合。 六、当堂检测 当堂检测： 一座拱桥的示意图如图：当水面宽为 16 米时，桥洞顶部离水面 4 米，桥洞的拱线是抛物线。 （1）建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； （2）由于暴雨导致水位上涨 2 米，求此时水面的宽度。 【详解】（1）以水面的中点 O 为原点、水面所在直线为 x 轴、竖直方向为 y 轴建系，则顶点 C 的坐标为 ，水面与抛物线交于点 、。 设 ，把 (8,0) 代入得 ，解得 ，故表达式为 。 （2）水位上涨 2 米后水面纵坐标为 2，由 ，得 ，解得 ，此时水面宽度为 米。 (设计意图：当堂检测抛物线型问题的建系、待定系数求解析式与求水面宽度，检验四步法的掌握情况与计算能力。) 建系设 求 ，代 y=2 得水面宽 当堂演练完整四步法，检验建系、待定系数求解析式、由纵坐标求水面宽度的掌握情况，巩固根式计算与结果取舍。 七、综合提升： 由数据建立二次函数模型 综合提升（由数据建立二次函数模型）： 在2022年北京冬奥会上，一名滑雪者从山坡滑下。为得出滑行距离 s（单位：m）与滑行时间 t（单位：s）的关系，测得如下数据： 滑行时间 t：0、1、2、3、4；滑行距离 s：0、4.5、14、31.5、48。 教师引导：将各组 (t, s) 描点连线，观察图象近似为一条过原点的抛物线，故设其关系式为二次函数，且因过原点不含常数项。 设 ，把 (2,14)、(4,48) 代入得方程组 ，。 解得 ，，故 s 与 t 的关系式可近似地表示为 。 教师追问：若已知滑行距离，如何求滑行时间？（代入函数式解关于 t 的方程，结合 t≥0 取舍。） 归纳：凡由实验数据描点得到的图象形如抛物线，都可用待定系数法建立二次函数模型来拟合。 描点连线，设 代点解方程组求 、 以滑雪真实数据让学生从“数据描点—判断函数类型—待定系数建模”体验二次函数模型的拟合过程，拓展抛物线型问题建模的应用广度。 八、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1. 抛物线型实际问题的一般四步法：建立适当坐标系 → 把线段长转化为点的坐标 → 用待定系数法求解析式 → 求相关点坐标得解； 2. 重要提醒：要根据实际问题选择合适的坐标系，使已知点的坐标尽量简洁、计算简便；涉及“能否通过、宽度增加”等问题时，关键是求对应高度处的水平宽度。 口诀：建系、转坐标、代系数、解问题。 复述四步法与口诀，说清建系、求宽度等关键操作 总结抛物线型问题的方法模型与易错点，突出建系与求宽度的关键，帮助学生建立稳定的建模与求解结构，为综合型应用题的迁移奠基。 九、课后作业 必做题： 1. 习题26.4第5、9题； 2. 小明跳起投篮：球在 A 处出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后在 B 处达到最大高度，此时运动的水平距离为，设篮球运行的轨迹为抛物线。求抛物线的解析式；并判断当篮圈中心距地面一定高度时此球能否投中（通过代入计算说明）。 探究性作业：习题26.4第8题；并思考“有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形三边组成，隧道最大高度为、宽为，若一辆高 4 米、宽 2 米的集装箱车要通过，汽车离开隧道壁 m 米的取值范围”应如何列式。 要求：规范书写建系、设元、列式、求解析式、作判断的完整过程。 独立完成投篮题求解析式并判断，研究隧道通行 m 的范围 通过必做与探究性分层作业巩固抛物线型问题的建系、建模与判断流程，实践性作业引导学生用二次函数解决真实交通通行决策，发展模型观念。 板书设计 26.4 实际问题与二次函数（第3课时：抛物线型问题） 主板书 一、四步法 建系 → 转坐标 → 代系数 → 解问题 1. 建立适当的坐标系 2. 线段长转化为点的坐标 3. 待定系数法求解析式 4. 求相关点坐标得解 二、本课模型 拱桥:y=-1/2x² (顶点原点) 河桥:y=-4/9(x-3)²+4 大门:y=-1/25x²+4 三、关键技巧 求对应高度处的水平宽度 判断能否通行/投中 由数据描点建二次函数模型 四、易错提醒 建系要使已知点坐标最简洁 求宽度注意用两交点横坐标之差 副板书 典型例题（例1、例2） 例题、学生练习板演 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $