专题01 成比例线段（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以成比例线段概念为核心，通过基础题型到综合应用的层级设计，系统构建从概念理解到实际应用的知识网络，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|16题|成比例线段（计算与应用）、黄金分割（实际情境与作图）、平行线分线段成比例（图形比例关系）|从比例线段概念出发，延伸至黄金分割特殊比例，再到平行线截线段的比例性质，形成“概念-特殊-性质”递进链条| |综合攻坚·知能拔高|13题|平行四边形比例综合、面积比与比例关系、跨知识点证明|整合几何图形性质与比例计算，强化知识迁移，发展推理能力与应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01成比例线段 内容概览 目常考题型精准突破 考点一成比例线段 题型1成比例线段 题型2黄金分割 题型3平行线分线段成比例 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ● 考点一成比例线段● ◆题型1成比例线段 1.已知a、b、c、d为成比例线段，其中a=4cm,b=5cm,c=l0cm,则d为() 25 4 A.4cm B.2 cm C.5cm D.5cm 2,如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核 心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值.现已知卧佛的肩宽：身长=5：23，且肩宽为7.5米，则卧佛的 身长为() A.35.5米 B.35米 C.34.5米 D.34米 abc 3.己知线段ab、c满足3-26，且a+2b+c=26. (1)求a、b、c的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的长； 1/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若四条线段a、b、c、d为成比例线段，求线段d的长 ◆题型2黄金分割 1.如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器板面上，BC=(120-40V⑤)cm,则 AB的值为」 AC_BC 2.如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),若ABAC,则称线段AB被点C黄金分割， 做线段的黄金分围点，C与4B的此5，≈0.618叫做英金比，即4C 2 AB' 易知线段 2 AB有两个黄金分割点.现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦AB=8OCm,两个端点A,B固定在乐器面 板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C,D之间的距 离为 cm (结果保留根号) B 3.黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比 值的点.20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大 规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中 E为边AB的黄金分割点，BE>AE.已知AB为2米，则线段BE的长为米.（结果保留根号） E B 4.一般地，我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄 金t5 如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36° 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)请仅用圆规在BC边上作出点D,E,使△ABD,△ACE均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作 法； DE (②)在(1)的基础上，求AB的值. 5.关于x的一元二次方程x2+mx-1=0,当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金 分割数的矩形叫做黄金矩形. D 图1 图2 (1)求黄金分割数 (2)如图1，在黄金矩形ABCD中，长AD=2,则矩形ABCD的面积=_： (3)如图2，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，以E为圆心，线段DE长为半径作弧，交BC的延长线 于点F,作矩形ABFG,试说明矩形ABFG是黄金矩形. 6.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所示，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD;取 AD的中点E,连接EB；延长DA至点F,使EF=EB;以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的 黄金分割点， 任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？ H A E ◆题型3平行线分线段成比例 1.如图，已知a∥b∥C,下列比例式中成立的是() 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F A.DFBC ADCE AD BC c-器 CE AD D.BE AF 2.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线'，，，4上.若直线∥∥%∥14且间距相等，CB交直 BG 线1于点G,AB=4:BC=3,则CD的值为() D A G 3 3 B.4 e. D 15 A.8 15 二、填空题 3.如图，若∥4∥，AB=6,BC=4,DF=5,则EF长为一. B C 13 4.如图，己知4∥∥，直线AC与4，，4分别相交于点A,B,C,直线DF与4，，4分别相交 BC 于点D,B,P,其中DE=4,DF=6,则AB的值是一 A E B 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 5.阅读材料，并解决问题. AB BD 角平分线分线段成比例定理：如图1，在AABC中，AD平分∠BAC,则AC二CD,下面是这个定理的部 分证明过程 【证明】如图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E. 【任务】 (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)填空：如图③，在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,则BD的长是 (3)如图④，在△ABC中，E是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于点F,AB=7, AC=15,求CF的长。 