专题04 相似三角形常考几何模型专训重难点专题提升精讲精练（10大题型）2026-2027学年九年级数学上册（沪教五四版）

该初中数学讲义通过分类梳理相似三角形常考的10大几何模型，构建了系统的知识体系，将A字型、8字型、旋转相似等题型按模型特征归类，结合经典例题呈现知识脉络，突出各模型的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于题型设计的全面性与方法指导的针对性，如“一线三等角型”通过构造相似培养推理意识，“动态相似”结合动点问题发展空间观念，例题涵盖各地模拟题与期末题，基础学生可掌握模型应用，优秀学生能深化综合探究，为教师实施分层教学提供精准支持。

专题04 相似三角形常考几何模型专训（10大题型） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 旋转相似 题型七 一线三等角型相似 题型八 折叠相似 题型九 手拉手型相似 题型十 动态相似 【经典例题一 A字型相似】 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．已知，求的长． 【答案】6 【分析】先根据以及给定的相似比写出对应边的比值，再代入已知线段长解方程求出． 【详解】解：，相似比为， ． ， ， 解得． 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 【答案】14 【分析】根据和的面积比求出边长比，再根据，利用相似三角形的性质确定各边长的比例求出的长度，进而求出的长． 【详解】解：的面积等于，的面积等于， ． ． ， ． ， ， ． ， ， ． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在和中，D，分别是，上一点，．当时，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似证得，推出，再证明即可． 【详解】略 4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ∵四边形内角和为， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质证明，再由证明，从而得到，则可证； （2）先求出再利用求出，求出两个三角形的相似比和的面积，利用相似三角形面积之比等于相似比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）知， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2025·安徽滁州·一模）在中，于点，为上的点，连接，，且，为上另一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图1，连接，求证：； (3)如图2，为的中点，连接交于点，且．若，求的长． 【答案】(1)证明：， 又，      (2)证明：∵， 由（1）知    又， (3) 【分析】（1）先证明，再根据证明，进而可证； （2）分别证明，，进而可证； （3）作交于点，设，证明可求出，证明得，由勾股定理求出，由得，由勾股定理求出，然后由列比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作交于点，设 为中点， ∴， ∵   ∴ ∴     ∵ ∴ ∵ ∴    又    ，              解得            6．（2026·江苏南京·模拟预测）等腰三角形的确定性问题再探究： (1)证明：底边上的高和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形的底相等． 已知：如图，与是等腰三角形，，，AD与是与的高，与是与腰上的中线，且，．求证：． 小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明第三步： 小明的部分证明思路： 第一步，连接与，， 第二步证明与相似，同理可得与相似 第三步…… ， （   ）， 可得，， 同理：，， 又，， （   ），， 即可证明； ，进一步可得． (2)若已知等腰三角形腰上的中线为a，腰上的高线长为b，请用直尺和圆规画出（用两种方法）要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1) 证明：， ， 可得，， 同理：，， 又，， ，， ∴； ，进一步可得． (2) 解：先画出直角三角形；利用第一题的结论，找出重心P；根据对称性，以点P为圆心，为半径作弧，交直线于点C，连接并找出中点F，连接并延长交直线DE与点A，因而确定了． 【详解】（1）略 （2）略 【经典例题二 8字型相似】 7．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】由平行线分线段成比例定理可得，，从而推出，可证，进而可证． 【详解】略． 8．（2026·上海·模拟预测）已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； (2)证明：如图， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 【分析】（1）先证明为等边三角形，再证明，然后利用即可证明； （2）证明，再等量代换求证即可． 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 10．（2026·浙江台州·模拟预测）如图，为等边三角形，为边上一点，连接． (1)如图（1），将绕点顺时针旋转得到．连接，，求证：； (2)如图（2），将绕点顺时针旋转得到，连接交于，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图（3），以为斜边向边右侧作，连接，为的中点，连接．若，，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：如图（1）中， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)解：如图（2）中，延长至，使，连接，， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）先由等边三角形性质得，，再由旋转性质得，，因为，所以可推得，结合判定定理证明三角形全等． （2）延长至，使，连接，，证出，得到，证出是的中位线，得到，即可得到． （3）取的中点，连接，取的中点，连接，过点作于点，连接，，利用勾股定理和所对的直角边是斜边的一半，依次求出、，、、、的长，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和中位线定理得，，由得到，当点落在线段上时，的值最小，最后求出的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图（3）中，取的中点，连接，取的中点，连接，过点作于点，连接，． ∵是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴当点落在线段上时，的值最小， 设点到的距离为， 则，，， 此时． 11．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 【答案】(1)，其属于反比例函数 (2) 【分析】（1）根据小孔成像原理，蜡烛与像是平行的，易得，由对应高的比等于对应边的比，即，即可得相应反比例函数． （2）不小于5即，结合图象和反比例函数性质可得． 【详解】（1）解：由题意得， ， 根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得 ， 将代入上式得： ， 整理得， 即，属于反比例函数． （2）． 因为, 所以随增大而减小， 要使, 由函数图象得． 12．（2025·江西新余·模拟预测）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①； ②证明：由①可知，，， ，即， 又， ， ； （2），理由如下： ， ， 又， ， ； （3）10 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①证明平行线的性质以及等腰三角形的性质与判定，得出，即可求解． ②由①可知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，在的上方取点，证明，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 故答案为：； ②略 （2）略 （3）如图，连接，在的上方取点，    使， ． ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，，两点间的距离最大， ，两点间的最大距离为10． 【经典例题三 AX型相似】 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，点D为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； (2) 【分析】（1）证明，结合平行线的性质解题； （2）推出，根据面积法计算． 【详解】（1）略 （2）解：如图，∵，，点D为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 15．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图1，四边形为正方形，，将边绕点顺时针旋转至，连接，，交于点． (1)用含的代数式表示和的大小． (2)求证：． (3)如图2，作和的平分线分别交和的延长线于点，．若，求的长． 【答案】(1)， (2)证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ． 由正方形的性质可得，， ． 又， ， ， 即． 在中，由勾股定理得 ； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，则由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得的度数；求出的度数，证明，据此可得的度数； （2）连接，可证明，得到，由勾股定理得，则； （3）连接，记交于点，证明，得到，，可证明，，则可证明；证明与平行，得到，则可证明，进而得到，进一步可证明；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ； 在正方形中，，， ，， ； （2）略 （3）解：如图所示，连接，记交于点， 平分， ； 由（1）得， 又∵， ， ，， ， ， ， ； 平分， ， ， ∵， ； ， 与平行， ， ， ， ∴， ， ， ； 设，则， 由正方形的性质可得， 由勾股定理得 ， 解得，（舍）， ， ，， ． 16．（26-27九年级上·全国·单元复习）有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】(1)；两角分别相等的两个三角形相似； (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似得到，继而根据相似三角形对应线段成比例得到，即． （2）根据勾股定理得到，继而根据得到，继而得到点的坐标． （3）通过证明，得到，继而根据，得到，继而得到，得到，利用勾股定理得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：由题意，得，， ， 由（1）可得， ， ， 点的坐标为； （3）解：，， ， ， ，                                 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 17．（2026·辽宁营口·模拟预测）结合图形，解决问题： (1)如图1，是正方形边上一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①线段和的数量关系是 ； ②写出线段，和之间的数量关系． (2)当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度． 【答案】(1)①；② (2)①证明：，理由如下： 如图，过点作于点， 根据题意可知，， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 可得， ∴， ∴， ∴， ∴． ②． 【分析】（1）①利用旋转性质得到等角，结合正方形性质，判定为等腰三角形，得到；②先证，然后通过等量代换得，再结合等腰直角三边关系推出； （2）①由旋转、菱形角度条件证，得，进而得到，再利用的三边关系，得到；②先证明全等三角形得，然后利用平行线构造相似三角形求出​，再利用旋转的性质算出，最后利用线段位置关系求出​． 【详解】（1）①解：∵绕点逆时针旋转， 由旋转可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：由①知，在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即 可得， 即． （2）①略； ②解：如图，过点作于，过点作于， 根据题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18．（2025·江苏淮安·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①证明：∵在中，是中线， ， ， ，     ， ， ， ； ②； （3）能，或或12或． 【分析】（1）连接，证明 ，即可证明结论； （2）①由是中线，得，根据等边对等角得，，进而得，即可证明结论；②连接，证明， 得，可求得，证明，进而可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可得，由此建立方程即可求解； （3）分情况讨论：根据，画出图形结合图形分别求解． 【详解】（1）解：；   理由：连接，当点E落在边上时，， ， 都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 故答案为：；                         （2）①略 ②连接， ，，， ， ， ， ， ，    ∴， ∴， ， ∵在和中， ， ， ，， ，即， ， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， 解得，即， ， （3）① 如图，当点在边上，此时， ； ②如图，当点在边的延长线上，此时， ； ③如图，当时，作于， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； ④如图，当时，作，垂足为F，，垂足为G， 同③可证四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ∴， ， 在中，， ， ， ． 综上所述， 或或12或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 【经典例题四 母子型相似】 19．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在中，，是边的中线，过点D作，连接交于点F，交于M，点M恰为中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵点M为中点， ∴， ∴， ∴， ∵是边的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边的中线，， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明，得到，根据斜边上的中线得到，进而推出，即可得出结论； （2）证明，得到，进而得到，设，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段之间的数量关系，求出的值，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 20．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）如图，四边形是边长为1的正方形，点E在边上运动，且不与点A和点D重合，连接，过点C作交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质推导出，，，然后利用证明结论即可； （2）证明得到，进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 21．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，等边的边长为3，点是边上任意一点（点与点，点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，线段与边交于点． (1)求证：； (2)若，求边的长； (3)求线段的最大值． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ，， 由旋转得，， ，即， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质得到，，得出，可证明，即可得到结论； （2）先证明，得到，即可求出； （3）由（2）知，，即，设，则，得到，即可得出有最大值． 【详解】（1）略 （2）解：由旋转得，， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由（2）知，，即， 设，则， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，有最大值，为． 22．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)9 【分析】（1）由题意得，利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）设，证明，得到，据此求解即可； （3）作交的延长线于点，证明，推出，，再证明，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵N是的中点， ∴设， ∵矩形， ∴，，， 同理，得， ∴， ∴，解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴； （3）解：作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 23．（2026·山东日照·一模）综合与探究：如图，在中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)当点落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； (2)当时，过点作交于点，若，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． (2)或 【分析】（1）①首先根据题意证明和是等边三角形，然后证明出，最后利用全等三角形的性质求解即可；②首先证明出和是等腰直角三角形，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点D在线段上时，设，则，然后根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，进而求解；同理可求当点D在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：①∵将绕点逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． ②略 （2）解：如图3，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，可得， ∴，即； 当点D在线段的延长线上时， ∵ ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴，即． 综上所述，或． 24．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． (1)请按照方法二写出完整证明过程． 证明： (2)【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． (3)【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 【答案】(1)证明：∵点分别是和的中点， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴， ， ∴，； (2) (3) 【分析】本题考查了中位线的运用，难点不大，掌握中位线性质即可求解； （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解； （2）根据中位线性质可得是等腰三角形，即可求解； （3）在上取中点，连接，得是等腰直角三角形，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵点是对角线的中点，点、分别是、中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴是等腰三角形， ∵， ∴； （3）解：如图，在上取中点，连接 ， ∵点、分别是、的中点，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ . 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 25．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长． 【答案】(1)证明：，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ， ． ∵，， ， ， ， ∵在正方形中，， ， ∴四边形为正方形； (2) 【分析】（1）先证得四边形为矩形．根据正方形的性质得到，，得到，，由此证得PN=MN，即可得到结论； （2）作于点D，交于点E，根据的面积求出，，，设，则，，由证得，即可求出. 【详解】（1）略 （2）解：作于点D，交于点E， ，， ， ∵， ， ， ， ，                 设，则，， ， ， ，即，                                         解得， 即的长为． 26．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 27．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ， ∴； (2) (3)40，1200 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是． 28．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】（1）证明，根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可；证明四边形是矩形，得出，根据列出关于x的方程，求解即可； （2）设，由（1）同理可求，，根据正方形与公共部分的面积为6，得出四边形的面积为6，则可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴； ∵正方形， ∴，， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， 由（1）同理可求，， ∵在外部， ∴， ∵正方形与公共部分的面积为6， ∴四边形的面积为6， ∴， 解得， 即的值为2． 29．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 【答案】(1)矩形；相等且互相平分 (2) 点即为所求． (3)； 【分析】 （1）利用矩形的判定和性质即可得到结论． （2）利用矩形的对角线相等，可得当时，长度最短，作，垂足即为所求． （3）①过点作，垂足为，证明得、，证明得，设，把用含的代数式表示出来，再利用三角形相似求出的长，然后用勾股定理求出的长，进而求出的值； ②过点作，垂足为，证明得，证明得，设，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：、、， 四边形是矩形， 、与互相平分． （2）略 （3）解：当点落在线段上时，如图 过点作，垂足为， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 同理：， 设， 则、， ， ， ， 、， ， ， ， ． 过点作，垂足为， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 与重叠部分的面积，恰好是面积的， ， ， 设， 则，， 、， ， ， ， ， ， ， ． 30．（2026·山东青岛·模拟预测）根据以下探究完成相关题目： (1)探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； (2)探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； (3)探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （2）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和； （3）把五边形分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数． 【详解】（1）解：由题意得第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； （2）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个； （3）解：如图， ，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， ，， 在矩形中最多放置三列，每列最多放个， ， 在矩形中最多可排列个， 由（2）的第一层一共可放置个， ， 在梯形中，第一层最多排列个， ， ， ， ， 在梯形中，第二层最多排列个， ，， ， ， ， ， 在梯形中，第三层无法排列完整的小正方形， ， 在梯形中最多可排列个， ， 在五边形内部能排列的小正方形个数最多为个． 【经典例题六 旋转相似】 31．（2026·福建福州·模拟预测）已知，在中，．将绕点旋转使点落在直线上的点处，点落在点处，直线与直线相交于点，射线与射线相交于点，连接． (1)当时，用直尺和圆规作出图形，并求证：①；②； (2)当点与点的距离为5时，求的长． 【答案】(1) 如图，为所求 证明：①由旋转性质，得， ． ， ． ． ． ②， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， ； (2)或 【分析】（1）根据题意，意点C为圆心，的长为半径画弧交延长线与点D，再分别以点C，点D，为圆心，的长为半径，画弧，交于点E，连接并延长，连接，延长分别交延长线于点F，点P即可，①根据旋转性质，得，进而得到，再根据，推出，即可证明结论；②由，易证，再根据，证明四边形是平行四边形．进而证明，由相似的性质即可得出结论； （2）分和两种情况讨论，利用三角形相似的性质，建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，点在边的延长线上． ， ， ． ， ，解得（负根舍去） ． ， ，即． 解得． ②当时，点在边上． 同理可得． ， ，即． 解得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 32．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）在学习“图形的旋转”时，有这样一道例题： 如图1，已知矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形． 求证：对角线与对角线所在的直线互相垂直． (1)完成该“例题”的解答过程； (2)王老师对例题进行了改编：如图2，已知所在的直线恰好经过点，若，求的长． 【答案】(1)证明：在矩形中，， 由旋转，得，， ∴， 点在同一条直线上， ， ， ， 在中，， ，即对角线与对角线所在的直线互相垂直． (2) 【分析】（1）先证明点在同一条直线上，再求出，在中，求出即可证明对角线与对角线所在的直线互相垂直． （2）由矩形是矩形旋转所得的图形得，．设，则，，证明，然后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵矩形是矩形旋转所得的图形，， ∴，． 设，则，， ∵， ∴， ， ，即， 解得（舍去）， 的长为． 33．（2026·山东东营·模拟预测）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 34．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 【答案】(1) (2)（2）如图，即为所求； 1； (3)（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理： （1）结合旋转的性质可得，可证明，即可求解； （2）根据题意画出图形，设交于点F，则，可得到，，再由旋转的性质得：，可得，从而得到， （3）过点A作于点G，根据，，，由旋转的性质得：，，，可得到，，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得： ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； （2）解：作图略， 由作法得：， 设交于点F，则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点A作于点G， 在中，∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 35．（2023·吉林长春·模拟预测）在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E． (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形； (2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F． ①求证：； ②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围； ③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似． 【答案】(1) (2) ①证明: ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②   ③或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，外角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，可证,可得可证； （2）①由外角的性质可证，可得； ②由特殊位置可求即可求解； ③由等腰三角形的性质可求由相似三角形的性质可求解. 【详解】（1）∵， 是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）①略 ②如图，初始位置时，如图，当过点时， ， 是边的中点， ， 由①知 ， ，即 解得 ， ∴ 的取值范围为； ③当旋转角或时, 与相似, ∵， ∴ ， ∴, ∵是的中点， ∴ , 当时, 旋转角为， 当时, 旋转角为， 综上所述: 当旋转角为或时, 与相似． 36．（26-27九年级上·全国·单元复习）在四边形中，对角线、相交于点O，设锐角，将按逆时针方向旋转得到（旋转角），连接，与相交于点M． (1)当四边形是矩形时，如图1，请猜想与的数量关系以及与的大小关系，并证明你的猜想． (2)当四边形是平行四边形时，如图2，已知，请猜想此时与'的数量关系以及与的大小关系，并证明你的猜想． (3)当四边形是等腰梯形时，如图3，，此时（1）中与的数量关系是否成立?与的大小关系是否成立?不必证明，直接写出结论． 【答案】(1)， 证明：∵四边形为矩形，且对角线、相交于点O ， ∴，， ∵由旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴，即 ∴在和中， ∵ ∴， ∴， 记与交于点K， ∴有， ∴， 综上所述，． (2)，． 证明：∵四边形为平行四边形，且对角线、相交于点O ， ∴，，， ∵由旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴即， 又∵，即 ∴， ∴， ∵即， ∴，即， 记与交于点K， ∴有， ∴， 综上所述，． (3)成立，不成立． 【分析】（1）根据旋转的性质和矩形的性质找出全等三角形，通过全等得到，再进行角度转化即可． （2）根据旋转的性质和平行四边形的性质找出相似三角形，通过比例代换得到，再进行角度转化即可． （3）根据旋转的性质和等腰梯形的性质找出全等三角形，通过全等得到，通过全等得到的信息进一步进行角度转化，判断是否成立． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：成立，不成立． 证明：∵四边形为等腰梯形，， ∴，， ∴在和中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵由旋转得到， ∴，，，又， ∴，，， ∴，， ∴在和中， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 记与交于点K， ∴有， ∴， 综上所述，成立，不成立． 【经典例题七 一线三等角型相似】 37．（2026·陕西榆林·模拟预测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，，，点D在上，．求证：； (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ∴， ，， ， ∴， ． 38．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）综合与实践 如图，这个图案是世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图，通过观察，线段与的数量关系是__________； (2)【问题解决】如图，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（）的条件下，连接交于点，则__________． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：． ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，易证明．以上是同学们熟悉的“一线三等角”．某数学研究小组在此基础又有了新发现，请完成以下环节： (1)【合作探究】如图1，求证：； (2)【内化迁移】如图2，在中，点E为边上一点，点F为延长线上一点，．若，，求的长； (3)【学以致用】如图3，在中，，，点D为边上一点，．若，且，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴． (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形； （1）根据相似三角形的判定，寻找两组对应角相等即可得证； （2）寻找两组对应边相等，证明，即可得到，结合已知条件可求出，再利用平行四边形的性质即可求出； （3）过点A作，先证明，可得，设，，可求出，再利用，可求出，最后求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 40．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，线段中点的定义，锐角三角函数的定义． （1）先证明，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在中，利用正切函数的定义即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点．根据正切函数的定义得出，那么可设，则，．同理（1）中，，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在中，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， 在中，； （2）如图2，过点作交于点，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ． 同理（1）中，可得， ． ， ， 同理（1）中，可得， ， 在中，． 41．（2026·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识， 添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）证明，则，，即可得到结论； （2）延长至点N，使，证明，则，设，则，，则，解得（负值已舍去）．则，过点M作于点D，求出，，，在中，利用勾股定理求值即可； （3）延长至点P，使，则，连接并延长交的延长线于点Q，过点M作于点N，则四边形为矩形，证明是等腰直角三角形，则，证明为等腰直角三角形，则．设，则，，，证明，得到，即，解得．证明，根据即可求出答案． 【详解】（1）解：． 证明：四边形为矩形， ． ， ， 又， ∵， ∴， ， ，， ． 故答案为：； （2）如图1，延长至点N，使， ． 为等边三角形， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 设，则，， ， 解得（负值已舍去）． ∴， 过点M作于点D， 在中，， ，，， 在中，， （3）如图3，延长至点P，使，则， 连接并延长交的延长线于点Q， 过点M作于点N，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 为等腰直角三角形，． 设，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ，即， 解得，（舍去）， ． ， ， ， ∴． 42．（25-26九年级上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形．                       【答案】 问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：点P的坐标为或或或或或． 问题3：证明： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：由题意可得，，分类讨论：当时，当时， 当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】解：问题1：略 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， ①过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时， ③过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ④过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 当时， ⑤当时，如图， 过点作轴， 轴于点D， ∴ ∴, ∴； ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴，解得 ∴， ⑥当点与关于直线对称时，为等腰直角三角形，且点M为的中点，设， ∴， 即 ∴ 解得， ∴ 综上所述，点P的坐标为或或或或或． 问题3：略 【经典例题八 折叠相似】 43．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． (1)猜想四边形的形状是 ，并加以证明； (2)若，，求的值． 【答案】(1)菱形 证明：（方法不唯一，合理即可） 将矩形纸片沿着折叠，点对应点 即 ， 由折叠的性质得， ∴四边形是平行四边形 又（或者写） 平行四边形是菱形 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质和平行四边形的性质即可解答； （2）连接交于点，根据菱形和矩形的性质，证，再依据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点， 平行四边形是菱形 ，， 四边形是矩形 ，，， ，， ，， ∴， ， ． 44．（24-25八年级下·山东烟台·期末）【模型建立】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值； 【模型应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解决本题的关键． （1）根据翻折的性质，全等三角形的性质，平角的概念得到，再根据相似三角形的性质，得出与的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据与的关系，与的关系即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知，， ∴， 由正方形的性质和折叠的性质可得，， ∴, 在与中， ， ∴， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴，即． 45．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）小明想用如图1所示的三角形纸片（）折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上，折痕为（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为，再次展平后，连接，得到菱形． ①折痕为的______；（填“中线”“角平分线”或“高”） ②若，，求菱形的边长； (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片，使得点A落在线段上（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，与交于点O，连接，．证明：四边形是菱形． 【答案】(1)①角平分线；②菱形的边长为； (2) 证明：由第一次折叠知：； 由第二次折叠知，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形． 【分析】（1）①由折叠知，折痕为的角平分线； ②由菱形的性质可证明，；设菱形的边长为x，则可得关于x的方程，解方程即可． （2）由第一次折叠知；由第二次折叠知，，，则可证明，有，从而根据四边相等的四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）解：①由折叠知，折痕为的角平分线； 故答案为：角平分线； ②∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 设菱形的边长为x，则， ∴， 解得：， 即菱形的边长为； （2）略 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 46．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． (1)【初步探究】请参照小慧提供的思路：利用图2证明：； (2)【类比研究】类比上面的思路继续研究： 如图3，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题： ①如图4，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； ②如图5，中，，，为的角平分线，的垂直平分线交延长线于F，当时，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ． (2) 解：成立；理由如下： 过点C作，交于点E， ， ，， ∵是的角平分线， ， ， ； ， ， ； (3)①；②6 【分析】（1）根据平行线的性质易证，根据相似三角形的性质及角平分线的概念可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）过点C作，交于点E，证明由平行线的性质得到，，再由得出，因此．根据平行线分线段成比例得到，即可证得（1）的结论成立； （3）①由折叠的性质得出，，由（1）知，，由勾股定理求出的值即可得出答案； ②根据可得，从而求得，再根据垂直平分线、三角形外角以及等量代换可知，然后可得出，最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ，， 由（1）知，， ， ， ． ， ， ， ， ， ． ②∵为的角平分线， ∴，， ∵ ，，， ， ， ∵的垂直平分线交延长线于F， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 47．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案． 【探究感悟】 小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上； (1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为； (2)在图2中找出与相等的角，并证明； (3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长． 【答案】(1) (2) ，证明如下： 由题意得垂直平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得： ∴； (3) 【分析】（1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）证明，可得，即可求解； （3）证明，可得，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点与点的连线恰好平分， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．（25-26九年级下·吉林松原·期中）问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． 操作证明： (1)如图①，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕分别交、边于点、，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (2)如图②，小慧沿过点的直线折叠该矩形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点，交线段于点，交对角线于点，点的对应点落在对角线上．如图③，此时，直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由折叠可得，，，从而可证明，因此； （2）①由勾股定理可得，，由折叠可得垂直平分，则，容易证明，则，计算得，因此； ②由折叠可得，，垂直平分，则，结合可得，则，，因此． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：①由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴； ②由折叠的性质可得，，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题九 手拉手型相似】 49．（25-26九年级上·广东佛山·期中）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵四边形，为正方形 ，， ， 在与中 ， ； (2) ①解：，理由如下： 连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， 同理，在中， 四边形为正方形， ， ， ，即； ② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）①连接，在中，由勾股定理得到，同理，，然后证明，即可求解； ②先求出，然后在中，运用勾股定理求解； （3）连接，先证明，再证明，然后由勾股定理求解得到，同理，则，那么，，，最后在中，由勾股定理建立方程 ，再解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②， 在中，； （3）解：如图，连接， ∵四边形和均为矩形， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 在中，， 解得或（舍） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点． 50．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【答案】（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证即可求解； （2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解； （3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解； （4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 51．（25-26九年级上·河北·单元复习）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是___________，___________； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则___________； 【答案】(1)， (2) 解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； (3)或； 【分析】（1 ）根据等边三角形的性质可得，则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2 ）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3 ）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点B在以点A为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2 ）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 52．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在北京欢乐谷玩“水晶神翼”过山车时，马超同学发现：过山车启动前，两侧的翼形座舱会沿中心轴同步展开，整个过程与曾经感到困惑的几何模型“手拉手”高度契合，带着这个问题，他展开了如下探究： (1)等腰直角三角形的斜边长与腰长的比值是__________； 顶角为的等腰三角形的底边与腰长的比值是__________； (2)如图1，点为等腰底边上一点，以为腰在其右侧作等腰，连接，，若，则___________； (3)如图2，在（2）的条件下，分别取边，的中点，，连接，求的度数； (4)如图3，顶角为的等腰的腰上有一动点，连接，并以为底边在其上方作等腰，且，若，当点从点运动到点的过程中，请直接写出点的运动路径长．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理，进行求解即可； （2）证明，得出即可； （3）连接，，证明，得出，根据，得出即可． （4）连接并延长，证明，得出，证明，得出，说明点E总是在射线上，根据当点D与点B重合时，点E与点A重合，当点D与点A重合时，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，为等腰直角三角形，则设， 根据勾股定理得：， ∴， ∴等腰直角三角形的斜边长与腰长的比值是：； 如图，为等腰三角形，，，过点D作于点G， 则，，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， 即顶角为的等腰三角形的底边与腰长的比值是； （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵为等腰直角三角形，F为的中点， ∴，，， 根据解析（1）， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：连接并延长，如图所示： ∵，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴点E总是在射线上， 当点D与点B重合时，点E与点A重合，当点D与点A重合时，如图所示： 根据解析（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 53．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)解：，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）略 （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 54．（2026·山东聊城·一模）（综合与实践 【问题情境】 为了研究四边形中与中点有关的“手拉手模型”问题，老师给数学社团的学生准备了一张印有四边形的纸片，E，F分别是线段和的中点，如图1． 【探究实践】 老师引导同学们用三角尺分别过点E，F作线段和的垂线，两垂线交于点G，连接． 老师引导同学们探究：由于四边形的不稳定性，点的位置也在发生变化，在变化的过程中能有哪些发现呢？ 经过思考和讨论，大刚和小莹给同学们分享了自己的发现． （1）如图2，大刚发现：“当图形满足时，．” （2）如图2，小莹发现：“当图形满足条件时，．” 老师肯定了两人结论的正确性，请你说明两人结论成立的理由． 【拓展应用】 （3）如图3，小明在大刚和小莹发现的基础上，经过进一步思考发现：“若所在的直线互相垂直，且，就能求出的值．”老师也肯定了小明结论的正确性，请你帮小明求出的值． 【答案】 （1）证明：、分别垂直平分线段， ，， 又， ， ； （2）证明：， ， ， ，， ， ， ∵分别是与的高， ， ∵也是与的角平分线， ，， ， ， ， ； （3）2 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形性质及判定，相似三角形性质及判定，角平分线性质，解直角三角形等． （1）根据题意得，，再证明，继而得到本题答案； （2）根据题意证明，继而得到，再利用角平分线性质可得，继而得到本题答案； （3）延长交于点H，交于点O，判定，继而得到是等腰直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可得到本题答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）解：延长交于点H，交于点O， ， 则， ， ， 又， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ． 【经典例题十 动态相似】 55．（2026·浙江金华·模拟预测）如图，中，，，O是边上一点，满足．现将绕点A顺时针旋转至，使点C′落在射线上，连接，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)判断与相等吗？如果相等，请求出的长；如不相等，请说明理由； (3)若把条件中的“”改为“O为边上的动点”，那么还有使得为等腰三角形的其它的点O吗？如果有，请直接写出相应的长． 【答案】(1)证明：， ，． 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ． (2)相等，． (3)或． 【分析】（1）由旋转性质得，，且旋转角，从而，可用“两边对应成比例且夹角相等”判定． （2）作，利用得；再由中求出，；最后通过角的关系证明，得到． （3）分两种等腰情况讨论：时证为中点，得；时证，由相似得． 【详解】（1）略 （2）相等 解：过点作于点． ， 为等腰三角形， 由三线合一得． ， ． 在中，， ， ， ． 由(1)知， ． ，，三点共线， ， ． 在四边形中，． ， ． ，，三点共线， ． ，，，四点共线， ． ， ． ， ． ， ． （3）解：分两种情况讨论． ① 当时， ， ，． 在射线上，且， 与重合， ， ，即． 在中，． 在中，． ， ， ． ，， ， ， ． 在中，． 又， ． ， ， ． ． ② 当时，过点作于点． 设，则． 由（2）中，，， ． ． 在中，， ， 解得． ，即为的中点． ， ． ，在射线上， ， ． ． ， ． ， ． ，， ． ， ， ． 56．（2025九年级下·广东广州·专题练习）【探究背景】图形的旋转是初中几何图形变化中的一个重要内容，数学“冲刺组”的同学为进一步探究旋转的相关内容，利用几何画板绘制了如下图形进行动态操作：如图1，在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度后得，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)【特例感知】如图2，连接，，当点恰好落在线段上时，判断四边形的形状，并证明； (2)【猜想证明】如图3，连接，，在旋转的过程中，同学们发现和的比值始终为一个定值，请你求出这个比值． 【答案】(1) 四边形ABCD为正方形， 证明：绕点C顺时针旋转得， ， 、、， 由图 2可知：， ， ， ， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形； (2) 【分析】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定、解直角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，进而得到，证得四边形为菱形，根据是直角，从而得出结论； （2）易证得，进而得到，在中，得到，进而得到，从而得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：、， ， ， ， ，即， 、， ， ， ， 在中，， ． 57．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，设点P的运动时间为t秒（）． (1)________； (2)用含t的代数式表示的长． (3)当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求t的值． ②连结，当时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②t的值为或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可． （2）分两种情形：当时，当时，分别求解． （3）①证明，由此构建方程，可得结论． ②分两种情形：当时，，此时，由此构建方程，即可解决问题．当时，过点Q作于H．然后根据相似三角形的性质与判定可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：过点作，如图所示： ∴， ∴， ∴， 由题意可分：当点在上时，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当点在外时，则， 同理可得：， ∴； 综上所述：． （3）解：①当时，如图所示： ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 解得． ②如图，当时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）及对称可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，过点Q作于H． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 综上所述，t的值为或． 58．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·期中）在中，，，D为平面内一点． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，F为中点，将绕点F顺时针旋转得，G在上，，求证：； (3)如图3，若，，Q为上一点，，M为直线上一动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接，，过点F作交于点P， ∵F是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即G为的中点， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）过点D作于点H，由已知条件得出，为等腰直角三角形，设，则，利用含30度直角三角形的性质设，，，，最后利用正切的定义求得结果； （2）连接，，过点F作交于点P，先证明，再设，通过导角利用等腰三角形的性质和已知条件得出， ，利用三角形中位线定理得出，进而证得是等腰直角三角形，得出，，继续证明出，得到，从而最终证得结论； （3）延长至点T，使得，取的中点O，连接，先证明，得到，在上取点K，使得，证明，得出，由，得出当点B，Q，K三点共线时取等号，此时有最小值，继续根据题意确定出点N的运动轨迹，过点Q作交于点R，过点A作，延长交于点N，此时有最大值，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理求出相关线段的长度，最终可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点H， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， 设，则， ∵，， ∴在中，，， ∴，， ∴在中，， ∴． （2）略 （3）解：如图，延长至点T，使得，取的中点O，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在上取点K，使得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当点B，Q，K三点共线时取等号，此时有最小值， ∵沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴点N的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的圆， 过点Q作交于点R，过点A作，延长交于点N，此时有最大值， ∵，， ∴， ∴，即， 设，， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∴． 59．（26-27九年级·全国·暑假作业）基础学习 (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，交于点G，求证：． 尝试应用 (2)如图2，已知D、E为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交和于点P、Q和M，求的值． 拓展提高 (3)如图3，矩形中 (a为常数），点E是矩形边上的一个动点，延长至点F，使，连接，，与相交于点G，连接，求的最小值（用a的代数式表示）． 【答案】(1)证明：， ，， ，， ， ； (2)； (3) 【分析】（1）由题意得：，，根据相似三角形的性质得到，进而证明出结论； （2）过点M作交于点H，交于点N，交于点G，由（1）中结论可得，，根据，证明，，，，根据相似三角形的性质可得，整理可得； （3）如图，连接并延长交于点H，连接，证明，求出，由此可得：点H为定点，点G在线段上运动，当时，有最小值，利用勾股定理求出，由，即可求出的最小值为． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点M作交于点H，交于点N，交于点G， ∵， ∴由（1）中结论可得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； （3）解：如图，连接并延长交于点H，连接， 由矩形的性质可得，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点H为定点，点G在线段上运动， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 60．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1)； (2)①； ②； 证明：记、交于点， 由知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)①证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）根据证明三角形的全等，即可得到； （2）①由相似三角形的性质，可得，，式子变形可得，根据角的数量关系，可得，利用相似三角形的判定，则，得到，即可；②由相似三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，推出，等量代换，得到；根据，等量代换，即可得到； （3）①由相似三角形的性质，可得，，得到角的数量关系，，根据相似三角形的判定和性质，得到，再根据角的数量关系，则，得到，即可求解；②由①知，点在直线上运动，当时，有最小值；利用相似三角形的判定和性质，得到，根据勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解①∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②略 （3）解：①略； ②由①知， ∴点在直线上运动， 当时，有最小值，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形常考几何模型专训（10大题型） 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 旋转相似 题型七 一线三等角型相似 题型八 折叠相似 题型九 手拉手型相似 题型十 动态相似 【经典例题一 A字型相似】 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．已知，求的长． 2．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，的面积等于，的面积等于，，求的长． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在和中，D，分别是，上一点，．当时，判断与是否相似，并说明理由． 4．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，，相交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 5．（2025·安徽滁州·一模）在中，于点，为上的点，连接，，且，为上另一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图1，连接，求证：； (3)如图2，为的中点，连接交于点，且．若，求的长．  6．（2026·江苏南京·模拟预测）等腰三角形的确定性问题再探究： (1)证明：底边上的高和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形的底相等． 已知：如图，与是等腰三角形，，，AD与是与的高，与是与腰上的中线，且，．求证：． 小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明第三步： 小明的部分证明思路： 第一步，连接与，， 第二步证明与相似，同理可得与相似 第三步…… ， （   ）， 可得，， 同理：，， 又，， （   ），， 即可证明； ，进一步可得． (2)若已知等腰三角形腰上的中线为a，腰上的高线长为b，请用直尺和圆规画出（用两种方法）要求： ①用直尺和圆规作图； ②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【经典例题二 8字型相似】 7．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，，，求证：． 8．（2026·上海·模拟预测）已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 9．（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 10．（2026·浙江台州·模拟预测）如图，为等边三角形，为边上一点，连接． (1)如图（1），将绕点顺时针旋转得到．连接，，求证：； (2)如图（2），将绕点顺时针旋转得到，连接交于，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图（3），以为斜边向边右侧作，连接，为的中点，连接．若，，当取最小值时，请直接写出的面积． 11．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图1，大约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图2，根据小孔成像原理，蜡烛（竖直放置）的火焰经小孔，会在光屏（竖直放置）上形成倒立的像．已知火焰高度，小孔到光屏的距离10cm，设小孔到蜡烛的距离为x（cm），像CD的高度为y（cm），解答下列问题： (1)求y与x之间的函数关系式，并判断其属于什么函数？（不考虑x的取值范围） (2)要使像的高度y不小于5cm，则x的取值范围是________． 12．（2025·江西新余·模拟预测）【初步感知】 （1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】 （2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【经典例题三 AX型相似】 13．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． (1)求证：； (2)若，，点D为的中点，求的长． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 15．（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图1，四边形为正方形，，将边绕点顺时针旋转至，连接，，交于点． (1)用含的代数式表示和的大小． (2)求证：． (3)如图2，作和的平分线分别交和的延长线于点，．若，求的长． 16．（26-27九年级上·全国·单元复习）有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． (1)数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． (2)如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． (3)如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长．                        17．（2026·辽宁营口·模拟预测）结合图形，解决问题： (1)如图1，是正方形边上一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①线段和的数量关系是 ； ②写出线段，和之间的数量关系． (2)当四边形为菱形，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点． ①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，，直接写出线段的长度． 18．（2025·江苏淮安·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知两个全等的直角三角形纸片和中，其中，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，当点E落在边上时，与的数量关系为： ； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点E恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点能否构成直角三角形．若能，请直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【经典例题四 母子型相似】 19．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在中，，是边的中线，过点D作，连接交于点F，交于M，点M恰为中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求． 20．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）如图，四边形是边长为1的正方形，点E在边上运动，且不与点A和点D重合，连接，过点C作交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：； (2)当时，求的长． 21．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，等边的边长为3，点是边上任意一点（点与点，点不重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，线段与边交于点． (1)求证：； (2)若，求边的长； (3)求线段的最大值． 22．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）探究解题 (1)在四边形中，，垂足为D，交于点E．求证：； (2)在矩形中，N是上的一点，交于点E，若N是的中点，，．求； (3)在中，，，点Q为边上的点，过点B作的垂线，垂足为D，交于点P．若，．求的面积． 23．（2026·山东日照·一模）综合与探究：如图，在中，，，点在射线上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)当点落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； (2)当时，过点作交于点，若，猜想与的数量关系并说明理由． 24．（25-26八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】 关于“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．”这一性质，给出两种不同的证明方法． 已知：如图①，在中，点分别是和的中点． 求证：． 方法一：如图②，过点作，且与的延长线交于点．由平行线性质和已知条件，可以证明，从而推出四边形是平行四边形，可得． 方法二：如图①，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，再利用“相似三角形的对应边成比例，对应角相等”，可得，． (1)请按照方法二写出完整证明过程． 证明： (2)【结论应用】如图③，在四边形中，，点是对角线的中点，点、分别是、中点，，则的度数是 ． (3)【拓展延伸】如图④，在四边形中，，且，点、分别是、的中点，则的长度是 ． 【经典例题五 三角形内接矩形相似】 25．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，是边上一点，四边形是正方形，点，在边上，点在内．连结，并延长交于点N，于点M，交于点P，于点Q． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，的面积．求的长．                                           26．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长．                          27．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 28．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图1，在锐角中，是边上的高，，动点P沿线段从点A向点D运动，过点P作，交于E，交于F，以为边向下作正方形． (1)设长为x，利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为___________；如图2，当_________时，恰好落在边上，此时长为_________； (2)如图3，当在外部，且正方形与公共部分的面积为6时，求点P的位置（即求的值）． 29．（26-27九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 30．（2026·山东青岛·模拟预测）根据以下探究完成相关题目： (1)探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； (2)探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； (3)探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 【经典例题六 旋转相似】 31．（2026·福建福州·模拟预测）已知，在中，．将绕点旋转使点落在直线上的点处，点落在点处，直线与直线相交于点，射线与射线相交于点，连接． (1)当时，用直尺和圆规作出图形，并求证：①；②； (2)当点与点的距离为5时，求的长． 32．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）在学习“图形的旋转”时，有这样一道例题： 如图1，已知矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形． 求证：对角线与对角线所在的直线互相垂直． (1)完成该“例题”的解答过程； (2)王老师对例题进行了改编：如图2，已知所在的直线恰好经过点，若，求的长． 33．（2026·山东东营·模拟预测）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 34．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 35．（2023·吉林长春·模拟预测）在中，，D是边的中点，以D为角的顶点作．如图1，射线经过点A，交边于点E． (1)不添加辅助线，请直接写出图1中所有与相似的三角形； (2)如图2，将从图1中的位置开始，绕点D按逆时针方向旋转（旋转角不大于α），射线，分别交，于点E，F． ①求证：； ②如图3，若，，在线段上有一点P，且，若点P始终在内（包括边界上），求的取值范围； ③若，直接写出旋转角为多少度时，与相似． 36．（26-27九年级上·全国·单元复习）在四边形中，对角线、相交于点O，设锐角，将按逆时针方向旋转得到（旋转角），连接，与相交于点M． (1)当四边形是矩形时，如图1，请猜想与的数量关系以及与的大小关系，并证明你的猜想． (2)当四边形是平行四边形时，如图2，已知，请猜想此时与'的数量关系以及与的大小关系，并证明你的猜想． (3)当四边形是等腰梯形时，如图3，，此时（1）中与的数量关系是否成立?与的大小关系是否成立?不必证明，直接写出结论． 【经典例题七 一线三等角型相似】 37．（2026·陕西榆林·模拟预测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，，，点D在上，．求证：； (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 38．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）综合与实践 如图，这个图案是世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图，通过观察，线段与的数量关系是__________； (2)【问题解决】如图，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（）的条件下，连接交于点，则__________． 39．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图1，在等腰中，，点D是边上一点，点E是边上一点，且，易证明．以上是同学们熟悉的“一线三等角”．某数学研究小组在此基础又有了新发现，请完成以下环节： (1)【合作探究】如图1，求证：； (2)【内化迁移】如图2，在中，点E为边上一点，点F为延长线上一点，．若，，求的长； (3)【学以致用】如图3，在中，，，点D为边上一点，．若，且，求的值． 40．（25-26九年级上·山东烟台·期中）在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 41．（2026·甘肃天水·二模）综合与实践 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图，点M在直线上，且（可以是直角、锐角或者钝角），像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型，我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图1，在矩形中，M，N分别为边上的点，，且，则的数量关系是_____； (2)如图2，在中，，，M是上的点（），且，，求的长； (3)如图3，在四边形中，，，，，求的值． 42．（25-26九年级上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形．                       【经典例题八 折叠相似】 43．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． (1)猜想四边形的形状是 ，并加以证明； (2)若，，求的值． 44．（24-25八年级下·山东烟台·期末）【模型建立】 （1）如图1，正方形中，E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，连接，当点恰好落在上时，求的值； 【模型应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，求的值（用含的式子表示）． 45．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）小明想用如图1所示的三角形纸片（）折出一个菱形，使为菱形的一个内角． (1)小明进行如下折叠过程： 步骤1：如图2，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得点C的对应点落在边上，折痕为（点D在边上），展平纸片； 步骤2：如图3，再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为，再次展平后，连接，得到菱形． ①折痕为的______；（填“中线”“角平分线”或“高”） ②若，，求菱形的边长； (2)若将（1）中的步骤2改为：如图4，再次折叠该三角形纸片，使得点A落在线段上（且A与D不重合），折痕为，展平纸片，与交于点O，连接，．证明：四边形是菱形． 46．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明． (1)【初步探究】请参照小慧提供的思路：利用图2证明：； (2)【类比研究】类比上面的思路继续研究： 如图3，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题： ①如图4，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长； ②如图5，中，，，为的角平分线，的垂直平分线交延长线于F，当时，求的长． 47．（2026·山东淄博·一模）【问题情境】 某数学兴趣小组在学习了图形旋转的相关知识之后，在等腰三角形纸片上进行了关于旋转的研究性学习．中，．同学们在边上取点，连接，将以点为中心旋转，由于同学们所取点的位置不同，的角度大小不同，产生了以下两种方案． 【探究感悟】 小明方案：取，旋转使点的对应点落到线段上； (1)如图1，小明发现，此时点的对应点与点的连线恰好平分，则线段的长是_____； 【深入探究】 小刚方案：如图2，旋转使点的对应点落到点上，折叠使点与点D重合，折痕为； (2)在图2中找出与相等的角，并证明； (3)如图3，F为线段上的点，．若，求的长． 48．（25-26九年级下·吉林松原·期中）问题情境：数学课上，同学们以矩形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知矩形纸片，，． 操作证明： (1)如图①，小聪先从特殊情形入手，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕分别交、边于点、，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： (2)如图②，小慧沿过点的直线折叠该矩形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①求此时线段的长； ②小慧沿平行于的直线继续折叠该矩形纸片，折痕交线段于点，交线段于点，交对角线于点，点的对应点落在对角线上．如图③，此时，直接写出的长． 【经典例题九 手拉手型相似】 49．（25-26九年级上·广东佛山·期中）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 50．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 51．（25-26九年级上·河北·单元复习）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是___________，___________； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则___________； 52．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在北京欢乐谷玩“水晶神翼”过山车时，马超同学发现：过山车启动前，两侧的翼形座舱会沿中心轴同步展开，整个过程与曾经感到困惑的几何模型“手拉手”高度契合，带着这个问题，他展开了如下探究： (1)等腰直角三角形的斜边长与腰长的比值是__________； 顶角为的等腰三角形的底边与腰长的比值是__________； (2)如图1，点为等腰底边上一点，以为腰在其右侧作等腰，连接，，若，则___________； (3)如图2，在（2）的条件下，分别取边，的中点，，连接，求的度数； (4)如图3，顶角为的等腰的腰上有一动点，连接，并以为底边在其上方作等腰，且，若，当点从点运动到点的过程中，请直接写出点的运动路径长．（用含的代数式表示） 53．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 54．（2026·山东聊城·一模）（综合与实践 【问题情境】 为了研究四边形中与中点有关的“手拉手模型”问题，老师给数学社团的学生准备了一张印有四边形的纸片，E，F分别是线段和的中点，如图1． 【探究实践】 老师引导同学们用三角尺分别过点E，F作线段和的垂线，两垂线交于点G，连接． 老师引导同学们探究：由于四边形的不稳定性，点的位置也在发生变化，在变化的过程中能有哪些发现呢？ 经过思考和讨论，大刚和小莹给同学们分享了自己的发现． （1）如图2，大刚发现：“当图形满足时，．” （2）如图2，小莹发现：“当图形满足条件时，．” 老师肯定了两人结论的正确性，请你说明两人结论成立的理由． 【拓展应用】 （3）如图3，小明在大刚和小莹发现的基础上，经过进一步思考发现：“若所在的直线互相垂直，且，就能求出的值．”老师也肯定了小明结论的正确性，请你帮小明求出的值． 【经典例题十 动态相似】 55．（2026·浙江金华·模拟预测）如图，中，，，O是边上一点，满足．现将绕点A顺时针旋转至，使点C′落在射线上，连接，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)判断与相等吗？如果相等，请求出的长；如不相等，请说明理由； (3)若把条件中的“”改为“O为边上的动点”，那么还有使得为等腰三角形的其它的点O吗？如果有，请直接写出相应的长． 56．（2025九年级下·广东广州·专题练习）【探究背景】图形的旋转是初中几何图形变化中的一个重要内容，数学“冲刺组”的同学为进一步探究旋转的相关内容，利用几何画板绘制了如下图形进行动态操作：如图1，在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度后得，点的对应点为点，点的对应点为点． (1)【特例感知】如图2，连接，，当点恰好落在线段上时，判断四边形的形状，并证明； (2)【猜想证明】如图3，连接，，在旋转的过程中，同学们发现和的比值始终为一个定值，请你求出这个比值． 57．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，设点P的运动时间为t秒（）． (1)________； (2)用含t的代数式表示的长． (3)当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求t的值． ②连结，当时，直接写出t的值． 58．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·期中）在中，，，D为平面内一点． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，若，F为中点，将绕点F顺时针旋转得，G在上，，求证：； (3)如图3，若，，Q为上一点，，M为直线上一动点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接．当取得最小值时，请直接写出面积的最大值． 59．（26-27九年级·全国·暑假作业）基础学习 (1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，交于点G，求证：． 尝试应用 (2)如图2，已知D、E为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交和于点P、Q和M，求的值． 拓展提高 (3)如图3，矩形中 (a为常数），点E是矩形边上的一个动点，延长至点F，使，连接，，与相交于点G，连接，求的最小值（用a的代数式表示）． 60．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【尝试发现】 (1)如图，在和中，，，，请直接写出线段和的数量关系是 ． 【变式探究】 (2)如图，，连接和，的延长线交于点，． ①求的值； ②判断和的数量关系并证明； 【联系拓广】 (3)如图3，矩形中，，，是对角线．是边上一动点，连接，以为直角边向逆时针方向作，使，连接，． ①求证：； ②直接写出线段长度的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $