1.5 二次函数的应用（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以二次函数实际应用为主线，通过图形、拱桥、利润等六大题型构建"基础应用-综合建模-拓展探究"三阶分层，覆盖函数解析式求解、最值计算等核心考点，强化数学建模与实际问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|矩形面积、简单利润计算等单一问题|如题型一"栅栏围矩形"，直接应用二次函数求最值，巩固概念理解| |综合建模|拱桥、投球等轨迹分析，结合几何与运动|如题型二"抛物线隧道限高"，需建立坐标系转化实际问题为函数模型| |拓展探究|动点、阅读理解等复杂情境，多知识点融合|如"跳长绳方案设计"，综合函数、几何与实际约束条件，培养创新意识与推理能力|

1.5 二次函数的应用 题型一：二次函数实际应用之图形问题 1．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 2．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 4．（25-26九年级上·广东韶关·期末）已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？（结果保留） 5．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 6．（25-26九年级下·全国·课后作业）有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 7．（2026·河南周口·模拟预测）在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙（长约），他们想用的围栏围出一个矩形保护区域，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长为，并在边上留一个宽为的门． (1)若矩形区域长比宽多，求此时长方形的长． (2)设长方形区域的长为，请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值． (3)求长方形区域的面积S的最大值． 题型二：二次函数实际应用之拱桥问题 1．（25-26九年级下·江苏常州·期中）某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）图1是放在水平桌面上的酒杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，，D是的中点．当酒杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将酒杯绕点F缓缓倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内白酒的最大深度是______． 4．（2019·吉林长春·二模）如图，有一个横截面边缘为抛物线形的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度约为___________（结果精确到）． 5．（18-19九年级上·辽宁大连·期末）某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽  200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度__________． 6．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________． 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 题型三：二次函数实际应用之最大利润问题 1．（2026·江苏宿迁·二模）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 2．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 3．（2026·山东临沂·三模）综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ________ ________ 月销售量（盒） ________ ________ ________ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的．设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 销售单价x（元/盒） 60 65 70 月销售量y（盒） 1400 1300 1200 4．（2026·辽宁辽阳·一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 6．（2026·河南周口·三模）河南特产：铁棍山药实体店、网店两种销售模式，实体店进价8元/斤，售价元；销量y （斤）与单价x （元/斤）满足一次函数：，，，． (1)求y与x解析式； (2)网店每斤成本6元，单价不低于成本且不高于15元，求网店单日最大利润． 题型四：二次函数实际应用之投球问题 1．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 2．（2026·广西柳州·二模）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 竖直高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． (1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？ 3．（2026·福建福州·三模）在学校组织的班级篮球比赛中，九年级班数学兴趣小组的同学想用数学知识研究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图），并测量了相关数据进行研究．如图所示，小明投篮的出手点在地面的正投影为点，以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． 小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点离地面高度为米，篮筐中心到点的水平距离为米，离地面高度为米，篮球运动路线的最高点到点的水平距离为米．假设篮球运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果球员小亮准备站在点与点之间的点（与点、点不重合）处拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为米，当他能成功拦截时，求的取值范围． 4．（2026·新疆昌吉·模拟预测）在昌吉市初中阶段学校招生体育考试的实心球投掷项目中，球的飞行轨迹在平面直角坐标系中可抽象为抛物线（不考虑空气阻力）．某考生投掷时，实心球从点处飞出，其竖直高度与水平距离的函数图象如图所示．已知该抛物线的顶点坐标为，且图象经过起点，点的纵坐标为．请结合以上信息解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)昌吉市中考体育评分标准规定：实心球投掷项目中，男生满分标准为投掷水平距离（即“射程”）达到． ①若落地点的纵坐标为，请通过计算判断该生此项考试是否获得满分； ②在实际考试测量中，落地痕迹显示实心球是“砸”在地面上，若球体中心触地瞬间使水平距离比理论落地点（处）减少了米，要保证该生依然能够获得满分，求的最大值是多少？（结果保留一位小数） 5．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在铅垂线为轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． ①直接写出和的值； ②小明的前方有一堵高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围； (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 7．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 题型五：二次函数实际应用之其他最值问题 1．（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 2．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）为落实党和国家的“三农”政策，武汉市农科所派遣农业专家在汉南区指导果农种植苹果树．某果园种有60棵优质苹果树，平均每棵结500个苹果．果农现希望多种一些苹果树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据种植经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，设果园准备多种植x棵苹果树． (1)平均每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式； (2)要使果园里苹果的总产量W（个）最大，果园应种植苹果树多少棵？ (3)受光照等条件影响，当该果园里苹果总产量超过31000个时，生长的苹果品质会显著下降．若每棵苹果树所结苹果数不少于350个，在确保苹果品质的前提下，该果园最多可多种植苹果树的棵数为（直接写出结果）． 3．（2026·河南驻马店·三模）近年来，我国在人工智能领域取得重大突破，智能机器人技术已广泛应用于物流、仓储等领域．在某科技公司的测试场上，两个物流机器人A和B正在进行性能测试，如图所示，在100m长的直线测试跑道上，机器人A和B同时从起点出发向终点运动，到达终点后停止．机器人A，B的运动路程（m），（m）与时间（s）均为二次函数关系．其中测得与的几组数据如下表，与的函数表达式为． /s 0 1 2 3 4 … /m 0 1 4 9 16 … (1)求出与的函数表达式． (2)开始运动后，机器人A，B到达终点前能否相遇？若能，求出相遇时的值；若不能，请说明理由． (3)运动过程中，当机器人A，B之间的距离最大时，直接写出的值和最大距离． 题型一：二次函数实际应用之动点问题中最值 1．（25-26九年级下·广西防城港·期中）综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，中，一动点P从C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着方向以的速度运动，两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为． (1)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． (2)当t为几秒时，四边形的面积最小？是多少？ 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 5．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在 中，，，，动点P 从 A沿以向 B 运动， 动点Q 从B 沿以向C 运动，同时出发．设 面积为 S，运动时间为t()． (1)当时，求S 的值； (2)求S 关于t的函数表达式； (3)求S的最大值及对应t的值． 6．（25-26九年级下·天津·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果，两点分别从，，两点同时出发，出发时间为（，单位：）．有下列结论： (1)___________， ___________（用含的式子表示）； (2)___________（用含的式子表示），的最大值是___________； (3)当的面积是9时，的值是___________． 题型二：二次函数实际应用之阅读理解中最值 1．（2026·广东佛山·三模）【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 2．（2026·山东济南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为轴，锅的竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】   如图，建立基础模型 (1)求抛物线 (2)初始状态下的函数表达式为_______________________． 【任务二】 如图，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为_______________________． 【任务三】 安全空间评估 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图，点是锅盖上任意一点，平行于轴交进风口于点，求线段的最小值；若大于才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？ 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）【问题背景】 排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为________，排队人数w与安检时间x的函数关系式为________． 【模型应用】 (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最多人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 4．（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 5．（2026·广东深圳·模拟预测）问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的关系式； 【问题解决】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； 6．（25-26九年级下·广西桂林·自主招生）综合与实践 【问题情境】年广西玉林首届马拉松赛吸引了近万名跑者参赛，赛前运动员需在玉林市政广场的主检录区完成检录入场．组委会采用电子芯片核验与人脸识别技术，检录时间为赛前分钟．某校数学兴趣小组针对该主检录区，开展“检录排队人数与开放通道之间的关系”进行探究活动．经调研与测算，该主检录区每个通道每分钟可检录名运动员，每人完成核验后立即入场，不再排队；检录开始后，陆续到达该检录区的运动员总人数（人）与时间（分钟）满足关系式： ； 任意时刻满足：排队人数到达总人数已完成检录人数（通道空场时间忽略不计）． (1)若组委会先开放个检录通道． ①直接写出排队人数（人）与检录时间（分钟）之间的函数关系式； ②求第几分钟后，该检录区不再有运动员排队等待检录． 【模型运用】 (2)根据赛事保障要求及尽可能减少检录通道，需在分钟内（包含分钟），排队等待检录的人数开始减少，至少要开放多少条检录通道？ 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·三模）如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东威海·期末）喷泉水流从垂直于水池底面的水管喷出，米．水流在各个方向上沿抛物线路径落入水池内．水流的落点到的水平距离为米．水流喷出的高度（米）与水平距离（米）满足关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（2026·江苏泰州·二模）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 6．（2026·山西吕梁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中，，表示三角形的三条边长，．现有某社区计划用一段长为的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为，则围成的三角形绿化区域面积最大为_________． 7．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______． 8．（2026·湖北襄阳·三模）从地面以初速度v（单位：）竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）和小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为，已知当时，． (1)求小球的初速度v； (2)当时，求小球运动的路径长； (3)假设小球为弹性小球，经过时间达到最大高度；小球落地后立刻以速度竖直向上弹起，又经过时间达到最大高度，若，求的值． 9．（2026·宁夏吴忠·二模）【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 二次函数的应用 题型一：二次函数实际应用之图形问题 1．（2026·福建三明·二模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 【答案】(1)长米，长米 (2)花园可以围出的最大面积是 【分析】（1）设长米，依据比长6米表示出的代数式，再结合栅栏总长米列一元一次方程，解方程得到长后算出长度； （2）先设为米，用总长表示，根据树木位置列出的取值不等式确定取值范围，列出面积二次函数，根据函数性质即可求出最大面积． 【详解】（1）解：设长米，则长米， 根据题意，得：， 解得； ∴； 答：长米，长米； （2）解：设长米，则长米， 由题意得， 解得， ∵花园面积 ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，花园的面积取得最大值， ， 答：花园可以围出的最大面积是． 2．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 3．（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 【答案】(1)①； ②符合标准；理由如下： 停车位总面积为， ， 将①中代入，得 ， ∴ ， ∴， ∴或（舍去）， ， ∴符合标准. (2)当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为. 