1.4.2 二次函数与一元二次方程的关系（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

### 基本信息 聚焦二次函数解析式求解与图像性质，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一方法到综合问题解决的知识进阶，培养运算能力与模型意识。 ### 分层设计 |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|待定系数法（一般式、顶点式、两点式）|基础解答题为主，结合三点、顶点、与x轴交点等条件设置梯度，强化运算能力| |能力提升|抛物线与x轴截线长计算|选择、填空与解答题结合，从直接计算到图像分析，发展几何直观| |综合应用|解析式综合、平移、最值等|跨知识点综合题，结合动态问题与情境，培养模型意识与推理能力|

1.4.2 二次函数与一元二次方程的关系 （第2课时） 题型一：待定系数法解求二次函数解析式（一般式） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，，．求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】设二次函数的解析式为，将代入解析式进一步求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 2．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知抛物线经过三点：． (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． (3)这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (3)函数有最小值，最小值为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）将一般式配方成顶点式，即可求解； （3）根据顶点式以及开口方向求解即可． 【详解】（1）解：将分别代入， 得 解得 所以这条抛物线对应的二次函数表达式为； （2）解：对二次函数配方得 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：抛物线开口向上 这个函数有最小值，最小值为． 3．（25-26九年级下·全国·单元复习）已知二次函数的图象满足下列条件，求它的函数表达式： (1)经过原点和点，对称轴为直线； (2)经过点、和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象过原点可设二次函数的解析式为，根据图象过点和对称轴方程列方程组即可求出a、b的值，可得二次函数解析式． （2）根据二次函数图象过点、和，设二次函数的解析式为，再建立方程组求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过原点， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：∵经过点、和， ∴设二次函数的解析式为， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 4．（25-26九年级下·贵州贵阳·阶段检测）已知二次函数的图象经过、、三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【详解】解：设二次函数的解析式为，把点、、代入得， ，解得， ∴这个二次函数的解析式为． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的表达式．熟悉利用待定系数法求二次函数的表达式是解题的关键． 根据待定系数法代入已知点坐标即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过，，三点， 代入已知点坐标，得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为：． 6．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【答案】(1) (2)向右平移个单位，再向上平移个单位 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及平移规则是解题的关键： （1）待定系数法求函数解析式，即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，进行判断即可． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 题型二：待定系数法解求二次函数解析式（顶点式） 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，待定系数法求解函数解析式． （1）由表格可得当和时的函数值相等，即可确定对称轴和顶点坐标，再由对称性求解值； （2）设顶点式，再代入一组的值即可求解抛物线的表达式． 【详解】（1）解：由表格可得顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设解析式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为． 2．（25-26九年级上·青海西宁·期末）二次函数的图象经过三点． (1)求这个二次函数的解析式，对称轴及顶点坐标； (2)若将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，则 ． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)2 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，顶点坐标，平移的规律： （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解； （2）根据抛物线平移的性质可得平移后的图象的解析式，再把点代入，即可求解． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的二次函数的解析式为， ∵平移后的图象恰好经过点， ∴， 解得：． 故答案为：2 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线的顶点坐标是且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，解析式通常可设为、等形式，选择适当的二次函数解析式的形式是解题关键．