第13章 三角形中的边角关系、命题证明【章末复习】（课件）2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了三角形边角关系与命题证明的核心内容，通过知识框架图将三角形分类、三边关系、内外角性质、重要线段及命题结构、证明体系等串联，构建完整知识网络，体现几何入门知识的逻辑脉络。 其亮点在于聚焦易混易错点诊断与分层练习设计，如通过“三角形高的位置”等易错点辨析培养空间观念，以“分类讨论求∠BAC度数”“数学文化三斜求积术”等题目发展推理意识与应用意识，助力学生巩固基础提升能力，为教师提供精准复习支持。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学八年级上册教学课件 第13章 三角形中的边角关系、命题证明 章末复习 2026年8月6日 沪科版八年级上册第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元复习 本章是初中几何入门奠基章节，衔接小学三角形基础，首次系统引入几何逻辑推理与证明格式。主要分为两大模块：三角形边角数量与位置关系、命题与证明体系。本章核心掌握三角形三边关系、内外角性质、分类标准，熟练区分命题相关概念，掌握规范几何推理书写。本章是后续全等三角形、轴对称、特殊三角形学习的前提，是建立几何逻辑思维的核心章节，为初中几何证明体系筑牢基础。 一、章节核心知识体系梳理 13.1 三角形的边角关系 1. 三角形分类：按边分为不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）；按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 2. 三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。常用于判断三条线段能否组成三角形、求边长取值范围。 3. 三角内角与外角性质：三角形内角和为180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，外角大于任意一个不相邻内角。 4. 三角形重要线段：角平分线、中线、高线。中线平分三角形面积，三条中线交于重心；高线位置随三角形类型变化，钝角三角形两条高在外部。 13.2 命题与证明 1. 命题概念：判断一件事情的语句叫做命题，分为真命题和假命题。命题可改写为“如果……那么……”的标准形式。 2. 命题结构：由题设（条件）和结论两部分组成。 3. 逆命题、反例：交换原命题的题设与结论得到逆命题；判断假命题只需举出一个反例即可。 4. 公理、定理与证明：公理是公认的真命题，定理是经过推理证明的真命题。几何证明需步骤完整、逻辑严谨，依据定理公理规范书写。 二、本章易混易错点总结 1. 三边关系误用：仅验证一组两边和大于第三边，未完整验证，导致判断失误。 2. 外角概念混淆：误将相邻内角当作外角对比，记错外角定理适用范围。 3. 高线位置出错：默认所有三角形高都在内部，忽略钝角三角形高在外部的情况。 4. 命题改写不规范：无法准确拆分题设和结论，语句改写逻辑混乱。 5. 真假命题判断失误：混淆原命题与逆命题真假关系，原命题为真，逆命题不一定为真。 三、单元综合练习题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列长度的线段，能组成三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 2、2、4 D. 3、4、7 2. 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 3. 三角形的三条中线交点是三角形的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 4. 下列语句属于命题的是（ ） A. 欢迎学习几何 B. 今天天气真好 C. 对顶角相等 D. 请认真做题 5. 已知三角形两边长为4和6，则第三边长不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 11 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形内角和为________°，任意两边之和________第三边。 2. 三角形的一个外角等于________________的两个内角之和。 3. 命题由________和________两部分组成。 4. 判定假命题最简单的方法是举________。 5. 三角形的中线可以将三角形分成两个________相等的三角形。 三、解答题（共60分） 1.（18分）基础知识梳理。（1）简述三角形三边关系定理；（2）写出三角形外角的两大性质；（3）说明命题的组成与分类。 2.（20分）边角计算应用。已知三角形两边长为5和9。（1）求第三边的取值范围；（2）若第三边为偶数，求出所有可能的边长；（3）简述取值依据。 3.（22分）命题与角度综合。（1）将“等角对等边”改写成“如果……那么……”形式；（2）写出该命题的题设与结论；（3）在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C及与∠C相邻的外角度数。 四、参考答案及解析 一、选择题 1. B 解析：根据三边关系，只有2+3>4、3+4>2、2+4>3，满足组成三角形条件。 2. C 解析：外角与相邻内角互补，外角更小则内角大于90°，为钝角三角形。 3. A 解析：三角形三条中线的交点为重心，是三角形特有中心点。 4. C 解析：命题是可判断真假的语句，只有“对顶角相等”可判断正误。 5. D 解析：第三边取值范围为2<x<10，11超出范围，无法构成三角形。 二、填空题 1. 180；大于 2. 与它不相邻 3. 题设；结论 4. 反例 5. 面积 三、解答题 1. 解析：（1）三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（2）三角形外角等于不相邻两内角和，外角大于任意一个不相邻内角；（3）命题由题设和结论组成，分为真命题和假命题两类。 2. 解析：（1）由三边关系得9-5<第三边<9+5，即4<第三边<14；（2）符合条件的偶数为6、8、10、12；（3）依据三角形两边之差小于第三边、两边之和大于第三边定理。 3. 解析：（1）如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等；（2）题设：一个三角形中有两个角相等，结论：这两个角所对的边相等；（3）∠C=180°-50°-60°=70°，相邻外角=50°+60°=110°。 五、单元复习总结 本章核心掌握三角形边角关系与几何命题证明基础，熟练运用三边关系判断三角形构成、求解边长范围，利用内外角性质完成角度计算。精准区分命题的题设与结论，掌握真假命题判断方法，养成规范几何推理的思维。本章搭建了小学直观几何到初中逻辑几何的桥梁，夯实几何证明基础，是学习全等三角形、轴对称等后续重难点的必备前提。 大单元知识架构 复习回顾 考点1 三角形中边的关系 1.三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 2.三角形的要素 边 边 边 顶点 角 角 角 顶点 顶点 B A C ①组成三角形的线段叫作三角形的边. ②相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点. ③相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 3.用符号表示三角形 B A C a b c 记作: △ABC 读作: 三角形ABC 字母没有先后顺序. 三角形的边有时用它所对角的相应小写字母表示. 4.按边将三角形分类 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 等腰三角形 三角形 5.三角形的三边关系 C A B 三角形中任意两边的和大于第三边. 三角形中任意两边的差小于第三边. 注意： 1.三边关系的依据是：两点之间线段最短. 2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形；若不满足，则不能构成三角形. 3.三角形第三边的取值范围是： 两边之差＜第三边＜两边之和 练一练 已知两条线段的长分别是 3 cm、8 cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段 a 的长为奇数，问第三条线段应取多长？ 解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边，得 8 - 3＜a＜8 + 3， ∴ 5＜a＜11. 又∵第三边长为奇数， ∴ 第三条边长为 7 cm 或 9 cm. 考点2 三角形中角的关系 1.三角形的内角和 三角形的内角和等于 180°. C A B 2.按边将三角形分类 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 考点3 三角形中的重要线段 1.三角形的高 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高. A B C D 表示方法：① AD 是△ABC 的边 BC 上的高； ② AD⊥BC 于 D； ③∠ADB =∠ADC = 90°. 2.三角形的三条高的特性 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的三条高所在直线交于一点. 3.三角形的角平分线 C A B 1 2 D 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 表示方法： ① AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线. ② ∠1 =∠2 = ∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； 4.三角形的中线 B C A D 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 表示方法： ① AD 是△ABC 的边 BC 上的中线； ② BD = DC = BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于一点,这个交点就是三角形的重心； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 三角形的重要线段 图形 特点 数量 位置 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 锐角三角形：内部； 钝角三角形：外部； 直角三角形：直角顶点 3 3 3 交点叫作三角形的重心.在三角形内部 在三角形内部 总结 1．[安庆月考]下列长度的三条线段，首尾相连能组成三角形的是(　　) A．2 cm，2 cm，4 cm B．2 cm，4 cm，6 cm C．4 cm，10 cm，4 cm D．3 cm，4 cm，5 cm D 举一反三 2. 【新考法】如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为－5，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为－2，则点D在数轴上对应的数可能为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 A 举一反三 3．如图，BD，BE，BF分别是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项错误的是(　　) A．AE＝EC B．∠ABE＝ ∠ABC C．S△ABC＝2S△BCF D．BD⊥DC A 举一反三 4．如图，在△ABC中，CE＝2BE，D为AC的中点，连接DE，AE，取DE的中点F，连接AF，若△AEF的面积是1，则△ABC的面积是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C 举一反三 5.【分类讨论思想】在△ABC中，AE是角平分线，AD是边BC上的高，∠EAD＝30°，∠DAC＝10°，则∠BAC的度数为______________． 40°或80° 点拨：如图①，∠EAD＝30°，∠DAC＝10°， ∴∠CAE＝30°＋10°＝40°. ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠CAE＝80°. 举一反三 如图②，∠EAD＝30°，∠DAC＝10°， ∴∠CAE＝30°－10°＝20°. ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠CAE＝40°. 综上所述，∠BAC的度数为40°或80°. 举一反三 6．[滁州期末]下列命题的逆命题为真命题的是(　　) A．相等的角是对顶角 B．内错角相等 C．若a>b，则|a|>|b| D．钝角都小于180° A 举一反三 7. 【新趋势·开放性问题】[北京中考]能说明命题“若a2>4b2，则a>2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝________，b＝________． －3 1 （答案不唯一） 举一反三 8．[淮北期末]补全下列证明过程： 如图，已知AB∥CE，∠A＝∠E. 求证：∠CGD＝∠FHB. 证明：∵AB∥CE，∴∠A＝∠ADC.(___________________) ∵∠A＝∠E，∴∠E＝∠________，(等量代换) ∴AD∥EF，(________________________) ∴∠CGD＝∠____________．(两直线平行，同位角相等) ∵∠FHB＝∠GHE，(________________)∴∠CGD＝∠FHB. 两直线平行，内错角相等 ADC 同位角相等，两直线平行 GHE 对顶角相等 举一反三 9．一个三角形三个内角的度数之比是1∶2∶3，这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 B 举一反三 10．[福建中考]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为(　　) A．5° B．15° C．25° D．35° B 举一反三 11．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝_______°. 360 举一反三 12．如图，在△ABD中，∠ABD＝∠BAD＝2∠D，AC是∠BAD的平分线，交边AD上的高BE于点F. (1)求∠ABE的度数； 解：∵在△ABD中，∠ABD＝∠BAD＝2∠D， 且∠ABD＋∠BAD＋∠D＝180°，∴2∠D＋2∠D＋∠D＝5∠D＝180°，∴∠D＝36°，∴∠ABD＝∠BAD＝72°. ∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝90°－∠BAD＝18°. 举一反三 (2)求∠BFC的度数． 解：∵AC是∠BAD的平分线， ∴∠BAC＝∠CAD＝ ∠BAD＝36°. ∵∠BFC为△ABF的外角， ∴∠BFC＝∠BAC＋∠ABF＝54°. 举一反三 13.【整体思想】如图，在△ABC中，∠EFD＝30°，且∠AEF＝∠AFE，∠CFD＝∠CDF，则∠ABC的度数为(　　) A．90° B．110° C．120° D．150° C 举一反三 14.【分类讨论思想】如图，已知∠AOD＝30°，C是射线OD上的一个动点，在点C的运动过程中，当△AOC恰好是直角三角形时，∠ACO的度数为______________. 90°或60° 举一反三 15．在△ABC中，AB＝AC，且AC上的中线BD把这个三角形的周长分成了12和6两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为____________． 8，2 举一反三 16．[宣城一模]如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD所在的直线折叠，使得点A落在AC下方的点A′处，A′B与AC相交于点E.若∠A′＝46°，∠BED＝70°，则∠ABD＝______°. 32 举一反三 17.【数学文化】[安徽中考改编]清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，证明了“三斜求积术”．在证明过程中，得出一个结论：如图，AD是锐角三角形ABC的高，则BD ＝ .当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝________． 1 举一反三 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $