第二十八章 相似三角形重难点专题提升精讲精练检测卷 2026-2027学年九年级数学上册（沪教五四版）

**基本信息** 聚焦相似三角形全章重难点，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合几何直观与推理能力，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|比例线段、相似性质|如第2题结合三角形相似求边长，基础巩固| |填空题|12/24|位似变换、相似判定|如第11题位似周长比计算，强化概念理解| |解答题|7/64|动态问题、综合应用|如23题操作探究培养创新意识，25题坐标系中相似与几何综合，提升推理能力|

第二十八章 相似三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相似三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，正方形顶点E、F在边上，点M在边上，点N在内部，连接并延长交于点D，若，，则长为（    ）    A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.5 6．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如果，那么_______． 8．（24-25七年级下·全国·单元复习）各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，则___________. 10．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段检测）已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 11．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 12．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，已知AB∥CD，若，则___． 13．（24-25八年级上·青海西宁·期末）如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是______． 14．（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为________． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，点D，E，F为各边的中点，交于点O，且，则______ cm．    16．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为的速度，当P、Q运动____________时，与相似． 17．（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为____________________． 18．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是__________． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26九年级上·广西梧州·期中）若都是不为零的实数，且，求的值． 20．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知梯形中，，点、分别在腰、上，，且．    (1)求的值； (2)当时，求的长． 21．（2025·陕西西安·一模）如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，在轴左侧将放大为原来的两倍，画出； (2)点的对应点的坐标是 ，的面积是 ． 22．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 23．（2026·江苏扬州·一模）【操作发现】 如图1，点M是中边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N； （2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________； 【类比探究】 如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使． 24．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 25．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点，点C是直线AB上一动点，以C为直角顶点，在直线的左侧作一个等腰直角，且点D在y轴上，点E不在直线上． (1)如图1，当点C为线段的中点时，连接，． ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，当C点在直线上运动时，试判断点E的纵坐标是否会发生改变，若不改变，请求出点E的纵坐标，若会改变，请举出一个反例． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 相似三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：相似三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 2．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 4．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 5．（25-26九年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，正方形顶点E、F在边上，点M在边上，点N在内部，连接并延长交于点D，若，，则长为（    ）    A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.5 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得，进而可得．在和中，设正方形的边长为x，根据平行线分线段成比例定理的推论分别列出方程，即可求解． 【详解】解：正方形顶点E、F在边上，点M在边上， ， 又， ． 设正方形的边长为x， 在中，， ，即， 解得， ， 在中，， ，即， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 6．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立．本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 【详解】解：设, ∵，，，， ∴，，，． ①如图，P点在B、D之间，此时， ∴， ∴， 解得， ∴； ②如图，P点在B点上方时，此时， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； ③P点在B点下方时，有两种情况； （ⅰ）时， 则， ∴， 解得（舍去），或， ∴； （ⅱ）时， 则， ∴， 解得， ∴． 综上，所有符合条件的点P点有4个 ． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如果，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数的方法解决比例问题”是解本题的关键． 由，设 则， 再代入求值即可． 【详解】解： ， 设 则， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元复习）各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________． 【答案】 对应成比例 相似比 【解析】略 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，则___________. 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质等知识点，根据比例关系进行运算即可，熟练掌握其性质进行运算是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段检测）已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 故答案为：． 11．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 12．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，已知AB∥CD，若，则___． 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】∵∥， ∴△∽△， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（24-25八年级上·青海西宁·期末）如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，过点C作轴于E，可证明，得到，再由点A和点B的坐标得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于E， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为________． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，点D，E，F为各边的中点，交于点O，且，则______ cm．    【答案】6 【分析】过点F作交于H，利用平行线分线段成比例定理求出的长，进而得出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，再运用三角形中位线定理即可得出的长. 【详解】    解：过点F作交于H， 为的中点， , 为的中点， , , ， ， ， 中，， 点D，E，分别、的中点， 是的中位线， . 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质及平行线分线段成比例定理，熟练使用这些知识是正确解题的关键. 16．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q同时从点B开始沿BC边运动，速度为的速度，当P、Q运动____________时，与相似． 【答案】或 【分析】设运动时间为，分及两种情况考虑，利用相似三角形的性质即可完成． 【详解】设运动时间为，则，， 当时，则， 即， 解得：； 当时，则， 即， 解得：； 综上，当的值为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是与相似三角形有关的动点问题，考查了相似三角形的性质，注意分类讨论． 17．（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为____________________． 【答案】9 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似图形的概念得到，得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵点C的横坐标为1，点F的横坐标为3， ∴， ∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点E的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26九年级上·广西梧州·期中）若都是不为零的实数，且，求的值． 【答案】2或－1． 【分析】分a+b+c≠0与a+b+c=0两种情况讨论，前一种情况利用等比性质求解，后一种情况用整体代入求解． 【详解】当a+b+c≠0时，由， 得， ∴， 即k=2； 当a+b+c=0时，则a+b=－c， ∴， 综上所述，k的值是2或－1． 【点睛】本题考查比例的性质，运用等比性质运算是解题的关键．特别注意别漏掉a+b+c=0的情况．等比性质的内容是：若，则．此处用其推广形式：若，则． 20．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知梯形中，，点、分别在腰、上，，且．    (1)求的值； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定与性质，（1）根据平行线分线段成比例定理即可求出答案；（2）连接，根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：连接，    ∵， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ． 21．（2025·陕西西安·一模）如图，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心，在轴左侧将放大为原来的两倍，画出； (2)点的对应点的坐标是 ，的面积是 ． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)； 【分析】本题考查平面直角坐标系，作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知点的对应点的坐标是）， 的面积=， 故答案为：；． 22．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 【答案】 不相似．理由如下： ，，，，， ，． ，． ∴ 矩形和矩形不相似． 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，欲判断矩形和矩形是否相似，需判断的值和的值是否相等，据此求解即可． 【详解】略 23．（2026·江苏扬州·一模）【操作发现】 如图1，点M是中边的中点． （1）请你用圆规和无刻度的直尺过点M作的平行线，交于点N； （2）在（1）的条件下，线段与的数量关系是________； 【类比探究】 如图2，线段与射线有公共端点A，请你用圆规和无刻度的直尺在线段上作一个点N，使． 【答案】【操作发现】 （1）如图所示： （2）； 【类比探究】 【分析】根据平行线的作图方法，三角形相似即可得到答案． 【详解】解：（1）过点M作，交于点N，则，如图所示： 解：（2）由（1）得：， ∴， ∴， ∵点M是中边的中点， ∴， ∴， 即； 故答案为：； 【类比探究】圆规取适当长度，在射线上依次截取，过点E作，交于点N，则，根据相似可得． 【点睛】本题考查了作图方法、三角形相似，灵活运用所学知识点是解题关键． 24．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 【答案】(1)矩形；相等且互相平分 (2) 点即为所求． (3)； 【分析】 （1）利用矩形的判定和性质即可得到结论． （2）利用矩形的对角线相等，可得当时，长度最短，作，垂足即为所求． （3）①过点作，垂足为，证明得、，证明得，设，把用含的代数式表示出来，再利用三角形相似求出的长，然后用勾股定理求出的长，进而求出的值； ②过点作，垂足为，证明得，证明得，设，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：、、， 四边形是矩形， 、与互相平分． （2）略 （3）解：当点落在线段上时，如图 过点作，垂足为， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 同理：， 设， 则、， ， ， ， 、， ， ， ， ． 过点作，垂足为， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 与重叠部分的面积，恰好是面积的， ， ， 设， 则，， 、， ， ， ， ， ， ， ． 25．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点，点C是直线AB上一动点，以C为直角顶点，在直线的左侧作一个等腰直角，且点D在y轴上，点E不在直线上． (1)如图1，当点C为线段的中点时，连接，． ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，当C点在直线上运动时，试判断点E的纵坐标是否会发生改变，若不改变，请求出点E的纵坐标，若会改变，请举出一个反例． 【答案】(1)； 点C为线段的中点， 为等腰直角三角形， ，． ． 为等腰直角三角形且， ． ， 即． 在与中 ． ． (2)E点纵坐标不变，纵坐标为4 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形，坐标与图形，理解等腰直角三角形，坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明是等腰直角三角形，再根据点C为线段的中点得是等腰直角三角形，由此可得的度数； 先证明，进而判定，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）依题意有以下两种情况∶①当点C在y轴的右侧时，连接，过点C作，交y轴于点F，证明，得．进而得，然后根据点可得出点E的纵坐标为4； ②当点C在y轴的左侧时， 连接，过点C作，交y轴于点F，证明，得，进而得，然后根据点可得出点E的纵坐标为4，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解： ． 为等腰直角三角形． ． 点C为线段的中点， ． ． ② 略 （2）解：点E的纵坐标不会改变，它的纵坐标为4．理由如下： 连接，过点C作，交y轴于点F， ． ． 由（1）得 ． 为等腰直角三角形． ． 当点C在y轴右侧时， ． ． ． ∴在和中 ． ． ． ． 即B点纵坐标为， ∴E点纵坐标不变，纵坐标为4． ②当点C在y轴左侧时，如图 ， ， ∴在和中 ． ． ． 即B点纵坐标为4， ∴E点纵坐标不变，纵坐标为4． 综上所述：E点纵坐标不变，纵坐标为4． 学科网（北京）股份有限公司 $