根据顶点坐标设解析式为，然后把点代入求出a的值即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是且经过点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． 4．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知抛物线过点，顶点是，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，设抛物线解析式为，把点代入，求出a值即可． 【详解】解∶设抛物线解析式为：， 把点代入， 得：， 解得：， 故抛物线解析式为． 5．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与函数平移的特点． （1）设抛物线的解析式为，把点代入，即可求解； （2）根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到， 即平移后的抛物线的解析式为． 6．（25-26九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数图象的顶点坐标是，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）理解题意，把点代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设二次函数的解析式为， ∵二次函数经过点， ∴， ∴， 解得， ∴这个二次函数的表达式； （2）解：∵二次函数的表达式； ∵点在该函数图象上， ∴， ∴ 解得或； 7．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）已知抛物线的顶点为，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 【答案】(1) (2)、 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，求抛物线与轴的交点坐标，理解并掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式； （2）当时，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 即， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 8．（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求此二次函数的表达式； (2)求此抛物线的开口方向______，对称轴______，与x轴的交点坐标______． 【答案】(1) (2)向上，直线， 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后把点代入进行求解即可； （2）根据（1）中函数解析式可进行求解． 【详解】（1）解：设，把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）可得：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 令时，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． 9．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）已知抛物线的顶点是，且过点． (1)求出抛物线的解析式． (2)求出抛物线与x轴的交点坐标． (3)当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查了待定系数法、抛物线与x轴的交点、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意，设抛物线的解析式为，再代入到抛物线解析式，求出的值即可； （2）令，求出对应的值，即可得出答案； （3）根据二次函数图象的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是， ∴设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和； （3）解：抛物线的图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小． 题型三：待定系数法解求二次函数解析式（两点式） 1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知关于的二次函数（，为常数）的图象经过点和． (1)求二次函数的解析式． (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）把点，代入交点式即可求解； （2）根据二次函数的性质，即可求出当时，的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和， 函数的解析式为． （2）解：， 该函数的顶点坐标为，且函数经过点和， 该函数图象如图所示： 由图象可得，当时，的取值范围为． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）已知二次函数图象与x轴的交点是，，与y轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)点在此抛物线上 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，设二次函数的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）由（1）得，则把代入，得出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与x轴的交点是，， ∵设二次函数的解析式为， 依题意，把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 当时，， 点在此抛物线上． 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数图象与轴的交点是，，与轴交于． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题主要考查二次函数，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据自变量的值求函数值，再进行判定即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把，，， 代入，得：， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， ∴点不在此抛物线上． 4．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线过，，三点．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． 利用交点式求抛物线的表达式． 【详解】解：设所求抛物线表达式为，由题知，，， ∴， 即， 把代入上式，得， 解得：， 所以， 即抛物线解析式为． 5．（25-26九年级上·广东梅州·阶段检测）已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求解的方法是解题的关键； 设出交点式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数图象经过、、三点. (1)求二次函数表达式； (2)结合图象直接写出时，自变量的取值范围是______. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后把点代入进行求解即可； （2）先得出图象，然后根据图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可设，把点代入得： ，解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：由（1）函数解析式可得图象如下： ∴由函数图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 题型四：求抛物线与x轴的截线长 1．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长． 【详解】解：由题意得：， 解得：x＝−3或x＝5， 故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 3．（20-21九年级上·安徽铜陵·阶段检测）抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 4．（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标，可得，求解和，再进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴ 解得：，； ∴， ∴ 故答案为： 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）抛物线与轴两交点间的距离为___________． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 7．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线，与x轴交于点A，点B，则的长度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得的值，解方程，即可求解． 【详解】解：∵抛物线（其中a为常数）的对称轴为直线， ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，即， 解得：， ∴, ∴， ∴, 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 题型五：抛物线与x轴截线长解答题综合 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）令，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得：， ∴这个抛物线的解析式为， ∵， ∴这个抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴两个交点坐标为， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)判断的形状． 【答案】(1)2 (2)等腰直角三角形 【分析】（1）根据题意，可以求出点和点的坐标，从而可以得到的长； （2）先求出点的坐标，再根据勾股定理可以得到和的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断的形状． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，， 抛物线与轴交于、两点在的右侧）， 点的坐标为，点的坐标为， ， 即线段的长为2； （2）抛物线， 当时，， 抛物线与轴交于点， 点的坐标为， 又点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和勾股定理的逆定理解答． 3．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 4．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 5．（25-26九年级上·山东泰安·期中）对于二次函数，分别满足下列条件，求相应的函数表达式． (1)当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； (2)图象在轴上截得的线段长是，且与轴交于正半轴． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题． （1）根据抛物线的轴对称性质可知：抛物线的对称轴为：，由抛物线对称轴公式即可求出值， （2）设抛物线与轴交点横坐标为、，由此可知，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：由已知得，抛物线的对称轴为：， 即，解得，． ． （2）令，得， ． 二次函数图象在轴上截得的线段长是， ，， ． 代入得， 解得：， 与轴交于正半轴， 可知，当时，， 解得． 所以不符合题意，应舍去． 题型一：待定系数法求解析式解答题综合 1．（2026·山东菏泽·二模）在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． 2．（2026·贵州·三模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式； (2)已知点在该二次函数的图象上，当时，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将、 代入，列方程组求 ； （2）先求出二次函数的对称轴，由二次函数开口向下，在对称轴左侧随增大而增大，右侧减小，求出最小值和最大值，即可求出的取值范围； （3）分类讨论与对称轴的位置关系，由二次函数的性质，根据最大值等于列方程求解即可． 【详解】（1）解： 过点和点， ，解得， 该二次函数表达式为 ． （2）解：由（1）得该二次函数表达式为 ， 对称轴 ，函数图象开口向下， 在对称轴左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小， 点在该二次函数的图象，当时， 当 时，取得最大值为 ． 当时， ； 当时，， ， 取不到 ， ∴ 的取值范围为 ， （3）解：由（2）得，二次函数，对称轴为， 当，即时， 在上， 随 增大而增大， 当 ，有最大值为， ， 化简得，解得或 （舍）， 当，即时， 当 时 ，有最大值为， ，解得 ，不符合题意，舍去， 当时， 在上， 随 增大而减少， 当 ，有最大值为， ， 化简得，解得或 （舍）， 综上， 或 ． 3．（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 4．（2026·浙江温州·三模）已知二次函数（b，c均为常数）． (1)若函数图象经过点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点A向右平移个单位，再向上或下平移1个单位后，恰好落在抛物线上，求m的值； (3)若函数图象上有两点，，且，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）把点A代入，得出，再根据对称轴是直线得出b，进而可得出二次函数的表达式． （2）根据点坐标的平移规律得出平移后的坐标，再代入二次函数解析式，解一元二次方程即可得出m的值． （3）根据抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称轴直线为，根据已知条件得出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 又， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：点A向右平移个单位，再向上或下平移1个单位后， 则点A的坐标变成或， 当，把代入得： ， 解得， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， 综上：的值为或． （3）解：在二次函数中，， ∴抛物线开口向下，对称轴直线为， ∵函数图象上有两点，，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 5．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)若抛物线向左平移n（）个单位后仍经过点A，求n的值． (3)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 ()于点N．当时，的长度随的长度增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的平移、二次函数的图象性质、一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线表达式求出的值； （2）先求出平移后抛物线的表达式，再将代入平移后的抛物线表达式求出的值； （3）根据题意得的坐标为，的坐标为，求出、的表达式，进而得到的长随的增大而增大，利用二次函数的性质列出不等式，从而求出的值． 【详解】（1）解：将代入抛物线得：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 抛物线表达式为， 平移后抛物线的解析式为， 将点代入得： ， 解得：或， ， ； （3）解：如图：∵， 的坐标为，的坐标为， ，， 、， 的长随的长增大而增大， 的长随的增大而增大， 抛物线中， 该抛物线的图象开口向下， 该抛物线的对称轴为， ， 解得：． 题型二：抛物线与x轴的截线中最值问题 1．（2026·浙江丽水·二模）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)过点与y轴平行的直线交抛物线于点B，若，求t的值； (3)若点，为二次函数图象上的两点，且，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，即可解答； （2）把代入函数，得点B的坐标为，，求出t的值，再根据即可解答； （3）由得到，从而得到，求出，由于，则随的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：∵过点与y轴平行的直线交抛物线于点B， ∴把代入函数，得， ∴点B的坐标为， ∵， ∴， 解得，， ∵二次函数自变量的取值范围为， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵点，为二次函数图象上， ∴，即， 解得， ∵ ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，为． 2．（2026·广西柳州·二模）某数学兴趣小组在组长的带领下对二次函数展开了深度探究． 基础回顾 组长先让大家回顾二次函数的基本性质 (1)若，当________时，函数有最小值，最小值________． 探究发现 经过合作探究，小组成员得出结论： “当自变量的取值范围受到限制时，二次函数的最小值不一定在顶点处取得．” (2)当时，求该范围内函数的最小值（用含的代数式表示），并用计算结果说明小组成员的结论成立． 拓展应用 基于前面的探究成果，小组成员尝试解决新问题，请你和他们一起完成： (3)在（2）的条件下，当时，的最小值为．设二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)小组成员的结论成立．理由如下： ， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值为； ②当时，在顶点处取得最小值， ∴当时，取得最小值为； ③当时，区间在对称轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值为； 综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为， ∴当或时，函数的最小值在端点处取得，而不是顶点处， ∴小组成员的结论成立． (3) 【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可； （2）先根据二次函数的图象与性质确定开口方向和对称轴，再分为，和三类讨论，结合二次函数的增减性计算函数的最小值即可； （3）结合（2）的结论容易计算出，将代入，求出与，进而求出线段的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值； （2）略 （3）解：由（2）可知，当时，的最小值为， ∵，与题干的最小值为矛盾， ∴， 又∵， ∴， 由（2）可知，此时的最小值为， ∴， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴． 3．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）若两条直线（）与（）存在交点，则这两条直线就叫做“伴随直线”，二次函数为“伴随函数”． (1)求直线的“伴随函数”解析式； (2)直线经过点，且m，n，t满足条件，求m的取值范围； (3)若直线（）的“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，当时，其“伴随函数”的最小值为，求其“伴随函数”的解析式． 【答案】(1) (2)且且 (3) 【分析】（1）根据“伴随直线”的定义先求出“伴随直线”的解析式，再根据“伴随函数”的定义即可解答； （2）根据题意得的“伴随直线”的解析式为，联立，解得，得到，由已知可得，再结合即可解答； （3）求出直线的“伴随函数”解析式为，根据“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，求出，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为； ∴，解得， ∴“伴随点”的坐标为． ∴“伴随函数”的解析式为． （2）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为， ∴，解得， ∴． ∵直线经过点， ∴，即． ∵， ∴， 解得， ∵，则， ∴， ∴且且； （3）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为， ∴，解得， ∴． ∴直线的“伴随函数”解析式为． ∵ “伴随函数”与轴两个交点的距离为， ∴． 解得，． ①当时，的对称轴为． ∵， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（舍去）， 此时． ∴“伴随函数”的解析式为． ②当时，的对称轴为． ∵， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（不合题意，均舍去）． 综上所述，直线的“伴随函数”的解析式为． 4．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)将抛物线向上平移个单位长度后与轴交于M，N两点，若，求的取值范围； (3)当时，抛物线的最大值和最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为-6或0 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法、根与系数关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据根与系数关系和两点之间的距离公式得到，根据得到，解不等式即可得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得 所以抛物线的表达式为：； （2）解：设M，N两点坐标分别为 因为抛物线向上平移个单位长度后为， 所以关于的方程的两个实数根为 所以 所以 因为， 所以， 解得； （3）解：抛物线开口向下，对称轴为， ①即时，随的增大而增大 时时 所以， 解得：； ②且，即时， 当时 ，当时 ， 所以， 解得：（舍） ③且，即时， 当时 时 ， 所以4－， 解得：（舍） ④时，随的增大而减小 时时 所以， 解得：； 综上所述，的值为或0． 1．（2026·内蒙古通辽·三模）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 2 4 2 … 则下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】先利用表格中的已知点求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断选项. 【详解】解：把，，代入，得， 解得， 二次函数解析式为； ， 抛物线开口向下，A错误； 当时，， 抛物线与轴交于正半轴，B错误； 对称轴为， ， 当时，随的增大而减小，C错误； 当时，，符合，D正确. 2．（2026·河南信阳·二模）已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，先求出对称轴，再计算的值，最后代入点坐标求即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称，可得抛物线对称轴为， 对于抛物线，对称轴为 ， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得． 3．（2026·河南周口·二模）开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线过点，，则抛物线顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求解函数表达式以及将抛物线表达式化为顶点式，能够熟练运用待定系数法和配方法是解题的关键． 根据待定系数法求出解析式即可求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 则， 故顶点坐标为． 4．（2026·江苏扬州·一模）已知抛物线顶点坐标为，且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线开口和形状确定二次项系数，再将顶点坐标代入顶点式，即可得出解析式． 【详解】解：设抛物线为， 抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ， 将代入可得． 5．（25-26九年级下·陕西·期中）已知二次函数（均为常数，且的顶点坐标为，当时，该二次函数的最大、最小值分别为，则的值为（   ） A．0 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴公式和待定系数法求出a、b的值，则可得到二次函数的解析式，根据二次函数的性质可推出离对称轴越远函数值越小，则可确定当时函数的最大值和最小值，进而可得答案． 【详解】解：∵二次函数均为常数，且的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且当时，函数有最小值，最小值为， ∴， ∵顶点的纵坐标为8， ∴函数的最大值为8，即， ∴． 6．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 7．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是________．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． 9．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过 两点，顶点为． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图象直接写出：时的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解两函数的解析式； （2）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：把 代入，得， 解得， ∴该抛物线解析式是：， 把 代入，得， 解得， ∴该直线的解析式是； （2）解：由图象得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值． 10．（2026·河南商丘·二模）如图，抛物线：，顶点为点P，点M的坐标为，点N的坐标为，连接． (1)抛物线过点时，求抛物线解析式及顶点P的坐标． (2)抛物线交线段于点A，且，求a的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点 (2) 【分析】（1）先用待定系数法求出函数关系式，再配方成顶点式，最后求出顶点坐标即可； （2）先求出长度为．再得出，得出．将点坐标代入抛物线，再求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为 ， ∴顶点． （2）解：由题可知，点A在MN上， ∵点，， ∴为水平线段，长度为． ∵， ， ∴ ，解得， ∴， ∴点的横坐标为， ∴． 将点坐标代入抛物线，得 ，则． ∴的值为． 11．（2026·浙江温州·二模）已知抛物线过点． (1)求这个抛物线的函数表达式． (2)点，是抛物线上两点． ①当时，求的值． ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把点代入得，； （2）①当时，把点，代入得，故；②把点，代入得，，由得，，故，故． 【详解】（1）解：把点代入得， ，解得，， ； （2）解：①当时，把点，代入得， ， 化简得，，即， 解得，， ； ②把点，代入得， ， 化简得，，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.4.2二次函数与一元二次方程的关系 待定系数法解求二次函数解析式（一般式） 待定系数法解求二次函数解析式（顶点式） 0基础达标题 待定系数法解求二次函数解析式（两点式） 求抛物线与×轴的截线长 抛物线与x轴截线长解答题综合 二次函数与一 元二次方程的关系 待定系数法求解析式解答题综合 ②能力提升题 抛物线与×轴的截线中最值问题 ③拓展培优题 高分冲刺题型 A 基础达标题 题型一：待定系数法解求二次函数解析式（一般式） 1. (25-26八年级下.浙江杭州阶段检测)已知二次函数的图象经过点A0,0,B2,0,C1,-3.求该 二次函数的表达式。 2.(25-26九年级下.全国课后作业)已知抛物线y=ax2+bx+c经过三点：（-1，-1)，(0，-2)，(1,1). (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 3.（25-26九年级下.全国单元复习)已知二次函数的图象满足下列条件，求它的函数表达式： (1)经过原点和点(-1,3)，对称轴为直线x=4: (2)经过点(1,1)、（-2,1)和(2，-3). 4.(25-26九年级下.贵州贵阳阶段检测)已知二次函数的图象经过1,0、(2，-2、0,4三点，求这个二 次函数的解析式， 5.(25-26九年级上.安徽合肥期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过0,0，-1，-11,1,9三 点，求这个二次函数的表达式。 1/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.（2025·上海杨浦.一模)已知抛物线 y=aX2+bx+cla≠0经过A0,1,B145,C9,12 (1)求抛物线的解析式： (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点-2,2引，那么平移的方法是 题型二：待定系数法解求二次函数解析式（顶点式） 1.(25-26九年级上·福建泉州期末)已知二次函 y=aX+bx+cla≠0图象上的部分点的横坐标x纵 坐标y的对应值如下表： X … -4 -3 5 2 -2 m -1 1 0 2 11 11 3 13 y 1 -2 -3 n 1 4 4 4 4 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是一， m= n= (2)求该二次函数的表达式， 2.(25-26九年级上·青海西宁期末)二次函数的图象经过-1,0,3,0,0,3三点 (1)求这个二次函数的解析式，对称轴及顶点坐标： (2)若将此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移nn>0个单位，图象恰好经过点5，-2，则 n=. 3.（25-26九年级上，安徽合肥期中)已知抛物线的顶点坐标是-1,2且经过点-2,4，求该抛物线的解 析式 4.(25-26九年级上，广东江门期中)已知抛物线过点A(5,2,顶点是2，-1，求此抛物线的解析式. 5.(25-26九年级上·甘肃张掖阶段检测)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为2，-4，且经 过点1，-71. (1)求该抛物线的解析式： (2)将（1)中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的 解析式 6.(25-26九年级上·浙江丽水.期中)已知二次函数图象的顶点坐标是1，-4，且经过点4,5. (1)求这个二次函数的表达式： 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点Bm,2在该函数图象上，求m的值. 7.（25-26九年级上新疆喀什期中)已知抛物线的顶点为1，-4，与y轴交于点0，-3. (1)求该抛物线的解析式 (2)求出这条抛物线与x轴的交点的坐标 8.(25-26九年级上·河南安阳阶段检测)已知：抛物线的顶点坐标为1，-4，且经过点-2,5， (1)求此二次函数的表达式： (2)求此抛物线的开口方向 对称轴一，与x轴的交点坐标」 9.(25-26九年级上四川广元阶段检测)已知抛物线的顶点是-1，-2，且过点1,10. (1)求出抛物线的解析式. (2)求出抛物线与x轴的交点坐标， (3)当x为何值时，y随x的增大而减小？ 题型三：待定系数法解求二次函数解析式（两点式） 1.(25-26九年级上·浙江温州期中)已知关于X的二次函数y=x+bx+c(b,c为常数)的图象经过点 A-1,0和B3,0. (1)求二次函数的解析式 (2)当y<0时，直接写出x的取值范围， 2.(25-26九年级上广东中山期中)已知二次函数图象与x轴的交点是1,0,3,0，与y轴交于0,3. (1)求该抛物线的解析式： (2)判断点P-1,8是否在此抛物线上 3.(25-26九年级上·吉林松原期中)已知二次函数图象与x轴的交点是1,0,3,0，与y轴交于0,3. (1)求该抛物线的解析式： (2)判断点P-2,-8是否在此抛物线上. 4.(25-26九年级上广西崇左阶段检测)抛物线y=ax+bx+c过A-2,0,B3,0,C0,6三点.求抛 物线的表达式. 5.(25-26九年级上广东梅州阶段检测)已知二次函数图象经过点1,4，-1,0和3,0三点，求二次函数 的表达式。 6.（25-26九年级上浙江杭州期中)已知二次函数图象经过-1,0、1,3、3,0三点. (1)求二次函数表达式： 3/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)结合图象直接写出y>0时，自变量x的取值范围是 题型四：求抛物线与x轴的截线长 1.(25-26九年级上·新疆喀什期中)二次函数y=x-2x-3的图象与x轴交于A,B两点，则线段AB的 长度为() A.2 B.3 C.4 D.5 2.（25-26九年级上·福建福州阶段检测)抛物线y=-x2十2x十6在直线y=-9上截得的线段长度为( A.6 B.7 C.8 D.9 3.(20-21九年级上·安徽铜陵阶段检测)抛物线y=x2-2x-4在X轴上截得的线段长度是() A.2V5 B.2 c.3V5 D.5 4.(25-26九年级上·天津阶段检测)如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交点间的距离为 5.(25-26九年级上.安徽蚌埠.阶段检测)已知抛物线y=x-2x-1与x轴交于点A,B,则线段AB的长 为 6.(25-26九年级上·黑龙江绥化开学考试)抛物线y=-x+7x-10与x轴两交点间的距离为 7.（25-26九年级上·江苏期末)如图，抛物线， y=X-ax-(a+1)(其中a为常数)的对称轴为直线x=1' 与x轴交于点A,点B,则AB的长度为 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(24-25九年级上安徽毫州阶段检测)如果抛物线y=2x-17与直线y=1交于A、B两点，则点A与 点B两点之间的距离AB= 题型五：抛物线与x轴截线长解答题综合 1.（25-26九年级上浙江金华期末)已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点A-2,4和点B1,-2, (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标. (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离。 2.(25-26九年级上山东德州期中)抛物线y=-x2+1与x轴交于A、B两点(A在B的右侧)，与y轴 交于点C. (1)求线段AB的长： (2)判断△ABC的形状， 3。(24-25九年级上辽宁铁岭，阶段检测）已知抛物线的解析式为y=X-2n-3x+n-4n为常数) (1)当n=2时，求抛物线L与x轴的两个交点分别为A和B之间的距离： (2)求证：抛物线L与X轴必有两个交点. 4.(2425九年级上湖北咸宁：期末)己知关于x的一元二次方程X-a-1x+a-2=0 (1)求证：该方程总有两个实数根： 2若抛物线y=X2-a-1X+a-2与x轴交于点A'B:且AB=2求a的值. 5.(25-26九年级上山东泰安期中)对于二次函数y=x2-2ax+2a+3,分别满足下列条件，求相应的 函数表达式. (1)当x>5时，y随x增大而增大，当x<5时，y随x增大而减小： (2)图象在x轴上截得的线段长是3，且与y轴交于正半轴. 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：待定系数法求解析式解答题综合 1.(2026山东菏泽.二模)在直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+1(a,b是常数，a≠0)与y轴相交于 点A. (1)若抛物线经过点1,6，-2,3，求a,b的值； (2)已知3a+b=0,若-1≤x≤2，y有最大值9，求a的值. 2.(2026贵州.三模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A-3,0和点 C0,3. (1)求该二次函数的表达式： (2)已知点Mm,n在该二次函数的图象上，当-2≤m<2时，求n的取值范围： (3)当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值为2t,求出t的值. 3.(2026福建福州模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交y轴于点A,且过点 B-1,2,C3,01. (1)求抛物线的函数解析式； (2)将抛物线向右平移mm>0个单位，当平移后抛物线经过点C时，求m的值. 4.(2026浙江温州三模)已知二次函数y=-x+bx+c(b,c均为常数). (1)若函数图象经过点A0,3,且对称轴是直线x=1,求二次函数表达式： (2)在(1)的条件下，点A向右平移mm>0个单位，再向上或下平移1个单位后，恰好落在抛物线上， 求m的值； (3)若函数图象上有两点b-2,y,小b,y,且y,>y,求b的取值范围。 5.(2026浙江温州.二模)已知抛物线y=x2-ax+3(a为常数)经过点A1,0. 6/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求a的值 (2)若抛物线向左平移n(n>0)个单位后仍经过点A,求n的值. (3)过点Pm,0作x轴的垂线，交抛物线y=x2-ax+3于点M,交直线y=kx(k>0)于点N.当1<m<3时， MN的长度随AP的长度增大而增大，求k的取值范围. 题型二：抛物线与x轴的截线中最值问题 1. (2026浙江丽水.二模)已知二次函数 y=x2-6x+5(1≤x≤6) (1)求二次函数图象的顶点坐标： (2)过点A(t,0)与y轴平行的直线交抛物线于点B,若AB=5,求t的值： 3)若点MX,y,小NX,y,为二次函数图象上的两点，且x-X=4求y,-y,的最大值. 2.(2026广西柳州.二模)某数学兴趣小组在组长的带领下对二次函数y=x2-2t权+3展开了深度探究. 基础回顾 组长先让大家回顾二次函数的基本性质 (1)若t=2,当x= 时，函数y有最小值，最小值= 探究发现 经过合作探究，小组成员得出结论： “当自变量X的取值范围受到限制时，二次函数的最小值不一定在项点处取得.” (2)当-1≤x≤3时，求该范围内函数y的最小值（用含的代数式表示），并用计算结果说明小组成员的结 论成立 拓展应用 基于前面的探究成果，小组成员尝试解决新问题，请你和他们一起完成： (3)在(2)的条件下，当t>-1时，y的最小值为-1.设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为 Ax1,0Bx,0求线段AB的长度. 3.(25-26九年级下.安徽芜湖期中)若两条直线y=mx+n(m≠0)与y=x+m(n≠0)存在交点 Ps,t,则这两条直线就叫做“伴随直线”，二次函数y=mx+x+t为“伴随函数”· (1)求直线y=3x+2的“伴随函数”解析式： 7/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)直线y=mx+n经过点-2,3，且m,n,t满足条件4m<t<2n,求m的取值范围； (3)若直线y=mx+n(m>1)的“伴随函数”与x轴两个交点的距离为2只V2,当m≤x≤m+6时，其“伴 随函数”的最小值为-m,求其“伴随函数”的解析式. 4.(25-26九年级上山东聊城期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A0,3和点 B-3,0. (1)求该抛物线所对应的函数表达式： (2)将抛物线y=-x2+bx+c向上平移m个单位长度后与x轴交于M,N两点，若MN>6,求m的取值范围： (3)当t≤x≤t+1时，抛物线y=-x2+bx+c的最大值和最小值的差为3-t,求t的值. 拓展培优题 1.(2026内蒙古通辽三模)二次函数y=ax+bx+c的y与x的部分对应值如下表： 0 1 3 5 y -8 则下列判断正确的是( A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴 C.当x>1.5时，y随x的增大而增大 D.当x=-1时，y<0 2.(2026河南信阳.二模)已知抛物线y=x2+mx-2经过-2，n和3，n两点，则n的值为() A.-2 B.4 C.3 D.5 3.(2026河南周口二模)开封铁塔分层轮廓近似抛物线，已知抛物线y=-x2+bx+c过点1,0,3,0， 则抛物线顶点坐标为() A.2,1 B.2,2 c.2,3 D.3,2 4.(2026-江苏扬州，一模)已知抛物线y,顶点坐标为-1,2且与y,=X2的开口方向、形状大小完全相同. V 则抛物线y,的解析式为（(） Ay=x-1P+28.y=x+1+2Cy=-x+1P+2D.y=-(x-1P+2 5.（25-26九年级下，陕西期中)己知二次函数y=ax+bx+4(a、b均为常数，且a≠0）的顶点坐标 为2,8，当-2≤x≤5时，该二次函数的最大、最小值分别为m、n,则m+n的值为() 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.7 c.-9 D.-16 6.(25-26九年级下·河南周口·阶段检测)若抛物线y=x+dx+e与X轴两交点距离为4，对称轴为x=2, 则抛物线解析式为 7.(25-26九年级上浙江台州阶段检测)如图，二次函数y=x2+6x+C的图象与x轴交于A,B两点，与 y轴正半轴交于点C,若AB=4,则点C的坐标是 8.(23-24九年级上上海普陀期中)定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的 “割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线y=x-5与X轴交于点A,与y轴 交于点B,点B恰好是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则此时抛物线关于直线y=x-5的割距是 MB 9.(25-26八年级下-浙江金华期中)如图，已知抛物线y,=X2+bx+c经过A1,0),B(0,2)两点，顶点 为D. B (1)分别求抛物线， 我y,=X2+bx+c和直线AB:y2=x+mk≠0的解析式： 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)请根据图象直接写出：y1>y2时x的取值范围： 10.(2026河南商丘二模)如图，抛物线：y=ax-2x,顶点为点P,点M的坐标为2,2，点N的坐标 为6,2，连接MN. (1)抛物线过点6,0时，求抛物线解析式及顶点P的坐标. (2)抛物线交线段MN于点A,且MA=3NA,求a的值. 1.(2026浙江温州二模)已知抛物线y=aX2+2x+3a≠0过点3,0 (1)求这个抛物线的函数表达式， (2)点Am,n,Bm+2,t是抛物线上两点， ①当n=t时，求t的值， ②当n≥0时，求n-t的取值范围. 10/10