专题01 二次函数的概念及图像与性质重难点题型专训（5个知识点+18大题型+自我检测）讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识点梳理与表格对比系统构建二次函数知识体系，涵盖概念、图像性质、平移规律、系数关系等5个核心知识点，用表格清晰呈现不同形式二次函数的开口方向、顶点坐标等性质，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，18大基础题型覆盖定义识别、图像平移等基础要点，4大提高题型聚焦销售问题、几何图形等综合应用，培养模型意识与推理能力。自我检测与即时训练结合，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题01 二次函数的概念及图像与性质重难点题型专训（5个知识点+18大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、列二次函数关系式 1 题型二、二次函数的识别 2 题型三、根据二次函数的定义求参数 3 题型四、y=ax²的图象和性质 4 题型五、y=ax²+k的图象和性质 5 题型六、y=a（x-h）²的图象和性质 6 题型七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 7 题型八、二次函数图象的平移 8 题型九、把y=ax²+bx+c化成顶点式 9 题型十、y=ax²+bx+c的图象与性质 10 题型十一、二次函数图象与各项系数符号 11 题型十二、一次函数、二次函数图象综合判断 12 题型十三、根据二次函数的图象判断式子符号 13 题型十四、已知抛物线上对称的两点求对称轴 14 题型十五、根据二次函数的对称性求函数值 15 题型十六、y=ax²+bx+c的最值 16 题型十七、利用二次函数对称性求最短路径 17 题型十八、待定系数法求二次函数解析式 18 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数关系式——销售问题 1 题型二、二次函数关系式——几何图形 2 题型三、二次函数与一次函数的综合 3 题型四、二次函数图象与性质的综合 4 第三部分・自我检测 知识点01 函数回顾 （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、中未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意； C、中等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、当时，不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·课前预习）像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______． 【答案】 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 【解析】略 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广西贺州·期中）下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，根据定义判断即可． 根据二次函数的定义（形如，且），逐一分析各选项． 【详解】：为一次函数，最高次数为1，排除； ：含项，非整式函数，排除； ：中未限定，当时为一次函数，不满足二次函数条件，排除； ：展开后为，满足，是二次函数； 故选． 2．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 【答案】 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（2026·四川德阳·模拟预测）将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数的平移的规律是左加右减，上加下减，由此可解． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，自变量变为， 得到的抛物线解析式为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 【答案】 【分析】根据二次函数“左加右减”的平移规律得到平移后的解析式，对比题目给出的顶点式即可求出和． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线， ∵二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的， ∴． 知识点04 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 2．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 知识点05 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据顶点坐标设二次函数顶点式，现再将或代入，即可求解． 【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是，且过点， 设二次函数，把代入得， 解得． 故二次函数的解析式为． 故选：A． 2．（第22单元01讲）二次函数的图象是一条_________． 当时，抛物线开口向____；当时，抛物线开口向_________． 越大，抛物线的开口越______；越小，抛物线的开口越______． 【答案】 抛物线 上 下 小 大 【分析】根据二次函数的图象可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象是一条抛物线． 当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下． 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大． 故答案为：抛物线，上，下，小，大． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【基础题型一 列二次函数关系式】 【例1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【例2】（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 1．（25-26九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 【基础题型二 二次函数的识别】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 【例2】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的一般式是解题的关键．根据二次函数的定义（形如 ，其中 ），判断每个选项是否符合． 【详解】解： 选项 A: ，符合 形式，且 ，是二次函数，此选项符合题意； 选项 B: ，含有分式， 不是二次函数，此选项不符合题意； 选项 C: ，简化得 ，是一次函数， 不是二次函数，此选项不符合题意； 选项 D: ，是一次函数，不是二次函数，此选项不符合题意． 故选：A． 2．（26-27九年级上·全国·随堂练习）二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ___________．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ___________，b是 ___________，c是 ___________．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 ___________这个关键条件． 【答案】 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 不等于0 【分析】此题考查的是二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不等于0这个关键条件． 故答案为：二次函数，二次项系数，一次项系数，常数项，不等于0． 3．（25-26九年级上·北京·随堂练习）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【答案】(1)， (2)是关于的二次函数 【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 【基础题型三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 【例2】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 1．（25-26九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期中）（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、二次函数与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握相关知识，分情况讨论是解题关键． （1）根据题意可知且，求解即可获得答案； （2）根据题意得，解得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， 又， ， 的值是； （2）根据题意得：，解得， 当时，， 此时交点坐标为， 当时，， 此时交点坐标为， 综上所述，交点坐标是或． 【基础题型四 y=ax²的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）在函数①，②，③中，图像开口大小顺序用序号表示应为（　　） A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③ 【答案】C 【分析】由越小，开口越大即可判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵越小，开口越大， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题关键是熟练掌握越小，开口越大． 【例2】（23-24九年级上·新疆和田·阶段检测）二次函数，当时，与的大小关系为______． 【答案】/ 【分析】由于函数的开口向上，对称轴是y轴，而在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，由此即可确定与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴开口向上，对称轴是y轴， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧y随x的增大而减小， 当时，两个点都在对称轴的右侧，因而自变量的值越大，对应的函数值越大， ∴与的大小关系为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质，正确利用二次函数的增减性分析是解题关键． 1．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 【基础题型五 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【分析】抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，故在y轴右侧，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：由抛物线解析式可知：抛物线对称轴为y轴，且开口向下， ∴在y轴右侧的部分是下降． 1．（25-26九年级上·新疆和田·期中）二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的图象，根据二次函数特征判断图象即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，与y轴交于负半轴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 【答案】10 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）（教材练习变式）（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 【答案】 （1）的图象如图所示：    （2）①上，直线，； ②上，直线，； ③上，直线，． 【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）①根据（1）中的二次函数的图象填空即可．②根据（1）中的二次函数的图象填空即可．③根据（1）中的二次函数的图象填空即可． 【详解】解：（1）列表如下： 0 1 2 2 0 5 3 5 再描点连线， （2）①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质，熟练的利用五点画图的方法画二次函数的图象是解本题的关键． 【基础题型六 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【例2】（25-26八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 1．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若点、在抛物线的图象上，且，则m与n的大小关系为______． 【答案】/ 【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由抛物线可得，，开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 【答案】(1)直线 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查二次函九图像与性质， （1）将点代入得出的关系与的关系，即可得出结论； （2）分，，三种情况讨论即可； 掌握二次函数的增减性及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的图像开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近其函数值越小， 当时，， 此时点与点关于直线对称， ∴； 当时，点离直线更近，则； 当时，点离直线更近，则； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【基础题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 【例2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 1．（25-26九年级上·上海松江·阶段检测）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 【答案】 【分析】首先求出抛物线与轴的交点的坐标，设点，然后由旋转的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：直线绕原点逆时针旋转得到直线， 设抛物线与轴的交点为， 时，， ， 设点，由题意得，， ， （负值舍去）， ∴点的坐标为． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的两组对应值： … 0 … … … 下列各选项中可能错误的是（    ） A．这个函数的图象开口方向无法确定 B．这个函数的图象对称轴是直线 C．如果时，函数y的值算的增大而或小，那么这个函数有最大值 D．二次函数与轴一定有两个交点 【答案】D 【分析】根据抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点，利用待定系数法，可得抛物线解析式为，进而判断各选项． 【详解】解：抛物线经过点，， 抛物线对称轴为直线， 故选项B正确； 设这个函数的解析式为， 代入点，得， 故这个函数的解析式为， 不能确定的值，即这个函数的图象开口方向无法确定， 故选项A正确； 如果时，函数y的值算的增大而或小， 这个函数的图象开口向下， 故选项C正确； 时，， ，不能确定与的大小． 故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【基础题型八 二次函数图象的平移】 【例1】（23-24九年级上·河北邢台·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 【例2】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）将抛物线平移3个单位长度后得到，则平移方向是_________． 【答案】向右 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象平移规则“左加右减”求解即可． 【详解】解：根据图象平移规则“左加右减”可知： 平移后的函数为，与原始函数相比，x被替换为， ∴根据平移规则“左加右减”，表示向右平移3个单位长度， 故答案为：向右． 1．（25-26九年级下·广东湛江·阶段检测）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质及二次函数的平移．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线， ，即开口向下，故A选项错误； ∵将抛物线向右平移3个单位得到，故B选项错误； ∵， ∴对称轴是直线，故C选项正确； 线的顶点坐标为，故D选项错误． 故选：C． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为____； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为____； （3）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____． 【答案】 或 【分析】（1）根据抛物线的性质进行求解即可； （2）根据抛物线的顶点落在x轴上，得出，求出a的值即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的对称轴为：直线； （2）抛物线沿y轴向下平移个单位，可得， ∵抛物线的顶点落在x轴上， ∴， 解得：或； （3）①当时，则抛物线开口向上，若，则点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离， ∴，即， ∴或， 解得：或， 又∵， ∴． ②当时，则抛物线开口向下，若，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离， ∴，即， ∴， 解得：， 又∵，故此情况不成立； 综上：． 3．（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的平移与交点问题，采用数形结合思想是解题的关键． 将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为．当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，此时抛物线顶点的纵坐标等于点，点的纵坐标，据此可求得的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段有交点，而当抛物线经过点时，抛物线最后与线段有交点，把点代入函数，可求得的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段没有交点．综上可得的取值范围． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为， 如下图，当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点， ∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴，解得； 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段有交点，如下图 抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，如下图， 把点代入函数， 得，解得， 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段没有交点． 综上所述，平移后的抛物线与线段有公共点， 则的取值范围为． 【基础题型九 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 【例2】（25-26九年级上·福建莆田·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把二次函数转化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律进行解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·山西大同·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式，掌握配方法，二次函数顶点式的特点是解题的关键． 运用配方法把二次函数一般式转化为顶点式，可得顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：A ． 2．（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】本题考查将抛物线一般式化为顶点式、顶点式的图象与性质等知识，熟记抛物线的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法将抛物线一般式化为顶点式即可得到答案； （2）根据抛物线顶点式的图象与性质直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）中可知，对称轴是直线，顶点坐标是． 【基础题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（25-26九年级·浙江温州·模拟预测）点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 【例2】（2026·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】根据已知点坐标得到的表达式，由推出和异号，结合确定两者正负，再通过作差法比较三个纵坐标的大小． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 2．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）二次函数的部分图象和对称轴如图所示．若方程总有两个不同的正实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数，根据题意可知与的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于，求出结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：由图象可知，该二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ∴该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为， 即：， 该抛物线的顶点坐标是， ∵方程总有两个不同的正实数根， ∴与 的函数图象有交点，且两个交点的横坐标大于， ∴． 故答案为：． 3．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【答案】(1)填表如下： （答案不唯一，符合二次函数解析式即可） (2) 如图所示 (3) 【分析】（1）根据解析式，代入不同的x值，求出对应的y值，填表即可； （2）根据（1）中的x，y值，描点画图即可； （3）根据解析式或函数图象，判断范围即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 填表如下：（答案不唯一，只要x，y符合二次函数解析式即可） （2）解：略 （3）解：， 由函数图象可知抛物线的对称轴为，当时，随的增大而减小． 【基础题型十一 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（25-26九年级上·北京·期中）已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，在下列结论中：①，②，③，④．其中正确的结论有________（请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据已知画出图象，根据对称轴和开口方向可判断①；把代入得：，可判断②；由②的结论，可得，根据c的取值范围可得的取值范围，可判断③；根据图象与x轴的交点可用表示对称轴，易确定a，b的取值范围，可判断④． 【详解】解：画出图象如图，    ∵开口向下， ， ， ， ， ∴①正确； 根据二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，把代入得：， ∴②正确； 由得 ， 而， ， ， ， ∴③错误； ∵图象与x轴两交点为、，且，对称轴， 则对称轴，且， ， ， 由抛物线与y轴的正半轴的交点在下方，得，即， ∴④正确； 所以正确是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键． 1．（2026·上海松江·一模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 2．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 3．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【基础题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次函数的开口方向确定出的符号，根据一次函数的图象确定出的符号，看是否矛盾，以此判断即可． 【详解】解：A．抛物线开口向下，则；一次函数图象上升，，两函数矛盾，故选项错误； B．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； C．抛物线开口向上，则；一次函数图象下降，，两函数矛盾，故选项错误； D．抛物线开口向下，则；一次函数图象下降，，故选项正确． 故选D． 【例2】 （23-24九年级上·甘肃陇南·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象的综合；根据二次函数的图象确定b，c的符号，即可确定一次函数不经过的象限． 【详解】解：由二次函数图象知，， 又抛物线的对称轴在y轴右边，即，则， ∴一次函数图象过一、二、三象限，不过第四象限， 故答案为：四． 1．（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定的符号进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向上，故， 由一次函数图像可知，，， ， ；故A错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看，，即；故B错误； 当时，二次函数，一次函数， 从图象上看， 故， ， 的值不能确定正负，故C错误； 当时，由函数图象可知， ， ， 即，解得， ，， ，即， ，故D正确． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)－6 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，乘积常数实质上是函数解析式联立得到的一元二次方程的两根积，解（3）关键是根据点D和点F的位置不同画图讨论． （1）联立直线与抛物线解析式，可得一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系和乘积常数的定义可得； （2）联立直线与抛物线解析式，乘积常数的定义可得 ，由此得出，再根据二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线，可得顶点坐标为，故设二次函数的顶点式为，根据二次函数的图象经过，可得，由此可得，进而解得，即可得二次函数的解析式． （3）根据点D和点F的位置不同画图讨论，即可求出取值范围． 【详解】（1）解：当时，得， 整理，得， 一次函数与二次函数的乘积常数是－6． （2）当时，得， 整理，得， ， 二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线， 顶点坐标为（1，3）二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ，解得，， 二次函数的解析式为． （3）当时，， 解得，，， 抛物线与轴的交点坐标为， ①如答图1，当时，点在第二象限时，点在的左侧，点在的左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，得， ②如答图2，当，点在轴上方，且满足点在点的右侧，在对称轴上或对称轴左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，解得， 当时，则， 此时在右侧，在左侧，抛物线与正方形只有一个公共点，如答图3， 时，， 此时在左侧，抛物线与、有公共点，故正方形与抛物线的公共点个数不少于3个，如答图4， 综上所述，的取值范围是或． 【基础题型十三 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误； B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有个不相等的实数解， ，故B选项错误； C选项：二次函数的图象经过点， 当时，，故C选项错误； D选项：二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴是，故D选项正确． 故选：D． 【例2】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有_____（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据题目给出的信息，画出二次函数图象，利用数形结合思想解答即可． 【详解】解：过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，，画出图象如图所示， ∵抛物线开口向下，∴， ∵对称轴在y轴左侧，∴， ∵，∴，①正确； ∵，， ∴，即， ，，②正确； 根据图象得，，， 第二个不等式乘以3加上第一个不等式得，解得，，③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ，④正确； 故答案为：①②③④． 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有___________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象和系数关系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据图象开口方向，与y轴交点及对称轴可判断①；由时的函数值正负性可判断②；由时的函数值正负性可判断③；由对称轴得到，代入时的函数值可判断④；由时，函数有最大值可判断⑤． 【详解】解：①由图象可知：，，， ∴， ∴，故此选项正确； ②由图象可知：当时，函数值小于0，即，故此选项错误； ③由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ④由图象可知：， ∴， 由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值小于0，即， ∴，故此选项正确； ⑤由图象可知：当时，y的值最大，此时， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故此选项错误； 故①③④正确． 故答案为：①③④． 3．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（是实数）． (1)当时，若点在该拋物线上，求的值． (2)抛物线的顶点坐标为_______，抛物线的顶点还在某条_______（A．直线   B．抛物线）上，且表达式为_______； (3)已知点，都在该抛物线上，求证：． 【答案】(1) (2)A，． (3) 证明：∵点、都在该二次函数图象上， ∴对称轴为直线， ， ， ， ， ∴． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先把代入得出函数解析式，再把点坐标代入函数解析式即可得出的值； （2）设①，②，可得，从而知顶点在一条直线上，且表达式为； （3）由点、都在该二次函数图象上，可得对称轴为直线，从而得出，则，最后得出，据此即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，， ∵点在该函数图象上， ∴． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点是， 设①，②， 由①得，由②得， ， ∴顶点在一条直线上，且表达式为， 故答案为：A，． （3）略 【基础题型十四 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期末）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． 【例2】（2026·河南信阳·模拟预测）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 【答案】 1 【分析】利用二次函数的对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，先求对称轴，再根据对称轴求对应的函数值． 【详解】解：从表格中可知，当和时，对应的值都为， ∵二次函数图象上，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵关于对称轴的对称点横坐标为， ∴对应的函数值与对应的函数值相等， ∵由表格可知时，， ∴对应的函数值． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表 x … 1 3 … y … 2 4 2 …      则抛物线的对称轴是____________________ 【答案】直线 【分析】本题考查利用对称性求抛物线的对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，求出函数的对称轴即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线； 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数中的x，y满足如表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)直接写出该函数图象的开口方向； (2)当时，求自变量x的值； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)开口向上 (2)或5 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是根据表格分析二次函数的图象和性质． （1）根据表格中对称点，可求图象对称轴，由图象对称轴右侧的y随x增大而增大可得抛物线开口向上； （2）根据二次函数的对称性求表格中的对称点即可求得； （3）根据函数的图象经过，，以及开口方向即可确定． 【详解】（1）解：∵图象经过，， ∴图象对称轴为直线， 由表格可得，时，y随x增大而增大， ∴抛物线图象开口向上； （2）∵关于直线的对称点是， ∴当时，求自变量x的值为或5； （3）∵函数图象经过，，开口向上， ∴当时，x的取值范围为：． 【基础题型十五 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象和性质． 根据解析式确定对称轴和抛物线的增减性，利用点到对称轴的距离确定函数值的大小即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵到对称轴的距离为； 到对称轴的距离为； 到对称轴的距离为； ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴处，函数取得最大值，分别计算点、点、点横坐标到对称轴距离进行比较即可． 【详解】解：由函数表达式可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小，在对称轴处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大，距离对称轴越远的点，函数值越小， 分别计算，点，三点的横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， ∴． 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 2．（2026·山东滨州·一模）如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中正确的序号是________． 【答案】①③④ 【分析】根据对称轴是直线，可判断①；根据时，，可判断②；根据抛物线与x轴的一个交点坐标为，可得，可判断③；根据对称轴和函数的增减性，可判断④． 【详解】解：∵对称轴是直线， ∴，即，故①正确； 观察图象得：抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∵对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴时，， ∴，故②错误； 观察图象得：抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，是抛物线上的一点， ∴是抛物线上的一点， ∵抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵是抛物线上的一点，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下： 解：当时，则； 当时，则； 所以函数的最小值为2，最大值为4． 彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】不正确，二次函数的最大值为4，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性和增减性，二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据二次函数的性质，先求出其对称轴，然后确定函数图像的增减性，利用增减性和对称性求解即可得到答案． 【详解】解：彤彤的解答不正确， ∵ ∴二次函数的对称轴， ∵，且， ∴当时，二次函数有最小值， 二次函数在时，随增大而减小，二次函数在时，随增大而增大， ∵， ∴当时，二次函数有最大值， ∴二次函数的最大值为4，最小值为． 【基础题型十六 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 【例2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 2．（2026九年级上·湖南长沙·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】34 【分析】根据已知条件将用含的代数式表示，代入所求式子，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求解最大值． 【详解】解：， ， 将 代入得 ． 二次项系数， 该二次函数开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 【基础题型十七 利用二次函数对称性求最短路径】 【例1】（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 【例2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键．根据轴对称的性质，求出的周长最小时点P的位置，据此得出点P的坐标，进一步求出此时的面积即可． 【详解】解：由题知， 因为，是抛物线上的两点， 则，， 所以点A坐标为，点B坐标为， 如图所示， 因为抛物线的对称轴为y轴， 则点A关于y轴的对称点M的坐标为， 所以当点P在与y轴的交点处时，取得最小值，即的周长取得最小值． 因为点M坐标为，点B坐标为， 所以直线的函数解析式为． 当时，， 所以点P的坐标为． 因为， 所以． 故答案为：，6． 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，二次函数与正比例函数的图象交于点，二次函数图象与轴交于点，以下几个结论中，正确的有（     ） ①正比例函数的表达式为； ②二次函数的对称轴为直线； ③当时，； ④若点C为抛物线对称轴上一动点，的最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①把代入正比例函数得，即可得正比例函数的表达式；②由二次函数的图象经过，，即可求得对称轴为；③由图可得，当时，；④由图可得，点，点在对称轴的两侧，根据两点之间，线段最短，即可得连接与对称轴的交点即为点，此时最小，最小值为的长，即可判断． 【详解】解：①把代入正比例函数得，， ∴， ∴正比例函数的表达式为，故①正确； ②∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴为，故②错误； ③由图可得，当时，二次函数的图象在正比例函数的图象的下方，即，故③正确； ④由图可得，点，点在对称轴的两侧， ∴连接与对称轴的交点即为点，即当点，，共线时，最小，最小值为的长， 如图，过点作轴于点， ∵， ∴，， ∴，即的最小值为，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 3．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 【基础题型十八 待定系数法求二次函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·上海嘉定·周测）已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【例2】（2026·河南驻马店·模拟预测）请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数的一般式为，若图象经过原点，将，代入，得，解得，因此，函数表达式可简化为； 二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，题目中“时随的增大而增大”，说明抛物线开口向上（即），且对称轴需在或其左侧，对称轴公式为，因此需满足． 【详解】解：设该二次函数表达式为， 由题意，可知该二次函数图象开口向上（即），对称轴（即）， 且，则满足题意．（答案不唯一，符合题意即可） 1．（2026·山东东营·模拟预测）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，据此可判断①和②；再根据二次函数的对称性和增减性判断③和④即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 2．（25-26九年级上·福建厦门·周测）已知二次函数的与的部分对应值如下表 x 0 1 2 y 1 2 1 下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线对称；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于．其中正确的结论有________．（仅填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查二次函数，采用待定系数法可求得二次函数的表达式，根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】因为点在二次函数图象上，可得 ． 因为点和点在二次函数图象上，可得 解得 所以二次函数表达式为． 所以该函数是抛物线，开口向下，结论①正确． 二次函数的对称轴，结论②正确． 二次函数开口向下，对称轴为，所以当时，函数值y随的增大而增大，结论③正确． 解一元二次方程，解得，，两个根都小于，结论④错误． 故答案为：①②③ 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 【提高题型一 二次函数关系式——销售问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查销售问题的数量关系，根据利润（售价进价）销量列函数关系式即可． 【详解】解：设该商品的销售单价为元个， 则每个某商品的利润为：元，销量为：， 则每天的利润， 故选：D． 【例2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·北京·期中）下面的四个问题中都有两个变量： ①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y； ②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y； ③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y； ④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，利润为y元． 其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】分别求出每个问题的函数关系式，根据函数关系式即可作出判断． 【详解】①的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线； ②的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线； ③的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线； ④的函数关系式为：，其图象是一条开口向下的抛物线； 故满足题意的为①②③； 故选：D． 【点睛】本题考查了列二次函数，根据二次函数确定其图象的开口方向，正确列出二次函数是关键． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 3．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为24元或44元时，厂商每月能获得312万元的利润；当销售单价为34元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，数形结合思想，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）根据销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意，得即可． （2）根据，当时，构造方程解答即可．根据，构造二次函数，根据二次函数的最值，即可求得． 【详解】（1）解：销售单价为x元，每件的盈利元，每月可售出件，根据题意得： ． 故． （2）解：由（1）可得， 当时，， ∴， 解得：， 根据题意，销售量且售价应高于成本，故且，解得， 答：销售单价应定为24元或44元时，厂商每月能够获得312万元的利润． 由（1）可得 ． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，L取得最大值，最大值为． 答：当销售单价定为34元/件时，每月的销售利润最大，最大利润是512万元． 【提高题型二 二次函数关系式——几何图形】 【例1】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， 与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选：． 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心的圆分别与，相切于点，．设，的半径为，则与的函数关系式为____________． 【答案】 【分析】连接，，根据切线的性质可得，从而可得四边形是正方形，进而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：连接，， 与相切于点，与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， ， ． ． ． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，一块直角三角形铁皮，,现要从这块铁皮上剪出一个矩形，且满足点D，E，F分别在上． (1)设，请用含x的代数式表示矩形的面积S． (2)当剪出的矩形面积最大时，求的长以及矩形面积． 【答案】(1)； (2)当，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【分析】熟练掌握二次函数的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出，进而求出，再结合矩形的面积公式求解，即可解题； （2）根据二次函数的最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 则， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ， ∴． ∴矩形的面积； （2）解：∵矩形的面积； ∴当时，矩形的面积最大，矩形的最大面积是． 【提高题型三 二次函数与一次函数的综合】 【例1】（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 【例2】（23-24九年级下·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 1．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象经过的象限可以判断的符号，再根据图象与y轴交点位置判断的符号，进而得到的符号；然后根据反比例函数的图象所在象限，判断的符号， 再结合、、的符号，先判断二次函数的开口方向，再用对称轴公式判断对称轴位置，最后根据时的函数值判断与y轴的交点位置，逐一匹配选项即可． 【详解】解：观察函数图象可知：，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线，与轴的交点在轴正半轴． ∴二次函数的图象可能是 ． 2．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查一次函数与二次函数图象的综合；根据二次函数的图象确定b，c的符号，即可确定一次函数不经过的象限． 【详解】解：由二次函数图象知，， 又抛物线的对称轴在y轴右边，即，则， ∴一次函数图象过一、二、三象限，不过第四象限， 故答案为：四． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）我们规定：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“两倍点”，若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”．如点和都是“两倍点”，一次函数的图象上存在点，所以一次函数是“两倍函数”．请根据这个新定义解决下列问题： (1)下列说法正确的是（    ） A．所有一次函数(是常数，且)的图象上都存在“两倍点” B．所有反比例函数都是“两倍函数” C．二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点” (2)已知函数（t是常数），若该函数图象上有唯一的“两倍点”，求的值； (3)一次函数与反比例函数的图象交于点，点是线段的中点，求证：点是“两倍点”． 【答案】(1)C (2) (3) 证明：由和可得， 即， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 设其两根为，则， ∵点是的中点， 点的横坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点是“两倍点”． 【分析】（1）根据“两倍点”和“两倍函数”的定义，列方程组计算即可判断； （2）根据“两倍点”的定义，列方程计算，利用根的判别式计算即可求解； （3）根据“两倍点”的定义，列方程计算，利用根与系数的关系计算即可证明． 【详解】（1）解：A、根据新定义，对于满足，整理得，即，当，时，方程组无解， ∴原说法错误； B、根据新定义，对于满足，整理得，当时，方程组无解， ∴原说法错误； C、根据新定义，对于满足，整理得，解得或， ∴二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点”和； 故选：C； （2）解：根据新定义，对于（t是常数）满足， ，整理得， 函数图象上有唯一的“两倍点”， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得； （3）略 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“两倍点”和“两倍函数”的综合运用，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义． 【提高题型四 二次函数图象与性质的综合】 【例1】（25-26九年级上·北京·期中）已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 【例2】（25-26八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与轴交点的个数、对称轴判断各项是否正确． 【详解】解：A选项：当时，，由函数图像可知，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，，故A选项错误； B选项：由函数图像可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有个不相等的实数解， ，故B选项错误； C选项：二次函数的图象经过点， 当时，，故C选项错误； D选项：二次函数的图象经过点，， 抛物线的对称轴是，故D选项正确． 故选：D． 2．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点为， 又∵， ∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴． 3．（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】(1)直线 (2) 函数图象如图所示； (3)函数最大值为0，最小值为 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴； （2）写出该函数图象上的五个点，即可画出函数图象； （3）根据（2）中画出的函数图象，即可写出最大值和最小值． 【详解】（1）解：二次函数， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 该函数的顶点坐标为，与轴的交点为，，与轴交于点，过点 （3）解：观察图象得，当自变量时， 当时，取最小值，此时，当时，取最大值，此时， 当时，． 即：函数最大值为0，最小值为． 1．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段检测）下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如 (为常数，）的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键． 【详解】解：A、的分母含有自变量，不是关于的二次函数，故A不符合题意； B、，是关于的二次函数，故B符合题意； C、，不是关于的二次函数，故C不符合题意； D、，当时不是二次函数，故D不符合题意； 故选：． 2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数对称轴的性质以及判断二次函数在自变量范围内的增减性等知识，先求出抛物线的对称轴，判断和关于对称轴对称，从而得到和的关系，再代入，求出的取值范围，再将代入抛物线的解析式，等到关于m和的二次函数关系式，即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为， ∵和的函数值相等， ∴和关于抛物线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入， 有，变形得， 当时，m最大，， 当时，m最小，， ∴m的取值范围为， 故选：B． 3．（2026·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征，分两种情况讨论：若点和在一次函数的图象上，利用待定系数法求得一次函数的解析式，把代入求得函数值，若函数值与可以相等，则这三点可以同时位于一次函数的图象上，否则这三点不可以同时位于一次函数的图象上，这三点可以同时位于二次函数的图象上；若点和在反比例函数的图象上，利用待定系数法求得，把代入求得函数值，函数值与值相等，故这三点可以同时位于反比例函数的图象上． 【详解】解：若点和在一次函数的图象上， 设一次函数为，则，解得， ， 把代入得， 令，整理得， ， 存在的值使， 故这三不可以同时位于一次函数的图象上和二次函数的图象上， 若点和在反比例函数的图象上， 设反比例函数为，则， 解得， ， 把代入得，， 故当时， 故这三点可以同时位于二次函数的图象上和反比例函数的图象上． 故选：B． 4．（2026·四川达州·模拟预测）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】①∵抛物线的开口向上， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即． 故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ， 故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤，有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 5．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 6．（2025九年级·全国·专题练习）已知为二次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是二次函数定义的熟练掌握． 根据二次函数的定义，最高次数项为次，且系数不为零，列方程求解． 【详解】解：由题意，函数为二次函数，则 的最高次数为，即 ， 解得 ， ∴ ． 又∵二次项系数不能为零，即 ， ∴ ． 因此 ． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象及其性质，根据抛物线的解析式，得出开口向上，和对称轴为轴，再根据二次函数的增减性判断即可，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． 【详解】解：由，得出开口向上，和对称轴为轴， ∴与点关于即轴对称， ∵当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，对称轴，抛物线的增减性，熟练掌握待定系数法，准确判断符号与系数的关系，用好二次函数的增减性是解题的关键． 利用待定系数法确定二次函数的解析式，根据解析式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过，和， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下，故①正确； ∴抛物线的对称轴为直线，故⑤错误； ②∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； 当时，，故③正确； ∵和是对称点，且抛物线开口向下， ∴当时，，故④错误． 综上所述，其中正确结论的个数是3． 故答案为：①②③． 9．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 10．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为． 11．（25-26九年级上·广东潮州·阶段检测）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求的值． (2)若这个函数是二次函数，则的值应是怎样． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键． （1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解不等式，可得答案． 【详解】（1）解：依题意得， ∴由①得或， ∴； （2）解：依题意得， ∴且． 12．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的定义，二次项系数不为零，自变量次数最高为2次，据此解答即可； （2）将二次函数化为顶点式，求出对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由（1）得二次函数解析式为：， 这个二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 【答案】(1)8，2，0，2，8，，，，， (2) 【分析】（1）求出函数值即可； （2）描点连线即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，． （2）略 14．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 15．（25-26九年级下·上海·自主招生）如图，已知点M、N的坐标分别为，，P是抛物线上的一个动点． (1)判断以点P为圆心，为半径的圆与直线的位置关系； (2)设直线与抛物线的另一个交点为Q，连接、，求证：． 【答案】(1)相切 (2) 图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，． 由（1）知，， 设点Q的坐标为，则 ； 又∵点Q到直线的距离为， ∴以点Q为圆心，为半径的圆与直线相切． 则． ∵，，都垂直于直线， ∴， ∴， ∴， ∵ 则． ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）可先根据抛物线的解析式设出点的坐标，那么可得出的长的表达式，点到的长就是点的纵坐标与的差的绝对值，那么可判断得出的表示和到的距离的两个式子是否相等，如果相等，则是圆的切线． （2）可通过构建相似三角形来求解，过，作直线，直线，垂足为，，那么，根据平行线分线段成比例定理可得出，那么比例关系式可写成，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出，根据等角的余角相等，可得出． 本题主要考查了相似三角形的性质，平行的性质，勾股定理以及二次函数的图象性质．（2）中通过构建相似三角形来求角相等是解题的关键． 【详解】（1） 解：依题意，设点的坐标为， 则； 又因为点到直线的距离为， ∴以点为圆心，为半径的圆与直线相切． （2） 解：略． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的概念及图像与性质重难点题型专训（5个知识点+18大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、列二次函数关系式 1 题型二、二次函数的识别 2 题型三、根据二次函数的定义求参数 3 题型四、y=ax²的图象和性质 4 题型五、y=ax²+k的图象和性质 5 题型六、y=a（x-h）²的图象和性质 6 题型七、y=a（x-h）²+k的图象和性质 7 题型八、二次函数图象的平移 8 题型九、把y=ax²+bx+c化成顶点式 9 题型十、y=ax²+bx+c的图象与性质 10 题型十一、二次函数图象与各项系数符号 11 题型十二、一次函数、二次函数图象综合判断 12 题型十三、根据二次函数的图象判断式子符号 13 题型十四、已知抛物线上对称的两点求对称轴 14 题型十五、根据二次函数的对称性求函数值 15 题型十六、y=ax²+bx+c的最值 16 题型十七、利用二次函数对称性求最短路径 17 题型十八、待定系数法求二次函数解析式 18 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数关系式——销售问题 1 题型二、二次函数关系式——几何图形 2 题型三、二次函数与一次函数的综合 3 题型四、二次函数图象与性质的综合 4 第三部分・自我检测 知识点01 函数回顾 （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列表达式中，为自变量，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课前预习）像y＝－5x²＋100x＋60000，，，函数都是用自变量的_____次式表示的． 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 （a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的______函数．其中，x是______，a为_______，叫做________；b为_______，bx叫做________；c为_______． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·广西贺州·期中）下列函数是二次函数的有（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则_________． 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（2026·四川德阳·模拟预测）将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象是由抛物线向左平移3个单位长度得到的，则________，________． 知识点04 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．（2026·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 2．（2026·甘肃嘉峪关·二模）将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 知识点05 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（第22单元01讲）二次函数的图象是一条_________． 当时，抛物线开口向____；当时，抛物线开口向_________． 越大，抛物线的开口越______；越小，抛物线的开口越______． 【基础题型一 列二次函数关系式】 【例1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 1．（25-26九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 3．（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【基础题型二 二次函数的识别】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·随堂练习）二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ___________．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ___________，b是 ___________，c是 ___________．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 ___________这个关键条件． 3．（25-26九年级上·北京·随堂练习）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【基础题型三 根据二次函数的定义求参数】 【例1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【例2】（25-26九年级下·全国·暑假作业）函数是关于的二次函数，则______． 1．（25-26九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期中）（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【基础题型四 y=ax²的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）在函数①，②，③中，图像开口大小顺序用序号表示应为（　　） A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③ 【例2】（23-24九年级上·新疆和田·阶段检测）二次函数，当时，与的大小关系为______． 1．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【基础题型五 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【例2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 1．（25-26九年级上·新疆和田·期中）二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）（教材练习变式）（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 【基础题型六 y=a（x-h）²的图象和性质】 【例1】（2026·福建厦门·模拟预测）已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 1．（2026·内蒙古通辽·二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）若点、在抛物线的图象上，且，则m与n的大小关系为______． 3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点，也在抛物线上，请通过计算比较，的大小． 【基础题型七 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 1．（25-26九年级上·上海松江·阶段检测）如图，将抛物线绕原点O顺时针旋转得到新曲线，新曲线与直线交于点M，则点M的坐标为________． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的两组对应值： … 0 … … … 下列各选项中可能错误的是（    ） A．这个函数的图象开口方向无法确定 B．这个函数的图象对称轴是直线 C．如果时，函数y的值算的增大而或小，那么这个函数有最大值 D．二次函数与轴一定有两个交点 【基础题型八 二次函数图象的平移】 【例1】（23-24九年级上·河北邢台·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【例2】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）将抛物线平移3个单位长度后得到，则平移方向是_________． 1．（25-26九年级下·广东湛江·阶段检测）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．向右平移3个单位得到 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线的顶点坐标为 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线． （1）抛物线的对称轴为____； （2）把抛物线沿y轴向下平移个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，则a的值为____； （3）设点、在抛物线上，若，则a的取值范围是____． 3．（25-26九年级上·北京朝阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移m个单位，使得平移后的抛物线与线段AB有公共点，求m的取值范围． 【基础题型九 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（25-26九年级上·广西百色·期中）将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·福建莆田·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ______． 1．（25-26九年级上·山西大同·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 3．（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【基础题型十 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（25-26九年级·浙江温州·模拟预测）点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【例2】（2026·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期末）二次函数的部分图象和对称轴如图所示．若方程总有两个不同的正实数根，则的取值范围是______． 3．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知二次函数． … ___ ____ ____ ____ ___ … … ____ ___ ___ ___ ___ … (1)请在表内的空格中填入适当的数； (2)根据列表，请在所给的平面直角坐标系中画出的图象； (3)当取何值时，随增大而减小． 【基础题型十一 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（25-26九年级上·北京·期中）已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴交于点、，且，与y轴正半轴的交点在下方，在下列结论中：①，②，③，④．其中正确的结论有________（请填写序号）． 1．（2026·上海松江·一模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 3．（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【基础题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （23-24九年级上·甘肃陇南·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 1．（2026·安徽淮南·一模）若二次函数与一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 【基础题型十三 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【例2】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）过点的抛物线与轴交点的横坐标分别为，且，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有_____（填序号） 1．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有___________． 3．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（是实数）． (1)当时，若点在该拋物线上，求的值． (2)抛物线的顶点坐标为_______，抛物线的顶点还在某条_______（A．直线   B．抛物线）上，且表达式为_______； (3)已知点，都在该抛物线上，求证：． 【基础题型十四 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（25-26八年级下·福建福州·期末）抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【例2】（2026·河南信阳·模拟预测）二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）二次函数，自变量x与函数y的对应值如表 x … 1 3 … y … 2 4 2 … 则抛物线的对称轴是____________________ 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数中的x，y满足如表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)直接写出该函数图象的开口方向； (2)当时，求自变量x的值； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【基础题型十五 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 2．（2026·山东滨州·一模）如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中正确的序号是________． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下： 解：当时，则； 当时，则； 所以函数的最小值为2，最大值为4． 彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【基础题型十六 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【例2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 2．（2026九年级上·湖南长沙·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为________． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【基础题型十七 利用二次函数对称性求最短路径】 【例1】（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，二次函数与正比例函数的图象交于点，二次函数图象与轴交于点，以下几个结论中，正确的有（     ） ①正比例函数的表达式为； ②二次函数的对称轴为直线； ③当时，； ④若点C为抛物线对称轴上一动点，的最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 3．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【基础题型十八 待定系数法求二次函数解析式】 【例1】（25-26九年级上·上海嘉定·周测）已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【例2】（2026·河南驻马店·模拟预测）请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 1．（2026·山东东营·模拟预测）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（25-26九年级上·福建厦门·周测）已知二次函数的与的部分对应值如下表 x 0 1 2 y 1 2 1 下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线对称；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于．其中正确的结论有________．（仅填序号） 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【提高题型一 二次函数关系式——销售问题】 【例1】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品的进货单价为元个，当销售单价为元个时，每天能卖出个，若销售单价每上涨元个，则每天的销量就减少个．设该商品的销售单价为元个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 1．（25-26九年级上·北京·期中）下面的四个问题中都有两个变量： ①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y； ②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y； ③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y； ④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，利润为y元． 其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 2．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 3．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得312万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 【提高题型二 二次函数关系式——几何图形】 【例1】（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心的圆分别与，相切于点，．设，的半径为，则与的函数关系式为____________． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，一块直角三角形铁皮，,现要从这块铁皮上剪出一个矩形，且满足点D，E，F分别在上． (1)设，请用含x的代数式表示矩形的面积S． (2)当剪出的矩形面积最大时，求的长以及矩形面积． 【提高题型三 二次函数与一次函数的综合】 【例1】（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级下·全国·期中）设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 1．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段检测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）我们规定：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“两倍点”，若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”．如点和都是“两倍点”，一次函数的图象上存在点，所以一次函数是“两倍函数”．请根据这个新定义解决下列问题： (1)下列说法正确的是（    ） A．所有一次函数(是常数，且)的图象上都存在“两倍点” B．所有反比例函数都是“两倍函数” C．二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点” (2)已知函数（t是常数），若该函数图象上有唯一的“两倍点”，求的值； (3)一次函数与反比例函数的图象交于点，点是线段的中点，求证：点是“两倍点”． 【提高题型四 二次函数图象与性质的综合】 【例1】（25-26九年级上·北京·期中）已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：_______，_______． 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 2．（2026·山东泰安·模拟预测）如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 3．（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知二次函数． (1)求二次函数图象的对称轴； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值． 1．（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段检测）下列函数是关于x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知抛物线（c为常数）经过点，，当时，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·浙江台州·二模）王老师在上函数复习课时，利用列表法给出了变量x，y 的三组对应值如下表，你觉得这三点可以同时位于（   ）的图象上． 1 2 4 ….. A．一次函数和反比例函数 B．二次函数和反比例函数 C．一次函数和二次函数 D．一次函数和二次函数和反比例函数 4．（2026·四川达州·模拟预测）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 6．（2025九年级·全国·专题练习）已知为二次函数，则m的值为________． 7．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）若，，为二次函数的图像上的三点，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 8．（25-26九年级上·吉林长春·期末）在二次函数中，y与x的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 … 下列结论： ①抛物线开口向下；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点；④当时，或；⑤对称轴是直线．其中正确的结论有_________．（只填序号） 9．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 10．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 11．（25-26九年级上·广东潮州·阶段检测）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求的值． (2)若这个函数是二次函数，则的值应是怎样． 12．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知函数是关于的二次函数． (1)求的值． (2)写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系内画出二次函数与的图象． (1)列表 x … 0 1 2 … … ________ ________ ________ ________ ________ … … ________ ________ ________ ________ ________ … (2)描点、连线 14．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 15．（25-26九年级下·上海·自主招生）如图，已知点M、N的坐标分别为，，P是抛物线上的一个动点． (1)判断以点P为圆心，为半径的圆与直线的位置关系； (2)设直线与抛物线的另一个交点为Q，连接、，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $