专题01 如何证明线段成比例（题型专练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“模型-方法-变式”构建证明比例线段的完整体系，通过四类核心题型实现从基础模型到综合代换的逻辑递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行成比例|1典例+4变式|A/X型模型识别，平行线截线段/三角形成比例|以平行线性质为基础，建立比例线段与相似三角形的关联| |三点定型法|1典例+3变式|比例式转化→三角形对应边判定→相似证明|通过“竖定/横定”技巧实现线段与三角形的精准匹配| |等线段代换|1典例+3变式|等线段替换→三点定型找相似|利用图形中相等线段突破直接相似证明的限制| |等比等积代换|1典例+3变式|多组比例式等量转化→目标比例证明|通过中间比/积建立分散线段的逻辑联系|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 如何证明比例线段 参考答案 【典例1)A 【变式1-1】B 【变式1-2】 【答案】证明：，DE∥BC, AD AE ·ABAC .EF//CD AFAE :.AD AC AD AF AB AD' ∴AD2=ABAF 【变式13】 解：如图，过点D作DN ICF,交AB于点N. 0 AD是BC边上的中线， ..DC=DB. .DN CF, NB DB FN DC =1, :.FN-NB=1FB 2 .DN ICF 1/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE AF AE AF 即ED ED FN 2, AE2AF ED FB 【变式14】证明：如下图所示，过点C作CE川AD,交BA的延长线于点E, AD EC ∴∠1=∠4，∠2=∠3 :AD平分∠BAC, ∠1=∠2， ∴.∠3=∠4」 .AE=AC, AD I EC. ABDB AE DC AB BD AC CD' AB AC BD CD E 3 B D 【典例2】 【详解】解：：ABCD DCI/AB,∠C=∠A ∴LCDF=LAED ∴△DCF△EAD DC CF .AE AD 2120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2-1】 【详解】(1)证明：：∠ABD=∠ACE,∠A=∠A ∴.△ABD∽△ACE AD_AB AE AC .AD·AC=ABAE (2) AE_2 AC3,理由如下： 由(1)得△ABD∽△ACE AD AB ·AEAC AD AE 即ABAC 又：∠A=∠A .△AED∽△ACB AE ED 2 AC-CB-3 2 故答案为： 【变式2-2】 【详解】(1)证明：AB1‖CG, .∠ABF=∠G, 又：∠ABF=∠ACF .∠ECF=∠G, 又，∠CEF=∠CEG ∴.AECFOAEGC, .CE FE ·GECE 即CE2=EF.EG: (2)解：，平行四边形ABCD中，AB=CD, 又：DG=DC, 3120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'AB=CD=DG, ..AB:CG=1:2, ..ABI CG AB BE 1 CGGE2' 71 即EG2’ EG=14,BG=21, ABI DG. BF AB ·GFDG 1, ÷BF=)BG=21 2 2 27、7 .EF=BF-BE=21_ 2 【变式2-3】 【详解】(1)AB2=BF.BD, AB BF BD AB' 又：∠ABF=∠DBA, ,∴△ABDP△FBA, .∠BAF=∠BDA, :四边形ABCD为平行四边形， .AD II BC, ∴.∠DBC=∠BDA, 又：BD平分∠ABC, ∴.∠DBC=∠DBA=∠BDA, 又∠BAF=∠BDA, .∠ABF=∠BAF, :AB=AF, ∴·点F在边AB的垂直平分线上： 4120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2):△ABD∽AFBA AB FB BDBA :∠BAF=∠FBA=∠FBE,∠BEF=∠AEB, .△BEF∽AAEB BEBE AE AB' 又8 AB BE BDAE .AB.AE=BE·BD, ∠ABD=∠FBE=∠ADB, :AB=AD, :AD.AE BE.BD 【典例3】 【答案】证明：CE=CD, ∴.∠CED=∠CDE, ∴.∠AEC=LBDA, 又∠DAC=LB, .△MEC∽△BDA; CE AE :AD BD' 又，CE=CD,BD=CD, .CD2=AD·AE 【变式3-1】 【详解】证明：：CP为∠ACB的角平分线， ∠PCA=∠PCB :CP的垂直平分线DE交AB的延长线于点E, ∴.CE=PE. ∴.∠ECP=∠EPC, 5120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ECP=∠ECB+∠PCB,∠EPC=∠A+∠PCA, ∴∠ECB=∠A, :∠AEC=∠CEB, ,.△AECOACEB, AE CE CE BE' ∴.CE=AE·BE .CE=PE .PE=AE·BE 【变式3-2】 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是正方形 ∴.∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC, BF⊥DE, .∠GFD=90°， ∠BCD=LGFD」 .∠BGC=∠FGD」 .△BGC∽aDGF, ..BG:DG=BC:DF, ∴DG·BC=DF.BG, AB=BC, DG·AB=DF.BG: (2)如图， B D .ABGCOADGF .BG:DG=CG:FG 6120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'.BG:CG=DG:FG. 又：∠BGD=LCGF, ∴.△BGD∽aCGF, .∠BDG=∠CFG, :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， 1 ∠BDG=2∠ADC=45, .∠CFG=45° 【变式33】 【详解】(1)：AB=AC,AD是边BC上的中线， ∴.AD⊥BC,BD=CD, .∴.∠ACD+∠CAD=90° BE⊥AC, ∴∠EBD+∠ACB=90°， ∴.∠CAD=∠CBD, .∠BDH=∠CDH=90, ∴.△BDH△ADC, BD DH AD CD' .BD=DH·DA; (2)如图所示，连接CH. D .AD⊥BC, BD=CD, ∴AD垂直平分BC, .∴.BH=CH, ∴.∠HBD=∠HCD, .AB=AC, 7120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABC=∠ACB, .∴.∠ABH=∠ACH. .AB CF, ∴.∠BFC=∠FBA. .∴.∠BFC=∠ECH, 在△CFH与△ECH中， ,∠BFC=∠ECH,∠CHE=∠CHF, ∴.△CFH一△ECH, ∴.CH:HE=HF:CH. 又BH=CH, .∴.BH=HE-HF. 【典例4】 详解： (1),CFAB,DE是中位线， ∴.四边形BCFD是平行四边形， .∴，DE=EF AE DE EF EG ∴.ACDF BC CG AE EG 即ACCG (2)联结CH, D G .AH平分∠BAC, ∴.∠BAH=∠CAH, 在△ABH与△ACH中 8120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB-AC ∠BAH=∠CAH, AH=AH .'.△ABH≌△ACH. ∴.∠HCG=∠DBH=∠HFC, '.'∠GHC=∠CHF ∴.△GHC-△CHF, HC GH :.HF CH' ∴.HC2=HGHF, .'BH=HC, ∴.BH=HGHF, 即BH是HG和HF的比例中项. 【变式41】 证明：如图，过点E作EMIIAB交BC于点M, M C .EM//AB .△CEM~△CAB，AFEM-AFDB, EM CE EM EF ·AB=AC DB-DF .AB·CE=EM·AC, AB EM 即AC-CE .BD=CE EMEM 正=D8 ABEF ·ACDF ∴.AB·DF=ACEF 9120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式42】 证明：过D作DGIIBC交AB于G,则△DFG和△EFB相似， .DG DF .BE EF' BE=AD, DG DF ·ADEF· 由DGI/BC可得△ADG和△ABC相似， DG AD BC=4C即 DG BC AD AC' ∴EF.BC=AC.DF A D E B 【变式43】 证明：：∠ACB=90°，CF⊥BE, ∴.∠ACB=∠CFB=90°. 又∠CBF=∠CBE, ,∴.△CBF∽AEBC CB BE BFCB,即CB2=BFBE CD⊥AB 同理可得：△BCD∽△BAC, BC BD BA BC' .CB2=BD·BA」 10/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BF·BE=BD·BA, FB BD .BABE· 又，∠ABE=∠FBD, △FBD∽aABE. BD FD BE-AE. 巩固练习 1.A 2.B 3.D 4.6 5.证明：EF∥BC, .∠AEP=∠ABD,∠AFP=∠ACD」 ·∠EAP=∠BAD,∠FAP=∠CAD, ∴.△EAPP△BAD,△FAPACAD. EP AP PF AP :BD AD'DC AD' EP PF .BD DC EF 2 (2)BC3 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题 关键 AP EP PF (1)利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比AD建立比例关系，从而证明BD-DC: AP 2 EF 2 (2)由重心性质得到线段比4D3,再结合平行线得到的相似三角形，推出BC3· 【详解】(1)略 (2)解：点P为△ABC的重心， AP=2, .PD 11/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AP_2 .AD 3' EF∥BC, .∠AEF=∠ABC, ∠EAF=∠BAC, ∴.△AEFn△ABC, EF AP 2 BCAD3· EF 2 答：BC3 6.证明：，BE2=EFEC, BE CE ·EFBE ZBEF=ZCEB, ∴.△BEF~△CEB ∴.∠EBF=∠ECB :AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DCB △ABD-△FCB: (2) 证明：，△BEF~△CEB, BF BE …BCCE .△ABD~△FCB, AB BD AD ·FC BC BF BFAD ·BCBD BE AD CE BD .BE·BD=ADCE 【分析】(I)由BE2=EF·EC可证△BEF~△CEB,得到∠EBF=∠ECB,再由AD∥BC得到 ∠ADB=∠DCB,即可证明△ABD~△FCB: 12/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BFBE AB BD AD BEAD (2)由ABEF~ACEB得到BC-CE,△ABD-△FCB得到FC-BC-BF, 进而得到CEBD,即可 得到BD·BE=ADCE 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键， 7.(1)证明：CD是Rt△ABC斜边上的中线， :DC=DA=DB. ∴∠DCA=∠A, 在△ADE中，∠DEC=∠A+∠ADE 又∠ADE=∠B-∠A即∠B=∠A+∠ADE, ∴，∠DEC=∠B, ,∴.ACDE∽AACB (2)解：CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴DC=DA=DB=V6, :.AB=2V6, ACDE∽AACB, CE AB CE 26 CDAC,即6cE+: 解得CE=3或4（舍去）， .CE=3, 8.(1)证明：DC2=CE.CB DC CE …CBDC 又·∠ECD=∠DCB .∴△DCEABCD ∴.∠CED=LCDB 又：∠CED=∠ABD .∠CDB=∠ABD .AB∥CD :AD∥BC, 13/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .四边形ABCD是平行四边形： (2) 证明：.△DCE∽ABCD DC CE DE CB DC BD .BD.DC=BC.DE 又，四边形ABCD是平行四边形， .'AB=CD,AD=BC.OB=OD .BD·AB=BC·DE ,BE·AD=BDAB, ∴BE·AD=BC.DE即BE=DE 又OB=OD ∴OE⊥BD D B E 9.(1)证明：四边形ABCD为矩形， ∴∠ADE=∠ABF=∠BAD=90°， ∴.∠DAE+∠EAB=90° :AF⊥AE, ∠EAB+∠BAF=90°， ,∠DAE=∠BAF. ∴△ADE△ABF. (2)解：在Rt△ABD中，根据勾股定理得， BD=VAD2+AB2=V42+82=45 :AF =BD=45 在Rt△ABF中，根据勾股定理得， BF=AF2-AB2=4. 由(1)知△ADE∽△ABF, 14/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD DE AB BF 4 DE 即84’ .DE=2. 10.(1)证明：如图，，AD·AC=AB·AE, AD AE ·.ABAC, .∠QAP=∠BAC, △DAE∽△BAC, .∠ADE=∠ABC. .∠QAP=∠BAC, .∠OAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP,即LDAB=∠CAE, 又，AD·AC=AB·AE, AD AB ·AEAC .△ABD△ACE, ∠ADB=∠AEC, .∠ADE-∠ADB=∠BDE, .∠ABC-∠AEC=∠BDE: C E 3√2-V6 (2)y= 二x(x≥6) 2 (3)12-4W3或6-25 (2)解：如图，过点B作BH⊥AC于H,则∠AHB=∠CHB=90° 15/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BAC=60°，AP平分∠BAC, 2B1G=∠C4G=<B4C=30 :AB=AG」 ∴∠ABG=∠AGB=75」 .∠C=∠AGB-∠CAG=75°-30°=45°， .∠AHB=90°，∠BAC=60°， ∴.∠ABH=30°， 4H=4B=3, 2 .BH=VAB2-AH=V62-32=3√5， .∠CHB=90°，∠C=45°， :.∠CBH=∠C=45°， :.CH=BH =33, :.BC=VBH+CH=33+35=36,4C=AH+CH=3+35, △DAE∽△BAC, DE AE :BC-AC' y 即363+35’ y-35,6x≥6： 2 (3)解：当点K在点E下方时，如图，过点B作BM⊥AC于M,则∠AMB=∠CMB=9O° 16/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D AK⊥BC, .∠AKC=90°， .△DAE∽△BAC, ∠E=LC, .DE∥AC, .∠E=LCAK, .∠C=∠CAK=45°， .AK =CK, AC=6, 4K=CK=5AC=32. EK=√2， .AE=AK+EK=32+V2=4W2, .∠BAC=60°，∠AMB=90°， .∠ABM=30° .'AB=2AM, 设AM=a,则AB=2a, :BM =VAB2-AM2 =(2a)-a=a, .∠CMB=90°，∠C=45°， .∠CBM=∠C=45°， .CM=BM=3a. ..AC=AM+CM=a+3a=6, 解得a=3V3-3, .BM =CM=3a=9-33, .BC=V2BM=9√2-3√6， 17/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△DAE∽△BAC, DE AE :BC-AC' DE 4v2 即g2-3N66 解得DE=12-45: 当点K在点E上方时，如图， 则AE=AK-EK=3V2-√2=22， 同理可得DE=6-25: 综上，DE的长为12-4V5或6-25 11.证明：四边形ABCD是平行四边形， .ABI/CD,AB=CD」 AB //CD, AM EM DM FM ,M是边AD的中点， ∴.AM=DM ∴.EM=MF CE⊥AB, .∠CEB=90°， AB //CD. ∴.∠ECD=∠CEB=90° 在RtAECF中，，M是斜边EF的中点， MC-EF-MF .∠F=∠MCF ,AD=2AB,AB=CD,M是边AD的中点， .'DM DC, 18/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DCM=∠DMC, .∠EMC=∠F+∠MCF=2LF, .∠EMC=2∠DMC: (2)证明：，∠DCM=∠DMC,∠F=∠MCF, :ZF=ZDMC, 又，∠DCM=∠MCF, ∴aCDM∽ACMF. CD CM CMCF 即CM2=CDCF, AB=CD .'.CM2=AB.CF. 12.(1)证明：如图， A 4 B :∠BDC=90°，即∠1+∠2=90° ∴.∠3+∠ECD=90° .∠EDC=∠ECD,即∠2=∠ECD ∠1=∠3 .'BE=DE 又，∠2=∠ECD ∴.DE=CE :.BE=CE,即E是BC的中点， 又FH=CH, .H是CF的中点， .EH∥BF 又，AD∥BC ∴.四边形ABED是平行四边形， 19/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE=DE ∴四边形ABED为菱形： (2)证明：：∠BDE=∠DFC,即∠4=∠1 又∠1=∠3 ∴.∠4=∠3 .∠FGD=∠BGC ∴.△FGDABGC FG DB ·BGGC 又.∠FGB=∠DGC ∴.△FGB∽ADGC .∠5=∠BDC .AB∥DE ∴.∠1=∠6 又∠1=∠3 ∴.∠6=∠3 ∴.△BFG∽ABDC BF BG ·BDBC ∴BF.BC=BG·BD 又：EH是△BFC的中位线， ∴.FH=2EH 又BC=2BE BF·BC=4EH·BE=BG·BD即4EH·BE=BG·BD 20/20学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01如何证明比例线段 (题型突破举一反三) 目录 题型01平行成比例 题型02三点定型法找相似 题型03 等线段代换 题型04等比、等积代换 题型01平行成比例 解题必备 经典模型：A型、X(8)型 知识背景： 1.平行线截线段成比例： .DE//BC .AD-BD-AB AE EC AC 2.平行线截三角形得相似： .DE//BC ..△ADE∽ABC 品怨 1/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 典例精析 【典例】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DEIIBC,BE与CD相交于点F,则下 列结论一定正确的是（) E AD AE AD DE A. B. FDAE FB EC C.DBBC D. FD FE FB FC E 举一反三 【变式1-1】如图，已知△ABC,直线与边AB,AC分别交于点D,E,直线'2与边AB,AC分别交于点M, N,4∥，∥BC,下列比例式一定正确的是() E AD DE ADAE DE MN AD EN A. DM MN B.MB NC C.MIN BC D.DMNC 【变式12】已知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且EF∥CD, 求证：AD=AB·AF, D B 【变式13】已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，过C作一直线交AD于E,交AB于F.求证： 2112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE 2AF EDFB· B D AB AC 【变式14】在AABC中，己已知AD是AABC的角平分线，求证：BD-CD D 1题型02 三点定型法证相似 三解题必备 核心含义 找到包含这四条线段的两个三角形，证明三角形相似，从而证明四条线段成比例。 ☑要点：辨析线段是否为两个相似三角形的对应边： 解题步骤： AB DE AB BC 1.写出比例式，如： BCEF,或DEEF: ABDE AB_BC 2.三点定型找相似，如： BC EF 一竖定(AABC∽ADEF)DEEF一横定(AABC∽ADEF): 3.推理证明。 典例精析 DC CF 【典例2】如图，平行四边形ABCD中，E是4B延长线上的一点，DE交BC于F,求证：AEAD· 3/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C B 举一反三 【变式2-1】如图，在△ABC中，点D,点E分别是边AC、AB上的点，EC和BD相交于点O, ∠ABD=∠ACE,连接DE. A D B (1)求证：AD·AC=AB·AE; DE 2 AE 2如果BC=3,求AC的值. 【变式22】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延 长BF交CD的延长线于点G. G (1)若∠ABF=∠ACF,求证：CE2=EF·EG. (2)若DG=DC,BE=7,求EF的长. 【变式23】如图，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC,点E在边BC上，联结AE交BD于点 F,且AB2=BF·BD」 4112 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D E (1)求证：点F在边AB的垂直平分线上； (2)求证：ADAE=BE.BD. 题型03 等线段代换 E 解题必备 核心含义 无法找到包含这四条线段的两个三角形相似，把比例式子中的一条线段换成等长线段即可寻得相似三角形 ☑要点：条件中有相等相等。 解题步骤： AB DE 1.写出比例式，如： EC EF' EE=BC: 2.将EC换成BC,再用三点定型找相似： 3.推理证明。 E 典例精析 【典例3】如图，在△MBC中，AD是△MBC的中线，E是AD上一点，且CE=CD,∠DAC=∠B.求证： E B D CD2=AD·AE 举一反 5/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式31】如图，CP为△ABC的角平分线，DE垂直平分CP,垂足为D,交AB的延长线于点E,连接 CE.求证：PE2=AE·BE B 【变式32】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交 AC于H点，交CD于G点， B D (1)求证：GD·AB=DF·BG: (3)连接CF、BD,求∠CFB的度数： 【变式33】已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E,AD与BE 交于点H. (1)求证：BD=DH·DA: (2)过点C作CFIIAB交BE的延长线于点F.求证：HB=HE·HF 题型04等比、等积代换 三解题必备 6112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 核心含义 无法找到包含这四条线段的两个三角形相似，把比例式子中两条线的比或积转化即可寻得相似三角形。 ☑要点：图形中包含两组以上的三角形相似。 解题步骤： 1.先得到比例式，如： AB DE MN_DE BC EF'NQ EF' AB MN 2.等量代换成 BC NQ' 从而得出结论。 E 典例精析 【典例4】如图，△ABC中，AB=AC,过点C作CF‖AB交△ABC的中位线DE的延长线于F,联结BF,交AC于 点G, AE EG (1)求证：4CCG' (2)若AH平分∠BAC,交BF于H,求证：BH是HG和HF的比例中项. G H 三举一反目 【变式41】如图，△ABC中，AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点 F,证明：AB·DF=AC·EF, 【变式42】在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD,DE交AB于F.求证： 7112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EF.BC=AC·DF 9 【变式43】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E为AC上一点，CF⊥BE于F,连接DF, BD DF 求证：BEAE B 巩固练习 1,如图，DE∥BC,则下列比例式正确的是() D B A悲0 B. AE AD AD DE EC DB AB AC c品 D.AC BC 2.如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED,则下列各式成立的是() 8112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. BD_CE AD AE B.AB-AD=AE.AC AB BC C.AD DE D.AD-DE=AE-EC 3.已知CD是t△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是() A.BC2=BD.AB B.CD2=BD·AD C.AC2=AD·AB D.BC·AD=ACBD 4.如图，△ABC中，DEBC交AB于点D,交AC于点E,BD=2,AB=6,AC=9,则AE的长为 D E B 5.(25-26九年级上浙江杭州期末)如图，在△ABC中，点E是AB上一点，作EF∥BC交AC于点F, 点D是BC上的一点，连接AD,交EF于点P, E P B EP PF (1)求证：BDDC (2)若点P为△ABC的重心，求EF与BC的比. 6.(2023·上海松江·一模)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC.E是边AB上一点，CE与对角线BD交 于点F,且BE2=EF.EC A D F B 9112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求证： (1)△ABD~△FCB: (2)BD·BE=AD.CE. 7.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE=∠B-∠A. B D E (1)求证：△CDE∽△ACB (2)若DA=V6,EA=1,求CE. 8.(2026:上海普陀二模)己知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在边BC上，DC2=CECB, ∠CED=∠ABD A D E (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)联结AC交BD于点O,联结OE,如果BE·AD=BD:AB,求证：EO⊥BD 9.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E是DC边上的任一点（不包括端点D,C),过点A作 AF⊥AE,交CB的延长线于点F, D B (1)求证：△ADEP△ABF: (2)连接BD,若BD=AF,求DE的长. 10/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(上海市静安区202一模6)在△ABC中，∠BAC=60°，己知射线AP在∠BAC内部，射线A0与射线 AP在边AB的两侧，∠QAP=∠BAC,点E、D分别在射线AP、A犯上，AD·AC=AB·AE. E 备用图 (1)如图，连接DB、CE,求证：∠ABC-∠AEC=∠BDE, (2)如果AP平分∠BAC,线段AE与边BC的公共点为G,AB=AG=6,AE=x,DE=y,求y关于x的 函数解析式，并写出定义域； (3)如果AP⊥BC,垂足为点K,且DE∥AC,AC=6，,EK=√2，求DE的长. 11.(2025上海嘉定二模)如图，平行四边形ABCD中，己知AD=2AB,M是边AD的中点，连接MC. CE⊥AB,垂足E在边AB上，连接EM并延长，交CD延长线于点F. (1)求证：∠EMC=2∠DMC: (2)求证：CM2=AB.CF, 12.(2025上海虹口二模)如图9，在梯形ABCD中，ADI‖BC,连接BD,∠BDC=90°，点E在BC上， 连接DE,使得∠EDC=∠ECD,点F在边AB上，连接CF,分别交BD、ED于点G、H,且FH=CH, 连接DF. 11/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D H B E (1)求证：四边形ABED为菱形： (2)如果∠BDE=∠DFC,求证：4EH·BE=BG·BD 12/12学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01如何证明比例线段 (题型突破举一反三) 目录 题型01平行成比例 题型02三点定型法找相似 题型03 等线段代换 题型04等比、等积代换 题型01平行成比例 解题必备 经典模型：A型、X(8)型 知识背景： 1.平行线截线段成比例： .DE//BC .AD-BD-AB AE EC AC 2.平行线截三角形得相似： .DE//BC ..△ADE∽ABC 品怨 1/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 典例精析 【典例1】1.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DEIlBC,BE与CD相交于点F,则 下列结论一定正确的是() E AD AE AD DE A. B. FD AE C.DBBC D.FB"FC FD FE AB AC FB EC 【答案】A 【分析】由平行可判定ADE6ABC,因此AB=AC: 【详解】解：：DE/BC, ∴.△ADE∽aABC, ADAE ·ABAC 举一反三 【变式1=1】如图，已知△ABC,直线马与边AB,AC分别交于点D,E,直线2与边AB,AC分别交于点M, N,1∥？∥BC,下列比例式一定正确的是() AD DE ADAE DE MN AD EN A. DM MN MB NC C.MIN BC D.DMNC 【答案】B 【分析】根据三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例定理逐一判断即可，注意：三条平行线截两 条直线，所得的对应线段成比例，注意对应线段的位置关系，避免交叉比例错误， 2/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：∥☑2， .△AED△ANM, AD DE AE ∴AMMN=AN,故A选项不正确，不符合题意： BC, ∴.△AED∽△ACB. AC AB BC 。 AE AD DE· AN+NC_AM+MB AN NC AM MB AE AD 即AEAE AD AD AN AM AEAD' NC MB .AE AD' AE AD NC MB. B选项正确，符合题意； BC, ∴，△ANM∽aACB, MN AM BC AB' AD DE AM-MN' AMAD DE MN “仅当AB=AM时， MN BC成立，故C选项不一定正确，不符合题意； l∥l2∥BC, AD AE DM EN ·DMEN'BMCN' AEDM :ENBM不一定成立， AD EN ·DMCN不一定成立，故D选项不一定正确，不符合题意. 【变式12】已知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且EF∥CD. 求证：AD=AB·AF. 3135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】证明：：DE∥BC, ADAE .AB AC' ..EF//CD AFAE ·ADAC AD AF AB AD' ∴.AD2=AB·AF 【变式13】已知：△ABC中，AD是BC边上的中线，过C作一直线交AD于E,交AB于F,求证： AE 2AF EDFB· D 【答案】 解：如图，过点D作ON ICF,交AB于点N. B D :AD是BC边上的中线， :DC=DB, .DN II CF, NB DB FNDC =1, 4/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .FN NB=FB. DN ICF, AE AF AEAE,即ED FB ED FN 2 AE 2AF EDFB· AB AC 【变式14】在。4BC中，己知4D是a4BC的角平分线，求证：BDCD D 【答案】证明：如下图所示，过点C作CE‖AD,交BA的延长线于点E, :ADI‖EC ∠1=∠4，∠2=∠3 :AD平分∠BAC, ∠1=∠2， ∠3=∠4， ∴AE=AC, ADI EC, AB DB AE DC AB BD AC CD' ABAC BD CD 5/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B D 题型02三点定型法证相似 解题必备 核心含义 找到包含这四条线段的两个三角形，证明三角形相似，从而证明四条线段成比例。 ☑要点：辨析线段是否为两个相似三角形的对应边： 解题步骤： AB DE AB BC 1.写出比例式，如： BCEF,或DEEF: AB DE AB BC 2.三点定型找相似，如： BCEF一竖定(AABC∽ADEF),DE-EF一横定(AABC∽ADEF): 3.推理证明。 典例精析 DC_CF 【典例2】如图，平行四边形BCD中，E是B延长线上的一点，DE交C于F,求证：ED, A ⊙ 【答案】见解析 【分析】根据结论中两个比的前项中的线段可以找到△DCF,后项中的线段可以找到△EAD,证明△DCF一 △EAD即可得出结论. 【详解】解：ABCD 6/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC/IAB,∠C=LA ∴∠CDF=∠AED ∴△DCF一△EAD DC CF .AE AD 举一反三 【变式21】如图，在△ABC中，点D,点E分别是边AC、AB上的点，EC和BD相交于点O, ∠ABD=∠ACE，,连接DE. (1)求证：AD·AC=AB·AE; DE2 、AE 2)如果BC-3求AC的值. 【答案】(1)证明见详解 喔 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两 边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似： AD AB (4)由等积式AD:AC=AB:AE可得到比例式AE=AC, 根据比例式子中的前后项中的线段即可找到 △ABD∽△ACE: AD_AB AE ED 2 C2)由△ABDACE得出AEAC和公共角∠A相等可得出△AED∽△4CB,进而得出ACCB3· 【详解】(1)证明：：∠ABD=∠ACE,∠A=∠A ∴.△ABD△ACE ADAB AE AC ∴.AD·AC=AB·AE AE_2 (2)AC行理由如下： 7135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(1)得△ABD∽△ACE AD AB AE AC AD AE 即ABAC 又，∠A=∠A ∴.△AED∽△ACB AE ED 2 ·ACCB3 故答案为：3 【变式22】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延 长BF交CD的延长线于点G. G D B (1)若∠ABF=∠ACF,求证：CE,=EF·EG. (2)若DG=DC,BE=7,求EF的长， 【答案】(1)见解析 7 2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注 意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件， CE FE (1)依据等量代换得到∠ECF=∠G,依据∠CEF=∠CEG可得AECF∽aEGC,进而得出GECE, 即CE2=EF.EG: (2)依据AB=CD=DG,可得AB:CG=1:2,依据AB‖CG,即可得出EG=14,BG=21,再根据 AB‖DG,可得，进而根据EF=BF-BE解题， 【详解】(1)证明：：AB‖CG, 8135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABF=∠G, 又：∠ABF=∠ACF, ∴.∠ECF=∠G」 又：∠CEF=∠CEG. ∴△ECFAEGC, CE FE ·GECE 即CE2=EF.EG: (2)解：平行四边形ABCD中，AB=CD, 又，DG=DC, .AB=CD=DG. .AB:CG=1:2, AB‖CG, AB BE 1 CG-GE-2 71 即EG2' .EG=14,BG=21, ..ABI DG BF AB ·GFDG =1, .BF= BG=2 , 六EF=BF-BE=21-7=7 2 2 【变式23】如图，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC,点E在边BC上，联结AE交BD于点 F,且AB2=BF.BD. 9135 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B E (1)求证：点F在边AB的垂直平分线上： (2)求证：ADAE=BEBD 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)找到相似三角形，得到等角，再由平行及角平分线得到∠ABF=∠BAF,得到AB=AF,最 后垂直平分线的性质得到点F在边AB的垂直平分线上； (2)通过证明△ADB∽aFAB,△BEF∽△AEF,得到边长比例，再换边进行计算即可. 【详解】(1)：AB2=BF·BD AB BF BDAB· 又∠ABF=∠DBA, .△ABD△FBA, .∠BAF=∠BDA, :四边形ABCD为平行四边形， ..AD lI BC, ∴∠DBC=∠BDA, 又：BD平分∠ABC, ∴.∠DBC=∠DBA=∠BDA, 又∠BAF=∠BDA, .∠ABF=∠BAF, .AB=AF, ∴点F在边AB的垂直平分线上： (2),△ABDP△FBA AB FB BD BA' ·'∠BAF=∠FBA=∠FBE,∠BEF=∠AEB, 10/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △BEFP△AEB, BE BF AE AB' AB FB 又：BDBA' AB BE BD AE' .AB.AE BE.BD, :∠ABD=∠FBE=∠ADB, .AB=AD, .AD.AE BE.BD 1题型03 等线段代换 解题必备 核心含义 无法找到包含这四条线段的两个三角形相似，把比例式子中的一条线段换成等长线段即可寻得相似三角形 ☑要点：条件中有相等相等。 解题步骤： AB DE 1.写出比例式，如： EC EF· EC=BC: 2.将EC换成BC,再用三点定型找相似； 3.推理证明。 典例精析 【典例3】如图，在AABC中，AD是AMBC的中线，E是AD上一点，且CE=CD,∠DAC=∠B.求证： E B D 11/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD2=AD·AE 【答案】证明：CE=CD, ∴.∠CED=LCDE, ∴.∠AEC=LBDA, 又：∠DAC=LB, .△MEC∽ABDA; CE AE ·ADBD' 又，CE=CD,BD=CD, .'CD2=AD.AE 举一反三 【变式31)如图，CP为△ABC的角平分线，DE垂直平分CP,垂足为D,交AB的延长线于点E,连接 CE.求证：PE2=AE·BE B 【详解】证明：：CP为∠ACB的角平分线， ∠PCA=∠PCB ,CP的垂直平分线DE交AB的延长线于点E, ..CE=PE, .∠ECP=∠EPC, ·∠ECP=∠ECB+∠PCB,∠EPC=∠A+∠PCA, ∴∠ECB=∠A, :∠AEC=∠CEB, .∴△AECACEB, AE CE CE BE ∴CE2=AE·BE .CE=PE 12/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PE=AE·BE 【变式32】如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交 AC于H点，交CD于G点： C B G D (1)求证：GDAB=DFBG. (3)连接CF、BD,求∠CFB的度数. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是正方形 .∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC, ,BF⊥DE, ÷∠GFD=90°， ∴.∠BCD=∠GFD, ∠BGC=∠FGD .△BGCADGF, ..BG:DG=BC:DF, ∴DGBC=DF.BG. AB=BC, .DG.AB=DF.BG: (2)如图， B :△BGCADGF, ∴BG:DG=CG:FG ..BG:CG=DG:FG, 13/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又，∠BGD=LCGF, .△BGDACGF, ∴∠BDG=∠CFG, :四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∠BDG=3∠ADC=450 ∴.∠CFG=45° 【变式33】己知：如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的中线，BE⊥AC于点E,AD与BE 交于点H, (1)求证：BD2=DHDA: (2)过点C作CF IAB交BE的延长线于点F,求证：HB2=HE,HF 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【分析】(1)由三线合一可证BD=CD,然后通过证明△BDH一△ADC,即可证明结论成立； (2)连接CH,由等腰三角形的性质可证∠ABH=∠ACH根据平行线的性质定理得到∠BFC=LFBA,从而 ∠BFC=∠ECH:然后可证△CFH一△ECH,并根据相似三角形的性质定理与等量代换得到结论 【详解】(1)：AB=AC,AD是边BC上的中线， ∴.AD⊥BC,BD=CD, ∴.∠ACD+∠CAD=90°. :BE⊥AC, ,∴∠EBD+∠ACB=90°， ∴.∠CAD=∠CBD, .'∠BDH=∠CDH=90°， ∴.△BDH△ADC, BD DH ·ADCD' .BD2=DH.DA; 14/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图所示，连接CH. .AD⊥BC,BD=CD ∴.AD垂直平分BC, ∴.BH=CH, ∴.∠HBD=∠HCD, .AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB, ∴.∠ABH=∠ACH .AB CF, ∴.∠BFC=∠FBA .∠BFC=∠ECH. 在△CFH与△ECH中， .∠BFC=∠ECH,∠CHE=∠CHF, ∴.△CFH-△ECH, ∴.CHHE=HF:CH, 又.BH=CH, ∴.BH2=HEHF 题型04等比、等积代换 解题必备 核心含义 无法找到包含这四条线段的两个三角形相似，把比例式子中两条线的比或积转化即可寻得相似三角形。 ☑要点：图形中包含两组以上的三角形相似。 解题步骤： 15/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB_DE MN_DE 1.先得到比例式，如： BC EF'NO EF AB_MN 2.等量代换成 BC NO' 从而得出结论。 典例精析 【典例4】如图，△ABC中，AB=AC,过点C作CFAB交△ABC的中位线DE的延长线于F,联结BF,交AC于 点G AEEG (1)求证：ACCG (2)若AH平分∠BAC,交BF于H,求证：BH是HG和HF的比例中项. 【答案】证明见解析 【详解】分析：(1)根据平行四边形的判定得出四边形BCFD是平行四边形，进而利用相似比解答即可： (2)根据全等三角形的判定得出△ABH△ACH,进而利用全等三角形的性质证明△GHC一△CHF,再根据 相似三角形的性质证明即可. 详解： (1)CFAB,DE是中位线， .四边形BCFD是平行四边形， ∴.DE=Ef, AE DE EF EG ACDF BC CG' AE EG 即ACCG: (2)联结CH, 16/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H :AH平分∠BAC, ∴.∠BAH=∠CAH, 在△ABH与△ACH中 AB=AC ∠BAH=∠CAH, AH=AH ∴.△ABH≌△ACH, .∴.∠HCG=∠DBH=∠HFC, ∠GHC=∠CHF, ∴.△GHC-△CHF, HC GH ·HFCH' ∴HC2=HGHF, ..BH=HC, ∴.BH=HGHF, 即BH是HG和HF的比例中项 举一反三 【变式41】如图，△ABC中，AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点 F,证明：ABDF=ACEF, E 17/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 证明：如图，过点E作EM/AB交BC于点M, M .EM //AB. .△CEM~△CAB ,△FEM~aFDB, EM CE EM EF AB=AC，DB=DF .AB.CE=EM·AC, AB EM 即AC CE ..BD=CE EM EM E=B· AB EF 六ACDF' .AB.DF=AC·EF 【变式42)】在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD,DE交AB于F.求证： EF.BC=AC.DF E 【答案】 证明：过D作DG1IBC交AB于G,则aDFG和△EFB相似， DG DF BEEF· BE =AD, 18/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DG DF ADEF’ 由DG/BC可得△ADG和△ABC相似， DG AD ÷CC即%e， ∴.EF.BC=ACDF A G D 【变式43】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E为AC上一点，CF⊥BE于F,连接DF BD DF 求证：BEAE· B 【答案】 证明：·∠ACB=90°，CF⊥BE, ∴.∠ACB=∠CFB=90 又∠CBF=∠CBE, ∴.△CBFAEBC. CB BE BFCB,即CB=BFBE: ,CD⊥AB 同理可得：△BCD∽△BAC, 19/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC BD BA BC' .'CB2=BD.BA. BF·BE=BD·BA, FB BD .BA BE. 又：'∠ABE=∠FBD, .△FBD∽△ABE. BD FD BEAE· E 巩固练习 1.如图，DE∥BC,则下列比例式正确的是() E AE AD AE AD AD DE AD DE A. EC-DB B. AB AC C.BDBC D.ACBC 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B,根据相似三角形的性质即可判断选项C和D 【详解】A.:DE∥BC, AE AD ∴ECDB' 故A符合题意： B.:DE∥BC, AE=AD AC AB' 故B不符合题意： :DE∥BC, .△ADE△ABC., AD DE ·ABBC 20/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故C不符合题意： D.DE∥BC, .△ADE一△ABC, AE DE ·ACBC, 故D不符合题意： 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定 理和相似三角形的性质是解题的关键 2.如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED,则下列各式成立的是() B BD CE A. AD AE B.AB-AD=AE.AC AB BC C.AD DE D.AD-DE=AE-EC 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例. 根据相似三角形的对应边成比例列式解答即可， 【详解】解：△ABC一△AED, AD AE DE AC AB BC :AB.AD=AE.AC, ∴A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B。 3.已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是() D A.BC2=BD.AB B.CD2=BD-AD 21/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.AC2=AD.AB D.BC·AD=ACBD 【答案】D 【分析】根据①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项②每一条直角边是这条直 角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，进行判断即可 【详解】解：根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项可得：A、C都正确· 根据直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得B选项正确： 综上可得：A,B、C选项都正确 故选D. 【点睛】本题考查射影定理的知识，属于基础题，注意掌握射影定理的内容并灵活运用 4.如图，△ABC中，DEBC交AB于点D,交AC于点E,BD=2,AB=6,AC=9,则AE的长为. 【答案】6 AD AE 【分析】因为DEBC,得到三角形ABC与三角形ADE相似，得到AB=AC代入数值求解即可： 【详解】DEBC .△ABC-△ADE AD AE 则AB AC AB-BD-AE→6-2-AE→AE=6 AB AC→、 6-9 故答案为6 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行于三角形一边的直线所截三角形所得的小三角形与原 AD AE 三角形相似这里对应边需要注意是ABAC 5.(25-26九年级上浙江杭州期末)如图，在△ABC中，点E是AB上一点，作EF∥BC交AC于点F, 点D是BC上的一点，连接AD,交EF于点P 22/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EP PF (1)求证： BD DC: (2)若点P为△ABC的重心，求EF与BC的比. 【答案】(1) 证明：EF∥BC, .∠AEP=∠ABD,∠AFP=∠ACD, ∠EAP=∠BAD,∠FAP=∠CAD, ∴.△EAP∽ABAD,△FAP△CAD, EP AP PF AP .BD AD'DC AD' EP PF ∴.BDDC EF 2 (2BC3 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题 关键， AP EP PE (1)利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比AD建立比例关系，从而证明BDDC: AP 2 EF 2 (2)由重心性质得到线段比AD一3，再结合平行线得到的相似三角形，推出8C=3: 【详解】(1)略 (2)解：点P为△ABC的重心， AP .PD =2, AP2 .AD 3 EF∥BC, .∠AEF=∠ABC, 23/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠EAF=∠BAC, ∴.△AEFP△ABC, EF AP 2 .BC AD 3 EF 2 答：BC3 6.(2023·上海松江一模)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,E是边AB上一点，CE与对角线BD交 于点F,且BE2=EF.EC, A E 求证： (1)△ABD~△FCB: (2)BD·BE=AD·CE 【答案】(1) 证明：：BE2=EF·EC, BE CE …EFBE LBEF ZCEB ∴.△BEF~△CEB .∠EBF=∠ECB ,AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DCB .△ABD~△FCB: (2) 证明：：△BEF~△CEB, BF BE ·BCCE ,△ABD~△FCB, AB BD AD FC BC BF 24/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BFAD ·BCBD BE AD CE BD ∴BE·BD=ADCE 【分析】(I)由BE2=EF·EC可证△BEF~△CEB,得到∠EBF=∠ECB,再由AD∥BC得到 ∠ADB=∠DCB,即可证明△ABD~△FCB: BF BE AB BD AD BE AD (2)由ABEF~ACEB得到BCCE,△MBD-△FCB得到FC-BC-BF,进而得到CEBD,即可 得到BD·BE=ADCE 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键 7.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，点E位于边AC上，且∠ADE=∠B-∠A. B E (1)求证：ACDE∽△ACB (2)若DA=V6,EA=1,求CE. 【答案】(1) 证明：：CD是Rt△ABC斜边上的中线， .DC=DA=DB, ∴∠DCA=∠A, 在△ADE中，∠DEC=∠A+∠ADE 又∠ADE=∠B-∠A即∠B=∠A+∠ADE, ∴.∠DEC=∠B. ,∴.△CDE∽AACB (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线.解决本题的关键是掌握相似三 25/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 角形的判定和性质。 (I)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得DC=DA=DB,进而得到∠DCA=∠A,根据已知条 件和三角形外角定义求得∠DEC=∠B,再两个角对应相等的两个三角形相似求解： (2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得DC=DA仁DB=V6,进而求出AB的长度，再利用相 似三角形的对应边成比例来求解， 【详解】(1)略 (2)解：~CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴DC=DA=DB=V6. :.AB=2V6, .·△CDE∽AACB CEA Bn CE 2V6 CD AC ,即6CE+1' 解得CE=3或4（舍去， ∴.CE=3 8.(2026上海普陀·二模)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在边BC上，DC2=CE·CB, ∠CED=∠ABD B E (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)联结AC交BD于点O,联结OE.如果BE·AD=BD·AB,求证：EO⊥BD 【答案】(1) 证明：，DC2=CE·CB DC CE CB DC 又，∠ECD=∠DCB .ADCE∽ABCD ∴.∠CED=∠CDB 又，∠CED=∠ABD ∴.∠CDB=∠ABD 26/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB∥CD :AD∥BC, :四边形ABCD是平行四边形： (2) 证明：，△DCE∽△BCD DC CE DE ·CBDC BD ∴.BDDC=BC·DE 又：四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB=CD,AD=BC,OB=OD .BD·AB=BCDE BE·AD=BD·AB, ,BE·AD=BC·DE即BE=DE 又OB=OD .OE⊥BD A D B E 【分析】(1)根据已知得出△DCE∽aBCD,则∠CED=∠CDB,结合已知可得∠CDB=∠ABD,即可证明 AB∥CD,结合条件AD∥BC,即可得证： (2)根据△DCEABCD得出BD:DC=BC·DE,根据平行四边形的性质可得AB=CD,AD=BC, OB=OD,代入已知等式得出BE=DE,根据三线合一，即可得证 【详解】(1)略 (2)略 9.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,点E是DC边上的任一点（不包括端点D,C),过点A作 AF⊥AE,交CB的延长线于点F. 27/35 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求证：△ADE△ABF; (2)连接BD,若BD=AF,求DE的长 【答案】(1) 证明：·四边形ABCD为矩形， ∠ADE=∠ABF=∠BAD=90, .∠DAE+∠EAB=90°. :AF⊥AE, ∴∠EAB+∠BAF=90°， .∠DAE=∠BAF △ADE∽△ABF (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与 判定、勾股定理是解题的关键 (1)根据矩形的性质可得∠ADE=∠ABF=∠BAD=90°，然后可证△ADE∽△ABF: AD DE (2)由勾股定理得， BD'BF,由(I)ADE26ABF,则AB=BF,可得DE· 【详解】(1)略 (2)解：在Rt△ABD中，根据勾股定理得， BD=VAD2+AB2=V42+82=4V5, .AF BD=4V5 在RtAABF中，根据勾股定理得， BF=AF2-AB2=4. 由(1)知△ADE∽△ABF, AD DE ABBF· 28/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 DE 即84 DE=2. 10.(上海市静安区202一模6)在△ABC中，∠BAC=60°，己知射线AP在∠BAC内部，射线AQ与射线 AP在边AB的两侧，∠QAP=∠BAC,点E、D分别在射线AP、A0上，AD:AC=AB:AE. B B 备用图 (1)如图，连接DB、CE,求证：∠ABC-∠AEC=∠BDE, (2如果AP平分∠BAC,线段AE与边BC的公共点为G,AB=AG=6,AE=x,DE=y,求y关于x的 函数解析式，并写出定义域： (3)如果AP⊥BC,垂足为点K,且DE∥AC,AC=6,EK=V2,求DE的长. 【答案】(1)证明：如图，，AD·AC=AB·AE, AD AE ·ABAC ∠QAP=∠BAC, ∴.△DAE∽△BAC, ,∠ADE=∠ABC, ·∠QAP=∠BAC, ·∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP,即LDAB=LCAE, 又，AD·AC=AB·AE, AD AB ·AEAC .△ABDACE, ∴.∠ADB=∠AEC, ,∠ADE-∠ADB=∠BDE, ,∴.∠ABC-∠AEC=∠BDE: 29/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 2y=32-v6 (x26) 3)12-4W3或6-25 【分析】(I)分别证明△DAE∽△BAC和△ABD~△ACE,得到∠ADE=∠ABC和∠ADB=∠AEC,进而即 可求证： （2)过点g作BH⊥4C于H由己知可得∠C=45,∠ABH=30,即得4h=4B=3, CH=BH=3V3,进而得到BC=VBH2+CH2=3VN6,AC=AH+CH=3+3V3,再利用△DAE∽△BAC 即可求解： (3)分点K在点E下方和上方两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解： 【详解】(1)略 (2)解：如图，过点B作BH⊥AC于H,则∠AHB=∠CHB=90°， A B ID :∠BAC=60°，AP平分∠BAC, ZBAG=∠CAG=∠BAC=309 AB=AG ∴∠ABG=∠AGB=75, .∠C=∠AGB-∠CAG=75°-30°=45°， .∠AHB=90°，∠BAC=60°， ,∠ABH=30° 30/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 六AH=)AB=3, 2 .BH=VAB2-AH2=V62-32=3V5, ∠CHB=90°，∠C=45°， .∠CBH=∠C=45°. .CH=BH=33. ÷BC=VBH+CH=33+35=3W6,AC=AH+CH=3+35, .△DAE∽△BAC, DE AE .BC AC' 即363+33' ..y= 3v2-6 2 x(x≥6)： (3)解：当点K在点E下方时，如图，过点B作BM⊥AC于M,则∠AMB=∠CMB=90°， D BL E :AK⊥BC, .∠AKC=90°， :△DAE∽△BAC, .∠E=∠C, :DE∥AC, .∠E=∠CAK, .∠C=∠CAK=45°， .AK CK, :AC=6, ÷4k=CK=5AC=32. 2 31/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EK=2, .AE=AK+EK=32+2=42, ,∠BAC=60°，∠AMB=90°， .∠ABM=30° .AB=2AM, 设AM=a,则AB=2a, :.BM =AB2-AM2 =(2a)-a2=a, ,∠CMB=90°，∠C=45°， .∠CBM=∠C=45° .CM BM=3a, .AC=AM+CM=a+3a=6, 解得a=35-3, ∴.BM=CM=V3a=9-3V5, .BC=V2BM=9√2-3√6， △DAE∽△BAC, DE ”42 即g√2-366’ 解得DE=12-4V3: 当点K在点E上方时，如图， D B AE=AK-EK=3V2-2=22 同理可得DE=6-23: 综上，DE的长为12-4V3或6-2√3. 11. (2025上海嘉定二模)如图，平行四边形ABCD中，已知AD=2AB,M是边AD的中点，连接MC, CE⊥AB,垂足E在边AB上，连接EM并延长，交CD延长线于点F, 32/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A B (1)求证：∠EMC=2∠DMC: (2)求证：CM2=AB·CF. 【答案】(1) 证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD AB //CD, AM EM ·DMFM ,M是边AD的中点， ∴.AM=DM ∴.EM=ME CE⊥AB, ∴.∠CEB=90°， :AB∥CD, .∠ECD=∠CEB=90°， 在RtECF中，：M是斜边EF的中点， .MC-EF-MF. ∴.∠F=∠MCF :AD=2AB,AB=CD,M是边AD的中点， ∴.DM=DC. ∴∠DCM=∠DMC, :∠EMC=∠F+∠MCF=2∠F, .∠EMC=2∠DMC: (2) 证明：：∠DCM=∠DMC,∠F=∠MCF, ∴∠F=∠DMC, 又，∠DCM=∠MCF. 3335 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△CDM∽aCMF, CD CM CM-CF 即CM2=CD.CF, AB=CD. ∴CM2=AB·CF 12.(2025上海虹口·二模)如图9，在梯形ABCD中，ADI‖BC,连接BD,∠BDC=90°，点E在BC上， 连接DE,使得LEDC=∠ECD,点F在边AB上，连接CF,分别交BD、ED于点G、H,且FH=CH, 连接DF」 B E (1)求证：四边形ABED为菱形： (2)如果∠BDE=∠DFC,求证：4EH·BE=BG·BD 【答案】(1) 证明：如图， F 4 3 E ∠BDC=90°，即∠1+∠2=90° ∴∠3+∠ECD=90° :LEDC=∠ECD,即∠2=∠ECD ∴.∠1=∠3 .BE=DE 又：∠2=∠ECD ∴DE=CE BE=CE,即E是BC的中点， 34/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又，FH=CH, .H是CF的中点， .EH∥BF 又，AD∥BC ∴.四边形ABED是平行四边形， ..BE=DE .四边形ABED为菱形： (2) 证明：∠BDE=∠DFC,即∠4=∠I 又∠1=∠3 .∠4=∠3 .:∠FGD=∠BGC ∴.△FGD∽ABGC FG DB ·BGGC 又：∠FGB=∠DGC :.aFGB∽aDGC .∠5=∠BDC AB∥DE ∴.∠1=∠6 又∠1=∠3 .∠6=∠3 ∴.△BFG∽ABDC BF BG ·BDBC BF.BC=BG·BD 又，EH是△BFC的中位线， ∴.FH=2EH 又BC=2BE .BF·BC=4EH·BE=BG·BD即4EH·BE=BG·BD 35/35