专题02 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（3个知识点+10大题型+自我检测）讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学讲义通过“3个知识点+10大基础题型+3类提高题型”构建二次函数与一元二次方程的知识体系，用表格对比根的判别式与函数图象的关系，结合即时训练梳理知识脉络，清晰呈现交点坐标、方程根的情况等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如求抛物线与x轴交点坐标巩固核心知识，提高题型如二次函数与不等式综合问题培养推理意识和模型意识。每个题型配典型例题与即时训练，帮助不同层次学生提升，自我检测模块支持自主复习，助力教师实施精准教学。

专题02 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（3个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 2 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 3 题型四、抛物线与x轴的交点问题 4 题型五、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 5 题型六、求x轴与抛物线的截线长 6 题型七、图象法确定一元二次方程的近似根 7 题型八、图象法解一元二次不等式 8 题型九、利用不等式求自变量或函数值的范围 9 题型十、根据交点确定不等式的解集 10 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数与一元二次方程综合问题 1 题型二、函数交点综合问题 2 题型三、二次函数与不等式综合问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值． x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y ﹣0.44 ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44 由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】观察表格可得-0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【详解】解：观察表格得：方程x2+x﹣1＝0的一个近似根为0.6， 故选：C． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解题的关键． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 【答案】①④/④① 【分析】根据和的函数值相同求出二次函数的对称轴，进而根据的函数值大于的函数值，即离对称轴越近函数值越大即可判断①；根据时，即可判断②；根据和关于直线对称，即可判断③；根据当时，，当时，，二次函数与x轴的一个交点在3和4之间，即可判断④． 【详解】解：∵和的函数值相同， ∴二次函数对称轴为直线， ∵ ∴离对称轴越近函数值越大， ∴二次函数开口向下，故①正确； ∵时，， ∴二次函数与y轴交于正半轴，故②错误； ∵和关于直线对称， ∴时，，故③错误； ∵当时，，当时，， ∴二次函数与x轴的一个交点在3和4之间， ∴方程的正根在3与4之间，故④正确； 故答案为：①④； 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确根据表格中的数据求出二次函数的对称轴方程是解题的关键． 知识点02 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴．根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴对称轴为； 故选：B． 2．（24-25九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，（表示与轴平行的直线）， 与有两个交点， ， ， 是整数， ， 故答案为：0． 知识点03 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， ∴关于x的方程的解为，； 故选C． 2．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 【基础题型一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 【答案】28 【分析】先求出抛物线与轴、轴的交点坐标，得到的长度和点到轴的距离，再代入三角形面积公式计算． 【详解】解：当时，， 整理得， 解得，， ∵点在点左侧， ∴，， ∴， 当时，， ∴，即点到轴的距离， ∴． 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 3．（25-26九年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)当点是的中点时，求线段的长； (3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，， (2) (3)存在一点D使得取得最大值，此时 【分析】（1）根据二次函数解析式即可求出交点坐标. （2）根据是的中点求出点坐标，进而求出点坐标，利用直线求出点坐标即可求解. （3）由直线和抛物线可知，当为，时，点坐标为点坐标为，即可求出，，从而得到关于的二次函数解析式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：在抛物线中， 令，解得，， 点坐标为，点坐标为 令，解得， 点的坐标为 （2）点是的中点， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，代入得： ，解得： 设直线的解析式为，当时，， 点的坐标为， 在抛物线中，当时，， 点的坐标为， （3）解：存在一点D使得取得最大值，此时 ， 点坐标为点坐标为， 由， ， ， 当时，有最大值为． 【基础题型二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，轴的交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数的图象坐标轴有两个交点，则与x轴有一个交点，或两个交点中一个交点在原点，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知，∵二次函数的图象与坐标轴有两个交点， 则二次函数的图象与轴只有一个交点，或有两个交点，两个交点中一个交点在原点， 则，或， 解得或． ∴C符合题意； 显然四个选项中只有C选项符合要求． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为 _________． 【答案】（0，﹣3） 【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求得抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标. 【详解】解：当x＝0时，y＝﹣3， ∴抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 故答案为：（0，﹣3）． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： 2 1 1 6 ①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的开口向上；③抛物线与y轴的交点坐标为；④该函数图像向上平移2个单位后经过原点；⑤当时，y的取值范围是，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：设， ， 解得， ； ∴抛物线的对称轴为直线；故①说法错误； ∵，∴抛物线的开口向上；故②说法正确； 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为；故③说法正确； ∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴该函数图像向上平移2个单位后经过原点；故④说法正确； ∵， ∴抛物线的顶点为，开口向上， 当时，， 当时，， ∴当时，；故⑤说法错误； 综上，正确的有②③④，共3个， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）二次函数（，，是常数，且）的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论有___________．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴、轴的交点坐标以及最大值和最小值进行综合判断即可． 【详解】解：由图可知，当时，，故①正确 抛物线开口向下，则， 又∵对称轴，即 ∴，则，故②错误， ∵对称轴，， ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故③正确 故答案为：①③． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积 (3)当时，则的取值范围______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将、代入，即可求出抛物线的解析式； （2）根据求解即可； （3）观察图象，可知当时，取最大值，顶点处取最小值，即可得出结果． 【详解】（1）解：将、代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，， ． 、， ． ． （3）解：， ∴当时，取最小值，为． 由图象得，当时，取最大值，为0． 的取值范围为． 故答案为：． 【基础题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的函数值．正确计算是解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义．此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米， 故选：． 2．（2026·辽宁·模拟预测）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 3．（25-26九年级·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【答案】(1)；直线 (2)， 【分析】（1）根据待定系数法即可求解解析式，进而可知对称轴； （2）根据平移的性质即可求得坐标，进而代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线． （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）． 【基础题型四 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 2．（25-26九年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 3．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 【基础题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 【例2】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大； ⑤． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据开口方向可得，根据对称轴为直线，得到，根据二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，得到，据此可判断①；根据二次函数与x轴的一个交点的坐标为，可判断②⑤；根据二次函数与x轴有两个不同的交点可判断③；根据二次函数的增减性可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴当时，，故⑤正确； ∴，即，故②正确； ∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，即，故③正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故④正确； 综上所述，正确的有②③④⑤． 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，抛物线与x，y轴的交点分别为点A和点B，其对称轴为直线，点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是；④此函数的最大值为5．其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③④ 【答案】C 【分析】根据对称轴公式可判断①；根据对称性可求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，据此可判断②；设，连接，由对称性可得，则当B、P、C三点共线时，周长有最小值，最小值是，求出点B的坐标，再利用两点间的距离公式求出的长即可判断③；把点A的坐标代入二次函数的解析式结合求出a、b的值，再把解析式化为顶点式即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，即是方程的一个根，故②正确； 如图所示，设，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当B、P、C三点共线时，周长有最小值，最小值是， 在中，当时，， ∴， ∵，， ∴ ， 周长的最小值是，故③不正确； ∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为， ∴当时，， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， ∴二次函数的关系式为， ∴当时，y的最大值为4，故④不正确； 综上所述，正确的有①②． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 3．（25-26九年级下·辽宁本溪·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点，抛物线也经过、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点在抛物线上，设点的横坐标为，过点作轴交抛物线于点，交线段于点． ①求证：； ②若点到直线的距离为，点到直线的距离为，若，求的值． (3)将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线，抛物线与抛物线的图象组成图象，将直线沿着轴平移个单位长度得到直线，当直线与图象有个或个交点时，直接写出的值或的取值范围． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2) ①证明：依题意得：，， 设直线的解析式为， 将、代入得, 解得， 即直线的解析式为， 当时， ， 则， ， 即； ②，； (3)或或或． 【分析】（1）先根据抛物线交轴于、两点，交轴于点，求出、、三点坐标，将、代入抛物线，即可得解； （2）①依题意得，，求出直线解析式后可得，结合三点坐标易得； ②作交于点，作交于点，利用角角边证明，推得，求出直线的解析式，与直线的解析式联立得出，再利用两点间距离公式得，求解即可； （3）先根据抛物线平移规律求出抛物线的解析式，进而得出抛物线与抛物线的交点坐标，设直线的解析式为，结合图象分情况讨论符合条件的的值或的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点， 时，即，，，即，， 时，，即， 将、代入抛物线， 得， 解得， 抛物线的函数表达式； （2）①略 ②解：作交于点，作交于点， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 则直线的解析式为， 点是直线和直线的交点， ， 解得， 此时， 即， 则, 即， ， 当时，解得,，两解均不在的取值范围内，舍去； 当时，解得,，在的取值范围内； 综上，,． （3）解：抛物线的函数表达式， 抛物线的函数表达式为， 又抛物线， ， 解得，， 对应的纵坐标为，， 即抛物线与抛物线的交点坐标为，， 设直线的解析式为， 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与图象有个交点，如下图： 则即只有一个实数根， ， ， 时，直线与图象有个或个交点； 当直线过抛物线与抛物线的交点时，直线与图象有个交点， 有， 即时，直线与图象有个交点； 当直线过抛物线与抛物线的交点时，直线与图象有个交点， 有， 即时，直线与图象有个交点； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与图象有个交点， 则即只有一个实数根， ， ， 时，直线与图象有个或个交点； 综上所述，或或或时，直线与图象有个或个交点． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、二次函数与一次函数综合、解一元二次方程、二次函数与一元二次方程综合，解题关键是学会运用数形结合思想、分类讨论思想解题． 【基础题型六 求x轴与抛物线的截线长】 【例1】（2026·内蒙古·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【例2】（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______． 【答案】4 【分析】设顶点式，再解方程得，然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长度． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 当y=0时，，解得：， ∴， ∴ 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数与x轴交点问题，解题的关键是设出顶点式并解方程表示出A，B两点的坐标． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题；根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线过点，抛物线与轴交于， ∴对称轴为：，甲正确； ∵当时，，抛物线过点， ∴对称轴为：，乙正确； ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴对称轴为：，丙正确； ∵抛物线被轴截得的线段长为，点在抛物线上， ∴抛物线与轴的另一个交点为：或， ∴对称轴为：或，丁错误； 综上：甲、乙、丙个人回答正确． 故选：A ． 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 3．（2025九年级·河北·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为 (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)的面积为1 (3)或 【分析】对于，将点A和点B坐标代入求解即可； 对于，当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称，可得点，进而即可得解； 对于，过点B作轴交抛物线于点E，则，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，即时，②当点P在点C和点E之间时，即时，③当点P在点E下方时，即时，据此求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解得 该抛物线的解析式为； （2）解：由知，， 点C的坐标为， 当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称， 点， ，点C到PB的距离为1， ， 的面积为1； （3）解：过点B作轴交抛物线于点E，如图所示： 此时点E与点B关于对称轴直线对称，， ①当点P在点B和点C之间时，即时， ，， ， ， 解得不合题意； ②当点P在点C和点E之间时，即时， ，， 符合题意， ； ③当点P在点E下方时，即时，， ， ， ， 或， 解得或或， ， ； 综上所述，m的取值范围为或 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【基础题型七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）观察表格，判断一元二次方程的一个解的范围是（    ） … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … … 0.56 1.25 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的根．根据表格得到当时，，当时，，即可得到在时，存在一个的值，使，据此即可得解． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是； 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 【答案】4 【分析】根据表格可得当时，；当时，，由此得到一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间，由此得到答案． 【详解】解：由表格得，当时，；当时，， 故一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况，正确理解一元二次方程的表示方法是解题的关键． 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 【答案】，． 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 2．（25-26九年级上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 【答案】 图象如图所示： 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的性质，先列表，然后描点，再连线，画出函数图象，由 得 ，画出直线即可． 【详解】解: 抛物线 的顶点坐标是(1,-4), 对称轴是直线x = 1. 列表： x ··· 0 1 2 3 y 0 0 由 得 所以直线 与抛物线 的两个交点A，B即为所求，如图． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【答案】(1)①，，；②，；③左，，下， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可； ②根据顶点坐标公式求解即可； ③根据顶点的坐标，确定平移即可； （2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； （2）解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【基础题型八 图象法解一元二次不等式】 【例1】（24-25九年级上·湖北·期末）抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B．当时， C． D．关于x的方程有两个不等的实数根 【答案】C 【分析】由抛物线的对称轴是直线，据此即可判断结论C；根据轴对称的性质及中点坐标公式，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，据此即可判断结论A；由一元二次方程根与系数的关系可得，解得，进而可得抛物线开口向下，利用图象法解一元二次不等式，据此即可判断结论B；代入、、的值将方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程，据此即可判断结论D；综上，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴对称轴为直线， ∴， 故结论C错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，， ∴抛物线与x轴有两个不同交点，的两个根为，， ∴，， 解得：， ∴抛物线开口向下， ∴当时，， 故结论A，结论B正确； ∵， ∴方程变形为， ∵，， ∴， ∴方程变形为， 解得：，， 故结论D正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，轴对称的性质，中点坐标公式，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象与系数的关系，图象法解一元二次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________． 【答案】或/或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．直接根据图象写出答案即可． 【详解】解：由图象可知，当时，． 故答案为：或． 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【答案】(1)；或 (2)两个水池面积差的最大值为，此时 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 【基础题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【答案】C 【分析】先求出二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性即可解答． 【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小， ∴A（﹣，y1）与点（，y1）关于直线x＝﹣2对称， ∵﹣2＜﹣＜＜， ∴y3＜y1＜y2， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【例2】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 2．（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点A，点在该抛物线上． （1）m的值为____； （2）连接，P是直线上的动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为______． 【答案】 2 或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，函数图象与轴的交点，数形结合思想是解题的关键． （1）把点代入求出即可； （2）根据（1）可得抛物线解析式，先求出点坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再根据是直线上的动点，将点向左平移5个单位长度得到点，然后作出和抛物线的位置关系的图象，结合图象分类讨论即可． 【详解】解：（1）把点代入得： ， 解得， 故答案为：2； （2）由（1）知，抛物线解析式为， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得： ， 解得， 直线的解析式为； 是直线上的动点，将点向左平移5个单位长度得到点， 当和抛物线的位置关系如图所示： ①由图象可知：当点在点的下方时，线段与抛物线无交点； ②当点在线段（包含不包含上时，线段与抛物线只有一个交点， 此时； ③当点与点重合时，线段与抛物线有两个交点； ④当线段经过抛物线的顶点时，线段与抛物线只有一个交点， ， 抛物线的顶点为， 当时，， 解得， 点的坐标为， ； ⑤当点在上方时，线段与抛物线无交点． 综上，线段与抛物线只有一个公共点，点的横坐标的取值范围为或． 故答案为：或． 3．（25-26九年级下·河南郑州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 【基础题型十 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 【例2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 【答案】C 【分析】将函数解析式化为顶点式，求出对称轴、顶点坐标及与轴交点坐标，结合图象分析函数的增减性、最值及直线与图象交点个数即可判断 【详解】解：， 函数图象关于直线对称，翻折后的顶点坐标为， 令，则，解得 ，， 图象与轴交点为和，故B错误； 由图象可知，当或时，图象呈下降趋势，即随的增大而减小，故C正确； 当时，，但函数图象两端向上无限延伸，无最大值，故A错误； 若直线与函数图象至少有个公共点，观察图象可知，故D错误； 故选：C． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①的周长的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或 【分析】（1）把点，代入，再进一步求解即可. （2）①求出，再利用待定系数法得出直线的解析式为，由题意可得，，，，则，证明为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出，从而可得为等腰直角三角形，求出周长为： ，再由二次函数的性质即可得出结果； ②由①可得，，则，结合题意可得，从而得出或，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为. （2）解：①在中，当时，，即， 当时，， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长为： ， ∵， ∴当时，周长的最大值为， 此时， ∴的周长的最大值为，此时点的坐标为； ②由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，可得：或， 解时，可得：， 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，等腰三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【提高题型一 二次函数与一元二次方程综合问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【例2】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先根据对称轴求出的值，将方程有解转化为求二次函数在范围内的取值，即可得到的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， 配方得， 函数开口向上，最小值在处取得，为， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是， ∵一元二次方程在范围内有解，等价于在该范围内有解， ∴的取值范围是． 1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，求函数值，二次函数的性质； （1）将的坐标代入得，，得出抛物线的解析式为令，解方程，即可求解． （2）将代入得，，即．根据轴交抛物线于点，得出，两点的纵坐标相等，则解方程，进而求得线段的长； （3）解法一∶分别将代入解析式求得函数值，即可求解；解法二：根据抛物线的对称轴为直线，进而可得关于对称轴对称，即可求解． 【详解】（1）解∶将的坐标代入得， ，解得， 所以抛物线的解析式为 令，则 解得 所以一元二次方程的两个根为，． （2）将代入得，，即． 因为轴，即，两点的纵坐标相等，则 解得 又， 即线段的长为． （3）解法一∶能比较，的大小，． 将点的坐标代入得， 将点的坐标代入得， 所以． 解法二：抛物线的对称轴为， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，则，两点到对称轴的距离相等， 即，两点关于对称轴对称， 所以． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知抛物线过，，； (1)求抛物线的解析式； (2)关于的一元二次方程的解为______． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，解题的关键是： （1）把，，代入求解即可； （2）令，则，然后解方程即可 【详解】（1）解：把，，代入，得 ，解得， ∴； （2）解:令，则， 解方程得，， 故答案为：， 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题： （1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为　　； （2）求此抛物线的解析式； （3）当x为值时，y＜0； （4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围． 【答案】（1）﹣1或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3或x＜﹣1；（4）y＞4 【分析】（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于﹣1，3两点，所以方程的解为x1＝﹣1，x2＝3． （2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式． （3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可． （4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可． 【详解】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点， ∴方程的解为x1＝﹣1，x2＝3， 故答案为：﹣1或3； （2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k， ∵抛物线与x轴交于点（3，0）， ∴（3﹣1）2+k＝0， 解得：k＝4， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4， 即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （3）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜﹣1； （4）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞4函数的最大值，即y＞4． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式，准确计算是解题的关键． 【提高题型二 函数交点综合问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若，且，则，则命题正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与的交点，以及函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法以及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：对称轴为直线， ，故①正确； ， 当时，，即，故②错误； 对称轴是直线，与轴的一个交点是，则与轴的另一个交点是，故③正确； 将抛物线向下平移3个单位，得到， 顶点坐标变为，此时抛物线与轴只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，故④正确； 若，则，即， ，关于抛物线的对称轴对称， ，故⑤错误． 故选C． 【例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度，平移后抛物线的解析式为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解． 【详解】解：， 将线段向下平移个单位长度，即为将抛物线向上平移个单位长度， 平移后抛物线的解析式为，     当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意； 当抛物线经过点时，此时，可得， 此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意； 结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或； 故答案为：或． 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知抛物线 (1)用配方法将化成的形式； (2)抛物线与x轴交点（点A在左侧）．与y轴交点C．在给定的坐标系中画出这个抛物线，求的面积； (3)直接写出当自变量x满足什么条件时，函数值； (4)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值． 【答案】(1) (2) 如图： 的面积为6 (3)或 (4)；的最小值为 【分析】（1）由于二次项系数是，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等式，同时需要减去一次项系数的一半的平方即可； （2）令得到关于的方程，求解后可得点和点的坐标，令可得到的值，可得点的坐标，然后画出该函数的图像，再根据三角形的面积公式即可求出的面积； （3）观察图像，图像在轴上方的部分，即可得出的取值范围； （4）根据轴对称的性质得出，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，即最小，根据两点之间线段最短得出，求出直线的解析式为，把代入求出，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：∵抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴，， 当时，得：， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （3）解：由图像知：当或时，； （4）解：如图，设直线与交于点P，连接， 由（1）知：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点A与点B关于直线对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时的值最小，即最小， ∵，， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查将抛物线表达式的一般式化为顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，画函数图像，结合图像求不等式的解集，求一次函数解析式，轴对称的性质，根据坐标求三角形的面积等知识点．利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的表达式求解及直线与抛物线的交点问题，解题的关键是利用待定系数法求抛物线解析式，以及联立方程利用判别式判断交点个数． （1）将点、代入抛物线方程，解方程组得、的值； （2）联立直线与抛物线方程，整理为一元二次方程，由判别式求的值． 【详解】（1）解：将，代入，得 解得，，故抛物线表达式为． （2）解：联立，得， 因直线与抛物线只有一个交点，故， 整理得， 解得． 【提高题型三 二次函数与不等式综合问题】 【例1】（24-25九年级上·河北保定·期中）不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数恒成立的问题，讨论当，和时，结合题意求出a的取值范围即可． 【详解】解：当时，则， 当时，恒成立； 当时，则， 即，不是任意实数x都成立； 当时，设，函数图象开口方向向上， 不等式不是对任意实数都成立， 当时，则， 即（无解）或， 解得：， 设，函数图象开口方向向下， 不等式， 只要， 即， ，即或（无解）， 解得：， a的取值为； 综上， a的取值为； 【例2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．通过求二次函数的根，结合抛物线开口方向，确定不等式解集，即可求解． 【详解】解：当时，， ， 解得：， 由于二次项系数为，抛物线开口向上， 因此当或时，函数值大于， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，直线和抛物线交于点， (1)求直线和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集是 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）找到抛物线在直线上方时，自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把，代入，得，解得； ∴； 把，代入，得： ，解得， ∴； （2）由图象可知：不等式的解集是或． 2．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图所示，二次函数的图象经过、、三点． (1)由图象可知，不等式的解集为______； (2)结合二次函数的图象，写出方程的解． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）先判断出二次函数的图象与一次函数的图象交点坐标为、，再根据图象求得使二次函数的图象位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可； （2）根据抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求方程的解． 【详解】（1）解：∵二次函数与一次函数的图象交于、两点， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或； （2）解：二次函数的图象与轴交于点、， 方程的解为：，． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)直接写出不等式的解集为______； (3)求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式； (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，令，求得的值，即可求得点的坐标； （2）根据图象，结合抛物线与轴的交点即可求解； （3）利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：，代入，得， 解得， 抛物线的解析式； 当时，则， 解得，， ； （2）解：抛物线开口向下，与轴的交点为，， 由图象可知，不等式的解集为． 故答案为：； （3）解：，，， ，， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，三角形的面积，熟练掌握待定系数法、求得交点坐标，数形结合是解题的关键． 1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图像的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而增大 C．图像的顶点坐标是 D．图像与x轴的交点坐标 【答案】D 【分析】求出二次函数顶点式表达式逐项判断即可． 【详解】A． ，图像的对称轴是直线，选项正确，不符合题意； B． ， y随x的增大而增大， 选项正确，不符合题意； C．图像的顶点坐标是，选项正确，不符合题意； D．图像与x轴的交点坐标，选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数顶点式，对称轴，与x轴交点坐标． 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（   ） 当时，对称轴为直线． 函数图象与轴必有两个不同的交点． 函数图象必过某一定点． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线故正确； 令得，， 则， ∵， ∴， ∴函数图象与轴必有两个不同的交点，故正确； ∵， 由得，，， 由得，， 所以当时，， 即函数图象过定点，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 3．（2026·贵州铜仁·二模）如图， 二次函数的图象与 x 轴负半轴相交于A、B 两点， 与 y轴相交于点 C，对称轴为直线，且，则下列结论： ；；；关于 x 的方程有一个根为；其中正确的结论个数有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由抛物线的开口可知：， 由抛物线与y轴的交点可知：， 由抛物线的对称轴可知：， ∴， ∴，故①正确； 当时，， 故②正确； ∵， ∴，故③错误； ∵，，， ∴， 代入得到 ， ∴， ∵， ∴， ∵，点的坐标为，点位于轴正半轴，点位于轴负半轴， ∴点的坐标为． 因为二次函数的图象过点，可得 ． 化简，得 ． ∵． ∴将代入，得 ． 可得． 所以，点的坐标为． 设点的坐标为． 根据题意可得 ． 则． 所以，点的坐标为． 所以，关于的方程的两个解为，． 故④正确； 综上可知， 正确的是①②④． 4．（25-26九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，经过点．以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，抛物线上两点，则． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线与x轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断③，由抛物线经过及抛物线的对称性可判断④，由抛物线开口方向及对称轴可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线 ∴①正确， 由图像可得抛物线与x轴有两个交点， ∴，②不正确． ∵抛物线开口向下， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，③正确． ∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线， ∴抛物线经过， ∴，④不正确． 由图像可得为抛物线顶点， ∴为函数最大值， ∴，⑤正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关系等知识点，掌握二次函数图像与系数的关系是解答本题的关键． 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 6．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____． 【答案】或 【分析】函数为二次函数，与轴恒有一个交点，因此与坐标轴只有两个交点需分两种情况讨论：一是二次函数与轴只有一个交点，与轴交于异于原点的点，共两个交点；二是二次函数与轴有两个交点，其中一个交点为原点，此时与轴交点和原点重合，总交点数为两个，据此分别求解即可． 【详解】解：是二次函数，当时，， 函数图象与轴恒有一个交点， 函数图象与坐标轴只有两个交点，分两种情况讨论： 情况1：抛物线与轴只有一个交点，且交点不是原点， 此时根的判别式，且，即， 解得， 情况2：抛物线与轴有两个不同交点，且其中一个交点为原点，此时原点为抛物线与坐标轴的公共交点，总交点数为， 将代入函数解析式得， 检验：当时，，抛物线与轴有两个不同交点，符合题意； 综上，的值为或． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 【答案】或5 【分析】本题主要考查求二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识点，从列表中获取信息是解题的关键． 根据列表可知抛物线经过和对称轴，进而求得c，则，即，当时对应的x值，然后根据列表即可解答． 【详解】解：根据列表可知：当时，；当时，；当时，， ∴二次函数的解析式为，对称轴为， ∵， ∴， 由列表可得：当时，． ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，． ∴关于x的方程的解是或5． 故答案为：或5． 8．（25-26九年级上·河南许昌·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的开口方向，抛物线的对称轴，给定自变量求函数值，弄清图象的特征与系数的关系是解题的关键．根据抛物线开口方向判断的符号；根据对称轴公式结合的符号确定的符号；根据抛物线与轴的交点确定的符号；由抛物线的轴对称性，确定抛物线与轴交点坐标；代入特殊值，结合图象确定函数值的性质．依据上述方法逐一判定即可求解． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 对称轴即，， ， ，①正确； ， ，②正确； ， 当时， 令抛物线与轴两交点的横坐标为， 由图象可知，，根据对称性可知， 当时，，③错误， 当时，，④正确； 综上，结论正确的是①②④． 故答案为：①②④． 9．（2026·四川遂宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】过A作轴于C，则当x取值在之间时，即有，所以只要求出C、B两点的坐标，问题即可得到解答． 【详解】解：过A作轴于C， 令，则：，解得：或4， ∴， ∵，轴， ∴ ∴时，自变量的取值范围是． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，由抛物线与轴交点知方程根为和，且抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间，掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵开口向上的抛物线与轴交于点和， ∴方程的根为，， ∴当时，，即， ∴不等式解集为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当或时，；当时， 【分析】（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象的开口方向和对称轴求解即可； （3）先令求得，，再根据抛物线开口向上即可求解． 【详解】（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 12．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线与直线交于A，B两点（点A在点B右侧）． (1)求A，B两点的坐标； (2)若动点P在A，B之间的抛物线上运动（不与点A，B重合），连接，，求当的面积最大时，点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 【分析】（1）将代入，解方程，即可求解； （2）解法一：过点P作轴于点H，交于点Q，过点B作于点D，设点P的坐标为，则，进而表示出，根据二次函数的性质求得最值，进而求得的坐标； 解法二：过点P作直线，则可设直线l的解析式为，根据直线与抛物线相切时，的面积最大，将代入，得，令，求得，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，     解得，．     ∵点A在点B右侧， ∴，． （2）解法一：过点P作轴于点H，交于点Q，过点B作于点D， 设点P的坐标为（），则， ∴．   ∵动点P在A，B之间的抛物线上运动（不与点A，B重合）， ∴点P在点Q上方，      ∴，      ∴当时，取到最大值27，     ∴当的面积最大时，点P的坐标为．     解法二：过点P作直线，则可设直线l的解析式为， 将代入，得， 整理得，     当时，的面积最大，      即，       解得．    ∴，      解得，     ∴当的面积最大时，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，面积问题，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 13．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 【答案】(1)0 (2) 如图所示，即为所求； (3) 观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称， ②当时，随的增大而增大； (4)①；② 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的增减性，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入函数，得， ∴； （2）略 （3）略 （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点， ∴对应的方程有3个实数根， 运用数形结合思想，得关于x的方程实数根为． ②由函数图象知： 关于的方程有4个实数根，即函数与直线有四个交点， 运用数形结合思想，得满足题意的的取值范围是． 14．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）小明学习了反比例函数和一元二次方程后，探索一元二次方程的图像解法： 例：解一元二次方程： 解：由题意得，，方程可化为，令，，在同一坐标系中画出两个函数的图像，可得两个函数图像的交点横坐标对应方程的解； 通过上述解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用转化思想，还运用了下列数学思想中的_______（只填序号） ①分类讨论思想        ②换元思想        ③数形结合思想 (2)如图，直线与双曲线：交于，，关于x的方程的解为_______； (3)仿照上面的例子，用图像法直接写出一元二次不等式的解集． 【答案】(1)③ (2)， (3)或 【分析】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与反比例函数，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将解一元二次方程转化为求解一次函数与反比例函数的图象的交点问题即可． （3）令，先求出一元二次方程的解，转化为二次函数图象与x轴的交点问题即可， 【详解】（1）由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：③； （2）根据题意将代入，可得：， 则双曲线解析式为：， 根据题意将代入，可得：， 解得：，则， 由题意得，，方程可化为，令，， 即的图象与的图像的交点横坐标对应方程的解， ∵直线与双曲线：交于，， ∴关于x的方程的解为：，； （3）设， 解得：，， 则抛物线与x轴的交点坐标为和． 画出二次函数的大致图像，如图， 由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时， 即． 所以一元二次不等式的解集为：或． 15．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 【答案】(1)画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（3个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 2 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 3 题型四、抛物线与x轴的交点问题 4 题型五、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 5 题型六、求x轴与抛物线的截线长 6 题型七、图象法确定一元二次方程的近似根 7 题型八、图象法解一元二次不等式 8 题型九、利用不等式求自变量或函数值的范围 9 题型十、根据交点确定不等式的解集 10 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数与一元二次方程综合问题 1 题型二、函数交点综合问题 2 题型三、二次函数与不等式综合问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）如表是一组二次函数y＝x2+x﹣1的自变量x与函数值y的对应值． x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y ﹣0.44 ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44 由上表可知，方程x2+x﹣1＝0的一个近似解是（   ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是______． ①抛物线开口向下；②抛物线与y轴交于负半轴；③当时，；④方程的正根在3与4之间． 知识点02 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京西城·阶段检测）二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 知识点03 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 2．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【基础题型一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，则的面积为___________． 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 3．（25-26九年级下·内蒙古兴安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于两点（A在B的左侧），与轴交于点C，点为线段上一个动点（与点不重合），过点D作轴的垂线与线段交于点，与抛物线交于点，连接，与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)当点是的中点时，求线段的长； (3)在点D运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得取得最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； 【基础题型二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）抛物线y＝2x2﹣2x﹣3与y轴的交点坐标为 _________． 1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： 2 1 1 6 ①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的开口向上；③抛物线与y轴的交点坐标为；④该函数图像向上平移2个单位后经过原点；⑤当时，y的取值范围是，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）二次函数（，，是常数，且）的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③，其中正确的结论有___________．（填序号） 3．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积 (3)当时，则的取值范围______． 【基础题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，则此次实心球训练的成绩为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2026·辽宁·模拟预测）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 3．（25-26九年级·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【基础题型四 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 1．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 3．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【基础题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【例2】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大； ⑤． 其中正确的有______．（填序号） 1．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，抛物线与x，y轴的交点分别为点A和点B，其对称轴为直线，点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②是的一个根；③周长的最小值是；④此函数的最大值为5．其中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③④ 2．（2026·江苏扬州·一模）如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 3．（25-26九年级下·辽宁本溪·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点，抛物线也经过、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点在抛物线上，设点的横坐标为，过点作轴交抛物线于点，交线段于点． ①求证：； ②若点到直线的距离为，点到直线的距离为，若，求的值． (3)将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线，抛物线与抛物线的图象组成图象，将直线沿着轴平移个单位长度得到直线，当直线与图象有个或个交点时，直接写出的值或的取值范围． 【基础题型六 求x轴与抛物线的截线长】 【例1】（2026·内蒙古·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【例2】（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）老师出示了小黑板的题目后，同学们踊跃回答．甲说：过点；乙说：过点；丙说：；丁说：抛物线被轴截得的线段长为．这四个人的回答中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 3．（2025九年级·河北·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为 (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围． 【基础题型七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）观察表格，判断一元二次方程的一个解的范围是（    ） … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … … 0.56 1.25 … A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 2．（25-26九年级上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中画出函数的图象；并在图象上描出以方程的两根为横坐标的点，标记为A，B． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： (1)看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； (2)若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【基础题型八 图象法解一元二次不等式】 【例1】（24-25九年级上·湖北·期末）抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，则下列结论错误的是（   ） A． B．当时， C． D．关于x的方程有两个不等的实数根 【例2】（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）若二次函数（a、b、c为常数）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为_______________． 3．（26-27九年级上·全国·单元测试）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【基础题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 【例2】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点A，点在该抛物线上． （1）m的值为____； （2）连接，P是直线上的动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为______． 3．（25-26九年级下·河南郑州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【基础题型十 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【例2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知函数的图象如图所示，下列四个结论中，正确的是（     ） A．当时，函数有最大值是4 B．图象与轴的交点为和 C．当或时，函数值随值的增大而减小 D．若直线与函数图象至少有3个公共点，则的取值范围是 2．（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 3．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【提高题型一 二次函数与一元二次方程综合问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（c为实数）在范围内有解，则c的取值范围为_____． 1．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）已知抛物线与x轴的交点分别为，． (1)求一元二次方程的两个根； (2)设抛物线与轴交于点，作轴交抛物线于点，求线段的长； (3)若点，在抛物线上，你能比较出和的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说明理由． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知抛物线过，，； (1)求抛物线的解析式； (2)关于的一元二次方程的解为______． 3．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题： （1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为　　； （2）求此抛物线的解析式； （3）当x为值时，y＜0； （4）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围． 【提高题型二 函数交点综合问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽淮北·期中）如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若，且，则，则命题正确的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有1个交点，则k的取值范围是______．    1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知抛物线 (1)用配方法将化成的形式； (2)抛物线与x轴交点（点A在左侧）．与y轴交点C．在给定的坐标系中画出这个抛物线，求的面积； (3)直接写出当自变量x满足什么条件时，函数值； (4)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值． 3．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若直线（不平行对称轴所在直线）与抛物线只有一个交点时，求的取值． 【提高题型三 二次函数与不等式综合问题】 【例1】（24-25九年级上·河北保定·期中）不等式对任意实数x都成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，直线和抛物线交于点， (1)求直线和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集是 2．（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图所示，二次函数的图象经过、、三点． (1)由图象可知，不等式的解集为______； (2)结合二次函数的图象，写出方程的解． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)直接写出不等式的解集为______； (3)求的面积． 1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图像的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而增大 C．图像的顶点坐标是 D．图像与x轴的交点坐标 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（   ） 当时，对称轴为直线． 函数图象与轴必有两个不同的交点． 函数图象必过某一定点． A． B． C． D． 3．（2026·贵州铜仁·二模）如图， 二次函数的图象与 x 轴负半轴相交于A、B 两点， 与 y轴相交于点 C，对称轴为直线，且，则下列结论： ；；；关于 x 的方程有一个根为；其中正确的结论个数有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（25-26九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，经过点．以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤若，抛物线上两点，则． 其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤ 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 6．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则b的值是____． 7．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是_______． x … 0 3 8 … y … 2 2 … 8．（25-26九年级上·河南许昌·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________． 9．（2026·四川遂宁·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点，与轴交于点，当时，自变量的取值范围是______． 10．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 11．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 12．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知抛物线与直线交于A，B两点（点A在点B右侧）． (1)求A，B两点的坐标； (2)若动点P在A，B之间的抛物线上运动（不与点A，B重合），连接，，求当的面积最大时，点P的坐标． 13．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：其中，___________ … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 ．… (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①关于的方程实数根为___________； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是___________． 14．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）小明学习了反比例函数和一元二次方程后，探索一元二次方程的图像解法： 例：解一元二次方程： 解：由题意得，，方程可化为，令，，在同一坐标系中画出两个函数的图像，可得两个函数图像的交点横坐标对应方程的解； 通过上述解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用转化思想，还运用了下列数学思想中的_______（只填序号） ①分类讨论思想        ②换元思想        ③数形结合思想 (2)如图，直线与双曲线：交于，，关于x的方程的解为_______； (3)仿照上面的例子，用图像法直接写出一元二次不等式的解集． 15．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 学科网（北京）股份有限公司 $