专题01 成比例的线段重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦成比例线段核心知识点，系统梳理线段的比与成比例线段概念，比例的基本、合比、等比性质，黄金分割及平行线分线段比例定理，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料设计基础与提高分层题型，结合即时训练和例题，融入汉字结构、音乐作品等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过证明与综合应用提升数学思维，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题01 成比例的线段重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、比例的性质 1 题型二、比例线段 2 题型三、成比例线段 3 题型四、黄金分割 4 题型五、由平行判断成比例的线段 5 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 6 第二部分·练提高题型 题型一、与黄金分割点有关的证明问题 1 题型二、比例线段与几何图形综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 知识点02 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 【即时训练】 1．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质． 由已知等式直接求解的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 两边同时除以（），得， 即， 故选：C． 2．（2026·江苏扬州·一模）如果，则___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴. 知识点03 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据题意可得，据此即可求解，掌握黄金比是解题的关键． 【详解】解： 故选：B ． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为________． 【答案】4 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点的定义，较长线段与整个线段的比值等于黄金比，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， 即， ∴， 解得， 故答案为：4． 知识点04 平行线分线段比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线分线段成比例，根据一组平行线分线段得到对应线段成比例，据此解答 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 2．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【基础题型一 比例的性质】 【例1】（2026·江苏无锡·模拟预测）如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 【例2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）由，可得比例式：____． 【答案】 【分析】把等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵，且由题意得， ∴，即． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， A、得到，故不符合题意； B、得到，故不符合题意； C、得到，则，故符合题意； D、得到，故不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，则___________. 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质等知识点，根据比例关系进行运算即可，熟练掌握其性质进行运算是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 【基础题型二 比例线段】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求线段的比例关系． 利用将用来表示，从而求出线段的比值． 【详解】解：延长线段到点C，由，可知． 所以． 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 【答案】 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设线段，的比例中项是， 则， 解得， ∵线段长度为正数，舍去负值， ∴． 1．（2026·上海奉贤·一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键． 2．（2026·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 【详解】解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可设，，，再代入，即可求解； （2）根据m是a、b的比例中项，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵m是a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项是解题的关键． 【基础题型三 成比例线段】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 【例2】（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 【答案】22 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例，符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意． 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为_______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的应用，根据实际时长和闹钟计的时长成比例列方程即可求解． 【详解】解：设第二天早上王明看闹钟上学时间距离前一天下午有小时， 实际时间从6∶00到9∶00为3小时，闹钟显示从6∶00到8∶45为小时．从下午到第二天早上，闹钟时间过了， 依题意得：，解得：， 小时=小时分， 从下午开始，过小时分后是第二天， 第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为． 故答案为． 3．（26-27九年级·全国·期中）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【答案】(1)证明：∵在中，是斜边上的高． ∴ ∴； (2)解：是成比例线段，理由如下： ∵ ∴ ∴是成比例线段． 【分析】（1）利用等面积法求解即可； （2）将乘积式化为比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型四 黄金分割】 【例1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 【例2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）音乐家发现，当音乐作品的高潮部分位于全曲的黄金分割点位置时，往往能呈现最和谐的艺术效果．已知《青藏高原》共27小节，其高潮位于后半部分，则按照黄金分割比例，理论上高潮应在第___________小节附近．（计算结果四舍五入保留整数） 【答案】 【分析】根据高潮位于全曲后半部分的黄金分割点，用总小节数乘黄金分割比，计算后四舍五入即可得到结果． 【详解】解：黄金分割比为， 由题意可得：． 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　） 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割的定义及黄金比即可解决问题． 【详解】解：点是的黄金分割点，且， ， 又， ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，点C是线段AB的黄金分割点，，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______．（用“”、“”或“”填空）    【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 【详解】详解：∵C是线段的黄金分割点，且， ∴， 又∵表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 【基础题型五 由平行判断成比例的线段】 【例1】（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边．选项A中比例关系符合逆定理条件，能推出；其他选项的比例关系不能保证平行． 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 【例2】（25-26九年级上·全国·周测）如图，过线段的一个端点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段，连接，再分别过点画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是_____________． 【答案】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【分析】本题根据平行线分线段成比例即可求解．此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 【详解】解：根据题意可得，这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例， 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ． 1．（25-26九年级下·天津和平·阶段检测）如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据相似三角形的判定得出，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：．四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，故本选项错误； B．四边形是平行四边形，     ，， ，， ， ，故本选项错误； C．，， ，故本选项正确； D．， ，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 2．（25-26九年级下·全国·课前预习）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如： ____， ____． 【答案】 【解析】略 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 【基础题型六 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 1．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，该选项错误，不符合题意； B．∵，∴，该选项错误，不符合题意； C．∵，∴，该选项正确，符合题意； D．∵，∴，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，分别在的三边上，是的中点，连接并延长交于点．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 过点作，交于点，可证．同理，可得，，；由，得，于是；设，则，，，从而得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 则 设，则， ，解得， 故答案为： 【提高题型一 与黄金分割点有关的证明问题】 【例1】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 【例2】（24-25九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有  已知 厘米， 那么________厘米． 【答案】2 【分析】本题主要考查黄金分割，根据五角星是正五角星得到，再代入式子中计算即可． 【详解】解：∵五角星是正五角星 ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：2． 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，点是的黄金分割点，求的度数． 【答案】(1) ， . ， ； (2) 连结． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)或 【分析】（1）利用两角相等即可证得； （2）连结，利用角平分线的定义和相似三角形的性质证出角相等，再加上公共边即可证得，进而即可得解； （3）分①当和②当时，两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连结． ， ， ， ，， ， ， ， ， ①当时， 是的黄金分割点， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得． ． ②当时， 是的黄金分割点， ，即， ， ， ， 在上截取，则有， ， ， ，即 ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ， ， . 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割比，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则，再根据求解即可； （2）设正方形的边长为，则，根据矩形是“白银矩形”结合由（1）得白银比率为，推出，求解即可． 【详解】（1）设，，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴，（负数不合题意，舍去）， ∴白银比率为：； （2）设正方形的边长为，则， ∵矩形是“白银矩形”，由（1）得白银比率为， ∴，则，解得， ∴正方形的边长为． 【提高题型二 比例线段与几何图形综合应用】 【例1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段以及相似三角形的判定和性质，利用三角形面积公式求出和的面积，最后用矩形面积减去两个三角形的面积，即得阴影部分的面积． 【详解】过点作于，延长交于 ，如图 四边形是矩形 ， ，， 故选：B． 【例2】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形中，M，N分别为，的中点，，，，划分四边形形成的7个区域，面积分别为，，，，，，，若，，则_____． 【答案】10 【分析】过作的垂线，利用为中点和成比例线段可得中位线关系，从而将四边形的面积表示为，同时用三角形面积公式表示与，由为中点得，相加后代入中位线关系可得，通过等式两边消去公共项和最终得到，代入已知数即得． 【详解】解：过A作于E，过M作于H，过B作于Q， 则， ∴， ∵M为中点， ， ∴H为中点， ∴是梯形的中位线， ∴， ∵， ， ， ∵N为中点， ∴， ∴ ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 2．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形和相似三角形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质、平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据平行四边形对角线平分面积可得，，再结合O为的中点可得，，并由和平行线分线段成比例的性质可得，，最后转化得到即可解答本题． 【详解】解：平行四边形， ， 点O为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（2025·广东深圳·二模）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1) 解：，， ， ， 解得：，（舍去）； (2) 如图所示：点P即为所求． 【分析】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形． （1）根据线段设定及白银分割定义，用含x的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值． （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ；以点为圆心，同样的半径画弧，交于点，用圆规量取的长度，以点为圆心，长为半径画弧，交之前所画弧于点，用直尺连接并延长，与相交于点，此时，根据同位角相等，两直线平行，可得，点就是线段靠近点的白银分割点． 【详解】（1）略 （2）略 1．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∴． 2．（25-26九年级上·贵州·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长是（   ） A． B．2 C．8 D． 【答案】D 【分析】根据线段成比例的概念得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查线段成比例的概念及比的性质：两内项之积等于两外项之积． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，；；下列比例式正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案. 【详解】解：∵DE∥BC， ∴，， ∵EF∥AB， ∴，， ∴即， 故选A. 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理. 4．（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，一块矩形的土地被分成4小块，用来种植4种不同的花卉，其中4块面积分别是，则关于与之间的关系，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的面积以及比例的应用，通过矩形分割后，利用同宽或同长的面积比等于长度比或宽度比的原理，建立比例关系求解． 【详解】解：如下图， 根据题意，， ∵左上与右上同宽， ∴面积比等于长度比：， ∵左下与右下同宽， ∴面积比等于长度比： ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 即， 解得：， ∴． 故选：D． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 7．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 【答案】2 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算；若一个点是一条线段的黄金分割点，则较短边与较长边的比为，据此求解即可． 【详解】解：五角星是正五角星， 厘米， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得厘米． 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·河南郑州·期中）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 【答案】 【详解】解：由题意，，，， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴ ， 解得， 【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为______． 【答案】7 【分析】此题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识， 推导出及是解题的关键．由平行四边形的性质推导出，则，而，所以，求得，则，由，得，则，所以，再证明，得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平行四边形的面积为24， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 10．（25-26九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于________cm． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用．根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8． 11．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：， 设，， ， ， 解得， ，； （2）线段是线段、的比例中项， ， 是线段，， ． 13．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图1，点在线段上的黄金分割点，且. (1)设， ①求的长； 填空：设，则 点在线段上的黄金分割点，且， 　　，可列方程为　　， 解得方程的根为　　，于是，的长为　　. ②在线段（如图上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若、为正实数，是关于的方程的一正实数根， ①求证：； ②若两条线段的长分别为、（如图，请画出一条长为的线段（保留作图痕迹，不写作法）. 【答案】(1)，，，，； (2) ①证明：解关于的方程 ， 是关于的方程的一正实数根， ； ② 【分析】（1）若点B在线段上的黄金分割点，且，则，设，则代入求值即可． （2）①利用勾股定理画出，再在长为的线段上截取长为1的线段，剩余部分就是． ②根据配方法解该方程的根即可，作图与①雷同． 【详解】（1）解：①设，则 点在线段上的黄金分割点，且， ， 可列方程为：， 解得：，， 的长为：； 故答案为：，，，，； ②作图如下 （2）略． 【点睛】本题考查了黄金分割、解一元一次方程、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点的内涵及其应用方法． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 15．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 成比例的线段重难点题型专训（2个知识点+6大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、比例的性质 1 题型二、比例线段 2 题型三、成比例线段 3 题型四、黄金分割 4 题型五、由平行判断成比例的线段 5 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 6 第二部分·练提高题型 题型一、与黄金分割点有关的证明问题 1 题型二、比例线段与几何图形综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 2．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 知识点02 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 【即时训练】 1．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·一模）如果，则___________． 知识点03 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，则线段的长为________． 知识点04 平行线分线段比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图是佳佳的作业，其中一部分被墨水污染了，则污染的部分是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 【基础题型一 比例的性质】 【例1】（2026·江苏无锡·模拟预测）如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）由，可得比例式：____． 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知，下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，则___________. 3．（25-26九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【基础题型二 比例线段】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26九年级上·广西百色·阶段检测）已知线段，则线段a，b的比例中项为______． 1．（2026·上海奉贤·一模）如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为_______． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【基础题型三 成比例线段】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 1．（24-25九年级上·福建泉州·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（2025九年级上·全国·专题练习）王明有一个闹钟，但它走时不准，这天下午王明把它对准北京时间，可到晚上时，它才走到，第二天早上王明看闹钟走到的时候赶去上学，这时候北京时间为_______． 3．（26-27九年级·全国·期中）如图，在中，是斜边上的高． (1)求证：； (2)是成比例线段吗？为什么？ 【基础题型四 黄金分割】 【例1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·陕西咸阳·模拟预测）音乐家发现，当音乐作品的高潮部分位于全曲的黄金分割点位置时，往往能呈现最和谐的艺术效果．已知《青藏高原》共27小节，其高潮位于后半部分，则按照黄金分割比例，理论上高潮应在第___________小节附近．（计算结果四舍五入保留整数） 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　） 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如 A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，点C是线段AB的黄金分割点，，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则______．（用“”、“”或“”填空）    3．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【基础题型五 由平行判断成比例的线段】 【例1】（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·全国·周测）如图，过线段的一个端点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段，连接，再分别过点画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是_____________． 1．（25-26九年级下·天津和平·阶段检测）如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·全国·课前预习）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如： ____， ____． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【基础题型六 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 1．（25-26九年级上·河北·课后作业）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点，分别在的三边上，是的中点，连接并延长交于点．求的值． 【提高题型一 与黄金分割点有关的证明问题】 【例1】（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点C是线段的黄金分割点（）则有  已知 厘米， 那么________厘米． 1．（25-26九年级下·山东烟台·期末）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，点是的黄金分割点，求的度数． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期末）【问题背景】如图，以矩形的宽为边，在其内部作正方形，若，则称矩形为“黄金矩形”，其长与宽的比（）称为“黄金比率”． 【问题探究】求“黄金比率”： 设，，则， ∵，∴，即． ∴． ∴，（负数不合题意，舍去）． ∴黄金比率为：． (1)【问题提出】如图，以矩形的宽为边在其内部作两个正方形，，若，则称矩形为“白银矩形”，其长与宽的比（）称为“白银比率”，求“白银比率”． (2)【问题拓展】如图，从正方形上剪下宽的矩形后，剩余部分（矩形）是“白银矩形”，求正方形的边长． 【提高题型二 比例线段与几何图形综合应用】 【例1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，与相交于点，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在四边形中，M，N分别为，的中点，，，，划分四边形形成的7个区域，面积分别为，，，，，，，若，，则_____． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为________． 3．（2025·广东深圳·二模）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 1．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长是（   ） A． B．2 C．8 D． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，；；下列比例式正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，一块矩形的土地被分成4小块，用来种植4种不同的花卉，其中4块面积分别是，则关于与之间的关系，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 7．（24-25九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点．已知厘米，那么_____厘米． 8．（25-26九年级上·河南郑州·期中）书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 9．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，的延长线交于点G，的延长线交于点，若平行四边形的面积为24，则四边形的面积为______． 10．（25-26九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于________cm． 11．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）已知，满足，求、、的值． 12．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 13．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图1，点在线段上的黄金分割点，且. (1)设， ①求的长； 填空：设，则 点在线段上的黄金分割点，且， 　　，可列方程为　　， 解得方程的根为　　，于是，的长为　　. ②在线段（如图上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若、为正实数，是关于的方程的一正实数根， ①求证：； ②若两条线段的长分别为、（如图，请画出一条长为的线段（保留作图痕迹，不写作法）. 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 15．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 学科网（北京）股份有限公司 $