5.4 二次函数与一元二次方程 课后同步练习（含解析）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程核心关联，通过基础巩固、图像分析、综合应用三阶分层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|求交点坐标、基本图像性质|直接计算题型，如单选1-5求x/y轴交点，夯实概念理解| |中档层|图像与方程根的关系、性质综合|图像分析题型，如单选6-10判断根的范围，填空题14-15结合表格与顶点，发展推理能力| |提高层|函数与几何综合、动态问题|探究性解答题，如19-21题平行四边形存在性、面积最值，体现模型意识与应用能力|

5.4 二次函数与一元二次方程 课后同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．函数  的图象如图所示，那么关于一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个正实数 B．有两个异号实数根 C．有两个负实数根 D．没有实数根 5．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 7．如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 8．关于函数的图象叙述正确的是（    ）． A．抛物线的开口向上 B．顶点坐标是 C．与x轴有两个交点 D．对称轴是直线 9．二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（    ） A． B．， C．， D．， 10．已知二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值为，最小值为，______（请用含的代数式表示）． 12．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 13．已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 14．已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 15．如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________． 三、解答题 16．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 17．已知抛物线． (1)用配方法将化成的形式． (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在直角坐标系中画出它的示意图． (3)当x取何值时，，，？ 18．九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； (2)根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)进一步观察探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 19．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，如果，求点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，如果以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 20．如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 21．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式及点的坐标； (2)若是轴负半轴上的一点，且，若把点以点为中心顺时针旋转时恰好与该拋物线上的点重合，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，若在该抛物线上有一点使得，则这个点的坐标是 （直接填写结果，不需要写解答过程）． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A C D A D D C 1．【答案】B 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，令，解方程即可求解． 【详解】令，得， 解得或 ∴二次函数的图象与轴的交点坐标是和． 故选：B． 2．【答案】B 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数图象与y轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．即令，代入函数解析式计算的值． 【详解】解：当时，， ∴ 交点坐标为． 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴、与x轴的交点逐一判断可得答案． 【详解】解：A、由抛物线开口向上知，此选项错误； B、由抛物线与y轴交于负半轴知，则，此选项错误； C、由抛物线的对称轴位置得，此选项错误； D、由抛物线与x轴有两个交点，即关于的方程有两个不相等的实数根，则，此选项正确． 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，关键是通过看图象直线与抛物线的交点个数．由图可知的根的情况即图中图象和x轴交点的横坐标，为两个不相等的正数． 【详解】解：∵函数的顶点的纵坐标为3， ∴直线与函数图象只有一个交点， ，相当于函数的图象向下平移2个单位， ∴方程的根为两个不相等的正实数根． 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 6．【答案】D 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令（，a，b，c为常数），根据表格信息，进而可求解． 【详解】解：令（，a，b，c为常数）， 当时，， 当时，， 时，二次函数的函数值范围为， 即方程的一个解x的范围是， 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了图象法求不等式的解集，结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 故选：A． 8．【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据题目中的函数和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵函数，， ∴该函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线， 当时，，整理得，无实数解， ∴该函数图象与x轴没有两个交点， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 9．【答案】D 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】根据二次函数图象的对称性结合题意，可知该二次函数的图象必经过点(3，-1)，即可直接得出的解为，． 【详解】∵二次函数的图象经过点(1，-1)，且图象对称轴为直线x=2， ∴该二次函数的图象必经过点(3，-1)． ∴的解为，． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，一元二次方程和二次函数的关系．根据二次函数图象的对称性求出该二次函数必经过的另一个点的坐标是解答本题的关键． 10．【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据二次函数图象与x轴有交点，则求出或，由二次函数为实数，点是该函数图象与轴的一个交点，且，从而得到或或，最后计算即可得解． 【详解】解：二次函数为实数的图象与x轴有交点， ∴， ∴或， ∴或， ∵点是该函数图象与轴的一个交点，且，且二次函数的开口向下， ∴，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，或． 故选：C． 11．【答案】 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴所在范围、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点两点， 图象开口向下，对称轴为直线，即， ， ， 当时，函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值， ，， ， 故答案为：． 12．【答案】6 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 13．【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 14．【答案】或5 【知识点】函数的三种表示方法、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题主要考查求二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识点，从列表中获取信息是解题的关键． 根据列表可知抛物线经过和对称轴，进而求得c，则，即，当时对应的x值，然后根据列表即可解答． 【详解】解：根据列表可知：当时，；当时，；当时，， ∴二次函数的解析式为，对称轴为， ∵， ∴， 由列表可得：当时，． ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，． ∴关于x的方程的解是或5． 故答案为：或5． 15．【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，解题的关键是将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题． 将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此分析解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线与直线有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 16．【答案】(1)，在 (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可． （1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上； （2）求解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：， ∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得： ， 解得：. 17．【答案】(1) (2)对称轴是，顶点坐标是，图象如图所示 (3)当或 当或 当 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、图象法确定一元二次方程的近似根、根据交点确定不等式的解集、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】对于（1），关系式右边先提出2，再配方形成完全平方公式的形式即可； 对于（2），根据（1）中的顶点式得出顶点坐标和对称轴，并画出抛物线； 对于（3），观察图象判断即可． 【详解】（1）； （2）由（1）可知二次函数的顶点式为， ∴二次函数关系式的对称轴是，顶点坐标是． 抛物线与y轴的交点是，画出抛物线，如图所示． （3）观察图像可知当，或时，； 当或时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，画二次函数图像，观察图像求值等，理解图像与x轴的上下关系就是函数值与0的大小关系是解题的关键． 18．【答案】(1)0 (2) 如图所示： (3)①3，3；②2；③ 【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，关键是对函数图象的认识和函数性质的掌握． （1）把代入，即可解得答案； （2）由列表，描点，连线，即可得出函数图象； （3）①观察图象即可解答； ②方程的根为函数与的交点的个数，观察图象，即可得出答案； ③方程的根为函数与的交点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入函数解析式可得：， 所以． 故答案为：0； （2）解：略． （3）解：①由函数图象知，函数图象与轴有3个交点， 所以方程有3个实数根； ②如图： 函数图象与直线有2个交点， 所以有2个实数根； ③由函数图象可知，关于的方程有4个实数根， 则直线在直线和轴之间， 所以． 故答案为：①3，3；②2；③． 19．【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与线段及特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据抛物线与轴的交点，利用交点式即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，表示出即可求解； （3）分类讨论为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线时为平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的解析式为： （2）解：如图所示：    令，可得， ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴ 解得： ∴点的坐标为或 （3）解：由两点可得抛物线的对称轴为：直线， 设 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 为平行四边形的对角线时： ， 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为 20．【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 21．【答案】(1)， (2) (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）过点E作轴于点H，设点P的坐标为，其中，证明，则，，则，当点E恰好在该二次函数的图象上时，有，即可求得答案； （3）分点M在x轴上、点M在x轴两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入得到， ， 解得 ∴， ∵， ∴顶点D的坐标是； （2）如图1，过点E作轴于点H，设点P的坐标为，其中， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴，， ∴， 当点E恰好在该二次函数的图象上时， 有， 解得（由于所以舍去）， 故所求t的值为， ∴点P的坐标是； （3）设点， ①若点M在x轴上方， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 如图2，过点M作轴于点N，过点D作轴于点F． 由（2）可知点E的坐标是， 设直线的解析式为， 则 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点H的坐标为， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵,， ∴， ∴，（舍去）， 当时，， ∴点M的坐标是 ； ②若点M在x轴下方， 用同样的方法得， 综上所述，点M的坐标是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 学科网（北京）股份有限公司 $