D B D DB B DE 图① 图② 图③ 图④ 6.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M, 交BD于点G,过点G作GF BC交DC于点F,FC-2: B E M (1)若BD=20,求BG的长； DM DG CM (②)已知AB-BG,求CD的值. 7.综合与探究 【问题呈现】 AD 1 (1)如图1，当AE=CE,BD2时，求证：BC=CF 【拓展延伸】 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2如图2，当DC-3时，求CE的值. AD 2 BC AE 【深入探究】 AD 1 (3)如图3，在AABC中，直线MN分别与AB,AC,BC的延长线交于点D,E,F,BDm, CF 1 AE BCn,直接写出CE的值（用含m'n的式子表示）， 4 A M D/ F C N 图1 图2 图3 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1,如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F,则下列结论错 误的是() D E A B AB DE A. B. AE AF AD BF C.cnc AF EF D. AB CE 2.如图，在△ABC中，D,E分别为边AB,AC上的点，DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一 定正确的是() 的 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DFAk AD EC AB DE DF EF A. CF AC B. AB AC C.DB"BC D. BE FC 二、填空题 3若号后-号<中6+d0>,则8后 a+c 4.已知6df3,若a+c+e=20,且b+d+f≠0，则b+d+f=一. 5.黄金分割是汉字结构最基本的规律.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,P上，且 AB∥P,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且AC<BC,若NP=2cm,则BC的 长为 cm(结果保留根号). M 6.2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行.音乐家 发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长 v5-1 的比，该值为2)时，奏出来的音调最和谐、悦耳.如图，一把二胡的琴弦4C的长为78cm'千斤 线绑在点B处（点B为线段AC上靠近点A的黄金分割点），则BC的长为 A B 线 C 7.如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点A,B,C.若 4C-m,别18的长是 cm. 7/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 8.已知a,b,c,d,e,f六个数，如果ba了 a+c+e=k.理由如下： a=9=e=k(b+d+f≠0)，那么b+d+f b d f 2=k(b+d+f≠0，a=bk,c=dk,e=k(第一步)，.千e==K(第二 (1)解题过程中第一步应用了 kb+d+D=k应用了 的基本性质；在第二步解题过程中b+d+f 基 本性质； x-y-Z (②应用此解题过程中的思路和方法解决向题：已知写片号0，求x+2y-3:的值。 9.如图，1∥1∥1，AB=3,BC=5. 2 F DE EF ()直接填空；F的值为一，FD的值为 (2)若DF=12,求DE和EF的长. 10.如图，已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG在同一条直线上， 且AB=3,BC=V3,BF分别交AC,DC,DE于点M,N,H.解答下列问题： FG (四BG的值为 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FG EG3 (2)求证： BG FG 3 (3)求：BM:MN:NF的值. I1.如图，已知△ABC,点D在BC上，点E在AC上，连接AD,BE,AD与BE相交于点F. BD (I问题1：若BE是AABC的中线，BF=3FE,则DC- AF 1 AE (②)问题2：若4D是AABC的中线，AD=4,则AC的值是_ (3)问题3：若AD是△ABC的中线，△ABF的面积与△DBF的面积之比是1：3，且AE=2,则EC=_ (4)问题4：若AD是△ABC的中线，且AE=FE,求证：AC=BF 12.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点 DF 3 M,交BD于点G,过点G作GF I BC交DC于点F,FC2. D B E M (1)若BD=20,求BG的长； DM_DG CM (②)已知AB=BG,求CD的值. 13.如图所示，AD是△ABC的中线. AF (①)若B为AD的中点，射线CE交AB于P,求BF: AE 1 AF (②若B为AD上的一点，且EDK,射线CE交AB于P,求BF· 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10/10的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01成比例线段 常考题型精准突破 。考点一成比例线段● ◆题型1成比例线段 1.已知a、b、c、d为成比例线段，其中a=4cm,b=5cm,c=l0cm,则d为() 25 4 A.4cm B.2 cm C.5cm D. 【答案】B 2.如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核 心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值.现已知卧佛的肩宽：身长=5：23，且肩宽为75米，则卧佛的 身长为( A.35.5米 B.35米 C.34.5米 D.34米 【答案】C 二、解答题 a_b=c 3.已知线段abc满足3-26，且a+2b+c=26. (1)求a、b、c的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求线段x的长： (3)若四条线段a、b、c、d为成比例线段，求线段d的长. 【答案】(1)a=6,b=4,c=12 (2)26 3)8 解得d=8」 ◆题型2黄金分割 1/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点4，B固定在乐器板面上，BC=(20-405)cm,则 AB的值为 5-1 【答案】 2 AC_BC 2.如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),若ABAC,则称线段AB被点C黄金分割， 点c叫做线段4B的黄金分割点，AC与4B的比 50618叫做货金比，即4C-5 2 AB 易知线段 AB有两个黄金分割点，现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦AB=8O©m,两个端点A,B固定在乐器面 板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C,D之间的距 离为 cm.(结果保留根号) 【答案】80V5-160 3.黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比 值的点.20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大 规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中 E为边AB的黄金分割点，BE>AE.已知AB为2米，则线段BE的长为米.（结果保留根号） D E B 【答案】(5--1+5) 4.一般地，我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄 垂比S1 21 如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36° 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)请仅用圆规在BC边上作出点D,E,使△ABD,△ACE均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作 法； DE (②)在(1)的基础上，求AB的值. 【答案】(1) B D @3-v5 2 5.关于x的一元二次方程x2+mx-1=0,当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金 分割数的矩形叫做黄金矩形， B 图1 图2 (1)求黄金分割数： (2)如图1，在黄金矩形ABCD中，长AD=2,则矩形ABCD的面积=； (3)如图2，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，以E为圆心，线段DE长为半径作弧，交BC的延长线 于点F,作矩形ABFG,试说明矩形ABFG是黄金矩形. 【答案】①5-1 2 (2)2V5-2 3) 证明：设正方形ABCD的边长为2a, :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD=2a,∠ECD=90° :E是边BC的中点， 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.CE=BE=a, :.EF=DE=JCE2+CD2=a+(2a)2=5a, :.BF=BE+EF=a+5a=(1+v5)a, AB 2aV5-1 BF (1+v5)a 2, 四边形ABFG是矩形， ∴矩形ABFG是黄金矩形 6.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所示，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD:取 AD的中点E,连接EB;延长DA至点F,使EF=EB;以线段AF为边作正方形AFGH,点H就是AB的 黄金分割点， 任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？ G H A B E D 【答案】 解：设AB=AD=x, E是AD的中点， :AE=2X, 则AH=AB=5x-是x=5- 2x-2x= x, 2 5-1 -2x5-1. AB x 2 ∴点H就是AB的黄金分割点， 任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点. 4/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3平行线分线段成比例 1.如图，已知a∥b∥c,下列比例式中成立的是() E AD CE AD BC A. B CEAD DE BC AF CE 。#器 D.BEAF 【答案】C 2.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线，，上.若直线4∥k∥%∥1且间距相等，CB交直 BG 线，于点G,AB=4'BC=3:则CD的值为() 12 G 13 14 B. A c.v5 15 2 D. 15 【答案】A 二、填空题 3.如图，若∥h∥乃，AB=6,BC=4,DF=5,则EF长为一 E B 【答案】2 4.如图，已知l∥1∥，直线AC与4，飞，分别相交于点A,B,C,直线DF与，h,分别相交 BC 于点D,E,F,其中DE=4?DF=6则AB的值是 5/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2 三、解答题 5.阅读材料，并解决问题. AB BD 角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠B4C,则ACCD,下面是这个定理的部 分证明过程 【证明】如图②，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E 【任务】 (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)填空：如图③，在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,则BD的长是 (3)如图④，在△ABC中，E是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于点F,AB=7, AC=15,求CF的长， D D D BB DE 图① 图② 图③ 图④ 【答案】 (I)证明：：CE∥DA, BD BA CDEA'∠2=∠ACE’∠I=∠E AD平分∠BAC, .1=∠2， .∠ACE=∠E .AE=AC, 6/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BD AC CD (2)2 (3)11 6.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M, 交BD于点G,过点G作GIBC交DC于点R,E-. DF 3 D G B E M (1)若BD=20,求BG的长； DM DG CM (2②已知AB=BG,求CD的值. 【答案】(1)8 a时 7.综合与探究 【问题呈现】 ADí (1)如图1，当AE=CE,BD2时，求证：BC=CF· 【拓展延伸】 (2如图2，当0行，C3时，求CE的值， AD 2 BC AE 【深入探究】 AD1 (3)如图3，在AABC中，直线MN分别与AB,AC,BC的延长线交于点D,E,F,BDm, CF 1 AE BCn,直接写出CE的值（用含m'n的式子表示）· A A A M D M D F D R C C C 图1 图2 图3 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 (1)证明：如图1，过点C作CH∥MN交AB于点H. A M D H C AE AD 图1 CE HD ..AE=CE, :AD=DH 品 ∴.BD=2AD=2DH, ∴.BH=DH. .CH∥MN, BC_BH=1, CF-DH .'BC=CF (2)解：如图2，过点C作CH∥MN交AB于点H. A M D/ H E F -P B AE AD BH BC 图2 CE HDHD CF BC CF =3 BH BC 小HDCF=3, .'BH =3HD .BD =4HD AD 2 BD3’ AD 2 ·4HD3 AD 8 …HD3’ 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE AD 8 ·CEHD31 (3)m +1 综合攻坚知能拔高 一、选择题 1.C 2.A 二、填空题 3 4.15 5.(5-)/(-1+5) 6.(39v5-39)cm/(-39+395)cm 三、解答题 8.(1)等式；分式. 02 【详解】(1)解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等式的基本性质，在第二步解题 过程中应用了分式的基本性质； 故答案为：等式；分式 x=y=名=kk+0), (2)解：依题意，设345 则x=3,y=4k,2=5, x-y-z 3k-4k-5k-6k 3 .x+2y-3z3k+2×4k-3×5k-4k2 、35 9.0)58 9/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 aDs-号r 2 【详解】1)解：，1∥1∥1，AB=3,BC=5. DE AB 3 ·EFBC5' EF EF 55 FD-EF+DE-5+38 35 故答案为：5；8 EF 5 (2)解：·DF=12'FD8 p=5、 ×12= 15 2, DE 3 :EF5’ 0B=3x15-9 522 9 (2) 解：：aABC,aDCE,△FEG是三个全等的等腰三角形， .BC=CE=EG=3,GF=EF=DE=DC=AC=AB=3, FG EG3 ·BGFG3' (3)BM:MN:NF=2:1:3 【详解】(1)解：·△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形，AB=3,BC=V3, .AB=AC=DC=DE=FE=FG=3,BC=CE=EG=3, .BG=3BC=33, FG3 ·BG333' 3 故答案为：3： (2)略 (3)解：：△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形， 10/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC=∠DCE=∠FEG,∠ACB=∠DEC=∠FGE, .AB∥CD∥EF,AC∥DE∥FG, BN BC NFCE:BM MH HF=BC:CE:EG' BC=CE=EG=3. BN3 母ggWw9g3D ∴，BN=NF,BM=MH=HF, 六BN-BM=NF-HF,即MW=NM=)M, .BM =2MN,NF=3MN, .BM:MN:NF=2:1:3 . 1 (②)7 (3)12 (4)见解析 【详解】(1)解：如图1，过点E作EP∥AD交BC于点P, D P 图1 AE=CE, :DP=CP, .EP∥AD, BD BF 3， ∴DPEF BD 3DP 3 BD=3DP' DC2DP2· 故答案为：2· (2)解：如图2，过点D作DG∥BE交AC于点G, 11/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2 AF 1 :AD4' AE 1 AG4' AE 1 EG3' :AD是△ABC的中线， .BD DC. CG CD ∴EGBD =1 设AE=1,则EG=3, AE AE 11 ·AC=AE+2EG1+67' 1 故答案为：7· (3)解：如图3，过点D作DH∥BE交AC于点H, A D 图3 AD是△ABC的中线， :BD=DC, 又，DH∥BE, .EH =HC, ,△ABF的面积与△DBF的面积之比是1：3， AF 1 DF3 AE AF 1 “DH∥BE'EH=DF3, 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE 1 EC=6 .EC=6AE=6×2=12. 故答案为：12： (4)证明：如图4，过点D作DM∥BE, D 图4 ,∠AFE=∠ADM, ,点D是BC的中点， .DM是△BCE的中位线， DM CD 1 六BF+EF=CB2'EM=MC' ∴.BF+FE=2DM, AE=FE, .∠EAF=∠AFE, ∴.∠EAF=∠ADM, .'DM=AM=AE+EM, :.BF+FE=2(AE+EM） .'BF =2EM+AE, AC=AE+2EM, .AC=BF 12.(1)8 ②2 【详解】(1)解：，GF‖BC, DG DF 3 ∴.BG=FC2 .BD=20, :BG=2×20=8: 5 13/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB=CD DM DG 3 由(I)可知AB=BG2: DM 3 .CD2’ CM 1 CD2' 13.(四2 1 22k 【详解】(I)解：如图，过点D作DG∥CF,交AB于点G. 4 E D .·DG∥CF BG BD GFDC· 又：AD是△ABC的中线， .BD=CD. ..FG=BG :DG∥CF, .AF AE FG ED' 又：E为AD的中点， .AE ED, :AF=FG=BG, .AF I BF-2: (2)解：如图，过点D作DG//CF,交AB于点G. 14/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D .DG∥CF AF AE FG ED' AE 1 EDk· 咒站 即FG=kAF, 由(1)知FG=BG, ..BG=FG=kAF .BF =2k.AF. .AF-Ar1 BF2k·AF2k 15/15 专题01 成比例线段 常考题型·精准突破 考点一 成比例线段 题型1 成比例线段 题型2 黄金分割 题型3 平行线分线段成比例 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 成比例线段 ◆题型1成比例线段 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 2．如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设卧佛的身长为米，根据肩宽与身长的比为，结合肩宽为米，列出比例式求解即可． 【详解】解：设卧佛的身长为米， 卧佛的肩宽身长，且肩宽为米， ， ， 解得， 即卧佛的身长为米． 3．已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． ◆题型2 黄金分割 1．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 2．如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为___________．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴， ， ∴支撑点之间的距离为， 故答案为：． 3．黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为______米．（结果保留根号） 【答案】/ 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，为2米， ∴米， 故答案为：． 4．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 5．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3) 证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）略 6．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所示，设是已知线段，以为边作正方形；取的中点E，连接；延长至点F，使；以线段为边作正方形，点H就是的黄金分割点． 任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？ 【答案】 解：设， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴， ∴点H就是的黄金分割点， ∴任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点． ◆题型3 平行线分线段成比例 1．如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ，，，； 观察四个选项，选项C符合题意； 故选：C． 2．如图，矩形的四个顶点分别在直线上．若直线且间距相等，交直线于点G，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，矩形的性质，根据平行线分线段成比例定理，可得．再由矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F，交于点E． 由已知可得，，， ， ， ∵， ∴． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 3．如图，若，，，，则长为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 4．如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握由平行截线求相关线段的长或比值． 先求出，再利用由平行截线段成比例求解． 【详解】解：∵直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵， ，，， ∵AD平分， ∴， ， ， ． （2）； （3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得，结合是的中点，可得，根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， 6．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 7．综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】 （1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可. 【详解】， ， ， ， 故选:A． 【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 二、填空题 3．若（其中），则________ 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例的基本性质． 根据合比的性质即可求解． 【详解】∵（其中）， ∴． 故答案为：． 4．已知，若，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 5．黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且， ∴， ∴， 故答案为：． 6．2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割中线段的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割的定义，已知点为线段上靠近点的黄金分割点，即为长段，利用黄金分割比例关系求出的长度． 【详解】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 7．如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点，，．若，则的长是_________cm． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理，找准对应线段，是解答此题的关键． 过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【详解】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 三、解答题 8．已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么．理由如下：(第一步)，(第二步)． (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中应用了__________基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题∶已知，求的值． 【答案】(1)等式；分式． (2) 【分析】（1）根据题意，利用等式和分式基本性质解答即可； （2）由题意可设，由此得出，，，所以得出，，进而得出答案． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，根据题意可知，解题过程在第一步中应用了等式的基本性质，在第二步解题过程中应用了分式的基本性质； 故答案为：等式；分式． （2）解：依题意，设， 则，，， ． 9．如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) 解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， (3) 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 11．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 13．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $