13.2 第3课时　三角形内角和定理的证明及其推论1，2（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理的证明及推论1、2，通过复习测量、折叠、剪拼等直观方法，指出其非证明性，引导学生从直观操作过渡到逻辑证明，搭建学习支架。 其亮点在于多种证法展现转化思想，结合平行线性质转移角构建平角或同旁内角，培养推理能力。练习题涵盖分类讨论、方程思想及跨学科应用，提升抽象能力与应用意识。帮助学生发展逻辑思维，教师可利用分层练习优化教学。

13.2 第3课时 三角形内角和定理的证明及其推论1，2 专项练习 适用教材：沪科版数学八年级上册 考查知识点：三角形内角和定理规范证明、推论1（直角三角形两锐角互余）、推论2（三角形外角性质）、内外角综合计算、几何推理证明、角度变式求值 满分：100分 时长：40分钟 一、基础填空题（每空3分，共24分） 1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角和为________°。 2. 推论1：直角三角形的两个锐角________。 3. 推论2：三角形的一个外角等于与它________的两个内角的________；三角形的一个外角________任意一个与它不相邻的内角。 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°，则∠B=________°。 5. 三角形的一个外角为130°，与它相邻的内角为________°。 6. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角度数为________°。 二、单项选择题（每题4分，共24分） 7. 下列关于三角形内外角说法正确的是（） A. 三角形外角大于任意内角    B. 直角三角形两锐角和大于90° C. 三角形内角和为180°    D. 三角形外角和为180° 8. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=45°，则△ABC的外角度数不可能是（） A. 80°    B. 100°    C. 125°    D. 135° 9. 已知直角三角形一个锐角为42°，则另一个锐角为（） A. 42°    B. 48°    C. 58°    D. 68° 10. 三角形的一个外角小于相邻内角，则这个三角形是（） A. 锐角三角形    B. 直角三角形    C. 钝角三角形    D. 等腰三角形 11. 若三角形三个内角度数比为2:3:4，则对应最大外角为（） A. 100°    B. 120°    C. 140°    D. 160° 12. 下列推理依据运用正确的是（） A. 直角三角形两锐角相等（推论1）    B. 外角等于相邻两内角和（推论2） C. 三角形内角和180°（内角和定理）    D. 外角小于不相邻内角（推论2） 三、基础解答题（共26分） 13.（12分）规范证明三角形内角和定理：画出图形，写出已知、求证、完整推理过程。 14.（14分）如图，在△ABC中，∠B=36°，∠BAC=74°，求∠ACB的度数及与∠ACB相邻的外角度数。 四、能力提升题（共26分） 15.（12分）求证：直角三角形的两个锐角互余。（依据三角形内角和定理规范证明） 16.（14分）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=25°，∠C=55°，求∠ADB的度数。 参考答案与解析 一、填空题 1. 180 2. 互余 3. 不相邻；和；大于 4. 62 5. 50 6. 110 二、选择题 7. C 8. B 9. B 10. C 11. B 12. C 三、基础解答题 13. 解：已知：△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°。证明：延长BC至点D，过点C作CE∥AB。∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE，∠B=∠ECD（两直线平行，内错角、同位角相等）。∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°，即三角形内角和为180°。 14. 解：由三角形内角和定理得：∠ACB=180°−∠B−∠BAC=180°−36°−74°=70°；由外角性质得，相邻外角=180°−70°=110°。 四、能力提升题 15. 解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°。求证：∠A+∠B=90°。证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），且∠C=90°，∴∠A+∠B=180°−90°=90°，即直角三角形两锐角互余。 16. 解：由内角和定理得∠BAC=180°−25°−55°=100°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=50°。在△ABD中，∠ADB=180°−∠B−∠BAD=180°−25°−50°=105°。 沪科版（新教材）数学八年级上册 13.2 第3课时　三角形内角和定理的证明及其推论1，2 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/15 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 复习回顾 三角形的内角和定理是什么？ 三角形的内角和等于180°. 我们是如何得到的？ ①测量 47° 73° 60° ②折叠 ③剪拼 你能证明这个定理吗？ 都不是证明 情境导入 推进新课 知识点1 三角形内角和定理的证明 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. A B C 分析：你通过剪拼、折叠的过程中受到什么启发吗？ 都是把三个角拼在一起构成一个平角. 你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？ 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. A B C 证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，则CE∥BA. (同位角相等，两直线平行) ∴ ∠A=∠1. (两直线平行，内错角相等) ∵B、C、D在同一条直线上，(所作) ∴∠1+∠2+∠ACB=180°.(平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.(等量代换) E D 1 2 为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线. 辅助线通常画成虚线. 你还能想到其他添加辅助线构造平角的方法吗？ 证法一 证法二 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. A B C 1 2 l 证明：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1，∠C=∠2，(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°，(平角的定义) ∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换) 证法三 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+ ∠B+∠C=180°. A B C 1 2 3 D E F 证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C=∠1，∠B=∠3. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°. (两直线平行，同旁内角互补) ∴∠A=∠2. (等量代换) ∵∠1+∠2+∠3=180°，(平角的定义) ∴∠A+∠B+∠C=180°. (等量代换) 除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部和外部构造平角. 思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？ 两直线平行，同旁内角互补 讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？ A B C A B C l D E F 根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法. A B C E D A B C l A B C D E F A B C l A B C D E F 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 转化思想 添加辅助线（平行线） 利用平行线的性质，转移角 转化为平角或同旁内角 核心必知 1．定理：三角形的内角和等于________． 2．推论1：直角三角形的两锐角________． 3．推论2：有两个角______的三角形是直角三角形． 180° 互余 互余 举一反三 1. 阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法，请回答下列问题： (1)图①②在证明三角形内角和定理的过程中应用的数学思想是(　　) A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想 1星题 基础练 A 举一反三 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为180°. 解：(答案不唯一)选用④证明三角形的内角和为180°. 证明：∵CD∥AB， ∴∠B＋∠BCD＝180°，∠A＝∠ACD. 又∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD， ∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°， 即三角形的内角和为180°. 举一反三 2. 【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B的大小为(　　) A．30° B．60° C．90° D．180° 向“转化思想”生长：将一个直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若∠1＝36°，则∠2的度数是(　　) A．36° B．54° C．56° D．64° C B 举一反三 向“实践应用”生长：如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC＝________°. 向“方程思想”生长：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B＋30°，则∠B＝________°. 向“分类讨论思想”生长：在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶m∶3，则m＝__________． 20 20 2或4 举一反三 知识点2 三角形内角和定理的推论1，2 问题1：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数. 由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠C=90°， ∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°. 推论1 直角三角形的两锐角互余. 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论. 问题2：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数. 由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠A+∠B=90°， ∴ ∠C =180°– (∠A+∠B)=180°– 90°= 90°. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 1.在△ABC 中， （1）∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ； （2）∠A = 50°，∠B = ∠C，则∠B = ； （3）∠A -∠C = 25°，∠B -∠A = 10°，则 ∠B = ； （4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 三角形. 练一练 60° 65° 75° 直角 分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可. 已知：① DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°； ②∠A＝30°； ③ ∠FCD＝80°. 2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 2.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. ∠1+∠2=∠3+∠4 “A”字形 ∠A+∠B=∠C+∠D “8”字形 基本图形归纳 3．[知识初练]在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 举一反三 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，则△BDC是________角三角形． 直 举一反三 5．[合肥月考]如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和DB交于点E.求证：△ADE是直角三角形． 证明：∵AB∥CD，∴∠ADC＋∠BAD＝180°. ∵AC平分∠BAD，DB平分∠ADC， ∴∠DAE＝ ∠BAD，∠ADE＝ ∠ADC， ∴∠ADE＋∠DAE＝ ∠ADC＋ ∠BAD＝ (∠ADC＋∠BAD)＝90°，∴∠AED＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝90°， ∴△ADE是直角三角形． 举一反三 6．[合肥期末]有下列条件：①∠A＋∠C＝∠B；②∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B＝ ∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 2星题 中档练 举一反三 7.【跨学科·物理】[山西中考]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　) A．155° B．125° C．115° D．65° C 举一反三 8.【分类讨论思想】[淮北期末]在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝20°，点D在边AB上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为______________． 20°或70° 易错点睛：△ACD为直角三角形时，可能是∠ACD＝90°，也可能是∠ADC＝90°，此题易忽略分类讨论而致错． 举一反三 9. 【思维可视化】如图，在△ABC中，∠A＝20°，沿BE对折此三角形，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的点C′处，此时∠C′DB＝74°，如何求原三角形中∠C的度数？ 【思维过程】(1)问题转化：求∠C→找含∠C及其相关的角所在的三角形，利用内角和定理列方程． 举一反三 (2)条件分析：由对折可得∠1＝∠2＝∠______；由∠C′DB＝74°，可得∠CDB＝______°，∠ADB＝______°；再结合∠A＝20°，可在哪些三角形中列方程(组)呢？ (3)计算求值：∠C＝______°. 3 74 106 79 举一反三 10．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠B＝26°，∠C＝64°. (1)∠CAE的度数是________； 45° 举一反三 解：∵AD⊥BC，∴△ACD为直角三角形． ∵∠C＝64°，∴∠DAC＝90°－∠C＝26°. ∵∠CAE＝45°，∴∠DAF＝∠CAE－∠DAC＝19°. ∵∠ADF＝71°，∴∠ADF＋∠DAF＝90°， ∴∠AFD＝90°，∴△ADF是直角三角形． (2)若AD⊥BC于点D，∠ADF＝71°，试说明：△ADF是直角三角形． 举一反三 11.【推理能力】规定：一条直线将三角形分割为两个图形，若其中一个新三角形与原三角形有两个角分别相等，则称这条直线为原三角形的恰巧线．例如：如图①，在△ABC中，直线DE将△ABC分割为两个图形，若新三角形ADE与原三角形ABC有∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，则称直线DE为△ABC的恰巧线． 3星题 提升练 举一反三 (1)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，点D，E分别在边AB，AC上(不与端点重合)，若直线DE是△ABC的恰巧线，则∠AED的度数为___________________． 60°或70° 举一反三 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，直线BE是△ABC的恰巧线，分别交AC于点E，交CD于点F，连接DE，且∠A＝∠ADE.求证：直线EF是△CDE的恰巧线． 证明：∵直线BE是△ABC的恰巧线， ∴∠CBE＝∠A，∴∠CEF＝90°－∠CBE＝90°－∠A. ∵∠A＝∠ADE，∴∠CEF＝90°－∠ADE＝∠CDE. 而∠ECF＝∠DCE，∴直线EF是△CDE的恰巧线． 举一反三 课堂小结 三角形内角和定理的证明及推论 1、2 三角形内角和定理的证明 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 谢谢观看 THANKS $