【分析】（1）①设停车位的宽度为，通道的宽度为，根据图形可知：，进而得到，②根据停车位总面积为，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于进行判断即可； （2）设停车位的总面积为，面积公式表示出，配方法求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得：， ； ②略 （2）解：设停车位的总面积为，由（1）可知：， ∴ ， ， ∵且， ∴， ∴当时，最大， 答：当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为． 4．（25-26九年级上·广东韶关·期末）已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？（结果保留） 【答案】矩形的长、宽都是cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为cm2 【分析】设矩形的长为，则宽为，分两种情况，根据圆柱侧面积即可建立函数关系式求解． 【详解】解：设矩形的长为，宽为， 则当绕着宽旋转时， 所形成圆柱的侧面积为：； 当绕着长旋转时， 所形成圆柱的侧面积为：， 所以旋转形成的圆柱的侧面积． 因为且抛物线的对称轴为直线， 所以当时，S取得最大值为：， 此时长和宽都是， 所以矩形的长、宽都是时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为． 5．（2026·四川成都·模拟预测）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式； （2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可． 【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； （2）解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 6．（25-26九年级下·全国·课后作业）有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 当矩形框的长和宽均为时，矩形面积最大，最大面积是 【分析】先利用矩形周长公式，用长表示出宽，再根据面积公式得到面积关于长的二次函数，最后配方求二次函数的最大值即可，用到矩形周长、面积公式和二次函数的最值性质． 【详解】解：设矩形框的长为，矩形的面积为，已知铁丝总长为，因此矩形框的宽为，可得自变量取值范围为， 根据矩形面积公式得： 二次项系数 当时，取得最大值， 此时矩形的宽为 答：当矩形框的长、宽都为时，矩形面积最大，最大面积是． 7．（2026·河南周口·模拟预测）在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙（长约），他们想用的围栏围出一个矩形保护区域，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长为，并在边上留一个宽为的门． (1)若矩形区域长比宽多，求此时长方形的长． (2)设长方形区域的长为，请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值． (3)求长方形区域的面积S的最大值． 【答案】(1)此时长方形的长为； (2)y与x的函数关系式为，x的最小值为61； (3)长方形区域的面积S的最大值为． 【分析】（1）根据题意列式，据此计算即可求解； （2）根据题意得，再根据长为，求得，据此计算即可求解； （3）得到二次函数，结合，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意得：， 解得：, 所以长， 答：此时长方形的长为； （2）解：由题意得：， 所以， 因为城墙长为， 所以，即， 解得：， 所以x的最小值为61， 答：y与x的函数关系式为，x的最小值为61； （3）解：由题意得： ， ∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为4880． 答：长方形区域的面积S的最大值为． 题型二：二次函数实际应用之拱桥问题 1．（25-26九年级下·江苏常州·期中）某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 【答案】 【分析】根据题意利用待定系数法求出的解析式，再根据形状相同， 得出抛物线的二次项系数为，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴设的解析式为：， 且当时，， 则， 解得：， 故的解析式为：， ∵形状相同， ∴抛物线的二次项系数为：， ∵， ∴，， 则的解析式为：， 故当时，，即的最大高度为． 2．（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式 ，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是________m． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：4． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）图1是放在水平桌面上的酒杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，，D是的中点．当酒杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将酒杯绕点F缓缓倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内白酒的最大深度是______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识．以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内白酒的最大深度是的最大值，即可求解． 【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图， ∵，， ∴， ∴，故当最大时，最大； ∵高脚杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． ∴轴，， 则，，， ∴，， ∴，则， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大，最大值为， 此时，的最大值为， ∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示， 则此时酒杯内白酒的最大深度就是图1中的最大值， 故答案为：． 4．（2019·吉林长春·二模）如图，有一个横截面边缘为抛物线形的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度约为___________（结果精确到）． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，解此题的关键是理解题意，求得相应的函数解析式，注意待定系数法的应用． 建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，，，，又由抛物线的顶点在轴上，即可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，继而求得这个隧道入口的最大高度． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，，，． 设抛物线的表达式为． 把，代入，得  解得 该抛物线的表达式为，则， 这个隧道入口的最大高度约为． 故答案为：． 5．（18-19九年级上·辽宁大连·期末）某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽  200的河流，根据各方面的条件分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择，设计组根据专家的建议，以二次函数的图像为设计稿进行设计（如图所示），要求在桥两侧距河面高32处各设计一个桥孔，两桥孔的水平距离为60，求河面距公路桥的最大高度__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，将点代入二次函数中求解，即可解题． 【详解】解：如图，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 由题知，二次函数过点， ， 解得， 二次函数解析式为， ， 故答案为：． 6．（2026·湖北省直辖县级单位·二模）如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B是羽毛球落地点．．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为 ，羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度__________． 【答案】2.25 【分析】将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 解得， ， ∵， ∴当时，， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． 7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)灯带两端水平距离的最大长度为 【分析】（1）设抛物线表达式为：，根据题意可得点坐标为，代入求解即可； （2）要求离地高度不低于，即，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为轴，顶点坐标为， 设该抛物线表达式为， ，， 由对称性得点的坐标为， 将代入表达式得：， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：要求离地高度不低于，即， 令代入抛物线表达式得 ， 整理得， 解得，， 两个交点的水平距离为：， 因此灯带两端水平距离的最大长度为． 题型三：二次函数实际应用之最大利润问题 1．（2026·江苏宿迁·二模）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】(1) ； (2)80或76 (3)当每月租出辆汽车时，该出租公司的月利润最大，是元 【分析】（1）根据若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车，列式计算每辆汽车月租费增加钱数，再根据每辆汽车月租费乘以车辆数，并减去维护费等于总收益计算该出租公司的月利润； （2）由（1）中月利润等于304000，列方程计算即可； （3）根据题意找出月利润和车辆数的函数关系式，根据二次函数的性质确定答案． 【详解】（1）解：由题意知，共100辆汽车，若每月租出辆汽车，则少租出 辆汽车， ∵若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车， ∴每辆汽车月租费增加； ∵每辆汽车月租费为（元）， ∴该出租公司的月利润为（元）； （2）解：， 化简得，， ， ，， 答：租出80辆或76辆汽车； （3）解：设每月租出辆汽车，该出租公司的月利润为y元， 由题意知，， 整理得，， ∵，∴开口向下， 当时，y有最大值，最大值为304200， 答：当每月租出78辆汽车时，该出租公司的月利润最大，最大月利润是304200元． 2．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 3．（2026·山东临沂·三模）综合与实践： 【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元/盒）的情况如图所示： 销售单价（元/盒） 月销售量（盒） 65 1300 60 1400 70 1200 (1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 销售单价（元/盒） 60 ________ ________ 月销售量（盒） ________ ________ ________ (2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量与销售单价之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； (3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的．设销售这种护眼贴每月获利（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)65，70，1400，1300，1200 (2) (3)当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元 【分析】（1）根据题意即可填写； （2）利用待定系数法求解即可； （3）列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：根据销售单价从小到大排列得下表： 销售单价x（元/盒） 60 65 70 月销售量y（盒） 1400 1300 1200 （2）解：观察表格可知月销售量y是关于销售单价x的一次函数， 设月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 将，分别代入， 得， 解得， 月销售量y与销售单价x之间的函数关系式为； （3）解：由题意得 ， ∵规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的． ∴， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，w随x的增大而增大， 当时，w有最大值，（元）． 答：当销售单价为85元/盒时，每月获利最大，最大利润是31500元． 4．（2026·辽宁辽阳·一模）2026年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50元时，平均每天可售出40件；当销售单价为40元时，平均每天可售出50件． (1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y与销售单价x之间的函数关系式； (2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2)当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 【分析】（1）根据题目给出销售量y与销售单价x的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出k和b，从而得到函数关系式； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”，结合（1）中得到的销量表达式，列出总利润W关于x的二次函数，再利用二次函数的顶点式，求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为， 把，；，代入得， ， 解得． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设销售这种吉祥物玩具的利润为W元，则 ∵，∴抛物线开口向下，W有最大值， ∴当时，W最大，W最大（元）． 答：当吉祥物的销售单价为60元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具的利润最大，最大利润为900元． 5．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 【答案】(1) (2)90元/千克或110元/千克 (3)当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． （2）解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． （3）解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 6．（2026·河南周口·三模）河南特产：铁棍山药实体店、网店两种销售模式，实体店进价8元/斤，售价元；销量y （斤）与单价x （元/斤）满足一次函数：，，，． (1)求y与x解析式； (2)网店每斤成本6元，单价不低于成本且不高于15元，求网店单日最大利润． 【答案】(1) (2)定价元，最大利润元 【详解】（1）解：设解析式为 ， 将、代入， 解得 ∴y与x的解析式为： ； （2）解：设网店单日总利润为元， 每斤利润为元，销量为， ， ∵， ∴开口方向向下， 且， ∴当时，取得最大值元， 答：当定价元时，最大利润为元． 题型四：二次函数实际应用之投球问题 1．（2026·河南平顶山·三模）如图1，将一钢球从斜槽的点A处静止释放，钢球在点O处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到钢球在下落过程中的几个位置如图2所示，并以点O为原点，钢球运动的水平方向为x轴建立平面直角坐标系，得到钢球的位置坐标为，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：）与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为（为钢球在水平方向上的速度，g为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下： 0.1 0.2 0.3 0.8 1.6 2.4 (1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度 ______，重力加速度 _____ (2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式 (3)若点O距离地面的高度为，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为的无盖的正方体箱子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O的水平距离最远是多少？ 【答案】(1)8，1000 (2) (3) 【分析】（1）取，代入可求；取，代入，可求； （2）由（1）知，求出，消去即可； （3）把代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得； 把，代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知，． ． ． 钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式为． （3）解：当钢球恰好落到箱子里，且从箱子左侧进入，此时箱子左侧到点O的水平距离最远． ． 当，即，解得（负值已舍去）． 箱子左侧到点O的水平距离最远是． 2．（2026·广西柳州·二模）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 竖直高度 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． (1)【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）； (2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）化为顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴与的函数解析式为． （2）解：． ∵， ∴当时，有最大值为． 答：羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是． 3．（2026·福建福州·三模）在学校组织的班级篮球比赛中，九年级班数学兴趣小组的同学想用数学知识研究投篮轨迹．他们拍摄了小明投篮的照片（如图），并测量了相关数据进行研究．如图所示，小明投篮的出手点在地面的正投影为点，以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系． 小明在某次投篮中，成功命中篮筐．已知小明出手点离地面高度为米，篮筐中心到点的水平距离为米，离地面高度为米，篮球运动路线的最高点到点的水平距离为米．假设篮球运动的轨迹是抛物线的一部分．根据以上信息完成下列问题． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果球员小亮准备站在点与点之间的点（与点、点不重合）处拦截篮球，他起跳后能成功拦截的最大高度为米，当他能成功拦截时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点P、A的坐标代入计算即可； （2）设，先求出当时x的值，再根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 由题可知：抛物线过点、， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）设，此时篮球高度为， 要想拦截成功，必须能触碰到篮球，即篮球高度不高于米，就能拦截成功， 当时，解得或， 抛物线开口向下，对称轴为直线，最高点为， 根据抛物线的函数值随自变量的变化趋势可知，当时，篮球高度不高于米；当时，篮球高度高于米；当时，篮球高度不高于米． 小亮站在点与点之间，即， 当或时，篮球高度不超过米，小亮可以成功拦截， 或． 4．（2026·新疆昌吉·模拟预测）在昌吉市初中阶段学校招生体育考试的实心球投掷项目中，球的飞行轨迹在平面直角坐标系中可抽象为抛物线（不考虑空气阻力）．某考生投掷时，实心球从点处飞出，其竖直高度与水平距离的函数图象如图所示．已知该抛物线的顶点坐标为，且图象经过起点，点的纵坐标为．请结合以上信息解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)昌吉市中考体育评分标准规定：实心球投掷项目中，男生满分标准为投掷水平距离（即“射程”）达到． ①若落地点的纵坐标为，请通过计算判断该生此项考试是否获得满分； ②在实际考试测量中，落地痕迹显示实心球是“砸”在地面上，若球体中心触地瞬间使水平距离比理论落地点（处）减少了米，要保证该生依然能够获得满分，求的最大值是多少？（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)①该生可以获得满分；② 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．②结合①中该生投掷水平距离为，结合题意可得，解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线的函数表达式为， 由题意，抛物线过点，代入得：，解得：​， ∴抛物线函数表达式为（或展开为）． （2）解：①根据题意可得落地点满足， 代入函数得：，整理得， 解得：（负根不符合实际，舍去）， 故该生投掷水平距离为， ∵， 因此该生可以获得满分． ②根据题意可得实际测量水平距离为，要满足满分要求， 则：， 解得， 因此的最大值为米． 5．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在铅垂线为轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． ①直接写出和的值； ②小明的前方有一堵高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围； (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； ②将代入两个函数解析式，求出的值，即可得出结果； （2）由题意得：经过，得到直线表达式，再得到抛物线经过，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为， ∴抛物线和直线都过点， ∴，， ∴； ②由①可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， 当时，解得或（舍去）； 当时，解得； ∴小明与围栏之间距离的取值范围为； （2）解：由题意得：经过， ，解得：， ． ∴当时，，抛物线经过， ，解得：． 7．（2026·山东·中考真题）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】(1)如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 (2)丙的平均速度为米/秒 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． （2）解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 题型五：二次函数实际应用之其他最值问题 1．（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 【答案】(1)； (2) ； ． 【分析】设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得，然后解不等式即可； 当时，每个发电机每秒的发电功率，则； 分为当时和当时两种情况，然后通过二次函数的性质分别求出的最大值，再比较即可． 【详解】（1）解：设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得， 解得， ∴兴趣小组最多能制作个水轮发电机； （2）解：当时，每个发电机每秒的发电功率， ∴； 当时，， ∵，， ∴时，总发电功率最大值：（焦耳秒）， 当时，最大总发电功率（焦耳秒）， ∵， ∴模型的总发电功率最大是每秒焦耳． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）为落实党和国家的“三农”政策，武汉市农科所派遣农业专家在汉南区指导果农种植苹果树．某果园种有60棵优质苹果树，平均每棵结500个苹果．果农现希望多种一些苹果树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据种植经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，设果园准备多种植x棵苹果树． (1)平均每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式； (2)要使果园里苹果的总产量W（个）最大，果园应种植苹果树多少棵？ (3)受光照等条件影响，当该果园里苹果总产量超过31000个时，生长的苹果品质会显著下降．若每棵苹果树所结苹果数不少于350个，在确保苹果品质的前提下，该果园最多可多种植苹果树的棵数为（直接写出结果）． 【答案】(1)（且x为整数） (2)80棵 (3)5棵 【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果，得出每多种苹果树x（棵），平均每棵树就会少结个苹果，从而求得每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式； （2）根据总产量=种植棵树×每棵树结的苹果数，再结合（1）中的结果，可得 ，整理并配方，可得，根据二次函数的图象性质可知，当时，W有最大值，结合题意，种植总数：（棵），最后求得果园应种植80棵苹果树，使得果园里苹果的总产量最大； （3）先根据“每棵苹果树所结苹果数不少于350个”，可得，即；再根据若要确保苹果的品质，苹果总产量应不超过31000个，可得 ，将该不等式整理后，根据二次函数的图象性质，可得或，综合和或，以及x为非负整数，可解得，又，故x最大整数值为5． 【详解】（1）解：∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个苹果， ∴每多种苹果树x（棵），平均每棵树就会少结个苹果， ∵现阶段，平均每棵结500个苹果， ∴每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式为： （且x为整数）． （2）解：∵某果园种有60棵优质苹果树，果园准备多种植x棵苹果树， 又∵由（1）可知，每棵树结的苹果数y与多种苹果树的棵数x（棵）之间的关系式为： （且x为整数）， ∴果园里苹果的总产量W（个）， 即（且x为整数）， ∴（且x为整数）， ∵，开口向下， ∴当时，W有最大值， 种植总数：（棵）， 答：果园应种植80棵苹果树，使得果园里苹果的总产量最大． （3）解：∵每棵苹果树所结苹果数不少于350个， ∴， 解得：． ∵若要确保苹果的品质，苹果总产量应不超过31000个， ∴， 化简为：， 对应一元二次方程为：， 解得：， 结合二次函数图象性质，可知，或， 联立和或， 解得， ∵x为非负整数， ∴， ∵，结合x应为整数， 可知x的最大整数值为5． 答：在确保苹果品质的前提下，该果园最多可多种植苹果树的棵数为5棵． 3．（2026·河南驻马店·三模）近年来，我国在人工智能领域取得重大突破，智能机器人技术已广泛应用于物流、仓储等领域．在某科技公司的测试场上，两个物流机器人A和B正在进行性能测试，如图所示，在100m长的直线测试跑道上，机器人A和B同时从起点出发向终点运动，到达终点后停止．机器人A，B的运动路程（m），（m）与时间（s）均为二次函数关系．其中测得与的几组数据如下表，与的函数表达式为． /s 0 1 2 3 4 … /m 0 1 4 9 16 … (1)求出与的函数表达式． (2)开始运动后，机器人A，B到达终点前能否相遇？若能，求出相遇时的值；若不能，请说明理由． (3)运动过程中，当机器人A，B之间的距离最大时，直接写出的值和最大距离． 【答案】(1) (2)机器人A，B到达终点前能相遇，相遇时的值为6 (3)当时，机器人A，B之间的距离最大，最大距离为20m 【分析】（1）根据表格数据的规律，可设，利用待定系数法求出函数表达式； （2）相遇时，联立两个函数表达式求解，再验证此时是否在两者到达终点前的时间范围内； （3）先表示出两机器人的距离函数，结合两者到达终点的时间，分阶段讨论距离的最大值． 【详解】（1）解：设． 把，代入，得，解得． 与的函数表达式为． （2）解：令，解得（舍去），． 当时，， 机器人A，B到达终点前能相遇，相遇时的值为6． （3）解：，最大距离为20m． 令，解得（舍去），，即机器人A运动10s到达终点； 令，解得（舍去），，即机器人B运动s到达终点； ， A先到达终点后，B继续运动至终点． 设机器人A，B之间的距离为m． 当时，，， 当时，有最大值为． 当时，，， ，， 当时，有最大值，为． 当时，机器人A到达终点停止运动，机器人B继续向终点运动，过程中． ， 当时，机器人A，B之间的距离最大，最大距离为20m． 题型一：二次函数实际应用之动点问题中最值 1．（25-26九年级下·广西防城港·期中）综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，进行求解即可； （2）易得为等腰直角三角形，得到，再根据，列出方程进行求解即可； （3）设，分别交于点，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，求出的长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形的面积，进行求解即可； （4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∵， ∴； （2）解：∵等腰中，，， ∴， ∵正方形，落在上 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，分别交于点， 则为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∵，； ∴， ∴ ， ∴； （4）解：当时，重叠部分的面积即为正方形的面积， ∴， ∴当时，值最大为； 当时，由（3）可知：； ∴当时，值最大为； ∵， ∴正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是. 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，中，一动点P从C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着方向以的速度运动，两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为． (1)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． (2)当t为几秒时，四边形的面积最小？是多少？ 【答案】(1)的面积不能为面积的一半，见解析 (2)当时，最小值为 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程，再利用根的判别式即可解答； （2）由（1）得：，再利用二次函数的性质解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能为面积的一半； （2）解：由（1）得： ， ∵， ∴有最小值， ∴当时，最小值为． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出； （2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】（1）解：当，同时出发后经过时，，， 又， ∴； （2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，， 则． ∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 【答案】(1)当或时，的长度等于 (2)当时，的面积等于 (3)不能等于，面积的最大值为，理由见详解 【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可； （2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可； （3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为， ∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴当或时，的长度等于； （2）解：， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，的面积等于； （3）解：不能等于，面积的最大值为，理由如下， 根据题意，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴面积的最大值不能等于， ， ∴当时，面积的最值，最大值为， ∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为． 5．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在 中，，，，动点P 从 A沿以向 B 运动， 动点Q 从B 沿以向C 运动，同时出发．设 面积为 S，运动时间为t()． (1)当时，求S 的值； (2)求S 关于t的函数表达式； (3)求S的最大值及对应t的值． 【答案】(1) (2) (3)当时，的最大值为 【分析】（1）时，，，由三角形面积公式求解即可； （2），，由三角形面积公式求解即可； （3），由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：时，， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ， 当时，的最大值为． 6．（25-26九年级下·天津·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果，两点分别从，，两点同时出发，出发时间为（，单位：）．有下列结论： (1)___________， ___________（用含的式子表示）； (2)___________（用含的式子表示），的最大值是___________； (3)当的面积是9时，的值是___________． 【答案】(1)， (2)，25． (3)1 【分析】（1）由题意得， ，； （2）先列出的面积的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可． （3）根据的面积是9，可得，解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，． （2）解： ， ∴， 当时． （3）解：当时，， 解得，， 由题意知P点从A点运动到B点需秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴. 题型二：二次函数实际应用之阅读理解中最值 1．（2026·广东佛山·三模）【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 【答案】(1) (2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意确定最边侧同学的横坐标，纵坐标，代入计算函数值进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴， 设绳子摇至最高点时的抛物线为，把代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：9名同学中，身高最小的是，在最右（左）边， ∵将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距， ∴最右则同学的横坐标为， ∵当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，头顶到地面的高度是身高的， ∴此时，头顶到地面的高度是， 在抛物线中， 当时，， ∵， ∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学． 2．（2026·山东济南·模拟预测）综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合．某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用与安全设计． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为轴，锅的竖直对称轴为轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】   如图，建立基础模型 (1)求抛物线 (2)初始状态下的函数表达式为_______________________． 【任务二】 如图，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为_______________________． 【任务三】 安全空间评估 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图，点是锅盖上任意一点，平行于轴交进风口于点，求线段的最小值；若大于才能保证安全，根据计算结果，判断该距离是否满足安全要求？ 【答案】(1) (2) (3) (4)解：设， 则 ， 是m的二次函数， ， 开口向上， 对称轴为直线， 当时，， ， 该距离满足安全要求． 【分析】（1）先求出顶点坐标，设顶点式，利用待定系数法求解； （2）设初始状态下抛物线的解析式为，将B点坐标代入即可求解； （3）在锅口上放上高的蒸笼时，抛物线向上平移，由此可解； （4）设出P，M坐标，列出关于m的二次函数，结合m的取值范围求出，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，， 为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线可由基础抛物线上下平移得到， 设初始状态下抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 初始状态下的函数表达式为； （3）解：由题意知，平移后抛物线的函数表达式为：． （4）略 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）【问题背景】 排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】 若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：． 结合上述信息，请完成下述问题： (1)当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为________，排队人数w与安检时间x的函数关系式为________． 【模型应用】 (2)在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最多人数为多少？ (3)已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】(1)人，； (2)排队人数在第21分钟达到最大值，最多人数为541人； (3)开设7条安检通道． 理由：设开设条安检通道， ， 抛物线开口向下，对称轴为， 排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ， ， 该演出场地最多可开放9条安检通道， ， 为整数， 的最小值为， 即开设7条安检通道． 【分析】（1）用通道数每条通道每分钟可安检人数时间 可求出已入场人数；用现场总人数y与安检时间x之间满足关系式已入场人数，可得出排队人数w与安检时间x的函数关系式； （2）利用二次函数的性质求最值即可； （3）设开设条安检通道，得到排队人数关于安检时间的新函数，根据题意得到在对称轴右侧，随的增大而减小，进而得出的取值范围，取最小值即可． 【详解】（1）解：当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为（人）， 现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：，且排队人数现场总人数已入场人数， 排队人数w与安检时间x的函数关系式为； （2）解：， 当时，有最大值为， 即排队人数在第21分钟达到最大值，最多人数为541人； （3）解：略 4．（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 【答案】(1)解：描点、连线，图象如图所示： ①一次；；②二次； (2)①不会超出该路面范围；② 【分析】（1）①描点、连线，观察图象，可以发现v与t之间的函数图象可以近似地看为一条直线，为一次函数，由待定系数法求解即可； ②描点、连线，观察图象，可以发现y与t之间的函数图象可以近似地看为一条抛物线，为二次函数，由待定系数法求解即可； （2）①计算出新能源汽车行走的最大距离与比较大小即可； ②根据题意，刹车距离需要大于的距离加上以的速度行驶的电车行驶的距离，结合二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设， 将点与点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴v与t的函数关系式为． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数， 设， 将点，点，点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴y与t之间的函数关系式为． （2）解：①不会超出该路面范围， ∵当新能源汽车完全停车时， ∴，即， ∴新能源汽车行走的最大距离为， ∵， ∴不会超过路面范围； ②∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，d最大为； ∴最小为． 5．（2026·广东深圳·模拟预测）问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的关系式； 【问题解决】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； 【答案】(1) (2)①该平台的高度为；②最大高度差为 【分析】（1）根据题意可设抛物线C的关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）①根据题意可设抛物线的关系式为，，然后可把代入抛物线的关系式为进行求解即可； ②由①得抛物线的关系式为，当时，则有，然后结合图象可进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得：抛物线C的顶点坐标为, 可设抛物线C的关系式为． 将点代入，得：， 解得：， 抛物线C的关系式为； （2）解：①根据题意可设抛物线的关系式为， ∵，，， ∴，， 此时点B正好在抛物线最高点的下方，与最高点的距离超过， 由题意可知：点D的坐标为，． 无人机乙从平台上的点M处起飞后刚好安全通过障碍物，恰好在抛物线上，将点代入得：， 解得， 即该平台的高度为． ②由①得抛物线的关系式为， 当时，解得． 结合图象可得， 当时，在时，有最大高度差，此时高度差为， 当时，在时，有最大高度差，高度差为． ∵， ∴最大高度差为． 6．（25-26九年级下·广西桂林·自主招生）综合与实践 【问题情境】年广西玉林首届马拉松赛吸引了近万名跑者参赛，赛前运动员需在玉林市政广场的主检录区完成检录入场．组委会采用电子芯片核验与人脸识别技术，检录时间为赛前分钟．某校数学兴趣小组针对该主检录区，开展“检录排队人数与开放通道之间的关系”进行探究活动．经调研与测算，该主检录区每个通道每分钟可检录名运动员，每人完成核验后立即入场，不再排队；检录开始后，陆续到达该检录区的运动员总人数（人）与时间（分钟）满足关系式： ； 任意时刻满足：排队人数到达总人数已完成检录人数（通道空场时间忽略不计）． (1)若组委会先开放个检录通道． ①直接写出排队人数（人）与检录时间（分钟）之间的函数关系式； ②求第几分钟后，该检录区不再有运动员排队等待检录． 【模型运用】 (2)根据赛事保障要求及尽可能减少检录通道，需在分钟内（包含分钟），排队等待检录的人数开始减少，至少要开放多少条检录通道？ 【答案】(1)①；②第分钟后 (2)条 【分析】①根据排队人数到达总人数已完成检录人数列出函数关系式即可；②令，求出的值即可求解； 设开放条检录通道，可得，根据二次函数的性质得排队人数开始减少的时间为顶点横坐标，进而得到，求出不等式的解集即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得，， 即； ②令，则， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：第分钟后，该检录区不再有运动员排队等待检录； （2）解：设开放条检录通道，则， ∵， ∴排队人数开始减少的时间为顶点横坐标， 由题意得，， 解得， 答：至少要开放条检录通道． 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 2．（2026·江苏泰州·三模）如图①，中，．点P从B出发沿向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿向点C匀速运动，当一个点到达终点，两个点均停止运动．若它们的速度均为每秒1个单位长度．连接，设运动时间为x秒，的面积为y．y与x的函数图像如图②所示，则y的最大值为（） A．3 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据函数图象确定运动停止的时间，结合直角三角形角的性质求出的长，用表示出和的长，利用三角形面积公式建立与的函数关系式，利用二次函数的性质求最大值 【详解】解：设， 在中，，， ，. 点、的速度均为1， 点到达终点需秒，点到达终点需秒. ， 点先到达终点. 由图可知，运动总时间为秒， ， ， 解得， ， 由题意得：，，则， 过点作于点， 在中，， ， ， ， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值， ，且， 当时，． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 4．（25-26九年级上·山东威海·期末）喷泉水流从垂直于水池底面的水管喷出，米．水流在各个方向上沿抛物线路径落入水池内．水流的落点到的水平距离为米．水流喷出的高度（米）与水平距离（米）满足关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质，首先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再利用二次函数的顶点坐标公式求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可知，点的坐标是，点的坐标是， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 水流喷出的最大高度是， 水流喷出的最大高度是米． 故选：B． 5．（2026·江苏泰州·二模）数学兴趣小组的同学在“综合与实践”活动中，用总长为的栅栏围一个一边靠墙的矩形花圃．设与墙垂直的边的长为，花圃的面积为．则S关于x的函数表达式为______，当______时，S可以取得最大值． 【答案】 【详解】解：墙的一面不需要栅栏，栅栏只需要围三边， 与墙平行的一边长为， ， ， 时，可取最大值，为． 6．（2026·山西吕梁·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中，，表示三角形的三条边长，．现有某社区计划用一段长为的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为，则围成的三角形绿化区域面积最大为_________． 【答案】12 【分析】根据题意得，不妨取，则，再利用海伦公式，得到，设，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：根据题意，，则， 不妨取，则，， 三角形的面积， ，解得, 设， 它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值， 此时，面积S取最大值为． 7．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______． 【答案】36 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键． 根据题意得到，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求得的面积S的最大值． 【详解】解：根据题意有：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：36． 8．（2026·湖北襄阳·三模）从地面以初速度v（单位：）竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）和小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式为，已知当时，． (1)求小球的初速度v； (2)当时，求小球运动的路径长； (3)假设小球为弹性小球，经过时间达到最大高度；小球落地后立刻以速度竖直向上弹起，又经过时间达到最大高度，若，求的值． 【答案】(1)30m/s (2)50m (3) 【分析】（1）将，代入求出小球的初速度v即可； （2）先判定函数的最值，得到当时，小球运动已经经过最高点，开始下降，据此计算小球运动的路径长即可； （3）根据，可得，即可求得的值． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得， ∴小球的初速度v为30； （2）解：∵， ∴当时，小球运动的最大高度为； 当时，； ∴当时，小球运动的路径长为； （3）解：由（1）（2）知，，， ∴， ， ∴， ∴． 9．（2026·宁夏吴忠·二模）【情境导入】 周末，小深和同学们到某体育中心参观．场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压． 【数学建模】 将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … 2 2 … 【探究任务】 (1)根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为________，并求出水流的函数解析式． (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树的最大可能高度是多少？ ②若设计师希望从坡顶处看，树底和树顶的视觉效果对称（即），请求出此时树顶的坐标． 【答案】(1)， (2)①这棵小树的最大可能高度是；②点坐标为 【分析】（1）由表格信息可知抛物线顶点为．设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）①设直线解析式为，将代入可求得的解析式为，设点的横坐标为，则点N的纵坐标为，，用含m的式子表示出，进而根据二次函数的性质可得答案； ②过作于点，连接，设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为，根据得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，时y的值和时y的值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得：， 解得， 故抛物线解析式为． （2）解：①设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的横坐标为， 则点N的纵坐标为，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ②如图所示，过作于点，连接， 设，则，，点的横坐标为，点N的纵坐标为 ∵， ∴为中点，即 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点坐标为． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $