专题06 二次函数章末54道压轴题型专训（9大题型）2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数9大压轴题型，54道典例系统覆盖从图象性质到几何综合的知识链条，通过分层训练发展几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象与性质|6道|考查单调性、最值及对称性|从概念理解到性质应用| |平移问题|6道|涉及图象变换与坐标计算|性质延伸到动态变换| |方程不等式综合|6道|结合函数与方程的根、不等式解集|代数关系的综合应用| |折叠问题|6道|融合图形翻折与函数图象|几何变换与函数结合| |系数关系|6道|分析a,b,c对图象的影响|从解析式到图象特征| |最值问题|6道|含参数或区间的最值求解|性质深化与分类讨论| |存在性问题|6道|探究特殊点或图形存在性|推理能力与模型构建| |实际应用|6道|解决利润、运动等实际问题|数学建模与应用意识| |几何综合|6道|与三角形、四边形等图形综合|代数几何知识融合|

专题06 二次函数章末54道压轴题型专训（9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、二次函数的图象与性质问题 1 题型二、二次函数中平移问题 2 题型三、二次函数与方程及不等式综合应用 3 题型四、二次函数中折叠问题 4 题型五、二次函数图象与系数的关系问题 5 题型六、二次函数中最值问题 6 题型七、二次函数中存在性问题 7 题型八、二次函数的实际综合应用 8 题型九、二次函数与几何图形综合问题 9 【经典例题一 二次函数的图象与性质问题】 1．（2025·西藏拉萨·一模）已知关于的二次函数，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．   （1）求的值； （2）求出这个函数的最大值或最小值，并说出取得最大值或最小值时相应的自变量的值； （3）写出当时相应的的取值范围． 2．（2025·福建厦门·模拟预测）已知二次函数的部分函数值对应表如表一，其中，． 表一 x … … y … … (1)当时，设，，请求出的值； (2)设，，张飞同学计算了当时的的值和的值，经过一些思考和推理，发现了一个与m的取值无关的数学规律．请你叙述这个数学规律并对其进行证明． 3．（2025·浙江舟山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 4．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． （1）求直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）当自变量x满足什么条件时，有? 5．（25-26九年级下·北京海淀·期中）已知：二次函数． (1)把二次函数的表达式化成的形式，并写出顶点坐标； (2)已知二次函数的图象经过点． ①求a的值； ②点B在二次函数的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围． 6．（24-25九年级上·江西吉安·期末）定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【经典例题二 二次函数中平移问题】 7．（25-26九年级上·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x． （1）它的顶点坐标是　 　，当x　 　时，y随x的增大而减小； （2）将抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，设所得新抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，写出新抛物线的解析式并求△ABC的面积． 8．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求出的面积． (3)当时，的取值范围是_______； (4)若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______． 9．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线y1＝﹣x2＋2向右平移1个单位得到的抛物线y2，回答下列问题： (1)抛物线y2的顶点坐标是什么？ (2)阴影部分的面积S＝ 　　． (3)若再将抛物线y2沿x轴翻折得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式． 10．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 11．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线，点Q为顶点． (1)无论a为何值，抛物线L总过一个定点为________； (2)若抛物线的对称轴为直线． ①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标； ②将抛物线L向下平移k（）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若，求k的值； (3)当时，点为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围． 12．（2026·四川成都·模拟预测）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值． 【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】 13．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 14．（2026·江西南昌·一模）已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 15．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求的函数表达式． (2)根据图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)当时，求的取值范围． 17．（2026·陕西·模拟预测）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【经典例题四 二次函数中折叠问题】 19．（2026·江苏无锡·二模）定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图像，我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”． 【基本应用】 (1)如图，点、、均在直线l上．    ①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）； ②求出经过点A、C、D的二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围． 【创新应用】 (3)如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为________． 20．（2026·天津河西·二模）如图，将一个直角三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，已知点，，．D，E两点同时从原点O出发，点D以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，点E以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，连接，交于点F，将沿直线折叠得到，设D，E两点的运动时间为t秒．    (1)求的度数及点A的坐标； (2)若折叠后与重叠部分的面积为S， ①当折叠后与重叠部分的图形为三角形时，请写出S与t的函数解析式并直接写出t的取值范围； ②求S的最大值（直接写出结果即可）． 21．（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，顶点为M，连接AM． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接．当点C的坐标为，时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 22．（2026·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 23．（2026·辽宁铁岭·二模）我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； (3) 在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 24．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）综合与实践 问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，需要建有一个休息室，一个洗手间． 设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，再次摊开，铺平，连接，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区域串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点． 工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室，请求出点N坐标； (3)为了平衡布局，设计人员要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，若点H在抛物线上的四边形区域内，求点H的坐标． 【经典例题五 二次函数图象与系数的关系问题】 25．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 26．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）阅读解答过程，并在横线上填空． 用配方法，可以将二次函数一般式化为顶点式，其具体过程如下，请在横线上填空： 探究：将二次函数化为顶点式． 具体过程如下： 第一步  提二次项系数a， 第二步  括号内加上一次项系数一半的平方，并减去一次项系数一半的平方， － －3) 第三步  括号内配平方， ）2－ ] 第四步  去括号， ）2－ 由上面的探究过程可知，该抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ． 27．（2026·北京海淀·二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为． （1）写出函数的限减系数； （2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围． （3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围． 28．（2026·湖南永州·模拟预测）已知关于的函数． (1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； (2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围． (3)阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需． 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 29．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为． (1)求b和c的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”． ①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式； ② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值． 30．（2026·辽宁鞍山·一模）已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点；令，则，代入纵坐标得：，即是当步移系数时的“步移关联函数”． (1)对于函数图象上任意一点，若步移系数： ①写出点的纵坐标________（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； (2)在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； (3)已知函数，步移系数（为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 二次函数中最值问题】 31．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值． 32．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象如图．    (1)若，则随的增大而________；当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________． (2)若，则随的增大而________；当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________． (3)若，则当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________． 33．（25-26九年级下·海南·阶段检测）如图，抛物线经过点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点，求的最大值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 34．（25-26九年级下·江西吉安·期中）综合与探究 【定义】对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作． 【示例】如图，根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出反比例函数的的值为______； (2)求二次函数的的值； (3)已知函数，二次函数的图象经过点，且函数的的值与函数的的值相等，求的值． 35．（2026·广西·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 36．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）阅读下面材料：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0），当m≤x≤n时，二次函数在何处取得最值？对此，我们可做如下探究：当a＞0时，观察图①到图④： （1）由图①可知，当x＝n时取最小值，当x＝m时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小； （2）由图②、图③可知，当时取最小值，点离对称轴越近，函数值越小； （3）由图④可知，当x＝m时取最小值，当x＝n时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小． 结论： ①当抛物线开口向上时，抛物线上的点，离对称轴越近，其对应的函数值越小； ②若对称轴在自变量的取值范围内，则二次函数在时取最小值； ③若对称轴不在自变量的取值范围内，则二次函数在离对称轴最近的点处取得最小值． 请结合以上结论，解决下列问题： （1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当﹣3≤x≤2时，此时函数的最大值和最小值； （2）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在m≤x≤m＋1的范围内有最小值2m，求出m的值； （3）二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当m≤x≤n时，m≤y≤n（m≠n），求出此时的m，n的值． 【经典例题七 二次函数中存在性问题】 37．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 38．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 39．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 40．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线l：与y轴交于点F． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线l：下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点F的直线与二次函数图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点，使得，请直接写出m的值． 41．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． (3)在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 42．（25-26九年级上·河北承德·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m． ①请用m的代数式表示的长； ②连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【经典例题八 二次函数的实际综合应用】 43．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 44．（2026·山东青岛·模拟预测）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 45．（2026·陕西西安·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点H的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 46．（25-26九年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)此抛物线的解析式为： ； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 47．（2026·河南周口·模拟预测）竖直上抛的物体距离地面的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时距离地面的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示（不完整）． (1)直接写出与的关系式； (2)求小球运动时的离地高度； (3)小东观察小球运动，若标记点离地面的高度为．求小球先后两次经过标记点的间隔时间． 48．（2026·陕西西安·一模）如图，某景区的服务中心三个拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线，平移抛物线可以得到抛物线与，抛物线与地面的交点为A、B，抛物线与地面的交点为B、C，抛物线与地面的交点为C、D，A、B、C、D四点在一条水平直线上，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线与关于y轴对称，米，抛物线的函数表达式为． (1)求B、C两点的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)点E、F在抛物线L1上，点G、H在抛物线L3上，E、F、G、H四点到地面的距离都相等，在这四点处各挂一个灯笼，最远的两个灯笼之间的距离（即E、H之间的距离）为14米，灯笼悬挂时的竖直高度都为0.8米，求灯笼最底端到地面的距离． 【经典例题九 二次函数与几何图形综合问题】 49．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 50．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度沿NM运动，最终点A与点M重合． (1)求重叠部分面积y（单位：）关于时间t（单位：s）的解析式，并写出t的取值范围． (2)当时，求y的值． (3)当时，求t的值． 51．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 52．（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数． (1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点． ①求该二次函数表达式； ②当时，求点的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围． 53．（2026·广东清远·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，且以A，B，C为顶点组成的三角形是等边三角形． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，若点F在线段上，且，经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点P，与线段交于点E，求的最大值．   54．（2025·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数章末54道压轴题型专训（9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、二次函数的图象与性质问题 1 题型二、二次函数中平移问题 2 题型三、二次函数与方程及不等式综合应用 3 题型四、二次函数中折叠问题 4 题型五、二次函数图象与系数的关系问题 5 题型六、二次函数中最值问题 6 题型七、二次函数中存在性问题 7 题型八、二次函数的实际综合应用 8 题型九、二次函数与几何图形综合问题 9 【经典例题一 二次函数的图象与性质问题】 1．（2025·西藏拉萨·一模）已知关于的二次函数，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．   （1）求的值； （2）求出这个函数的最大值或最小值，并说出取得最大值或最小值时相应的自变量的值； （3）写出当时相应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）的最大值是；（3）当时，． 【分析】（1）根据二次函数的增减性可知，对称轴x=1，再根据对称轴公式求k的值； （2）将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定抛物线的顶点坐标，从而得出最大（小）值； （3）令y=0，求出x的值，再求当y＞0时相应的x的取值范围． 【详解】解：（1）依题意可知，抛物线对称轴为， 即，解得； （2）当时，， 故当时，的最大值是； （3）当时，，解得或， 故当时，． 【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式：顶点坐标为（h，k），对称轴x=h．同时考查了用抛物线与x轴的交点坐标，判断函数值的符号的方法． 2．（2025·福建厦门·模拟预测）已知二次函数的部分函数值对应表如表一，其中，． 表一 x … … y … … (1)当时，设，，请求出的值； (2)设，，张飞同学计算了当时的的值和的值，经过一些思考和推理，发现了一个与m的取值无关的数学规律．请你叙述这个数学规律并对其进行证明． 【答案】(1)； (2) 解：（是正整数）．理由如下， ，， ，， ，， ，， ，， ∴， ， ， ∴， ； ∴． 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）由题意得到，；，；，；再计算得到，，最后计算求出的值即可； （2）由题意得到，；，；同（1）计算即可得解． 【详解】（1）解：当时， ，， ，， ，， ∴， ， ∴； （2）略 3．（2025·浙江舟山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②，理由如下： ∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点，点在抛物线上，且， ∴； (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴； ②略 （2）∵抛物线中， ， ∴函数开口向上，在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，都有， 由题意可知，点在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图所示，抛物线的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B． （1）求直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）当自变量x满足什么条件时，有? 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）先求出点A、C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答； （2）根据二次函数的对称性和点A的坐标求出点B的坐标，然后求出AB，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：(1)由知抛物线顶点C(-1，0)， 令x＝0，得， ∴． 将点A、C的坐标代入直线解析式得，， 解得， 所以，直线AC的解析式为； （2）∵顶点坐标为（-1，0）， ∴对称轴为直线x=-1， ∵AB⊥y轴， ∴点A、B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为（-2，）， ∴AB=2， ∴△ABC的面积=； （3）由图可知，x＜-1或x＞0时，y1＞y2． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握各性质与待定系数法求函数解析式是解题的关键，难点在于（2）求出点B的坐标． 5．（25-26九年级下·北京海淀·期中）已知：二次函数． (1)把二次函数的表达式化成的形式，并写出顶点坐标； (2)已知二次函数的图象经过点． ①求a的值； ②点B在二次函数的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围． 【答案】(1)y1＝a（x+1）2﹣1（a≠0），顶点坐标（﹣1，﹣1）； (2)①a＝；②≤k或k＝﹣4 【分析】（1）化成顶点式即可求得； （2）①把点A（﹣3，1）代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值； ②根据对称的性质得出B的坐标，分两种情况讨论即可求得． 【详解】（1）由题意可知，二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）， 整理得，y1＝a（x+1）2﹣1（a≠0）， ∴对称轴：x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）； （2） ①∵二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）， ∴a（﹣3+1）2﹣1＝1， 解得：a＝； ②∵A（﹣3，1），对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，1）； 当k＞0时， 二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过A（﹣3，1）时，1＝9k﹣3k，解得k＝， 二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1＝k+k，解得k＝， ∴≤k， 当k＜0时， ∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k（x+）2﹣k， ∴﹣k＝1， ∴k＝﹣4， 综上所述，二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k或k＝﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江西吉安·期末）定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的伴随函数．如与互为伴随函数． (1)的伴随函数的表达式为 ； (2)若的图像的顶点为，且过它的伴随函数的图像顶点． 求证：这两个函数图像的交点为； 如图，点是在之间的图像的动点，轴交的图像于点，求长度的最大值． 【答案】(1)； (2)证明：∵， ∴顶点， ∴它的伴随抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点在图象上， 当时，， ∴点在图象上， ∴这两个函数图像的交点为，； 最大值为． 【分析】（）根据“伴随函数”的定义和二次函数的定义即可求解； （）由，则顶点，求出它的伴随抛物线解析式为，然后当时，，则点在图象上，当时，，从而求证； 设，则， 故有，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴顶点为， ∴伴随抛物线的顶点为， ∴伴随抛物线的解析式为； （2）略 解：由可知：，，，， 设， ∵轴交的图像于点， ∴， ∴， ∵点在，之间， ∴， 当时，值最大，最大值为． 【经典例题二 二次函数中平移问题】 7．（25-26九年级上·四川乐山·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x． （1）它的顶点坐标是　 　，当x　 　时，y随x的增大而减小； （2）将抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，设所得新抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，写出新抛物线的解析式并求△ABC的面积． 【答案】（1）(1，－1)，x<1；（2）y＝x2＋2x－3，6． 【分析】（１）先将y＝x2﹣2x化为顶点式，即可得出顶点坐标，再根据二次函数的性质可求出y随x的增大而减小时自变量的取值情况； （2）根据函数图象的平移规律，可求出新抛物线的解析式，再利用新抛物线的函数解析式求出△ABC的底和高，即可求出面积． 【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x＝（x－1）2－1， 则顶点坐标为(1，－1)， ∵y＝x2﹣2x为二次函数，且a＝1， ∴开口向上，对称轴为x=1， ∴在x<1时，y随x的增大而减小． 故答案为：(1，-1)，x<1． （2）将抛物线y＝x2﹣2x＝（x－1）2－1向左平移2个单位得y＝（x－1＋2）2－1＝（x＋1）2－1， 再向下平移三个单位，得y＝（x＋1）2－1－3＝（x＋1）2－4， 化简得y＝x2＋2x－3， 即新抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3， ∵抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于两点A、B两点， ∴令y＝0，则x2＋2x－3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1， ∴AB＝4， 令x＝0，y＝－3， ∴C点坐标为(0，－3)， S△ABC中，底边为AB，三角形的高即为C点到x轴的距离， ∴S△ABC＝×4×3＝6． 【点睛】此题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质的相关知识并能灵活运用是解题的关键． 8．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)求出的面积． (3)当时，的取值范围是_______； (4)若将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是_______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解； （2）先求出，再求得点到的距离为5，从而可求得的面积； （3）先得出抛物线的开口方向向下，最大值为5，再分别求出当、时的函数值，从而可确定的取值范围； （4）先得出平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1，从而可得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故答案为：； （2）∵令，即， 解得， ∴，， ∴， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴点到的距离为5， ∴的面积是； （3）∵二次函数，二次项系数为，顶点坐标为， ∴抛物线的开口方向向下，最大值为5， 把代入， 得， 把代入， 得， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）∵将该函数图象向下平移到与轴有唯一公共点， ∴平移后的二次函数的顶点的纵坐标为0，横坐标为1， 即顶点变为， ∴平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，二次函数图象的平移，抛物线与x轴的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 9．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线y1＝﹣x2＋2向右平移1个单位得到的抛物线y2，回答下列问题： (1)抛物线y2的顶点坐标是什么？ (2)阴影部分的面积S＝ 　　． (3)若再将抛物线y2沿x轴翻折得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式． 【答案】(1)(1，2) (2)2 (3)y＝(x﹣1)2﹣2 【分析】（1）先确定二次函数y=-x2+2的顶点坐标为(0,2)，然后根据点平移的规律得到点(0，2)平移后所得对应点的坐标为(1,2)； （2）阴影部分的面积可转化为平行四边形的面积，然后根据平行四边形的面积公式求解； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(1，-2)，由于抛物线沿x轴翻折时开口方向改变，所以可利用顶点式得到抛物线y3的解析式． 【详解】（1）解：抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2＝﹣(x﹣1)2+2， 则抛物线y2的顶点坐标为(1,2)； （2）解：如图，根据平移的性质可得：阴影部分的面积等于平行四边形ABCD的面积， ∴阴影部分的面积S＝1×2＝2； 故答案为2； （3）解：抛物线y2＝﹣(x﹣1)2+2的顶点坐标为(1,2)， 而点(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(1,﹣2)， 所以抛物线y3的解析式为y＝(x﹣1)2﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了关于x轴对称的点的坐标特征． 10．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)矩形的面积为； (3)的值为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，二次函数的性质，平移规律等，掌握知识点的应用是解题关键． （）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入解析式可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （）设点坐标为，用含的代数式表示出矩形的周长，利用二次函数的性质求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； （）连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半，依次求出直线，的解析式，再求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】（1）解：在抛物线 中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴点到对称轴的距离为， 由对称性可知， ∴矩形的周长， ∴当时，矩形周长取最大值， ∴此时， ∴，， ∴矩形的面积为； （3）解：如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半， 由（）知，抛物线对称轴为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ∵， ∴将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接，则恰好平分矩形的面积， ∴的值为． 11．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线，点Q为顶点． (1)无论a为何值，抛物线L总过一个定点为________； (2)若抛物线的对称轴为直线． ①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标； ②将抛物线L向下平移k（）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若，求k的值； (3)当时，点为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② (3) 【分析】（1）因为过定点时，与a值无关，所以把，代入，得，即可得到结论． （2）根据抛物线对称轴的公式求得a值，即得抛物线L的表达式，进而可得顶点Q的坐标；根据抛物线平移的性质，确定平移后抛物线的表达式，结合抛物线与y轴的交点，利用勾股定理和QA=QB，即可求得k值． （3）当时，可得抛物线的表达式和对称轴，根据点M(m,n)为抛物线上一点且到y轴的距离不超过2，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定点M (m,n)横坐标m的取值范围，进而取得n的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线L:= ∴当时， ∴无论a为何值，抛物线L总过一个定点为． 故答案为：． （2）解①∵抛物线L的对称轴为直线 解得 ∴抛物线L的表达式为 ． ∵当时， ∴顶点Q的坐标为． ②∵将抛物线L向下平移k（k>0）个单位长度，使顶点Q落在点A处，则 平移后的抛物线的表达式为： ∴ 当时， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：． （3）解：当时， 抛物线的表达式为： 抛物线的对称轴为： ∵点M(m,n)为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2 ∴ ∴点M位于抛物线对称轴及其右侧 ∵>0，开口向上 ∴n值随着m的增大而增大 ∴当时， 当时， ∴n的取值范围为：． 【点睛】本题考查二次函数的综合，二次函数的图像和性质，勾股定理的应用，平移的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性等知识点．熟练掌握二次函数的图像和性质，平移的性质等相关知识，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 12．（2026·四川成都·模拟预测）抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用交点式求解即可； （2）讨论点在之间时，点与点重合时，点在之间时三种情况即可； （3）先利用构造相似得出，利用一次函数得出，联立一次函数与抛物线解析式得出，，判断出一次函数过定点，即可解决． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得：， 所以抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 代入和， 得， 解得， 所以直线的表达式为：， 由题意得，点，点，点， 则， ①当点在之间时， 存在点是的中点， 则， 化简得：， 解得：（舍去）或， 则； ②当点与点重合时，不存在； ③当点在之间时， 存在点是的中点， 则， 化简得：， 解得：（舍去）或， 则， 综上，或； （3）∵抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，抛物线与正半轴交于点， ∴抛物线向左平移个单位即可得抛物线， ∴抛物线的表达式为， 设点和点，且点在点左侧， 根据，可知图形有两种情况： 当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 化简得：； 当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点，    同理可得； 综上，， 联立与， 得：， 化简得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴直线过定点， ∴原点到距离的最大值即点到点的距离， 即． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及二次函数性质，待定系数法求解析式，铅锤法表示线段，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，分类讨论及数形结合是关键． 【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】 13．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 14．（2026·江西南昌·一模）已知点是抛物线上一点，若，则我们把点P称为该抛物线的“二倍点”． (1)【定义理解】 ①若点P是抛物线上的“二倍点”，则点P的坐标为________； ②下列抛物线，没有“二倍点”的是________． A．    B．    C． (2)【深入探究】 已知抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点． ①求该抛物线的解析式； ②将该抛物线向下平移k个单位得到新的抛物线，若新抛物线恰好只存在1个“二倍点”，求k的值及该“二倍点”的坐标． 【答案】(1)①或，②C (2)①；②，“二倍点”的坐标为 【分析】（1）①根据“二倍点”的定义可得，且，据此解方程即可得到答案；②根据题意可得当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点，故联立对应的抛物线的解析式和直线的解析式，看方程是否有解即可得到答案； （2）①抛物线与x轴只有1个公共点可得判别式的值为0，再结合点B和点C的坐标列式求解即可；②求出平移后的抛物线解析式，根据新抛物线恰好只存在1个“二倍点”可得新抛物线与直线只有一个交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∵点P是抛物线上的“二倍点”， ∴，且， ∴， 解得或， 当时，；当时，； 综上所述，点P的坐标为或； ②由题意得，抛物线上的一点满足其纵坐标是横坐标的两倍时，则该点为该抛物线的“二倍点”， ∴所有的抛物线的“二倍点”都在直线上， ∴当抛物线上有“二倍点”时，该抛物线与直线一定有交点； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线有两个不同的交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， 解得， ∴二次函数与直线只有一个交点， ∴二次函数上有“二倍点”； 联立得，即， ∴， ∴二次函数与直线没有交点， ∴二次函数上没有“二倍点”； （2）解：①∵抛物线与x轴只有1个公共点，且与y轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； ②由题意得，平移后的抛物线的解析式为， 联立得，即 ∵平移后的抛物线上恰好只存在1个“二倍点”， ∴， ， ∴， 解得． ∴“二倍点”的坐标为． 15．（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）已知抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)抛物线对称轴上有一动点，求的最小值，并求当取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为； 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及轴对称中最短路线问题， （1）分别求出当时及当时，y值及x值，即可得出交点坐标； （2）根据点A、B关于对称轴直线对称，得出点P为与对称轴的交点，进而求出最小值，再求出直线表达式从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点， ∴当时，， ； ∴当时，， 解得：， ； （2）解：∵抛物线， ∴此抛物线对称轴为直线，点A、B关于对称轴对称， 连接与对称轴交于点P，此时， 此时的值最小，最小值为， 设所在直线表达式为，把代入， ， 解得：， ∴所在直线表达式为， 当时，， ． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求的函数表达式． (2)根据图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与不等式的关系，熟记性质并利用数形结合的思想求解是解题的关键； （1）把点，的坐标代入一次函数计算即可求出，，再把点、的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象写出一次函数图象在二次函数图象上方部分的的取值范围即可； （3）把二次函数解析式整理成顶点式形式，求出最小值，再计算出两个端点值即可求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得， 、，代入中， ，解得：； ； （2）解：由图可知：时，． （3）解：， 顶点坐标为， 在上最小值为：， 当时，， 当时，， 故当时，求的取值范围为：． 17．（2026·陕西·模拟预测）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是_________（填序号）； ①；②；③当时，有最小值为；④当时，的值随值的增大而增大 (3)若将该二次函数的图象沿轴向下平移6个单位长度，交轴于，两点，求的长． 【答案】(1)如图，二次函数图象即为所求： (2)①②③ (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令，求出其与轴的两个交点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可得，抛物线开口向上，故，①正确； 抛物线与轴有两个交点，故，②正确； 由图象可得，当时，有最小值为，③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而增大，④错误， ∴正确的有①②③； （3）解：根据函数图象可得，顶点坐标为，故设表达式为 将点代入得，， 解得 ∴抛物线表达式为 ∴沿轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为，即为， 令，则 解得 ∴抛物线与轴的交点为， ∴． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【答案】(1)①，，；②，；③左，，下， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可； ②根据顶点坐标公式求解即可； ③根据顶点的坐标，确定平移即可； （2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； （2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题四 二次函数中折叠问题】 19．（2026·江苏无锡·二模）定义：经过函数图像上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图像沿平行线向下翻折形成新的函数图像，我们把满足这种情况的函数图像称为经过这一点的“折叠函数”． 【基本应用】 (1)如图，点、、均在直线l上．    ①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）； ②求出经过点A、C、D的二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点为二次函数图像上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围． 【创新应用】 (3)如果反比例函数的图像上有一点，则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为________． 【答案】(1)①以点C为顶点，作,作，交x轴于点D，则点D即为所求；② (2)或 (3) 【分析】（1）①将已知点坐标代入解析式的一般式，待定系数法确定解析式，进而确定，，以点C为顶点，作,作，交x轴于点D，则点D即为所求； ②由图知，,可证,得,由两点间距离公式求得,进一步求得,确定,待定系数法确定经过,,三点的抛物线解析式； （2）设点，由两图象关于直线对称，可求新抛物线顶点纵坐标为，确定翻折后的抛物线解析式为，分情况讨论：如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，解，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧）， 如图2，当点P在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点；（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧），　得出结论； （3）确定原函数解析式，进而根据对称性求得翻折函数的解析式， 时，，解得，所以交点坐标为． 【详解】（1）解：①设直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴直线解析式为， 将代入得，，解得：， ∴ 以点C为顶点，作，作，交x轴于点D，则点D即为所求；    ②由图知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设经过，，三点的抛物线为，则： ， 解得：， ∴解析式． （2）解：原抛物线， 点，所以新抛物线的解析式顶点纵坐标为： ， 故翻折后的抛物线解析式为：， 如图，点P在x轴上方时，原抛物线与x轴恒有两个交点，当翻折部分与x轴有且仅有一个交点时，折叠函数与x轴有三个交点，满足题意，则，解得（P在对称轴左侧）， （P在对称轴右侧），      如图，当点P落在x轴上时，折叠函数与x轴有且仅有两个交点， 点P落在x轴上时，（ P在对称轴左侧），（P在对称轴右侧）； 当点P落在x轴在下方时，折叠函数与x轴无交点． ∴当折叠函数与x轴至少有三个交点时，或．      （3）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴，    如图，设点在翻折后的图象上，则其关于直线的对称点在上，对称点坐标为，代入得，，即折后的图象解析式为， 时，，解得， 所以交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规作图，待定系数法确定函数图象，函数图象变换，正确绘制满足要求的函数图象，确定随着参数变化，图象的不同位置状态是解题的关键． 20．（2026·天津河西·二模）如图，将一个直角三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，已知点，，．D，E两点同时从原点O出发，点D以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，点E以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，连接，交于点F，将沿直线折叠得到，设D，E两点的运动时间为t秒．    (1)求的度数及点A的坐标； (2)若折叠后与重叠部分的面积为S， ①当折叠后与重叠部分的图形为三角形时，请写出S与t的函数解析式并直接写出t的取值范围； ②求S的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)；； (2)①；②有最大值； 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求得的长，可求得点的坐标，利用特殊角的三角函数值即可求得； （Ⅱ）①分点落在线段上和点落在线段延长线上两种情况讨论，利用特殊角的三角函数值以及三角形面积公式即可求解； ②画出图形，根据结合二次函数的性质即可求得重叠部分面积最大值． 【详解】（1），，， ， ； ； ，，， ， ； （2）①，， ，即， 将沿直线折叠得到，折叠后的点落在直线上， 如图，当点落在线段上，与重叠部分是，   此时， ，， ， ， ； 如图，当点落在线段的延长线上时，与重叠部分是，   设与交于点， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． ． 解：②当点落在线段的延长线上时，与重叠部分是， ，，， ，，， ∴， ∴ ∴对称轴为， ∵， ∴当时，S有最大值； 【点睛】本题主要考查了直线与轴的交点、用待定系数法求抛物线的解析式、运用三角函数解三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，对运算能力要求比较高，运用分类讨论和割补法是解决第（2）小题的关键． 21．（24-25九年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，顶点为M，连接AM． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接．当点C的坐标为，时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)相等，理由 解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求解即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：将，代入解析式， 得：， 解得： 抛物线的解析式表达式为； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 22．（2026·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即，解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 23．（2026·辽宁铁岭·二模）我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； (3)在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）先求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意和翻折性质求解即可； ②先求得，再求得直线的表达式，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，，则，可得，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得“上翻折函数”的表达式为，可画出草图，分别求得临界点时的 k值，根据图形可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴点，点，， 将点A、B、C坐标代入中， 得，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：①当，“下翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为． 根据x的取值，得到不同范围下，“下翻折函数”的表达式 综上所述，“下翻折函数”的表达式为； ②∵，且即， ∴将代入中，得， ∴， 设直线的表达式，则，解得， ∴直线的表达式， 如图2，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，， 则， 又∵点N在直线上， ∴将代入， 可得， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：或． 如图2，画出草图，当时，“上翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，点，点， 设二次函数的表达式为，得，解得， ∴二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为； ∴“上翻折函数”的表达式为， ①当与“第2段”相切时有两个交点，联立， 整理，得， 则，解得，此时直线与段也有一个交点； ②当与点C重合时，仅有一个交点，将点代入中，解得； ③当经过点时，解得，此时恰好也过点，与图象有三个交点． 综上所述，或． 24．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）综合与实践 问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，需要建有一个休息室，一个洗手间． 设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸先对折，得到的垂直平分线，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为，再次摊开，铺平，连接，，得到，，四边形，四边形四个区域．一条抛物线形的路把这四个区域串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点． 工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)在四边形区域内的抛物线上找一点N，使得的面积最大，在此处建一个休息室，请求出点N坐标； (3)为了平衡布局，设计人员要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，若点H在抛物线上的四边形区域内，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，二次函数的对称性，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质及数形结合的思想方法是解题的关键． （1）由已知可求得，，则可得．设设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求得，进而可得抛物线的函数表达式为； （2）过N点作于G点，交于K点，先求出直线的表达式为．设，则，根据可得，则可得时S的值最大，从而可求出点的坐标； （3）要求洗手间（用点H表示）到点P和点B的距离相等，只要求的垂直平分线与抛物线的交点即为点， 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， ∴． 设抛物线的函数表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图2，过N点作于G点，交于K点， 设直线的表达式为，将点A，点P的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为． 设，则， 则， ∴ ， ∵， ∴当时，S的值最大， ∴； （3）解：设点的坐标为， ∵，， ∴,, ∵, ∴, ∴, 解得， 又点在抛物线上， ∴， 解得或， 当时，，此时点，与点重合，不在四边形区域内，舍去； 当时，，此时点，在四边形区域内，符合要求， 所以，点的坐标为． 【经典例题五 二次函数图象与系数的关系问题】 25．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点” (2)①6；②或 【分析】（1）因为抛物线的顶点式为，所以直接得出顶点坐标．判断是否为“点”，则需先验证该点是否在抛物线上，再验证是否成立即可． （2）将代入抛物线表达式，可先求出与的关系． ①当时，代入求出的值，得到抛物线表达式，然后结合和点在抛物线上的条件，求出，进而计算“系数”． ②已知“系数”为，即，可先求出，再结合和抛物线表达式，求出和的值，得到抛物线的顶点式，然后根据确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的图像和性质求的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下， 抛物线的顶点式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点在抛物线上，且异于顶点， ，， ，， 满足， 点是抛物线的“点”； （2）解：抛物线过原点， 将代入，得：， 抛物线表达式为：， ， 顶点坐标为， ①当时， 顶点坐标为，，解得：， 抛物线表达式为：， 点为该抛物线的“点”， ，解得：，或， 点异于顶点， 该抛物线的“点”为， “系数”为：； ②当“系数”为时，即， ，即或，即或， 情况一：当时，， ， ，化简得：， ，即， 代入上式得：，解得：， ，，此种情况无解； 情况二：当时，， ， ，化简得：， 将代入上式得：，解得：， ，解得或， 的范围为， 分情况讨论， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，​， 的取值范围为， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 26．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）阅读解答过程，并在横线上填空． 用配方法，可以将二次函数一般式化为顶点式，其具体过程如下，请在横线上填空： 探究：将二次函数化为顶点式． 具体过程如下： 第一步  提二次项系数a， 第二步  括号内加上一次项系数一半的平方，并减去一次项系数一半的平方， － －3) 第三步  括号内配平方， ）2－ ] 第四步  去括号， ）2－ 由上面的探究过程可知，该抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ． 【答案】1；1；1；4；1；8；（1，-8）；x=1 【分析】利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：提二次项系数a，得： 括号内加上一次项系数一半的平方，并减去一次项系数一半的平方，得：1 -1－3) 括号内配平方，得： 1）2－4] 去括号，得：1 ）2－8 ∴该抛物线的顶点坐标是（1，-8），对称轴是直线x=1． 故答案为：1；1；1；4；1；8；（1，-8）；x=1 【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，二次函数的图象和性质，熟练掌握把二次函数解析式化为顶点式的过程是解题的关键． 27．（2026·北京海淀·二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为． （1）写出函数的限减系数； （2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围． （3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1）2；（2）（3） 【分析】根据题目中限减函数以及限减系数的定义分析即可. 若，则，（，）和（，）是函数图象上两点，，与函数的限减系数不符，接下来分和两种情况进行讨论即可. 首先写出翻折后新函数的函数解析式，根据限减函数的定义进行判定即可. 【详解】解：（1）函数的限减系数是2；                    （2）若，则，（，）和（，）是函数图象上两点，，与函数的限减系数不符，∴． 若，（，）和（，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，， ∵，且， ∴，与函数的限减系数不符. ∴．      若，（，）和（，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，， ∵，且， ∴，当时，等号成立，故函数的限减系数． ∴的取值范围是．     （3）设P（n，−n2），则翻折后的抛物线的解析式为y＝x2−2n2， 对于抛物线y＝−x2，（m−1，−（m−1）2），（m，−m2）是抛物线图象上两点， 由题意：−m2＋m2−2m＋1≥−1，解得m≤1， 对于抛物线y＝x2−2n2，（m，m2−2n2），（m＋1，（m＋1）2−2n2）是抛物线图象上两点， 由题意：（m＋1）2−2n2−（m2−2n2）≥−1， 解得m≥−1， ∴满足条件的P点横坐标n的取值范围：−1≤n≤1． 【点睛】属于新定义问题，读懂题目中限减函数以及限减系数的定义是解题的关键. 28．（2026·湖南永州·模拟预测）已知关于的函数． (1)若，函数的图象经过点和点，求该函数的表达式和最小值； (2)若，，时，函数的图象与轴有交点，求的取值范围． (3)阅读下面材料： 设，函数图象与轴有两个不同的交点，，若，两点均在原点左侧，探究系数，，应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以； ②因为，两点在原点左侧，所以对应图象上的点在轴上方，即； ③上述两个条件还不能确保，两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需． 综上所述，系数，，应满足的条件可归纳为： 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)或，0 (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，然后化顶点式即可求得最小值； （2）利用函数的图象与轴有交点△≥0，即可得出结论； （3）根据a＞0、a=0、a＜0，分别讨论，再利用△，x=1处函数值的正负、函数对称轴画出草图，结合图象分析即可． 【详解】（1）根据题意，得 解之，得，所以 函数的表达式或，当时，的最小值是-8． （2）根据题意，得而函数的图象与轴有交点，所以所以． （3）函数的图象 图1： 即， 所以，的值不存在． 图2： 即的值. 图3： 即 所以的值不存在 图4：即 所以的值不存在． 图5： 即 所以的值为 图6：函数与轴的交点为 所以的值为0成立． 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查二次函数的应用．（1）中掌握待定系数法是解题关键；（2）中掌握二次函数与x轴交点个数与△的关系是解题关键；（3）中需注意分类讨论，结合图象分析更加直观． 29．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点 ，抛物线的顶点为，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为． (1)求b和c的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，用含t的代数式表示线段与的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)定义：对于抛物线上任意两点、，取抛物线弧上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”，纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”，记为抛物线弧的“形态系数”． ①若点在对称轴右侧，求抛物线弧的“形态系数”与的函数解析式； ② 过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧），若抛物线弧与抛物线弧的“形态系数”之和为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)， (3)①②或 【分析】（1）写出交点式，求出函数解析式即可； （2）根据题意，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）①分和两种情况进行讨论求解即可；②分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于两点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，， 由题意，，，则：， ∴， ∴， ∴当时，的值最大为； （3）解：①∵， ∴时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵点在对称轴右侧且 ∴当时， ， 则； 当时，， 则； 综上：； ②∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点（在左侧）， ∴， 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 当时，则抛物线弧的“形态系数”， 抛物线弧的“形态系数”， ∴，解得或（舍去）； 综上：或． 30．（2026·辽宁鞍山·一模）已知是自变量的函数，若对于函数图象上任意一点，将点沿水平方向向右平移1个单位长度，沿竖直方向平移个单位长度（为常数，向上平移时，向下平移时）得到点，点始终在函数的图象上，则称是的步移关联函数，称为步移系数． 例如：函数，当步移系数时，对于图象上任意一点，向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点；令，则，代入纵坐标得：，即是当步移系数时的“步移关联函数”． (1)对于函数图象上任意一点，若步移系数： ①写出点的纵坐标________（用含的代数式表示）； ②求的“步移关联函数”的函数表达式； (2)在（1）的条件下，若，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，当线段将四边形的面积分成的两部分时，求的值； (3)已知函数，步移系数（为常数），是的“步移关联函数”，设新函数：当时，；当时，． ①当时，求函数当时的最大值和最小值； ②当时，是否存在实数，使得直线与函数的图象有且只有3个不同的交点，若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)最大值为6，最小值为，存在， 【分析】（1）①先求出，根据平移的规律解答即可；②由步移关联函数的定义解答即可； （2）由题意得，，，，且，根据将四边形面积分为两部分，得到 ，即可求解； （3）①当时，先求出 ，新函数的表达式为：，即可求解；②由步移关联函数的定义，得，利用二次函数的性质画出示意图，即可解答． 【详解】（1）解：①由题意得，， 则点B纵坐标： ； ②对于函数上任意一点， 点向右平移1个单位再向下平移2个单位得到点， 令，则， 代入点的纵坐标得： ， 的“步移关联函数”的表达式为：； （2）解：轴于，轴于，，， ，，，，且， 将四边形面积分为两部分， ，即， 解得； （3）解：①当时，对于上任意一点， 平移后得到点． 令，则， ． 由题意得，新函数的表达式为：， 当时，，时，取得最小值； 时，； 时，． ∴此范围内的最大值为6，最小值为． 当时，， 时，取得最小值， 时，取得最大值． ∴此范围内的最大值为2，最小值为． 综上：在最大值为6，最小值为． ②由步移关联函数的定义，得， ， 在上， 时，取得最小值，时，取得最大值 ，时， ，即 ，且函数图象随的增大先减小再增大，如图： ∴当时，直线与的图象有2个交点；其他情况，直线与的图象1个交点， 在上， ， 在上，直线与的图象最多有1个交点，如图： 要使直线与的图象有且只有3个不同交点，需满足： 直线与有2个交点，且与有1个交点， 即与有公共部分，如图： ， 解得：． 综上：的取值范围是． 【经典例题六 二次函数中最值问题】 31．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据图象的性质即可列方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，当在对称轴的两侧时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入二次函数中得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：，对称轴为， 抛物线开口向下，的值离对称轴越远，的值越小， ， 当时，有最小值，当时，有最大值． 即，解得， ； （3）解：由（1）可知，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当在对称轴的左侧时，即时， 的最大值与最小值的差， ， 整理得， 解得（不合题意，故舍去）． 当在对称轴的右侧时，，即时， 的最大值与最小值的差， ， 整理得， 解得（不合题意，故舍去）． 当在对称轴的两侧时，即时， 的最大值与最小值的差， 或， 解得，（舍去）或（舍去），， 综上所述，的值为或． 32．（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象如图．    (1)若，则随的增大而________；当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________． (2)若，则随的增大而________；当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________． (3)若，则当________时，有最小值为________；当________时，有最大值为________． 【答案】(1)减小；0，2；，5． (2)增大；2，2；3，5． (3)1，1；3，5． 【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解． （2）由抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴求解． （3）由抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴求解． 【详解】（1）， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 将代入得， 将代入得， 故答案为：减小；0，2；，5． （2）当时，随的增大而增大， 将代入得， 将代入得， 故答案为：增大；2，2；3，5． （3）抛物线开口向上，顶点坐标为， 当时，时，有最小值为1， ， 时，有最大值为5． 故答案为：1，1；3，5． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 33．（25-26九年级下·海南·阶段检测）如图，抛物线经过点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接相交于点，求的最大值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，求出直线得表达式，过点作轴交于，进而得到，再证，得到，再利用配方法求最值即可； （3）当时，记函数的函数值为，由题意可得抛物线开口向上，且对称轴，再分三种情况，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入表达式，得， 解得， 函数的表达式为：； （2）解：二次函数的表达式为，令，则， ∴， 设，直线的表达式为， 把代入，得， 解得， 直线的表达式为， 如图，过点作轴，交于，则， 点， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：当时，记函数的函数值为， ，抛物线开口向上，且对称轴，顶点， ①当时，，， ，即，解得， ； ②当时，，， ，符合题意； ③当时，，， ， 解得，，（舍）； 综上所述，n的取值范围为． 34．（25-26九年级下·江西吉安·期中）综合与探究 【定义】对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作． 【示例】如图，根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)直接写出反比例函数的的值为______； (2)求二次函数的的值； (3)已知函数，二次函数的图象经过点，且函数的的值与函数的的值相等，求的值． 【答案】(1)4 (2)16 (3)或 【分析】（1）分别将和代入求出对应的y值，即可求解； （2）根据二次函数的性质，在x的取值范围内求最大值和最小值，即可求解； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；再分别求两个函数的的值，根据相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 则， 故答案为：4； （2）解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，为最大值， 当时，即在顶点时，取得最小值， 则； （3）解：二次函数的图象经过点，则， 则或（舍去）， 抛物线的表达式为：，抛物线的对称轴为直线， 对于， 当时，，当时，， 则； ①当时，则抛物线在时，取得最小值为，时，函数取得最大值，即， 则， 解得（舍去）或（舍去）， ②当时，抛物线的顶点时取得最大值，在时，取得最小值，则， 解得或（舍去）， 即； ③当时，则在时，函数取得最小值，， 而在顶点处取得最大值， 即， 解得：或（舍去）， 即． 综上，或． 35．（2026·广西·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为 （2）解：∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确， 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）略 （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 36．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）阅读下面材料：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0），当m≤x≤n时，二次函数在何处取得最值？对此，我们可做如下探究：当a＞0时，观察图①到图④： （1）由图①可知，当x＝n时取最小值，当x＝m时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小； （2）由图②、图③可知，当时取最小值，点离对称轴越近，函数值越小； （3）由图④可知，当x＝m时取最小值，当x＝n时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小． 结论： ①当抛物线开口向上时，抛物线上的点，离对称轴越近，其对应的函数值越小； ②若对称轴在自变量的取值范围内，则二次函数在时取最小值； ③若对称轴不在自变量的取值范围内，则二次函数在离对称轴最近的点处取得最小值． 请结合以上结论，解决下列问题： （1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当﹣3≤x≤2时，此时函数的最大值和最小值； （2）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在m≤x≤m＋1的范围内有最小值2m，求出m的值； （3）二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当m≤x≤n时，m≤y≤n（m≠n），求出此时的m，n的值． 【答案】（1）函数最小值﹣3，函数最大值13；（2）m＝﹣1或m＝2＋；（3）无解 【分析】（1）求出y＝x2﹣2x﹣2对称轴x＝1，在﹣3≤x≤2内，即可得出x＝1时的值是最小值，|﹣3﹣1|＝4，|2﹣1|＝1，故x＝﹣3时，函数值为最大值； （2）分三种情况讨论：m＋1＜1、m≤1≤m＋1、m＞1，分别由最小值是2m列方程求出m即可； （3）分三种情况：m≤x≤n＜1、m≤x≤1≤n、1＜m≤x≤n，其中第二种又可分|n﹣1|＜|m﹣1|和|m﹣1|＜|n﹣1|两种情况，分别列方程组求解即可． 【详解】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴对称轴为直线x＝1，且﹣3≤1≤2 ∴当x＝1时，函数取最小值﹣3， 而|﹣3﹣1|＝4，|2﹣1|＝1，且4＞1， ∴当x＝﹣3时，函数取最大值13； （2）①当m＋1＜1，即m＜0时， x＝m＋1有最小值，且已知最小值是2m， ∴（m＋1）2﹣2（m＋1）﹣2＝2m， 解得：m1＝3（大于0，舍去），m2＝﹣1， ∴m＝﹣1， ②当m≤1≤m＋1，即0≤m≤1时， x＝1有最小值，且最小值是2m， ∴12﹣2×1﹣2＝2m，解得m＝﹣， ∴此时m无解， ③当m＞1时， x＝m有最小值，最小值是2m， ∴m2﹣2m﹣2＝2m， 解得m＝2＋或m＝2﹣（小于1，舍去）， ∴m＝2＋， 综上所述，二次函数y＝x2﹣2x﹣2在m≤x≤m＋1的范围内有最小值2m，则m＝﹣1或m＝2＋； （3）①当m≤x≤n＜1时， ∵m≤y≤n， ∴，两式相减并化简得：m＋n＝1有n＝1﹣m， 解得：m＝或m＝（大于1，舍去）， m＝时，n＝1﹣m＝（大于1，舍去） ∴此时无解， ②当m≤x≤1≤n时， 若|n﹣1|＜|m﹣1|，而m≤y≤n，此时x＝1取最小值m，x＝m取最大值n， ∴，解得  （|13﹣1|＞|﹣3﹣1|，舍去）， 若|m﹣1|＜|n﹣1|，同理x＝1取最小值m，x＝n取最大值n， ∴，解得或，（两个都不合题意舍去） ③当1＜m≤x≤n时，x＝m取最小值m，x＝n取最大值n， ∴， 解得或或或（均不合题意舍去）， 综上所述，二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当m≤x≤n时，m≤y≤n（m≠n），无解． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、根据题意分情况讨论求解． 【经典例题七 二次函数中存在性问题】 37．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接，由等腰三角形的性质可得点为的中点，即，由轴对称的性质可得，点是的中点，从而可得，，即当点、、在同一直线上时，的值最小为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）由（2）可得，，，从而可得，再分两种情况：①当点为直角顶点时，或；②当点为直角顶点时，则或，过点作轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接， ， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴，点是的中点， ∴，， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由（2）可得，，， ∴， ∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似 ∴①当点为直角顶点时，或，如图所示： ， 设，， ∴，， ∴或， 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴此时或； ②当点为直角顶点时，则或，如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由①可得：或， 当时，， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数综合—线段周长问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 38．（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无； （2）最小，3； （3）存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）略 39．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，从而可得直线的解析式为，连接、、，作轴交直线于点，设，则，表示出，再根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果； （3）由等腰直角三角形的性质可得，设点关于的对称点为点，则，，求出，得到点和点关于直线对称，即，求出，由题意可得，设，再由矩形的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于、两点，抛物线的顶点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图：连接、、，作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，为，此时， ∴点的坐标为； （3）解：如图： ∵，， ∴， ∴， 设点关于的对称点为点，则，， ∴， ∴点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴，即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得：或， 当时，，由矩形的性质可得此时， 当时，，由矩形的性质可得此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，二次函数综合—特殊四边形问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 40．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线l：与y轴交于点F． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线l：下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点F的直线与二次函数图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点，使得，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)存在点P，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）先根据图象的对称轴为直线，得出，再利用待定系数法即可解答； （2）先过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点,进一步得出，，进而得出为等腰直角三角形，进一步得出，根据平行线间的距离相等得出，利用勾股定理得出，进一步得到直线的解析式为，进而得出方程，即，解方程即可解答； （3）先过点作轴于点，过点作轴于点，设，，再利用正切的定义得到，再根据当时，得出方程，利用根与系数的关系得出，，最后根据题意得出，即可解答． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ， 解得，， ， 将点代入得，， 解得，， ． （2）解：存在点P， 如图，过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点, ． 直线l：， 当时，； 当时，即，解得， ，， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 点P到直线l：的距离为，即（平行线间的距离相等）， ， ． 又，即直线l向下平移个单位长度可得到直线， 直线的解析式为， 当时，整理得， 解得，， 当时，； 当时，， 点P的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，． 根据题意，设，， ，，，． ， ， ， ， ， 整理得，． 直线与二次函数图象交于A，B两点， 当时，即， ，， ，整理得，． 无论k取何值，都存在点，使得， 令，解得． 41．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中已知抛物线与直线都经过，两点，该抛物线的顶点为． (1)求此抛物线的解析式． (2)在线段上存在点，使得取得最小值，求此时点坐标及的最小值． (3)在（2）条件下，点为直线上一点，过作轴的垂线交抛物线于点，是否存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点？若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为; (2)点坐标为，的最小值为； (3)存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 【分析】（1）把点和点的坐标代入，可得和，即可得抛物线的解析式； （2）在线段上取点，作于点，根据勾股定理可得，由垂线段最短可知当于点，交于点时，取得最小值，由等腰三角形的性质，可得点坐标，结合勾股定理和，从而可得，即为的最小值； （3）把点和点的坐标代入，可得直线的解析式，根据题意可知，，若点，，，是平行四边形的四个顶点，则，设，则，根据点和点的位置关系，进行分类讨论，列方程求解，可得每种情况对应的的值，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在令，得或， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴，且 ∴， 在线段上取点，作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最小值，最小值为的长度，点为与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为，的最小值为． （3）解：∵直线都经过，两点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意可知，， 若点，，，是平行四边形的四个顶点，则， 设，则， 若点在点的上方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， 若点在点的下方，则， 解得或， 当时，，， 当时，，， ∴存在点，使点，，，是平行四边形的四个顶点，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，勾股定理，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质． 42．（25-26九年级上·河北承德·期中）如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m． ①请用m的代数式表示的长； ②连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为，理由见解析 (3)①；②存在m，使的面积最大，，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）在和中，分别利用勾股定理求得的长，根据线段垂直平分线的性质，可得对称轴上的点到线段两端点的距离相等，根据两点之间线段最短，可得答案； （3）①设的解析式为，利用待定系数法求解出的解析式，设M点的坐标为，N点的坐标为，根据轴，可得答案； ②根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：将的坐标分别代入中得： ， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）存在点P，使得的周长最小，理由如下： 如图： 在中，， 在中，， 由关于对称得：， 由两点之间线段最短可知：当三点共线时，最小 ， 则在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为； （3）如图：连接， ①设的解析式为， 将分别代入可得：， 解得， 则的解析式为， 设M点的坐标为，N点的坐标为， 轴， ； ②存在m，使的面积最大，理由如下： ， 则存在m，使的面积最大，且当时，的面积最大． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，平行y轴直线上的两点间的距离，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【经典例题八 二次函数的实际综合应用】 43．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出； （2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】（1）解：当，同时出发后经过时，，， 又， ∴； （2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，， 则． ∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为． 44．（2026·山东青岛·模拟预测）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 45．（2026·陕西西安·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知，点到的距离为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点H的坐标为，该同学准备在抛物线上取两点、（点与点关于抛物线的对称轴对称），与抛物线对称轴的交点为，点在点的上方，沿和缝制两条装饰线条，请你计算与长度之和的最大值． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2) 【分析】（）根据题意得抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设，则，可得，，进而得到，再根据二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设，则， ∴，     ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴与长度之和的最大值为． 46．（25-26九年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)此抛物线的解析式为： ； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为1.8米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1) (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 47．（2026·河南周口·模拟预测）竖直上抛的物体距离地面的高度与运动时间的关系可以近似地用公式表示，其中是抛出时距离地面的高度，是抛出时的速度．一个小球在离地面处以的速度被竖直向上抛起，小球距离地面的高度与运动时间的关系如图所示（不完整）． (1)直接写出与的关系式； (2)求小球运动时的离地高度； (3)小东观察小球运动，若标记点离地面的高度为．求小球先后两次经过标记点的间隔时间． 【答案】(1)； (2)小球运动时的离地高度为； (3)小球先后两次经过标记点的间隔时间为． 【分析】（1）根据题意可得，当时，，把代入，可得，即可得与的关系式； （2）把代入与的关系式，即可得小球运动时的离地高度； （3）把代入与的关系式，可得，，即可得小球先后两次经过标记点的间隔时间． 【详解】（1）解：根据题意可得，当时，， 把代入， 可得， ∴与的关系式为． （2）解：当时，． ∴小球运动时的离地高度为． （3）解：当时，， 解得，， ∴， ∴小球先后两次经过标记点的间隔时间为． 48．（2026·陕西西安·一模）如图，某景区的服务中心三个拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线，平移抛物线可以得到抛物线与，抛物线与地面的交点为A、B，抛物线与地面的交点为B、C，抛物线与地面的交点为C、D，A、B、C、D四点在一条水平直线上，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线与关于y轴对称，米，抛物线的函数表达式为． (1)求B、C两点的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)点E、F在抛物线L1上，点G、H在抛物线L3上，E、F、G、H四点到地面的距离都相等，在这四点处各挂一个灯笼，最远的两个灯笼之间的距离（即E、H之间的距离）为14米，灯笼悬挂时的竖直高度都为0.8米，求灯笼最底端到地面的距离． 【答案】(1) (2) (3)灯笼最底端到地面AD的距离为2.2米． 【分析】（1）令，则，求出解可得答案； （2）根据抛物线的对称轴为求出，再把点代入求出c，此题可解； （3）将代入，求出y值，再减去0.8可得答案． 【详解】（1）解：令，则，解得或4， ； （2）解：米， 抛物线的对称轴为． 设抛物线的函数表达式为． ， ． 把点代入， 解得， 抛物线的函数表达式为； （3）解：点E，H之间的距离为14米，点E，H到地面的距离相等， 由对称可得点H到y轴的距离为7米， 当时，， （米）， 灯笼最底端到地面的距离为2.2米． 【经典例题九 二次函数与几何图形综合问题】 49．（26-27九年级上·北京·课后作业）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 50．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度沿NM运动，最终点A与点M重合． (1)求重叠部分面积y（单位：）关于时间t（单位：s）的解析式，并写出t的取值范围． (2)当时，求y的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意AM的值的求法． （1）根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解； （2）代入函数解析式求值； （3）代入函数解析式计算求解． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 重叠部分也是等腰直角三角形 由题意，得， 则重叠部分面积； （2）解：当时，． （3）解：当时，， 解得（舍去）， ． 51．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 52．（2025·江苏扬州·二模）已知，二次函数． (1)如图，该二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是函数图象上一动点． ①求该二次函数表达式； ②当时，求点的坐标； (2)定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”．在的范围内，若该二次函数的对称轴为直线，且图象上有且只有1个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】此题考查了一次函数和二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）①由待定系数法即可求出答案；②当时，则直线的表达式为，联立解一元二次方程即可得到答案； （2）由定义可知，求得，当与只有一个交点时，有两个相等的实数根，则，解得，当时，，则当函数过时满足题意，当时，，当函数过时满足题意，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：①由题意可得， ， 解得， ∴该二次函数表达式为； ②当时，， 解得， ∴， 当时，则直线的表达式为， 和抛物线解析式联立得到，或， 解得（舍去）或或， 即点的坐标为或； （2）由定义可知， 由题意可得， ，解得， ∴抛物线解析式为 当与只有一个交点时， 有两个相等的实数根， ∴， 解得， 当时， 当函数过时满足题意， ∴，解得， 当时， 当函数过时满足题意， 则，解得， ∴或 53．（2026·广东清远·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，且以A，B，C为顶点组成的三角形是等边三角形． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，若点F在线段上，且，经过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点P，与线段交于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，考查等边三角形的性质、求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识． （1）求出抛物线的对称轴为，求出，，由等边三角形的性质得到．点A在抛物线上，得到，即可得到答案； （2）过点P作，交于点G，求出直线的解析式为，设点，，其中，则，．证明，进步即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数解析式可知抛物线的对称轴， ． 抛物线， ，．     是等边三角形， ．     点A在抛物线上， ∴ ．     抛物线的表达式为． （2）如图，过点P作，交于点G， 设， 将点，代入可得 解得 所以直线的解析式为．     设点，，其中， 则     ， ． ，      ． 当时，有最大值，最大值为． 54．（2025·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为 ，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于，求解出，再求解直线的函数表达式为，设，则，写出，表达式，代入，利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ∴， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点，，即点的纵坐标为， 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于， 在中，令，得，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $