3.3幂函数 导学案----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

该高中数学导学案聚焦“3.3幂函数”，涵盖定义、图象、性质及应用等核心知识点，通过填空与概念辨析夯实基础，构建从定义到性质再到应用的知识支架，衔接函数概念，为后续学习复杂函数铺垫。 资料亮点在于考点与题目对应清晰，帮助学生明确学习方向，题型涵盖单选、多选、填空、解答，训练全面。通过概念辨析培养抽象能力（数学眼光），性质应用提升推理能力（数学思维），问题解决强化应用意识（数学语言），助力学生系统掌握幂函数知识。

3.3幂函数 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点______和______，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点______，且在上单调递减； ④当α为奇数时，为_________；当α为偶数时，为______． 【答案】 奇函数 偶函数 【2】概念辨析 判断正误． （1）幂函数的图象必过点和．( ) （2）幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) （3）当幂指数取1，3，时，幂函数是增函数．( ) （4）若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大．( ) 【答案】 × × √ × 【详解】（1）例如：，不过，故错误； （2）例如：，幂函数会过第二象限，故错误 （3）当幂指数取1，3，时，幂函数是增函数，正确； （4）例如：，函数在递减，故错误； ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 幂函数的定义 1,15 幂函数的图象 2,6,7,14 幂函数的单调性及其应用 3,13,19 幂函数的定义域值域及性质应用 4,16 幂函数型复合函数问题 5 由幂函数的单调性解不等式 8,17 幂函数的奇偶性 9,12，18 幂函数的凸凹性 10 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 3．已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先依据幂函数的定义求出的可能取值，再结合函数在上单调递减的性质筛选得到正确结果. 【详解】根据幂函数的定义可得 ，即，解得或， 又在上单调递减，可得，即， 所以. 4．下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质求出的定义域、值域、奇偶性和单调性判断选项ABC；利用奇偶性和单调性解不等式，得到，判断选项D. 【详解】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确； 因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增， 根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图象和性质，可得，则有， 解得，选项D正确； 故选：C 5．函数的单调增区间为 A． B． C．和 D．和 【答案】A 【详解】试题分析：由，得或，所以函数的定义域为． 可看作由,复合而成的，而单调递减，要求的单调增区间，只需求的减区间即可，的单调增区间为，所以函数的单调增区间为，故答案为，故选A. 6．如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 7．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 8．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 二、多选题 9．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 10．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，设幂函数（为实数）， 其图像经过点，，解得， ，其定义域为，不关于原点对称， 则函数不为奇函数，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在上为增函数，故B正确； 对于C，D，如图，作出符合题意的图形， 则函数是上凸函数，可得对定义域内任意的， 都有成立，故C正确，D错误. 11．已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】BCD 【分析】利用幂函数的定义及单调性求出，再逐项判断即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递增，所以，所以，所以A错误，B正确； 由上述分析可得，则，所以为偶函数，C正确； 因为为偶函数，所以，又在上单调递增，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 13．已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________． 【答案】 【详解】根据幂函数的单调性性质：若幂函数在上严格增，则； 已知，得α的可能取值为； 又函数图象关于原点对称等价于函数为奇函数，且定义域关于原点对称： 当时，，定义域为，不关于原点对称，不符合要求； 当时，，定义域为R，对任意，均满足，是奇函数， 图象关于原点对称，且在上严格增，符合所有条件， 综上，. 14．已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 四、解答题 15．若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【分析】由幂函数的性质可知，，再结合条件，即可求解. 【详解】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 16．求函数的定义域和值域． 【答案】定义域是，值域是． 【分析】把化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域． 【详解】解：∵函数， ∴，且； ∴函数的定义域是，值域是． 17．已知幂函数的图象经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为； (2). 【分析】（1）根据幂函数所过的点求解析式，进而确定其定义域； （2）由幂函数的定义域和单调性解不等式求参数范围. 【详解】（1）设，则，解得，故，其定义域为； （2）由，则在上单调递增， 所以，即，即， 所以，实数的取值范围为. 18．已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 【答案】0或2． 【分析】结合幂函数的性质，即可求解． 【详解】幂函数在区间上是严格增函数， 则，即，解得， 因为，所以 ，1，2， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 当时，，不满足函数的图像关于原点中心对称，故舍去， 当时，，满足函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，符合题意， 综上所述，或2． 19．比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据在单调性比较大小； （2）根据在单调性比较大小； （3）根据函数在单调性比较大小. 【详解】（1）因为幂函数在定义域上单调递减， 且，所以． （2）幂函数的定义域为，且在上单调递减， 又因为，所以函数为奇函数，所以在上单调递减， 又因为，所以． （3）因为函数在上是单调递增函数，而，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3幂函数 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在上都有定义； ②当时，幂函数的图象都过点______和______，且在上单调递增； ③当时，幂函数的图象都过点______，且在上单调递减； ④当α为奇数时，为_________；当α为偶数时，为______． 【2】概念辨析 判断正误． （1）幂函数的图象必过点和．( ) （2）幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) （3）当幂指数取1，3，时，幂函数是增函数．( ) （4）若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大．( ) ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 幂函数的定义 1,15 幂函数的图象 2,6,7,14 幂函数的单调性及其应用 3,13,19 幂函数的定义域值域及性质应用 4,16 幂函数型复合函数问题 5 由幂函数的单调性解不等式 8,17 幂函数的奇偶性 9,12，18 幂函数的凸凹性 10 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知幂函数在上单调递减，则（   ） A．1或2 B．0或1 C．1 D．2 4．下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 5．函数的单调增区间为 A． B． C．和 D．和 6．如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 8．已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 10．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为增函数 C．若，则 D．若，则 11．已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D． 三、填空题 12．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 13．已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________． 14．已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 四、解答题 15．若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 16．求函数的定义域和值域． 17．已知幂函数的图象经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 18．已知幂函数在区间上是严格增函数，且函数的图像关于原点中心对称，求实数的值． 19．比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $