25.2.4一元二次方程的根与系数的关系【精讲精练-分层训练】同步讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系核心知识点，通过求根公式推导定理内容，明确应用前提需满足判别式Δ≥0，连接方程解法与代数式求值、构造新方程等应用，搭建完整知识支架。 资料以8类分层题型和A/B/C组练习为特色，通过推导过程培养学生推理能力，结合几何问题、新定义探究发展应用意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层巩固，有效查漏补缺。

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 学习目标和重难点 1、 理解定理内容：掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系， 2、明确使用前提：深刻理解应用该定理的必要条件是“方程有实数根”，即必须满足判式Δ=b2−4ac≥0。 3、熟练运用定理：能够利用该定理在不解方程的情况下，求代数式的值、构造新方程，以及解决与方程根相关的综合问题。 学习重点 1、公式的记忆与推导：准确记忆韦达定理的两个公式，并能通过求根公式的推导过程理解其来源。 2、基本应用：已知方程的两根，求两根的和与积；或已知两根的和与积，反求方程中的字母系数。 学习难点 1、隐含条件的忽视（易错点）：在利用根与系数的关系求字母取值范围时，极易忘记检验Δ≥0这一前提条件，导致求出无实数根的“伪解”。 2、代数式的恒等变形：在解决复杂问题时，需要将所求的代数式 教材◆核心知识 知识点1：一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ①； ②。 知识点2：有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是 （2）如果方程的两个实数根是，那么 知识点3：几种主要的代数式求值问题 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7） （8） 核心题型◆归纳 【题型1 】不解方程求两根之和与两根之积 【题型2】利用根与系数的关系求代数式的值 【题型3】已知代数式的值求参数 【题型4】已知方程的一根求另一个根 【题型5】已知两根求一元二次方程 【题型6】判别式和根与系数的关系综合问题 【题型7】根与系数的关系与几何问题 【题型8】新定义探究问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 【题型1 】不解方程求两根之和与两根之积 1．已知，是方程的两个实数根，则的值为　　 A． B．1 C． D．3 2．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则 　　 ． 【题型2】利用根与系数的关系求代数式的值 3．已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为　　 A．4 B．5 C．2 D．6 4．设，是方程的两个实数根，则的值为　　 A．0 B．1 C．4036 D．2018 【题型3】已知代数式的值求参数 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则的值是　　 A．2 B． C．2或 D．不存在 6．设，是关于的方程的两个根，且，则　　 ． 【题型4】已知方程的一根求另一个根 7．若是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是　　 A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当时，求实数的取值范围． 【题型5】已知两根求一元二次方程 9．已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是　　 A． B． C． D． 10．已知一元二次方程的两根分别是 2 和，则这个一元二次方程是　 　． 【题型6】判别式和根与系数的关系综合问题 11．关于的一元二次方程的有两个实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 12．已知关于的方程：，其中是常数． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【题型7】根与系数的关系与几何问题 13．已知关于的一元二次方程． （1）证明：该方程一定有两个不相等的实数根． （2）已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求的值． 14．已知：平行四边形的两条边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形； （2）若，求平行四边形的周长． 【题型8】新定义探究问题 15．定义：如果关于的一元二次方程，，均为常数，有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　　 （填序号）． ①； ②； ③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 16．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　　 ；（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知△是直角三角形，的长为，若△的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 1．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 4．一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 5．设、是方程的两个实数根，则的值为________． 6．已知方程的两根分别为、，求的值． 7．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______；______． (2)求代数式的值． 8．一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 9．若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 11．若方程的两个根为，，则____________． 12．一元二次方程的两根为，，则______． 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求m的值． 15．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 16．已知是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 17．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B．2024 C． D．2026 18．若是方程的一个根，则方程的另一个根是（    ） A． B． C．1 D．4 19．若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 20．关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 21．若，是方程的两个实数根，则的值为_____． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 学习目标和重难点 1、 理解定理内容：掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根与系数的关系， 2、明确使用前提：深刻理解应用该定理的必要条件是“方程有实数根”，即必须满足判式Δ=b2−4ac≥0。 3、熟练运用定理：能够利用该定理在不解方程的情况下，求代数式的值、构造新方程，以及解决与方程根相关的综合问题。 学习重点 1、公式的记忆与推导：准确记忆韦达定理的两个公式，并能通过求根公式的推导过程理解其来源。 2、基本应用：已知方程的两根，求两根的和与积；或已知两根的和与积，反求方程中的字母系数。 学习难点 1、隐含条件的忽视（易错点）：在利用根与系数的关系求字母取值范围时，极易忘记检验Δ≥0这一前提条件，导致求出无实数根的“伪解”。 2、代数式的恒等变形：在解决复杂问题时，需要将所求的代数式 教材◆核心知识 知识点1：一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程根与系数的关系 由公式法可知，若一元二次方程的时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是 与 。由此可求出： ①； ②。 知识点2：有关根与系数的关系的两个重要推论 （1）以为实数根的一元二次方程(二次项系数为1)是 （2）如果方程的两个实数根是，那么 知识点3：几种主要的代数式求值问题 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7） （8） 核心题型◆归纳 【题型1 】不解方程求两根之和与两根之积 【题型2】利用根与系数的关系求代数式的值 【题型3】已知代数式的值求参数 【题型4】已知方程的一根求另一个根 【题型5】已知两根求一元二次方程 【题型6】判别式和根与系数的关系综合问题 【题型7】根与系数的关系与几何问题 【题型8】新定义探究问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 【题型1 】不解方程求两根之和与两根之积 1．已知，是方程的两个实数根，则的值为　　 A． B．1 C． D．3 【答案】 【分析】利用根与系数的关系，即可求出的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 2．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则 　1　 ． 【答案】1． 【分析】把方程化为一般形式，根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案． 【详解】解：由根与系数关系可知：， 故答案为：1． 【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数关系．熟练掌握根与系数关系是解题的关键． 【题型2】利用根与系数的关系求代数式的值 3．已知，分别是方程的两个根，则代数式的值为　　 A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，得到，，整体代入法求值即可． 【详解】解：由条件可得，， ； 故选：． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 4．设，是方程的两个实数根，则的值为　　 A．0 B．1 C．4036 D．2018 【答案】 【分析】由，是方程的两个实数根，利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出，是解题的关键． 【题型3】已知代数式的值求参数 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则的值是　　 A．2 B． C．2或 D．不存在 【答案】 【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△，得出关于的不等式组，解之得出的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、， ， 解得：且， 、是方程的两个实数根， ，， ， ， 或， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的不等式组；（2）牢记，． 6．设，是关于的方程的两个根，且，则　　 ． 【分析】根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设，是关于的方程的两个根， ，， ． ， 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【题型4】已知方程的一根求另一个根 7．若是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 所以方程的另一个根为1． 故选：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 8．已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用根与系数的关系可得另外一根； （2）把代入，再利用根的判别式，列出不等式，即可解答． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为， 则， ； （2）当时，方程为， 由题意可得：， 解得． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟记相关公式是解题的关键． 【题型5】已知两根求一元二次方程 9．已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个一元二次方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可利用根与系数的关系直接写出方程，也可用检验的办法确定符合条件的选择支． 【详解】解：法一、，， 根为3和的一元二次方程为：． 故选：． 法二、把3和分别代入各个选择支， 同时满足方程成立的只有． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度不大．掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 10．已知一元二次方程的两根分别是 2 和，则这个一元二次方程是　　． 【分析】利用根与系数的关系可知求得该方程的系数， 再写出该方程即可， 答案不唯一 ． 【详解】解： 可设该方程为， 则由根与系数的关系可求得，， 所以该一元二次方程为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系， 设出方程为，利用待定系数法求解是解题的关键 ． 【题型6】判别式和根与系数的关系综合问题 11．关于的一元二次方程的有两个实数根为，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）8． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：（1）因为关于的一元二次方程的有两个实数根， 所以△，且， 解得， 所以的取值范围是． （2）因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以． 又因为， 所以， 则， 所以， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以的值为8． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及绝对值，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 12．已知关于的方程：，其中是常数． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是此方程的两个根，当时，求代数式的值． 【答案】（1）见解答； （2）2015． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△，则△，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）当时，原方程化为，先利用一元二次方程解的定义得到，则变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】（1）证明：△ ， 不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当时，原方程化为， 是方程的根， ， ， ， 、是方程的两个根， ， ． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【题型7】根与系数的关系与几何问题 13．已知关于的一元二次方程． （1）证明：该方程一定有两个不相等的实数根． （2）已知该方程的两根分别是一个直角三角形的两条直角边的长度，当这个直角三角形的斜边长为时，求的值． 【答案】（1）答案见解析； （2）． 【分析】（1）求出根的判别式的符号即可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及勾股定理进行求解即可． 【解答】（1）证明：由题意可知：△， 不论实数取何值，该方程一定有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根为，， ，， 由题意可得：， ， ， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去． ． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数之间的关系、勾股定理．掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系以及根与系数之间的关系，是解题的关键． 14．已知：平行四边形的两条边，的长是关于的方程的两个实数根． （1）当为何值时，四边形是菱形； （2）若，求平行四边形的周长． 【答案】（1）当为1时，四边形是菱形； （2）的周长是5． 【分析】（1）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长； （2）将代入原方程可求出的值，将的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ． 又、的长是关于的方程的两个实数根， △， ， 当为1时，四边形是菱形； （2）把代入原方程，得：， 解得：， 将代入原方程，得：， 方程的另一根， 的周长是． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根． 【题型8】新定义探究问题 15．定义：如果关于的一元二次方程，，均为常数，有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　③　 （填序号）． ①； ②； ③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可； （3）设方程的两个根，，根据“邻根方程”的定义得到，利用根与系数关系可得到、的数量关系． 【详解】解：（1）①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得或． （3）设方程的两个根，，则，，，， 由得， ，即， ． 【点评】本题主要考查解一元二次方程、根与系数的关系等知识点，正确理解“邻根方程”的定义是，解答的关键． 16．已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　①　 ；（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知△是直角三角形，的长为，若△的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】（1）①； （2）； （3）和． 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据是“差根方程”，解方程求得，得到，从而得到； （3）分 为直角边和斜边两种情况，根据韦达定理计算即可求得答案． 【详解】解：（1）①， ， ，， 该方程是差根方程； ②， ， ，， ， 该方程不是差根方程； 故答案为：① （2）， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，； （3）设， 当为斜边时，，， ， ， ， 解得， ， 解得舍去，边长不能为负）， ，， 方程为， 当为斜边，则，， ， ， ， 当 时，时，解得，由韦达定理可得方程为， 当 时，（边长不能为负，舍去）， 综上，这个差根方程为和． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 1．若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则，，据此求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，且，， ∴， ∴． 3．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 4．一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 5．设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接代入计算两根之和即可得到结果； 【详解】解：，是方程的两个实数根， 故； 6．已知方程的两根分别为、，求的值． 【答案】的值为 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程中根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握根与系数的关系． 根据根与系数的关系得出，后，代入即可得解． 【详解】解：方程的两根分别为、， ，， ． 故的值为． 7．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______；______． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设是一元二次方程是常数的两个实数根，则．据此进行解答即可； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ， 故答案为：． （2）解：∵， 8．一元二次方程的两根为、，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为、，则． 9．若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】将原方程整理为一般形式，根据两根之和为m，两根之积为n，得，，计算出的值进行判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程，即的两根之和为m，两根之积为n， ∴，， ∴，． 10．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程为 ，其中 ，，， ∴，， ∴． 11．若方程的两个根为，，则____________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定一元二次方程的二次项系数与常数项后，可直接根据关系计算两根之积． 【详解】解：方程中，，， 根据根与系数的关系可得． 12．一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)当时，方程的根为，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键； （1）由题意可得，再求解即可； （2）当时，一元二次方程为，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根． ， 解得：； （2）解：∵ ∴当时，一元二次方程为， ， ． 14．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求m的值． 【答案】(1) 证明： 恒成立， 此方程总有实数根 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况以及根与系数的关系．熟记相关结论即可． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则．据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据韦达定理得：，， ∴； 解得： 15．若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 16．已知是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键，利用根与系数的关系即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ． 故选：B． 17．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则（    ） A． B．2024 C． D．2026 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 直接利用两根之和与两根之积计算代数式的值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选A． 18．若是方程的一个根，则方程的另一个根是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一根为m，则有，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为1， 故选：C． 19．若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 【答案】6 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的方程的两根分别是2，3， 所以， 则． 故答案为：6． 20．关于的一元二次方程的两实根满足，则__________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系表示两根和与积，代入给定条件得到关于m的方程，解方程并检验判别式确保实根． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实根满足，． ∵， ∴， ∴， 解得或． 又∵原方程有实根， ∴判别式， 解得． ∴， 故答案为． 21．若，是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，代数式的变形求值，掌握好相关知识是关键． 由方程的解的意义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∴原式． 故答案为：． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 23．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)方程是“倍根方程” (2)代数式的值为或 (3)m的值为13或 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． （3）解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $