专题03 位似多边形重难点专题提升精讲精练（1个知识点+12大题型+自我检测）2026-2027学年九年级数学上册（沪教五四版）

该初中数学讲义围绕位似多边形专题，通过梳理位似图形的定义、性质及注意事项构建知识体系，结合12大基础题型和2类提高题型呈现重难点，用即时训练和例题解析清晰展示知识内在联系与应用脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如相似多边形识别、位似中心判断培养几何直观与推理能力，提高题型如坐标与图形综合问题发展模型意识。自我检测结合典型例题，帮助不同层次学生巩固方法，教师可据此实施精准教学，支持学生自主复习提升。

专题03 位似多边形重难点题型专训（1个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、相似多边形 1 题型二、相似多边形的性质 2 题型三、位似图形相关概念辨析 3 题型四、位似图形的识别 4 题型五、判断位似中心 5 题型六、求两个位似图形的相似比 6 题型七、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 7 题型八、求位似图形的对应坐标 8 题型九、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 9 题型十、在坐标系中画位似图形 10 题型十一、在坐标系中画位似中心 11 题型十二、坐标与图形综合 12 第二部分·练提高题型 题型一、坐标与图形综合问题 1 题型二、相似图形在几何图形的综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到___对相似三角形（可用字母表示），它们分别是____ ． 【答案】 4 ，，， 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，，，根据相似三角形的判定定理写出所有的相似三角形．熟记位似图形的概念、相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是四边形的位似图形， ∴，，，， ∴，，，，共4对相似三角形， 故答案为：4；，，，． 【基础题型一 相似多边形】 【例1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 3．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似， 理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 【分析】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 【详解】略 【基础题型二 相似多边形的性质】 【例1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 【例2】（2026·江苏盐城·三模）平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 1．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论. 【详解】解：如图2， ∵正八边形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵内部阴影是正八边形， ∴， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， ∵阴影部分为正八边形，正八边形都相似， 所以正八边形与阴影部分的面积比为 ， 故选：B. 2．（2026·宁夏吴忠·二模）风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 3．（25-26九年级上·广西钦州·期末）（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】（1），；（2）当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （1）利用因式分解法求解即可； （2）内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 解得，； （2）解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【基础题型三 位似图形相关概念辨析】 【例1】（2026·浙江金华·模拟预测）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 【例2】（2026·浙江温州·三模）如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【答案】B 【分析】本题考查位似图形与相似图形的关系、位似图形的性质（对应边平行、周长比等于位似比），运用逐一分析验证法．解题关键是明确位似图形是特殊的相似图形，且位似图形具有对应边平行、对应顶点连线交于位似中心等性质；易错点是混淆相似图形与位似图形的关系（误认为相似图形一定是位似图形）． 分别根据位似图形与相似图形的关系对四个选项进行分析判断即可． 【详解】选项A：位似图形是特殊的相似图形，所以若与是位似图形，则这两个三角形相似，A正确． 选项B：相似图形不一定是位似图形，位似图形需要对应顶点的连线相交于一点（位似中心），而相似图形不一定满足这一条件，所以若与是相似图形，不一定是位似图形，B错误． 选项C：若、、分别是、、的中点，则与是位似图形，位似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于位似比，所以与的周长比为，C正确． 选项D：若与是位似图形，根据位似图形的性质，对应边平行，所以，D正确． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则面积为____． 【答案】// 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，先求出，再根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 与位似， ， ， 的面积为18， ， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【分析】四边形与四边形位似，可得四边形四边形，，，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 【基础题型四 位似图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·山西大同·期末）电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 【答案】A 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 【例2】（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是____（用图中字母表示），与该三角形的位似比为___． ​ 【答案】 / 【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比． 【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 1．（2026·河北唐山·一模）如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． 故选：D． 【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似图形的定义． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 3．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图所示： (1)写出“小鱼”与“大鱼”的位置关系； (2)已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为，写出“大鱼”上对应“顶点”的坐标． 【答案】(1)位似变换 (2) 【分析】本题考查的是位似变换的性质，解决本题的关键是找到所给图形中象限内的一对对应点的变化规律． （1）根据坐标系中，图形的位置即可解答； （2）先找一对对应点，观察所找对应点的变化规律，那么所求点也按照这个变化规律进行变化即可． 【详解】（1）解：“小鱼”与“大鱼”位置关系属于位似变换； （2）解：“小鱼”最大鱼翅的顶端坐标为，“大鱼”对应点坐标为； “小鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么“大鱼”上对应“顶点”的坐标为． 【基础题型五 判断位似中心】 【例1】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 【例2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键． 根据正方形的性质求得，，，，直线和直线的交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线和直线的解析式，再建立二元一次方程组进行求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，点C和点F的坐标分别为，， ∴，，，， 设直线的解析式为：， 把、代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 把 ，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 直线和直线的交点即为位似中心， ∴建立方程组得，，解得：， ∴位似中心的坐标为：． 1．（26-27九年级·全国·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 2．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____． 【答案】（﹣4，﹣3） 【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案． 【详解】解：△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形， 则连接和并延长相交，交点即为P点， 如图所示，P点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，得出位似图形对应点的连线交于一点是解题的关键． 3．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整； (3)求的面积． 【答案】(1) 解：如图所示，点O即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求； (3)6 【分析】本题主要考查了位似图形的性质（对应点连线过位似中心）及三角形面积的计算，熟练掌握位似图形的性质、利用网格计算图形面积是解题的关键． （1）位似中心是对应点连线的交点，因此连接、，交点即为位似中心； （2）根据位似性质，确定的对应点，连接、补全三角形； （3）利用网格，通过割补法或三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 故选：． 【基础题型六 求两个位似图形的相似比】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是_________． 【答案】 【分析】本题考查位似的性质，掌握位似的性质是解题的关键． 根据比例关系，求出，再根据位似的性质，可得且相似比为，最后根据“面积之比是相似比的平方”，计算即可求解． 【详解】解： ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， 与的相似比为， 则面积比为． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形．已知点，点，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 根据位似变换的概念得到，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质计算即可. 【详解】由题意，得． ， 和的相似比为， 与的面积比为． 故选：B. 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得，，，，得出，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解． 【详解】解：∵分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， 又∵分别是，，的中点， ∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点， ∴与是位似三角形，其位似中心是点， ∵， ∴与的位似比为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——位似，掌握位似图形的特点是解题的关键． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）根据勾股定理求出、，进而得到与的位似比为，推出与的面积比为，即可求解． 【详解】（1）略 （2），， ， 与的位似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 【基础题型七 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例1】（2026·浙江温州·三模）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形与矩形位似， ∴ ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 【例2】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，位似的性质．根据以原点为位似中心的位似变换性质，直接缩放点A坐标得到坐标，从而得到对应复数，即可求解． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，位似比为，即相似比为， ∴点A的对应点的坐标为即或即， 根据题意得：对应的复数为或． 故答案为：或． 1．（2026·河北保定·二模）如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 【答案】C 【详解】解：画出如图， 由图可得C选项符合题意． 2．（25-26九年级下·全国·课前预习）把图中的四边形ABCD缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为______． 作法： （1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得______； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形． 【答案】 1:2 【解析】略 3．（第三十二章追梦期中达标测试卷）根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据是边长为1的小正方形的对角线，根据相似比为2，延长到，使得为边长是2的小正方形的对角线，类似地可画出，以此画出三角形即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，求解即可； （3）根据，得，利用相似的性质证明即可． 【详解】（1）略； （2）解：，且， ∴； （3）解：根据平行线间的距离处处相等，得到， 根据， ∴， ∴， ∴； 【基础题型八 求位似图形的对应坐标】 【例1】（2026·山东东营·模拟预测）如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据图形与位似中心的位置关系，结合原图形与新图形的位似比为3，坐标对应乘以求解即可． 【详解】解：将点的坐标乘以或可得：点的对应点的坐标为或． 1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由点的坐标得到位似比，由此可求解坐标． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)； 【分析】（1）位似中心为点，根据位似比，连接，，，并反向延长一倍，在轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点，的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵点的坐标为， ∴点， ∵按放大得到， ∴点的对应点的坐标为：；点的对应点的坐标为：． 故答案为：；． 【基础题型九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 【例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 1．（2026·浙江温州·二模）如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质．根据位似图形的对应边成比例，利用点和点的坐标求出位似比，进而求出的长． 【详解】解：矩形与矩形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ． 点的坐标为，点的坐标为 ， ， ． ， ， ． 2．（2026·广东河源·一模）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 【答案】 【分析】根据A，的坐标求出位似比，即可求出的长． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为， ∴五边形，的位似比为， ∴， ∴． 3．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则________． 【答案】(1)如图， 即为所求， (2) 【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，相似比为，即周长比为． 【基础题型十 在坐标系中画位似图形】 【例1】（2026·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 【例2】（2026·辽宁丹东·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ______．    【答案】（-2,0）或（2,0） 【分析】由位似比求出对应点坐标有两种情况，分别求出两组对应点坐标，然后在平面直角坐标系描点连接即可． 【详解】解：由位似比为求得：A(−2，4)，B(−4，0)对应点坐标分别为A′(−1，2)，B′(−2，0)， 或者A′′(1，−2)，B′′(2，0)， O点是位似中心，所以位置不变， 所以，下图△A′B′O或△A′′B′′O都为满足题意的位似图形, ∴此时点B关于对称中心的对应点的坐标为（-2,0）或（2,0）.    【点睛】本题考查了位似的概念．位似比为对应点到位似中心的距离比．解题关键是根据位似比找到对应点的坐标． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 【基础题型十一 在坐标系中画位似中心】 【例1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 【答案】 【分析】 本题考查了位似变换、相似三角形的性质，熟记位似中心的概念是解题的关键． 连接，交于，根据位似中心的概念得到点为位似中心，证明∽，根据相似三角形的性质求出，进而求出，得到点的坐标． 【详解】 解：如图，连接，交于，则点为位似中心， 由题意可知：，，， ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴位似中心点的坐标为， 故答案为：． 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 【答案】或/或 【分析】本题考查了位似图形，以及求位似中心，连接对应点，存在两种情况，第一：位似中心在两个图形的中间，第二：位似中心在第二象限，根据位似图形的性质，相似比等于对应点到位似中心的距离比，即可作答． 【详解】解：如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H，轴， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， 则， ∴， 故， ∴， 即， 则， 此时位似中心为； 如图：位似中心在两个图形的中间，连接对应点，相交于点H， ∵两个正方形是位似形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故， 由于点H在轴的负半轴上， 此时位似中心为； 综上：位似中心为或， 故答案为：或． 3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求． 可得． 【基础题型十二 坐标与图形综合】 【例1】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长方形的长为,宽为，根据点的坐标及长方形排列规律可得出二元一次方程组计算长宽，再根据排列规律计算点的坐标． 【详解】设大小完全相同的长方形纸片长为,宽为，由点坐标可得 解得：， 点横坐标，纵坐标， 所以点． 【例2】（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，已知点，若一次函数的图象与线段有交点，则满足条件的的整数值有_____个． 【答案】 3 【分析】先根据一次函数解析式确定图象恒过的定点坐标，再分别计算直线经过线段端点和时的值，结合图象确定的取值范围，最后根据及为整数求解． 【详解】解：由一次函数可知， 当时，， 即该函数图象恒过定点． 当直线经过点时， ， 解得， 当直线经过点时， ， ， 解得， 观察图象可知，若一次函数图象与线段有交点，则的取值范围是． 又∵且为整数， ∴的整数值可以为共3个． 故答案为3． 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线经过点，且轴，直线经过点，且轴，直线，相交于点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等，平行于y轴的直线上的点的横坐标都相等，即可解答． 【详解】解：直线a经过点，且轴， 点M的纵坐标是， 直线b经过点，且轴， 点M的横坐标是， 点M的坐标是． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，，点是轴上的动点，作交轴于点，为的中点，连接，则的最小值是____________ 【答案】 【分析】设点坐标为，点坐标为，利用及相似三角形性质得出与的数量关系；根据中点坐标公式表示出点的坐标，表示出的长度，配方后求解即可． 【详解】设，， ， ∴， ， ， ∵， ∴ ， 整理得，即点坐标为， 为的中点 , 设，则，， ∴， ∴ ， ， ∴当时，有最小值，最小值为． 3．（25-26七年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中作出三角形； (2)把三角形先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出三角形平移后的三角形（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图，三角形即为所作． (2)解：如图，三角形即为所作． 点的坐标为． 【分析】（1）先画出点，再顺次连接即可； （2）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得三角形，然后根据点坐标的平移变换规律可得点的坐标． 【详解】（1）解：略． （2）解：由点坐标的平移变换规律可知，点的坐标为，即为． 【提高题型一 坐标与图形综合问题】 【例1】（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出 、的值， 设点的坐标为， 点与点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位， 由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点与点重合得到方程组， 解得 ， 即． 【例2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）重心是一个物体受力的平衡点．如图，质地均匀的薄板是由边长为4的正方形和边长为2的正方形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，分别是正方形的重心．此薄板的重心在直线上，则的坐标为______．（其中，分别是正方形的面积．） 【答案】 【分析】本题考查了正方形性质，中点坐标公式的相关知识点．根据正方形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，，，， ∵分别是正方形的重心， ∴是的中点，是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 1．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称变化，坐标与图形．根据轴对称变化求出点，，分别求出点在上时，点在点C时，n的值，即可解答． 【详解】解：∵点关于直线对称得到“第一对应点”， 关于直线对称得到“第二对应点”， 点关于直线对称得到“第一对应点”，关于直线对称得到“第二对应点”． ∴当点在上时，，解得， 当点在点C时，，解得， ∵线段与的边有公共点， ∴， ∴整数n的值为1，2，3． 故选：C 2．（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的顶点B在y轴上，边在x轴上，点H为的中点，连接并延长，交的延长线于点M，则点M的横坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，涉及等边三角形的性质和判定，多边形的内角和，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键。 本题先通过正六边形的性质得到是等边三角形．求出，，，再利用相似三角形的性质求出，延长交轴于点，根据点到轴的距离，即可求出点M的横坐标． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 六边形是正六边形， 正六边形的每个内角都是， ， 同理， 在中，， 是等边三角形， 正六边形的边长为2， 即， ， 又， ， 点为的中点，， 则， ， ， ， ， ，，， 则， ， 延长交轴于点， 正六边形中，， ， 在中，，，， ， 点到轴的距离， 其中，，， ， 点的横坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)在图中画出，并写出顶点的坐标___________ (2)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为___________． 【答案】(1) 为所作；； (2)或 【分析】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用点平移的坐标变换规律写出三个顶点的坐标，然后描点即可； （2）设P点的坐标为，利用三角形面积公式，即可得到P点坐标． 【详解】（1）略 （2）解：设P点坐标为， ∵以为顶点的三角形的面积为， ∴， ∴， 解得：或， 即P点坐标为或， 故答案为：或． 【提高题型二 相似图形在几何图形的综合应用 】 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·北京门头沟·期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、坐标与图形等知识点，设出未知数、找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标列出关于x、y二元一次方程组求得x、y的值，结合点B所在的位置即可解答． 【详解】解：设小长方形纸片的长为x，宽为y， 依题意得：，解得：， ∴ ∵点B在第二象限内， ∴点B的坐标是． 故答案为． 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足．D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若，求∠CEG的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 由 得 且 ，解得 ，，从而确定 ；再由矩形 的边 、 分别在 轴与 轴正半轴上，得 ，，进而确定 、 的坐标； （2） 设 ，由折叠性质得 ，，，进而 ；利用 ，，证 ，得 ，从而 ；在 中由勾股定理列方程 求出 ；再求出 、的长度，过 作 于 ，利用等面积法求出 ，进而求出 ，由 得 为等腰直角三角形，从而求出 ． 【详解】（1）解：， ，解得， ， 矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上， ， ; （2）解：设   由折叠得，，， ∴ ∵，    ∴ ∴ ， ∴    解得 ∴，   ∴   如图，过点G作于点I，    解得   ∴    ∴是等腰直角三角形 ∴ 2．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】(1) 解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)， (3) 解：如图， 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可； （3）连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，则四边形为的一个内邻正方形，过点作交于点P，交于点R，设正方形的边长为、，利用的面积表示方法得到，易证得，进而得到，从而求出正方形的边长． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 3．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点G的坐标为，点H的坐标为． 又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标 即点． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点的坐标为，点的坐标为． 又长方形的面积为，长方形的面积为， ∴点的横坐标， 点的纵坐标 即点， 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形 的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？ （2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置． 【答案】（1）; （2）解：如图，建立平面直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分， 设该工件重心为，正方形的重心为，长方形的重心为， ， 又正方形的面积为，长方形的面积为， ， 设该工件重心为． 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，理解题中重心定义和运算法则是解答的关键． （1）根据规律，直接写出式子即可； （2）建立直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分，得到，求出两部分面积，再根据（1）的式子求解即可． 【详解】（1）解：依据上述规律可得； （2）略 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴的周长为4． 3．（2026·山东枣庄·一模）如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点 【答案】C 【分析】结合题意，根据位似图形的性质分析，即可得到答案． 【详解】如图，连接AO并延长于点G 根据题意，得： 以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的 当△ABC缩小后，在位似中心同侧时，点A的对应点为点D 当△ABC缩小后，在位似中心异侧时，点A的对应点为点G 故选：C． 【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，从而完成求解． 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键． 先求出两个三角形的相似比，再根据点的坐标计算即可； 【详解】和是以点为位似中心的位似图形， ， 和的周长之比为， 和的相似比为， 点的坐标为， 的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 在第四象限， 点的坐标为． 故选． 5．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出． 过点分别作轴，轴，垂足分别为点，先证明，推出，再通过点的坐标即可求出的值，从而得到点的坐标 ． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为点 ． ， ． 轴，轴， 和都是直角三角形 ． 在和中， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ． 点在轴正半轴上， ，故选：D ． 6．（25-26九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 7．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______，______． 【答案】 1 2或 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握在平面直角坐标系中，平行于轴的直线上的点的横坐标相同，两点间的距离等于纵坐标之差的绝对值是解题关键．根据在平面直角坐标系中，平行于轴的直线上的点的横坐标相同，两点间的距离等于纵坐标之差的绝对值可得，，由此即可得． 【详解】解：∵点，点，且轴，， ∴，， ∴或， 故答案为：1；2或． 8．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则________． 【答案】/0.25 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形面积比等于相似比的平方成为解题的关键． 由题意可得根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴． 故答案为：． 9．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E的横坐标为，则点P的坐标为______．    【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到，求出，再证明，得到，即可求出，得到答案． 【详解】∵四边形为矩形，点B的坐标为， ∴， ∵点E的横坐标为， ∴ ∵矩形与矩形是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出是解题的关键． 11．（26-27九年级上·北京·课前预习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 【答案】 如图，点、、分别为位似图形的位似中心． 【分析】本题考查了位似中心的画法，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，正确理解两个位似图形对应点连线的交点就是位似中心是解题的关键． 【详解】解：略． 12．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． (1)请在网格内画出变换后图形，并写出各顶点的坐标； (2) ． 【答案】(1)如图，，即为所求；，，，，，； ； (2) 【分析】本题考查的是画位似图形，求解位似对应点的坐标，位似图形的性质； （1）分别确定的三个顶点的位似对应点，再顺次连接即可，再根据点的位置可得其坐标； （2）根据位似图形的性质可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． ∴； 13．（2025·山西临汾·一模）（位似作图是一种利用位似变换的性质进行作图的方法，它的基本步骤包括：①确定位似中心；②连接位似中心和原图的关键点；③根据相似比确定新图形的关键点；④顺次连接上述确定的各点，得到放大或缩小的图形． 已知：如图，点和． 请根据上述材料，用尺规作图的方式作，使得和关于点位似（在点的异侧，点A，B，C的对应点分别为点，且相似比为． 作图后，请完成下列任务： 任务一：小明发现和有一定的关系，请你帮助小明写出这一关系：______． 任务二：小明在改变了的形状和点的位置后，发现上述结论依然成立，你能证明这一结论吗？ 【答案】如图，即为所作图形． 任务一：； 任务二：成立，改变了的形状和点的位置后， 证明：由作图知， ． ． ． ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作位似图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 作图：连接并延长，截取，按照同样的方式确定点的位置，再顺次连接即可； 任务一：利用两边成比例且夹角相等证明，得到，即可证明； 任务二：同任务一证明即可． 【详解】解：任务一：， 由作图知， ∵， ∴， ∴， ∴； 任务二：略 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：在平面直角坐标系中，已知，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如下图，点的“最佳间距”是1． (1)理解：点的“最佳间距”是________． (2)探究：已知点． ①若点O，A，B的“最佳间距”是1，求y的值； ②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________． 【答案】(1)2 (2)①；②3 【分析】（1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）①分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，所以“最佳间距”为或者的长度，由于“最佳间距”为，而，故，即可求解的值；②由①可得，“最佳间距”为或的长度，当时，“最佳间距”为，当时，“最佳间距”为，比较两个“最大间距”，即可解决. 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，， ∵垂线段最短， ∴， ∴点，，的“最佳间距”是． 故答案为：. （2）解：①∵点，，， ∴轴， ∴，， ∵点，，的“最佳间距”是， ∴， ∴． ②当时，点，，的“最佳间距”是， 当或时，，点，，的“最佳间距”是， ∴点，，的“最佳间距”的最大值为． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键，（2）中与的长度大小不确定时，需要分类讨论，是解决此题的突破口． 15．（25-26九年级上·福建莆田·期中）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．      (1)知识理解： 如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，，，则 ； ②若，，，则 ； (2)知识运用： 如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”； (3)拓展提高： 如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求． 【答案】(1)①27°；② (2) 证明：，， ， ，即， 又， ， ， 又，， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形” (3) 【分析】（1）①依据和互为“旋转位似图形”，可得，依据相似三角形的对应角相等，即可得到； ②依据，可得，根据，，，即可得出； （2）依据，即可得到，进而得到，再根据，，即可得到，进而得出和互为“旋转位似图形”； （3）利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）①和互为“旋转位似图形”， ， ， 又，， ； ②， ， ，，， ， ， 故答案为：；； （2）略 （3）点为的中点， ， 由题意得：， ， ， ， ， 由勾股定理可得， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 位似多边形重难点题型专训（1个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、相似多边形 1 题型二、相似多边形的性质 2 题型三、位似图形相关概念辨析 3 题型四、位似图形的识别 4 题型五、判断位似中心 5 题型六、求两个位似图形的相似比 6 题型七、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 7 题型八、求位似图形的对应坐标 8 题型九、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 9 题型十、在坐标系中画位似图形 10 题型十一、在坐标系中画位似中心 11 题型十二、坐标与图形综合 12 第二部分·练提高题型 题型一、坐标与图形综合问题 1 题型二、相似图形在几何图形的综合应用 2 第三部分・自我检测 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，四边形是四边形的位似图形，图中还可以找到___对相似三角形（可用字母表示），它们分别是____ ． 【基础题型一 相似多边形】 【例1】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【例2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 1．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    3．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【基础题型二 相似多边形的性质】 【例1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·江苏盐城·三模）平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 1．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是（      ） A． B． C． D． 2．（2026·宁夏吴忠·二模）风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 3．（25-26九年级上·广西钦州·期末）（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【基础题型三 位似图形相关概念辨析】 【例1】（2026·浙江金华·模拟预测）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【例2】（2026·浙江温州·三模）如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则面积为____． 3．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【基础题型四 位似图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·山西大同·期末）电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 【例2】（25-26九年级下·全国·课堂例题）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是____（用图中字母表示），与该三角形的位似比为___． ​ 1．（2026·河北唐山·一模）如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 3．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图所示： (1)写出“小鱼”与“大鱼”的位置关系； (2)已知“小鱼”上一个“顶点”的坐标为，写出“大鱼”上对应“顶点”的坐标． 【基础题型五 判断位似中心】 【例1】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【例2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，正方形和正方形是位似图形，点C和点F的坐标分别为，，且位似中心在这两个图形的异侧，则位似中心的坐标是_________．    1．（26-27九年级·全国·期中）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26九年级下·全国·单元测试）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是_____． 3．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心； (2)请在方格图中将补画完整； (3)求的面积． 【基础题型六 求两个位似图形的相似比】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是_________． 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以点O为位似中心的位似图形．已知点，点，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为______． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期中）在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 【基础题型七 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形】 【例1】（2026·浙江温州·三模）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【例2】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是__________． 1．（2026·河北保定·二模）如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 2．（25-26九年级下·全国·课前预习）把图中的四边形ABCD缩小到原来的． 分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为______． 作法： （1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； （3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，使得______； （4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形． 3．（第三十二章追梦期中达标测试卷）根据题目要求，回答相应问题． (1)如图1，点A，B，C都在格点上，以点C为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得； (2)根据（1）中所作图形，可得_______； (3)如图2，点D，E在格点上．在上求作一点P，使得． 【基础题型八 求位似图形的对应坐标】 【例1】（2026·山东东营·模拟预测）如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心作出位似图形，使原图形与新图形的位似比为3，则点A的对应点的坐标为________． 1．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为________． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）网格是研究几何图形的一种工具，能帮助我们直观感知图形性质解决几何问题．如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为． (1)以点为位似中心，把按放大，请在轴的左侧，画出放大后的． (2)点的对应点的坐标是__________，点的对应点的坐标是__________． 【基础题型九 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 1．（2026·浙江温州·二模）如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 2．（2026·广东河源·一模）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为________． 3．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则________． 【基础题型十 在坐标系中画位似图形】 【例1】（2026·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·辽宁丹东·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D．    2．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2，4)，B(-4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO的相似比为，则此时点B关于对称中心的对应点的坐标是 ______．    3．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【基础题型十一 在坐标系中画位似中心】 【例1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形与矩形是位似图形，位似中心在轴上，对应点的坐标分别为，，则位似中心的坐标为 ______． 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，则位似中心的坐标为______ 3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【基础题型十二 坐标与图形综合】 【例1】（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，已知点，若一次函数的图象与线段有交点，则满足条件的的整数值有_____个． 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，直线经过点，且轴，直线经过点，且轴，直线，相交于点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，，点是轴上的动点，作交轴于点，为的中点，连接，则的最小值是____________ 3．（25-26七年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中作出三角形； (2)把三角形先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出三角形平移后的三角形（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 【提高题型一 坐标与图形综合问题】 【例1】（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）重心是一个物体受力的平衡点．如图，质地均匀的薄板是由边长为4的正方形和边长为2的正方形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，分别是正方形的重心．此薄板的重心在直线上，则的坐标为______．（其中，分别是正方形的面积．） 1．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线．对于点作如下定义：将点关于直线对称得到点，称点为点的“第一次对应点”，再将点关于直线对称得到点，称点为点的“第二次对应点”．如图，顶点坐标为，，．若点和点的“第二次对应点”分别为点和点，且线段与的边有公共点，则满足条件的的整数值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的顶点B在y轴上，边在x轴上，点H为的中点，连接并延长，交的延长线于点M，则点M的横坐标为______． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，，，．将向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到． (1)在图中画出，并写出顶点的坐标___________ (2)已知点P在x轴上，以、、P为顶点的三角形面积为，则P点的坐标为___________． 【提高题型二 相似图形在几何图形的综合应用 】 【例1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【例2】（24-25七年级下·北京门头沟·期末）用8个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点，则点的坐标是_____． 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴与y轴的正半轴上，点B(a，b)，其中a、b满足．D为BC上一点，E为AB上一点，将△DBE沿DE折叠得△DFE． (1)则点A的坐标为______，B的坐标为______，C的坐标为______； (2)如图2，当D点与C点重合时，CF交OA于点G，连接EG，若，求∠CEG的度数．  2．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： (3)类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 3．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点G的坐标为，点H的坐标为． 又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标 即点． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点的坐标为，点的坐标为． 又长方形的面积为，长方形的面积为， ∴点的横坐标， 点的纵坐标 即点， 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形 的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？ （2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置． 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 2．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 3．（2026·山东枣庄·一模）如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点 4．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，点在轴正半轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 7．（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则______，______． 8．（25-26九年级上·江西景德镇·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则________． 9．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 10．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E的横坐标为，则点P的坐标为______．    11．（26-27九年级上·北京·课前预习）用直尺画出下面位似图形的位似中心． 12．（24-25九年级上·甘肃白银·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系．以原点O为位似中心，将放大，使变换后得到的三角形与原三角形对应边的比为． (1)请在网格内画出变换后图形，并写出各顶点的坐标； (2) ． 13．（2025·山西临汾·一模）（位似作图是一种利用位似变换的性质进行作图的方法，它的基本步骤包括：①确定位似中心；②连接位似中心和原图的关键点；③根据相似比确定新图形的关键点；④顺次连接上述确定的各点，得到放大或缩小的图形． 已知：如图，点和． 请根据上述材料，用尺规作图的方式作，使得和关于点位似（在点的异侧，点A，B，C的对应点分别为点，且相似比为． 作图后，请完成下列任务： 任务一：小明发现和有一定的关系，请你帮助小明写出这一关系：______． 任务二：小明在改变了的形状和点的位置后，发现上述结论依然成立，你能证明这一结论吗？ 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：在平面直角坐标系中，已知，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：如下图，点的“最佳间距”是1． (1)理解：点的“最佳间距”是________． (2)探究：已知点． ①若点O，A，B的“最佳间距”是1，求y的值； ②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为________． 15．（25-26九年级上·福建莆田·期中）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．      (1)知识理解： 如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，，，则 ； ②若，，，则 ； (2)知识运用： 如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”； (3)拓展提高： 如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $