5.3 二次函数的应用 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学九年级上册“二次函数的应用”同步练，以“基础巩固-情境应用-综合拓展”分层设计，通过生活情境问题链培养模型观念与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|增长率公式、图形面积公式|如第5题增长率函数关系、第7题正方体表面积，直接考查概念理解| |中档|函数建模与基本应用|如第3题销售利润、第12题投球轨迹，结合生活情境建立二次函数模型| |提高|动态问题与综合分析|如第16题动点面积、第20题利润最值，需结合几何直观与运算推理解决复杂问题|

5.3 二次函数的应用 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（   ）      A． B． C． D． 3．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（  ） A． B．3 C．8 D．10 5．某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y 与x的函数关系式是（    ） A．y=x+m B．y=m（x-1） C．y=m（1+x） D．y=m（1-x） 6．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试．飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式是，则飞机的滑行时长是（    ） A． B． C． D． 7．正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的函数关系式为 （   ） A． B． C． D． 8．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   9．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（  ） A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度 C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外 10．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 二、填空题 11．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长（单位：）与面积（单位：满足函数解析式，则矩形的面积的最大值为________． 12．掷实心球是我市初中学业水平体育考试项目之一，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线．在一次模拟测试中，小明掷出的实心球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，则该次测试小明的成绩为_______m． 13．某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为________． 14．某企业研发出了一种新产品准备销售，已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，据调查年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为： ，则当该产品的售价x为________．（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大． 15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 三、解答题 16．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线 方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 17．中国的基建速度震惊世界，大大地激发了青少年对桥梁和道路建设的兴趣．如图，小宇利用计算机设计了一款桥梁，桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为，并利用计算机软件模拟水面情况．    (1)若桥拱与抛物线的形状相同，则 ． (2)在（1）的条件下，当水面的宽度为时，求桥拱顶点到水面的高度． 18．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上如图1，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间的关系式是． (1)求喷出的水流距水平面的最大高度； (2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 19．掷实心球是某市中考体育选考项目．小西（男生）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知小西掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)下表为某市中考体育投掷实心球项目评分表，按此评分标准，该生在此项考试中得分为多少？说明理由． 项目 评分表（成绩） 20分 19分 18分 17分 16分 原地掷实心球 米 12.10 11.70 11.30 10.90 10.50 20．某商家销售一种糕点，每盒进价为元．在销售过程中发现，周销量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价（元） … … 周销量（盒） … … (1)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (2)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C D C C C B 1．【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 2．【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故选：C． 3．【答案】B 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是正确理解题意，根据题意把代入解析式即可求解 【详解】解：由题意，当时，则， 解得（舍去），． 故选：D． 5．【答案】C 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意列出函数关系式即可，先求得第一年的利润m（1+x），再求得第二年的利润为m（1+x） 【详解】根据题意，某企业的销售利润原来是m万元，经过连续两年的增长达到了y万元，每年增长的百分数都是x，则, 故选C 【点睛】本题考查了二次函数的应用，明确题意、掌握增长率问题是解题的关键． 6．【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，正确进行配方是解题关键． 由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当取得最大值时，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：∵ ， ∴ 当时，取得最大值，飞机停止滑行， ∴ 滑行时长为， 故选：D． 7．【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据正方体有6个正方形面列式即可得解． 【详解】解：∵正方体有6个表面， ∴y=6x2， ∴y与x关系式为y=6x2， 故选：C 【点睛】本题是对函数关系式的考查，明确正方体有6个正方形面是解题的关键． 8．【答案】C 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可 【详解】解：如图，当时，    重叠部分为三角形，面积， 如图，当时，    重叠部分为梯形，面积， ∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50， 纵观各选项，只有C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确， 当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误 当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 10．【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D错误，不符合题意． 11．【答案】121 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了图形和二次函数的问题，根据二次函数的性质解题即可． 【详解】解：由函数关系可知， ∵二次函数的二次项系数即， ∴当时，y最大值． 故答案为：121． 12．【答案】10 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意把函数问题转化为方程问题．求出当时，x的值即可． 【详解】解：把代入得：， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：10． 13．【答案】或 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据平均增长问题，可得答案． 【详解】解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2． 故答案为：y＝2（x+1）2． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 14．【答案】50 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意分别列出当时和当时的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设企业销售该产品获得的年利润为w元，根据题意得： 当时， ， ∵-2<0， ∴当x=50时，w有最大值，最大值为800； 当时， ， ∵-1<0， ∴当x>55时，w随x的增大而减小， ∴当x=60时，w有最大值，最大值为600； ∵800>600， ∴当x=50时，w有最大值， 即当该产品的售价x为50（元/件）时，企业销售该产品获得的年利润最大． 故答案为：50 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 15．【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 16．【答案】(1) (2) 性质：函数值的最大值为8； (3)或． 【知识点】一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，①当，点在上，点在上，②当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 【详解】（1）解：，， ， ①当，点在上，点在上， 此时，， ； ②当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为； （2）解：列表如下： 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 （3）解：由函数图象可知，当函数时或． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出抛物线解析式是解题关键． （1）根据桥拱与抛物线形状相同，可直接确定a的值； （2）由题意可确定点B的横坐标为，从而可求出y的值，即得出的长． 【详解】（1）解：∵桥拱与抛物线的形状相同， ∴； （2）解：由（1）可知函数解析式为． ∵水面的宽度为， ∴点B的横坐标为． 将代入，得：， ∴桥拱顶点到水面的高度． 18．【答案】(1)2.25米 (2)2.5米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（1）把抛物线解析式的化成顶点式，求顶点坐标，即可求解； （2）求出抛物线与x轴的交点，即可解决问题． 【详解】（1）解：， 顶点是， 故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米； （2）解：解方程， 得，， 点坐标为， ． 故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外． 【点睛】本题考查抛物线的实际应用，解题词关键是掌握抛物线顶点，与轴交点的实际意义． 19．【答案】(1) (2) 解：该生得分为19分，理由如下： 在中，当时，则， 解得，（不合题意，舍去）， （米）， ∵， 根据上表可得该生得分为19分． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法解题即可； （2）令解析式中的，求出自变量的值，对照表格即可解题． 【详解】（1）解：由题意得：函数的顶点的坐标为，且函数的图象经过点， 设函数解析式为， 则， 解得； ∴函数表达式为； （2）略 20．【答案】(1)当销售单价定为元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为元 (2)元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用． (1)设关于的函数表达式为，用待定系数法求出一次函数的解析式；设销售利润为元，根据利润销量单件利润，可得关于的函数关系式，根据二次函数的性质可以求出最大利润； (2)根据，求出每周利润的取值范围，即可得到每周至少可获得的利润． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 当时，， 当时，， 可得：， 解得： 关于的函数表达式为； 设销售利润为元， 由题意可得：， 整理得：， ， 有最大值， 当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； （2）解：由(1)可知每周出售这种糕点所获利润， 又， 当时，所获利润最小为元； 当时，所获利润最大为元， 销售单价需满足，则每周至少可获得元的利润． 学科网（北京）股份有限公司 $