培优03 二次函数与几何综合5大题型（大单元专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，按线段周长、角度、面积、特殊三角形、特殊四边形五大题型系统编排，强化数形结合与转化思想，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段周长问题|16题|涉及最值、路径最短、向心值等，结合对称性质|二次函数图像性质→几何图形线段关系→代数化求解| |角度问题|16题|角度相等、直角存在性，需用斜率或三角函数转化|函数交点坐标→角度关系转化→方程求解| |面积问题|15题|面积计算、最值及等积变换，常结合铅垂法|图形面积公式→二次函数表达式→最值分析| |特殊三角形问题|11题|直角、等腰三角形存在性，分类讨论顶点位置|三角形性质→坐标关系→方程思想应用| |特殊四边形问题|16题|平行四边形、菱形等存在性，利用对边平行或中点坐标|四边形判定→顶点坐标关系→参数求解|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数与几何综合 目录 A题型建模·专项突破 题型一、线段周长问题. 题型二、 角度问题… .6 题型三、面积问题.11 题型四、特殊三角形问题. 16 题型五、特殊四边形问题， .20 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、线段周长问题 如图，在平面直角坐标系x0中，4B.0,B9.0是、抽上的两点，p是函数少3x图像上 连接AP,BP.则AP2+BP的最小值为() P 0 A B衣 A.30 B.36 C.42 D.63 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于A、C(3,0)两点，若P是x轴 上一动点，点D的坐标为(O,-),连接PD,则V2PD+PC的最小值是() B 0 D A.4 B.2+22 C,22 32 D.23 1/30 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，点P是抛物线y=x+bx+C的顶点，点B、点D在抛物线上，PA/l BC∥x轴，AB⊥PA, AB BC⊥CD,若PA=BC=m'则CD的值为() A B.5 c D. 4.定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”，根据定义可 得抛物线y=x-4x+6与直线y=2x-5的“向心值”为（) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，已知抛物线y=am2+bx+c线经过点B(-1,0),A(4,0),与y轴交于点C(0,2),P为AC上的一 个动点，连接BC,则下列说法错误的是() B A 3 A,抛物线的对称轴为直线= 5 B.y的最大值为 24 C.∠4CB=90° D.Op的最小值时，点P的坐标为55 6.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=ax(a≠0)上，过点A作y轴的垂线，交抛物线另 一侧于点B,点C,D在线段AB上，且关于'轴对称，分别过点C,D作x轴的垂线交抛物线于点E, F,，则四边形CDFE的周长的最大值为() 2130 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.10 C.25+2 D.8V3-8 7。阅读材料：抛物线y=a心a≠0)上任意一点到定点(0a和到定直线y=0的距离相等，我们把定 01 点 4a 叫做抛物线y=ax2的焦点，定直线y= a叫做抛物线y=ar2的准线，如，抛物线y=3x2的焦 0, 1 点为 12 准线为直线y=12 解决问题：如图， p为抛物线y=g上的一点，M为该抛物线的焦点，点N的坐标为L,3),则APMN周 长的最小值为() A.5+V2 B.7 C.3+2√2 D.2+3V2 &。如图，揽物发y=方-4+6与少销交于点4，与拍交于点8，线段CD在猫物发的对特精上移动（点 C在点D下方)，且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为() D A.(4,1) B.(4,2) c.(4,3) D.(4,4) 3/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，抛物线y=x-4x+3与y轴交于点A,过点A作AB‖x轴交抛物线于点B,连接OB.动点P在线 段OB上，连接AP,则AP的最小值为() A.2 B.2.4 C.2.5 D.3 10.如图，己知抛物线y=-x+px+9的对称轴为直线x=-3,过其顶点M的一条直线y=c+b与该抛物 线的另一个交点为N(1,),要在坐标轴上找一点P,使得aPMN的周长最小，则点P的坐标为() (30 B.(2,0) C.(0,2) 11,如图，直线y=x与抛物线y=r-x-3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点（不包括A、B两 点处)，过点P作直线PQ1x轴，交直线y=x于点Q.设点P的横坐标为，则线段PO的长度随m的增 大而减小时的取值范围是 12.在平面直角坐标系中，抛物线y=x+2x-3的图象如图所示.P为第三象限内抛物线上一动点，作 PD⊥x轴于点D,交AC于点E,点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC=30°，设点P的横坐标为m,则 PE+,EG的最大值为一 4/30 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 13.给定抛物线G:y=-x+2x+3,其顶点为D点，其对称轴x=交x轴于点M,现给定一条过点 R(I,3)的直线1（直线DR除外）与抛物线交于E、F两点，直线DE、DF分别交x轴于点P、Q,则 MP·MQ的值为 14.如图，己知二次函数y=-x2+mx-n的图象与x轴交于点M(-1,0),N(3,0),与y轴交于点P(0,3), 点Q是对称轴上一动点. (1)mn= PN (2)当△PMO的周长最小时，则gM 15。已知：如图，抛物线y=上任意一点到定点A02的距离与到定直线：少= 的距离相等， 点G坐标为(~1,2)，CH⊥1于点H,当位于y轴左侧的点C的坐标为 时， ICH-CG有最 大值. G 16.如图，抛物线y=x2+bx+C与x轴正半轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,-3),连接AB 5130 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)若点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C,PC交AB于点D,当点D是CP 的三等分点时，求点P的坐标. 17.如图，抛物线y=+r-6与辅交于AB两点〈4在a左侧)，与y轴交于点C01=0C B (1)求抛物线表达式： 2庐)是翁三象限内秘物线上一点，过n作DE∥)交直线AC于E求D6+5:C的最大做： (3)抛物线上是否存在点P,使得∠PBA=∠BAC.若存在，求出P的坐标：若不存在，说明理由. 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A(-4,0),B(1,0)两点，与y 轴交于点C, 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,线段PD与直线AC相交于 PE 点B.连接OP,线段Op与直线4C相交于点R.求FO的最大值及点P的坐标： (3)在(2)的结论下，若线段MN在y轴上滑动（点M在点N上方），且线段MW=OC,连接PM,BN, 6130 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求PM+MN+BN的最小值. 题型二、角度问题 19.在平面直角坐标系中，y=x-2x-3的图像交x轴于点A、B(A在B的左侧)若抛物线上有一点P, 连接PA,∠PAB=45°，则PA的长为() A.5V2 B.4√2 c.5v2或4W2 D.5V2或3v√2 20.如图，抛物线y=x+br+b-1与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,下列结论：①点A的坐标为 （-L,0);②b≠1时，OB=OC:③无论b为何值，抛物线的顶点都在x轴下方：④若抛物线的顶点为点 D,b=-2时∠DCB=90°，其中正确的结论个数为() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 21.如图，抛物线交x轴于点A(-l,0),B(3,0),交y轴于点C(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点H,交线 段BC于点D,点P是抛物线上一点，且∠PDH=∠ADC,则DP的长为() V B H A.V3 B.2v2 c.V3或2 D.2 2如用。二次酒数y=吉式+号-1的图象交，袖于46两点，图象的点C使∠C84=135,则点 C的坐标是( 7130 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(4,-1) C. 0a5-子 23.如图，二次函数y=-x+2mx+2m+1(m是常数，且m>0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC.若 ∠BEF=2∠ACO,则m的值为() A.1 B.2 c.2-1 0.5-1 2 2 2 2 8 24.,如图，抛物线y=了r+写-3与x轴交于点4和点B两点，与y轴交于点C,D点为抛物线上第三象 限内一动点，当∠ACD+2∠ABC=180°时，点D的坐标为() B A.(-8,-3) B.(-7,-1 C.(-6,-7) D.(-5,-8) 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3过点A(-3,0),B(1,0),点C,D均在抛物线上， 4 其中点C的横坐标为3，点D在直线AC的下方，当∠ACD=45时，点D的坐标是一· 8130 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x-2x-3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D 是二次函数的顶点，连接直线BD,点E是直线BD上一动点，连接AE,CE,当∠AEC=45°时，点E的 坐标为 V 27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x-2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线 的顶点D的坐标为， 连接AD,再将抛物线y=-x2-2x+3沿射线BC方向平移2V2个单位长 度得到抛物线y,点M为点D的对应点，点N为抛物线y'对称轴上的一动点.若∠NBA=∠MDA-45°， 点N的坐标为 28.如图，抛物线y=-x+2x+3交x轴于A和B两点，交y轴于点C.直线y=x+m与抛物线交于M,N 两点，若在x轴上存在唯一的一点P,使∠MPN=90°，则m的值为 B 9/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29.如图，抛物线y=ar+br-3(a≠0)与x轴交于AL,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的表达式. (2)若P为直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PN⊥BC于点N,当△PBC的面积最大时，求线段 PN的值. (3)抛物线上是否存在一点Q,使得∠QAB=∠ABC？若存在，请直接写出点9的坐标；若不存在，请说明 理由. 30.如图，已知二次函数)y=2+r+c图象的对称轴为直线x=0,且过点C(4,5).直线1，y=-x+1与 y轴交于点F -x+1 备用图 (1)求二次函数的表达式； (2)在直线1：y=-x+1下方的抛物线上是否存在点P,使得点P到直线！：y=-x+1的距离为V2？若存在， 求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由： 过点F的直线y=1与次函数y)+x+℃图象交于A,B两点，无论k取何值，都存在 H(O,m）,使得∠AHF=∠BHF,请直接写出m的值. 31.抛物线y=x2-4x+c与直线：y=x交于点G1,m)和点H,-1sm<0,直线x=m-1交直线1于点A, 交抛物线于点B. (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）： 10/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M,N两点(M在N的左侧)，交y轴于点C.求AM的取值范围： (3)在(2)的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D,若点E是线段BD的中点，探究 ∠MEW与∠ABC的数量关系，并说明理由 32.如图，抛物线y=a2+bx+3与x轴分别交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. B (1)求抛物线的解析式： (2)P是抛物线上的一个点，连接AC,∠PBA=∠AC0,直接写出点P的坐标。 33.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C. VA G EB B H (备用图) (1)直接写出抛物线的解析式为： (2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E,交BC于点F,过点F作BC的垂线与抛物 线的对称轴和y轴分别交于点G,H,设点D的横坐标为m. ①求DF+V2HF的最大值： ②连接EG,若∠GEH=45°，求m的值. 34.机物线=am+饭a40与轴交于4B,0,两点，对称轴为宜线r-一 11/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的解析式及点B的坐标： (2)如图1，已知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线x=-1上一点，若以B,P,Q为顶点的 三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标： 3)如图2，N是抛物线顶点，点M(-1,-5),如果不垂直于y轴的直线1与抛物线交于点G,H,满足 ∠GMN=∠HMN.探究直线l是否过定点？若直线I过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由. 题型三、面积问题 35,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，二次函数y=x+bx+C的图象与x轴只有一个交点，且经过点 A(1,m),B(3,m),则△AOB的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 36.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2,动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 BA-AC运动到点C,同时动点O从点A出发，以相同速度沿折线AC-CD运动到点D,当一个点停止 运动时，另一点也随之停止.设△AP吧的面积为y,运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函 数关系的是() 3 4 4 12/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.C. 圓 0 3 4 0 37.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度运动到 点C,同时点？从点C出发，沿CD以每秒1个单位长度的速度运动到点D.在此过程中△AP№的面积y与 运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是() /3 O 2￥ 图1 图2 B 3 38.如图，二次函数y= 2+2x+2的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C:点p是第一象限抛物 线上的一点.若点P的横坐标为2，则△BPC的面积为 39.如图，己知抛物线过点O0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,点B是抛物线对称轴上的一点，且点 B在第一象限.当△OAB的面积为15时，求B的坐标为 13/30 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ;=2 A 40.如图，二次函数y=-x+(m-)x+m(其中m>1)的图像与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于点C,连接AC,BC,点D为△ABC的外心.记△ACD的面积为S,△ABD的面积为S2,则 S,-S2的值为一· B 41,如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点P 是抛物线上位于第一象限的一点，点D(O,),连接BC,DP相交于点E,连接PB.若△CDE和APBE的 面积相等，则点P的坐标是 C E ○ B 42.如图是抛物线y=(x+m)+k,其顶点为M,-4),与x轴的交点为A,B(点A在点B的左边). 14/30 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA M (1)直接写出抛物线的解析式： (2)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标： )在抛物线上是否存在点P,使SaB=Se?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 43.已知抛物线G:y=ax2+(3a+m)x-(m+2). (1)当a=1,m=1时，求抛物线G的对称轴： (2)若对于任意实数m,抛物线G总经过定点P:,-6). ①求t和a的值： ②点A(m-3,乃)，B(m,)在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点.记aPAB的面积为S,求S的取值范 围 44.如图，二次函数y=a2+br+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中A点坐标为 (-1,0),M(2,9)为二次函数图象的顶点。 B (1)求二次函数的表达式. (2)求△MCB的面积. 45.如图，二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴交于A(-l,0)小B两点（点A在点B的左边），点M是该 函数图象的顶点。 15/30 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (1)求点B、M的坐标： 2在二次码数的图象上是香存在点P,使S5,若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理 2 由 46.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-6,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C(0,-6),连接AC、 BC. A A B x (1)求抛物线的函数表达式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点、 ①连接PA、PC,求四边形PABC的面积的最大值： ②过点P作BC的平行线I,交线段AC于点D.试探究在直线I上是否存在点E,使得以点D,C,B. E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 47.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,C.已知A(-1,0).C(0,-3) (1)求此抛物线的解析式： 16130 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若M为线段BC上一点，过点M作MD∥y轴，交抛物线于点D.当△BCD的面积最大时，求点M的坐 标； B)若P是x轴上的一个动点，直接写出CP+2PB的最小值。 48.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点 的抛物线y=a2+bx+c与x轴交于另一点B(L,0),抛物线对称轴为直线人， (1)求抛物线的解析式： (2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标： ()在(2)的条件下，点N为y轴上一点，求MW+ON的最小值. 49.抛物线C:y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）. y 图1 图2 (1)求A、B两点的坐标. (2)如图1，直线y=d(d<O)交抛物线C于C、D两点，△BCD的外心E在边CD上，求d的值. (3)如图2，抛物线C:y=x+px+9与抛物线C交于M、N两点，连接MN.T是线段MN上一点，过 点T作y轴的平行线分别交抛物线Ci、C,于P、Q两点，连接PM、PW、QM、ON.求证：△PMN与 △QMN的面积相等. 17/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、特殊三角形问题 50.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x-2mx+m-1与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y 轴交于点C,若△ABC为直角三角形，则m的值为() A.±3 B.±√2 C.0 D.±2 51.如图，己知抛物线y=x-2x-8与×轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点 为D点.若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM,MN,当△CMN是以∠CMN为直角的等腰直 角三角形时，点M的坐标为() A A.(1,-9) B.(4,0)或(-2,0) c.(3,-5)或1，-9) D.(1,-9)或(0，-8) 52.在平面直角坐标系中，抛物线y=- ++a的顶点为点A与)抽交于点。：点B关于抛物线对称 轴的对称点为C,若△ABC为直角三角形，则AB长为一 53.己知抛物线y=-2r2-4x+6与x轴交于点A和点B,点C为抛物线上的一动点，当△ABC为直角三角 形时，则点C的坐标为 54.如图，抛物线y=(x-2-1与x轴交于点4，C(点A在点C的左边)，与y轴交于点B.在抛物线 的对称轴上是否存在一点N,使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点V的坐标；若不存 在，请说明理由， 18130 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 55.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+br+C过A,B,C三点，点A的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，-3)，动点P在抛物线上 (1)b= ，C= 点B的坐标为， (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC边为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标： 若不存在，说明理由. 56。如图，己知抛物线y=r+)x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点（点B在点A的右 2 侧)，与y轴交于点C. /0 (1)求线段AB的长： (2)若点M是抛物线上B,C两点之间的一个动点（不与点B,C重合），设点M的横坐标为L,过点M作 MNIy轴，交直线BC于点N, ①当线段MW的长有最大值时，求点M的坐标： ②过点M作DM⊥MN交抛物线于点D,是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求出m的 值；若不存在，说明理由 57.如图，抛物线y=ax2+br+c(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,3),且OB=OC. 19/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线 上的动点P的横坐标为m. 备用图 (1)求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标； (2)连接C巴，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系； (3)在直线AD上是否存在一点H,使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由， 58.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=am+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已 知OA=1,对称轴为直线x=2. (1)求抛物线的解析式： (2)若点O是第一象限内抛物线上的一个动点，过点O作QD∥y轴，交直线BC于点D,请你求出线段QD 的最大值； (3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,使得△BPC为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不 存在，请说明理由 59.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,且抛物线经过A(,0),C(0,-3), 20/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)若直线y=x+n经过B、C两点，求直线BC所在直线的解析式： (2)抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点M的坐 标： (3)在抛物线的对称轴x=-1上的是否存在点N,使△BNC为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点N 的坐标？若不存在，请说明理由， (4)在抛物线的对称轴x=-1上的是否存在点P,使△BPC为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标？若不存在，请说明理由 60.如图，在平面直角坐标系中，直线x=-2与x轴交于点C,与抛物线y=-x+br+C交于点A,此抛物 线与x轴的正半轴交于点B(L,0),且AC=2BC. B 直线x=-2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点.过点P作PD垂直于x轴于点D,交线段AB于点E,使DE=3PE, ①求点P的坐标： ②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的 点M的坐标；若不存在，说明理由. 21/30 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、特殊四边形问题 61.如图，抛物线y=r+2ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点，A点在B点的左侧. 若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A,C,E,P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点 P有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 62.如图，己知抛物线y=x2-2x-3与抛物线=-x+br+c(c>-4)的对称轴相同，顶点分别为CD, 两图象交于点A,B,则下列结论错误的是() A.b的值为2 B.当c=3时，点C,D之间的距离为6 C.四边形ACBD为菱形 D.当c=-3时，四边形ACBD为正方形 63.二次函数y=x的图象如图所示，点B,位于坐标原点，点B,B,,B,在y轴的正半轴上，点 A,4,,A,点C,C2…,Cn在二次函数的图象上，四边形BABC,四边形BAB,C2,…,四边形 Bn1A,BCn都是正方形，则正方形B2s4,26B,6C2026的周长为 22/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B2 C B1 C①A B 64.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、B均在x轴上，且C(2,-3),D(-山，-3).抛物线 y=axr2-2a+c(a>0)与x轴交于点E(-2,0)和点F.若抛物线y=ar2-2amr+c(a>0)与正方形ABCD恰 有两个交点，则a的取值范围为一 B F E 65.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=(x-h的顶点为B(2,0),与y轴交于点A, 过点A作ACLy轴，交该抛物线于点C,连接BC,以AC、BC为边作口ACBD,点D在x轴的负半轴上. D 0 B (1)求该抛物线的解析式： (2)求点C的坐标及口ACBD的面积. 66.如图，抛物线W:y=-x2+bx+c交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴于点C(0,3),顶点记为D. 23130 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V (1)求抛物线W的函数表达式及顶点D的坐标. (2)连接AC,若线段AC上有一点P,过点P作'轴的平行线交抛物线于点Q,求线段PQ长的最大值. (3)在(2)中，当PO的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为W',抛物线W的顶点记为D', 它的对称轴与x轴交于点E'.怎样平移才能使得以P、Q、D、E'为顶点的四边形是菱形？ 5 67.如图，抛物线y=a2+br+c的对称轴为：直线x=4,图像与x轴、y轴分别交于点ABC,已 知点4行0小、c(0,1）点p在直线BC下方的抛物线上. B 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)过点P作PD∥x轴交直线BC于点D,作PE⊥PD交BC于点E,求PD+PE的最大值： (3)设点Q为直线BC上的点，以A、B、P、Q为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点Q的 坐标；若不能，请说明理由 68.如图，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=x+br+C经过A,C两点，且 与x轴交于另一点B. A (1)求抛物线的解析式及点B的坐标 (2)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行于y轴，交x轴于点F,交抛物线于点E,求ME 24130 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的最大值，并求此时四边形OCMF的面积： (3)若点P是抛物线上一动点，Q是x轴上一点，是否存在点P使以P、Q、A、C四点为顶点的四边形是 平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 3 69.如图，点4←1,0)，B(2,0)和E(0,2),抛物线1：y=r-x+c经过4点. 4 (1)请计算：c= (2)抛物线I上是否存在点N，使A,B,N,E四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出N点的坐标， 若不存在，请说明理由 (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点D,使得EB平分∠AED？若存在，求出点D的坐标；若不存 在，说明理由. 70.如图，抛物线经过4-1,0)，B5,0),c0-=点 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，请求出最小值及此时P的坐标： (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？ 若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 71.综合与探究 如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D(1,4),与x轴交于A和B两点，交y轴于点C. 25/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C D B A B 10 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式及点A,B,C的坐标： (2)如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标： (3)如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶 点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由， 72.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+br+3(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接 BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点。 X=2 x=2 D D C B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线上C、D两点之间的距离是_； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值： (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点 O的坐标. 73.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(-3,0),B(L,0),交y轴于点C,点P(m,0)是x轴 上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N. 26130 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段AO上运动，如图，求四边形ANCB面积的最大值： (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形.若存在， 请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 74.如图，抛物线y=-号r+x+c经过点A6,0),B0,2.Mm0为x轴上一动点，过点M且垂直于 3 轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P,N, N 备用图 (1)求抛物线的函数表达式. (2)若点M在线段OA上且位于抛物线对称轴左侧，当m为何值时，△ABN的面积为4？ (3)在(2)的条件下，若点C为直线AB上一点，点D为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点C和点 D,使得以点A,C,D,M为顶点的四边形是菱形？若存在，写出点D的坐标；若不存在，请说明理由. B 综合攻坚·能力跃升 1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ar2-2ax+1(a为常数且a≠0)的顶点为A,与y轴交于点B. (1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)当-1≤x≤2时，抛物线y=ax2-2ax+1的最高点的纵坐标为3，求a的值. 27/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)抛物线y=axr2-2ar+1与直线y=(2a+1)x+1交于两点，设抛物线在这两点之间的部分图象为G,若G 上不存在纵坐标相等的两点，直接写出α的取值范围. 1 (4)在抛物线y=a2-2ax+1(a≠0)上的点MC的横坐标分别为。、2，连结CM,将线段CM绕点M 逆时针旋转90°得到线段MD,以CM、MD为邻边作正方形CMDN,当抛物线在正方形CMDN内的部分 对应的函数值y随x的增大而减小或y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围， 之已秘物线C:=,平面上有-完齿0Q》 过D作直线1：y=:+与抛物线c交于 P(x,y),(,)(P在Q的左侧)，分别过P,2两点作直线马和（马和不平行于坐标轴），其中 :y=kx+b,l:y=k2x+b,且直线马和与抛物线C都有唯一公共点。（附：两点间的距离公式：若 A(x,),B(,),则AB=V(x-x)2+(y-)) D (1)请用表示k和b. (2)若一束光线经过点D到点P,经直线反射后的反射光线为PH,求证：PH∥y轴. (3)若直线马和2交于点M,判断点M是否在某个一次函数的图象上，若在，请求出函数的解析式：若不在， 请说明理由 3.如图，已知二次函数y= +bx+c的图象与x轴相交于不同的两点A(G,0),B(,0),且x< 6 该抛物线与y轴相交于点C,顶点为P. (1)若抛物线的对称轴为x=2,求b的值： (2)若c= 362+b-1,求b的取值范围： (3)该抛物线的对称轴与x轴相交于点E,M在其对称轴上，且满足MA⊥AP,MA=MC,点F在y轴上， 28/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若F0-》,且A行C该-次蹈数的表达式， 4.如图1，已知抛物线y=a2+bx+3,与x轴交于点A和点B(3,0)(A在B左边)，与y轴交于点C.当 x<1时，y随着x的增大而增大：当x>1时，y随着x的增大而减小. 图1 D 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，已知点P(1,>0),设抛物线的顶点为E,问：是否存在实数t,使以P点为圆心的⊙P恰好 在线段AB和线段BE上截得的线段的长相等？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由： 如图2，老直线号红音k>0与轴交于N交y精于D,已加Q 1 直线4F与DN交于 MN M,连接CM、CN、CA,求证：不论k取何值，CN为定值. 5.定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”，例如， 函数y=x与y=-x关于原点O互为“伴随函数”. (1)函数y=x+1关于原点0的“伴随函数”的函数解析式为，函数y=(x-2)+1关于原点O的“伴随函 数”的函数解析式为； (2)已知函数y=x2-2x与函数G关于点P(m,3)互为“伴随函数”.若当m<x<7时，函数y=x2-2x与函 数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围： (3)已知点A(0,),点B(4,),点C(2,0),二次函数y=am2-2ax-3a(a>0)与函数N关于点C互为“伴随 函数”，将二次函数y=ar-2ar-3a(a>0)与函数N的图象组成的图形记为m,若图形W与线段AB恰 有2个公共点，直接写出a的取值范围. 6.在平面直角坐标系中，抛物线1：y=x2-2x-2-m(m>0)与x轴分别相交于A、B两点点A在 点B的左侧)，与y轴相交于点C,设抛物线I的对称轴与x轴相交于点N,且OC=3ON (1)求m的值： 29/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将抛物线y=x-2mx-2-m向上平移3个单位，得到抛物线1'，设点P、Q是抛物线I'上在第一象限内 不同的两点，射线PO、0分别交直线y=-2于点P'、Q,设P'、Q'的横坐标分别为x、x2,且 xpxg=4,求证：直线PQ经过定点. 30/30函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03二次函数与几何综合 目录 A题型建模·专项突破 题型一、线段周长问题. 题型二、 角度问题… 26 题型三、面积问题.59 题型四、特殊三角形问题. 85 题型五、特殊四边形问题， ...109 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、线段周长问题 如图，在平面直角坐标系xO中，4B.0,B9.0是、轴上的两点，p是函数少3x图像上一 连接AP,BP.则AP2+BP的最小值为() 力 0 A B衣 A.30 B.36 C.42 D.63 【答案】B 【分析】设点P的坐标为PP,3P 利用两点间距离公式可得 Ap2=(p-32+ 3p-0, 再代入 中整理成顶点式，最后根据二 AP2+BP2 次函数的性质求最值即可。 【详解】解：设点P的坐标为P P.3 P :A(3,0),B(9,0)是x轴上的两点， 1/172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4=(-j--0j8n--或+9-0 rr--旷-停-j-得-0j 8p2-24p+90 8 >0, 9 ∴当P=2时，AP+BP的最小值为36，即选项B符合题意. 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于A、C(3,0)两点，若P是x轴 上一动点，点D的坐标为(O,-),连接PD,则V2PD+PC的最小值是() y B A 0 A.4 B.2+2W2 C.22 3+22 D.23 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H.根据 PCV2PD+PCEV2(DP+P),求出P4p的最小值即可鳐 【详解】解：连接BC,过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H, 2/172 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 把C(3,0)代入y=-x2+bx+3,得-9+3b+3=0, 解得b=2, .二次函数解析式为y=-x2+2x+3. 令y=0,-x2+2x+3=0, 解得x=-1或3， A(-1,0), 令x=0,y=-x2+2x+3=3, B(0,3), ..OB=OC=3, :∠B0C=90°， .∠OBC=∠OCB=45°， D(0,-1). OD=1,BD=4, DH⊥BC, .∠DHB=90°， DH=BD-sin45°=2√2， PJ⊥CB, .∠PJC=90°， PC. 2 PD+PC PD+-2 ,√2 PC=(DP+PJ). .·DP+PJ≥DH, DP+PJ≥2W2, 31172 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DP+PJ的最小值为2√2， .V2PD+PC的最小值为4. 3.如图，点P是抛物线y=x+br+C的顶点，点B、点D在抛物线上，PA/BC∥x轴，AB⊥PA, AB BC⊥CD,若PA=BC=m'则CD的值为() A.Z 2 B.5 c 0.4 【答案】C 【分析】先把抛物线解析式化成顶点式可得y= (x++e-,即点Pe- 再结合 PA=BC=m以及图形可求得点B、点C的纵坐标为m+c-4b,点D的纵坐标为4m+C4 4 b,然后求出 AB=m2、CD=3m2,最后代入求出比例即可. 详解1解：y=x+br+cx+b寸+cb 点e PA=BC=m, “点B的横坐标为一2 +m,点C和点D的横坐标为+2m, +m+b+c-=m㎡2+c-b2,点D的纵坐标为 2 ∴点B、点C的纵坐标为 2 4 +2m++e-=4m2+e-, .m CDm)3m AB m2 1 CD-3m23 4/172 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”，根据定义可 得抛物线y=x2-4x+6与直线y=2x-5的“向心值”为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】将问题转化为求同一横坐标下两个函数纵坐标差的最小值，利用配方法求二次函数的最小值即可 【详解】解：设竖直距离为d,则d=(x2-4x+6)-(2x-5): 整理得d=x2-6xr+1, 配方得d=(x-3}+2, :(x-3)}≥0， d=(x-3)+2, ∴当x=3时，d的最小值为2，即两个函数的“向心值”为2. 5.如图，已知抛物线y=ar2+bx+c线经过点B(-1,0),A(4,0),与y轴交于点C(0,2),P为AC上的一 个动点，连接BC,则下列说法错误的是() 3 25 A.抛物线的对称轴为直线x 3 B.y的最大值为 24 C.∠ACB=90° D.OP的最小值时，点P的坐标为55 【答案】D 【分析】由抛物线与x轴两个交点坐标可求对称轴：用待定系数法求出抛物线的函数关系式，可求其最大 值；由抛物线求得A、B、C的坐标，再求出BC,AC和AB,由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角，根 的解析式为yx+2,可设点p坐标为化x+2),再根据坐标系中两点 4 0P=r+(2x+2y=2k3 4 -学+白，根指二次质数的量小值。0P队最小值时，可得P点碳坐标为= 5 【详解】解：抛物线经过点B(-1,0),A(4,0). 51172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1+43 ∴.抛物线的对称轴为直线x= 22, 故选项A说法正确； 设抛物线关系式为：y=a(x+1x-4), :抛物线经过点C(0,2), -4a=2, 解得：0= 2 1 ∴抛物线关系式为：y=一 +-=+x+2, 2 2 当x一时，有最大值号(+0x(兮4)=改 3 13 8,故选项B说法正确： ∴点B坐标为(-1,0)，点A坐标为(4,0)， .'AB=5 当x=0时，y=2, ∴点C坐标为(0,2)， :.BC=V(-1-0)2+(0-2)2=V5,AC=V(4-0)2+(0-2)2=2V5, BC2+AC2=(N52+25)=25=AB2, ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，故选项C说法正确： :点A(4,0)、点C(0,2), ∴直线4C的解析式为y= 2+2, 1 设点p坐标为x,-)x+2) 2 .OP三+(x+2=x22x+4=Y 5 4 14 8 当5时，y=-2*写+2- 5此时 p取最小值为 V5 5 48 OP的最小值时，点P的坐标为35) 故选项D说法错误 6.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y=a(a≠0)上，过点A作y轴的垂线，交抛物线另 一侧于点B,点C,D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C,D作x轴的垂线交抛物线于点E, F,则四边形CDFE的周长的最大值为() 6/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.10 C.25+2 D.8V3-8 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达 式求解与最值分析是解题的关键.先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四 边形CDFE周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值。 【详解】解：由题意知四边形CDFE为矩形. 将点A(2,4)代入抛物线y=ar2, 得4=4a, 解得a=1, 抛物线的解析式为y=x2 设点E的坐标为(m,m2)(m>0) 由抛物线的对称性得点F的坐标为(-m,m), ∴点C的坐标为(m,4),点D的坐标为(-m,4), :.CD=m-(-m)=2m,CE=4-m2, .四边形CDFE的周长为2(CD+CE)=2(2m+4-m2)=-2(m-1)2+10, ∴当m=1时，四边形CDFE的周长的最大值为10 7.阅读材料：抛物线y=a心口≠0)上任意一点到定点(0 1 4a 和到定直线y=-。的距离相等，我们把定 Aa 点0,4 1 叫做抛物线y=ax2的焦点，定直线y= 叫做抛物线y=a2的准线，如，抛物线y=3x2的焦 4a 点为0,2 准线为直线y=一 12 题：如图，p为抛物线y上的一点，M为该抛物线的焦点，点的坐标为，3，则。 长的最小值为() 7/172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5+√2 B.7 C.3+2W2 D.2+3V2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，垂线段最短，勾股定理的应用，仔细审题得出函数的准线与焦 点坐标是解答本题的关键，首先得出焦点M的坐标和准线方程，由点P到点M的距离等于点P到准线的 距离，从而根据垂线段最短的知识可找到点P的位置，结合图形可得出这个最小值. 【详解】解：由题意得，抛物线y=8的焦点M的坐标为(0,2)，准线为直线y=-2 过点P作POL直线y=-2,交直线y=-2于点O,过点N作NE⊥直线y=-2,交直线y=-2于点E, E与抛物线的交点为点P',如图： E 则由题意可得，PQ=PM 故可得：PN+PM=PW+PQ, 结合垂线段最短，可得当点P与点P重合时，NE=PN+PM,此时PV+PM的值最小， 此时WE=5. M(0,2),N(13), MN=P+(3-2)}=V2, ∴.△PMW周长的最小值为MN+NE=5+√2. 故选：A 8.如图，抛物线y=)2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动（点 2 C在点D下方)，且CD=3,当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为() 8/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.(4,1) B.(4,2) c.(4,3) D.(4,4) 【答案】D 【分析】四边形ABCD中，线段AB和CD的长度是确定的，将四边形ABCD周长的最小值转化为两条线段 和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线AF 的解析式即可求出点D的坐标： 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解 题的关键. 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接AF交对称轴于D点，如图， O B 0 CD=EF=3 CD∥EF ∴四边形CDFE为平行四边形， .CE=DF .CB=CE, :CB=DF, ∴.四边形ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=AB+CD+AD+DF=AB+CD+AF, ∴.此时四边形ABCD的周长最小： 昏y=0时，)-4x+6=0 解得x=2,x2=6 B(2,0),E(6,0), 9/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.抛物线的对称轴为直线x=4,F(6,3), 当x=0时，y=)2-4x+6=6, 1 2 A(0,6), 设直线AF的解析式为y=c+b, b=6 把A(0,6)F(6,3)代入得16k+b=3 1 k=- 解得 2, b=6 直线的解析式为少= 2x+6 1 当x=4时，y= 2x+6=4. D(4,4) 故选：D. 9.如图，抛物线y=x-4x+3与y轴交于点A,过点A作AB‖x轴交抛物线于点B,连接OB.动点P在线 段OB上，连接AP,则AP的最小值为() yA B A.2 B.2.4 C.2.5 D.3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，勾股定理等知识，先求出A、B的坐标，然后根据勾股定理求出BO,根据 垂线段最短得出：当AP⊥OB时，AP最小，然后根据等面积法求解即可， 【详解】解：当x=0时，y=3, .A(0,3) :AB∥x轴，x轴1y轴， B的纵坐标为3，AB上y轴， 10/172 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把y=3代入y=x2-4x+3,得3=x2-4x+3, 解得x=0,x2=4, B(4,3), AB=4,AO=3, ..OB=AB2+A02=5, 当AP⊥OB时，AP最小， 此时5m40:B-B04P, AP=4048=34=24, OB 5 即AP的最小值为2.4， 故选：B 10.如图，已知抛物线y=-x+px+9的对称轴为直线x=-3,过其顶点M的一条直线y=+b与该抛物 线的另一个交点为N(-L,),要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为() A. -30 B.(2,0) C.(0,2) 【答案】C 【分析】根据题意可得抛物线的解析式为y=-2-6x-4=-(x+3)+5,分析可知当PM+PN最小时， △PMN的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点M',分别求解出直线MN的解析 式，找到最短路线，分别求出PM+PN的值，比较两种情况取值更小的结果即可. 【详解】：抛物线y=-x+px+9的对称轴为直线x=-3,N(-1,1D是抛物线上的一点， _卫=-3 -2 ,解得p=6 1=-1-p+q (9=-4 ∴.该抛物线的解析式为y=-x2-6x-4=-(x+3)+5, .M(-3,5), 11/172 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△PMN的周长为MN+PM+PN,且MN是定值，所以只需PM+PN最小： 如图，过点M(-3,5)作关于y轴对称的点M'3,5)连接MN,，MN与y轴的交点即为所求的点P, 设直线MN的解析式为y=ax+t(a≠O), 5=3a+t 由点Mg'5)和点M-1'D可得{=-a+ a=1 解得：t=2' 直线MN的解析式为y=x+2,当x=0时，y=2,即P(0,2): .PM+PN=MN M'(3 5)N(-1 1) MN=[3-(（-1]+(5-1}=42, 此时aPMN的周长为4N2+MN: 同理，如图，过点M(-3,5)作关于x轴对称的点M"(-3,-5),连接MW,MN与x轴的交点即为所求 的点P, 设直线MN的解析式为y=cx+d(c≠O), -5=-3c+d 由点M《-3'-5)和点N-1'D可得1=-c+d, c=3 解得：1d=4' :直线MN的解折式为y=3x4当)=0时，=手即R手0 PM+PN=MN,M'(-3,-5),N(-1,D, 121172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴MN=-3-(-1)]+(-5-1)}=210, 此时△PN的周长为2W10+MN: :4V2=√32,210=√40 .4V2+MN<2W10+MN, ∴点P在y轴上时，aPMN的周长最小，此时点P的坐标是(0,2) 故选：C 【点睛】本题考查了轴对称一一最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面 直角坐标系中两点距离公式，在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点P,所以应 该找x轴和y轴上符合条件的点P,要分类讨论比较后再判断， 11.如图，直线y=x与抛物线y=x-x-3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点（不包括A、B两 点处)，过点P作直线P№⊥x轴，交直线y=x于点Q.设点P的横坐标为m,则线段PO的长度随m的增 大而减小时的取值范围是 【答案】m<-l或1≤m<3 【分析】可用m分别表示出P、Q的坐标，则可用m表示出P的长，再利用二次函数的性质可求得答案」 y=x 【详解】解：联立直线和抛物线解析式可得y=x2-x-3” x=-1x=3 解得 y=-1或1y=3 .A(-1,-1),B(3,3) ,点P在抛物线上，点O在直线=x上，且点P的横坐标为m, .P(m,m2-m-3),(m,m）, 当m<-1或m>3时，可知点P在点O上方， .PQ=m2-m-3-m=m2-2m-3=(m-1)2-4, 此时抛物线开口向上，对称轴为m=1, 131172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当m<1时，P的长度随的增大而减小， ∴，当m<-1时，P的长度随的增大而减小： 当-1<m<3时，可知点0在点P上方， .P2=m-(m2-m-3）=-m2+2m+3=-(m-1)2+4 此时抛物线开口向下，对称轴为m=1, ∴.当m≥1时，PQ的长度随u的增大而减小， ∴.当1≤m<3时，P的长度随m的增大而减小， 综上可知m的取值范围为：m<-1或l≤m<3。 12.在平面直角坐标系中，抛物线y=x+2x-3的图象如图所示.P为第三象限内抛物线上一动点，作 PD⊥x轴于点D,交AC于点E,点G为y轴上一动点，过点E作∠EGC=30°，设点P的横坐标为m,则 PE+2BG的最大值为一 【答案】4 【分析】作EH⊥y轴于点红，利用∠EGC=30可得H-G,则PE+2EG转化为PE+BH:求出点 A,C的坐标，进而求出直线AC的解析式，用含的式子表示出PE+EH,转化为顶点式，即可求出最值 【详解】解：如图，作EH上y轴于点H, 令y=x2+2x-3=0. 141172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=-3,x2=1, A(-3,0), 当x=0时，y=-3, .C(0,-3), 设直线AC的解析式为y=ar+b -3k+b=0 将A(-3,0)和C(0,-3)代入，得：1b=-3， [k=-1 解得b=3 ∴.直线AC的解析式为y=-x-3: 点P的横坐标为， 、点P的坐标为(m,m2+2m-3),点E的坐标为(m,-m-3), PD=-(m2+2m-3)=-m2-2m+3,ED=-(←m-3)=m+3,EH=-m, PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m ∠EGC=30°， EH=EG. 1 PE+EG=PE+EH=-m2-3m-m=-m2-4m=-(m+2)2+4≤4， 2 PE+2EG的最大值为4. 13.给定抛物线G:y=-x+2x+3,其顶点为D点，其对称轴x=交x轴于点M,现给定一条过点 R(1,3)的直线I(直线DR除外)与抛物线交于E、F两点，直线DE、DF分别交x轴于点P、Q,则 MP.MQ的值为 【答案】16 【分析】先配方求出抛物线的顶点D坐标和对称轴，得到点M坐标，设出过点R的直线I的表达式，与抛 物线方程联立，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再求出直线DE、DF与x轴的交点P、O的横 坐标，化简计算MP,M即可得到结果. 【详解】解：如图所示， 15/172 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M :抛物线G:y=-x2+2x+3=-(x-1)+4 :顶点D(1,4),对称轴为x=1,对称轴交x轴于M, M(1,0): 设过点R(1,3)的直线1的解析式为y=G+b, .3=k+b, b=3-k, .y=k(x-1)+3 y=k(x-1)+3 联立直线，与抛物线。的方程得， G y=-x2+2x+3 整理得x2+(k-2)x-k=0, 由根与系数的关系得：x+3=2-k,xx2=-k, 设E(x,y),F(x22), 设直线DE的解析式为y=kx+b, k+b=4 将D(L,4)E(,)代入得， kx+b=y 飞=当4 x-1 解得 6=4-当-4 x-1 直线DE的解析式为y=片二4( -(x-)+4 将E(,4)代入y=-(x-1)°+4得，片=-(：-12+4， 设直战0E与，抽交点为Pa叭令y=0为0-音-)-4 16/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P-1=466-94-)4 y-4-(x-1)2x-1 同理可得，设Q(g.0小则9-1=4 x2-1 M的横坐标为1， .MP=p-1,Mg=g-1, 则MP.Mg=（p-1)(q-1 16 (x-1)(x2-1) 16 xx2-(x+x2)+1 16 =16 -k-(2-k)+1 :.MP.M0的值为16 14.如图，己知二次函数y=-x2+mx-n的图象与x轴交于点M(-1,0),N(3,0),与y轴交于点P(0,3), 点Q是对称轴上一动点. (1)1mn= PN (2)当△PMQ的周长最小时，则gM 【答案】 -6 2 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函 数的相关知识是解题的关键， (1)利用待定系数法求解即可： (2)连接N№，由对称性可得QM=QN,则可得到当卫、Q、N三点共线时，P+QW有最小值，即此时 △PMO的周长有最小值；求出直线PN的表达式为y=-x+3.抛物线的对称轴为直线x=1,则△PM0的 171172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 周长有最小值时，点O的坐标为(1,2)，再求出PV,QM的长即可得到答案.， 【详解】解：(1)：二次函数y=-x2+mx-n的图象与x轴交于点M(-l1,0),N(3,0), 「-1-m-n=0, .-9+3m-n=0, m=2 解得n=-3 .mm=2×(-3)=-6, 故答案为：6： (2)如图所示，连接№， 由对称性可得QM=QN, ∴.△PMO的周长=P2+OM+PM=PQ+QN+PM, ,PM是定值， :当P、Q、N三点共线时，PO+QN有最小值，即此时△PM0的周长有最小值， 设直线PN的表达式为y=c+b 3k+b=0 1b=3 [k=-1 解得b=3· ∴.直线PW的表达式为y=-x+3 抛物线的表达式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.此抛物线的对称轴为直线x=1, 在y=-x+3中，当x=1时，y=-1+3=2, ∴△PM0的周长有最小值时，点O的坐标为(L,2), ∴此时M0=V(-1-1)2+(0-2)2=2√2 181172 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :PW=V(0-3}+(3-0}=32 PW32_3 当△PMO的周长最小时， QM2√22， 故答案为：2 15。己知：如图，抛物线=上任意一点到定点403的距离与到定直线4y=习 的距离相等， 点G坐标为(l,2),CH11于点H,当位于y轴左侧的点C的坐标为 时， CH-CG有最 大值. G -10 H -3-√1311+3√13 【答案】 2 4 【分析】连接AC,由题意得AC=CH,推得CH-CG=4C-CG,所以当点A,G,C三点共线时， 31 14C-CG取最大值，最大值是线段4G的长，然后求出直线4G的解析式为y=2x+2,求出该直线与抛 物线的交点坐标即可. 【详解】解：连结AC, 由已知，CH⊥I,则AC=CH, .CH-CG=AC-CG 当点A,G,C三点共线时，AC-CG取最大值，最大值是线段AG的长， 设直线AG的解析式为y=a+b ,1 b= ,。代入，得2 G(-1,2) -k+b=2 1 b= 2 解得 3 = 19/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线4G的解折式为y=x+ 3.1 -x+ 22 解得；=3+3 ,53-3 2 点C位于y轴左侧， ∴x=-3-v13 2 当x=-3-3 2时，y=-3x3-13+1=1+3V15 2 4 -3-1311+3v13 点C的坐标为 2’ 4 -3-V1311+3W13 故答案为： 2 【点睛】本题考查了二次函数与线段相关的最值问题，二次函数图象与性质，求一次函数的解析式，二 次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意，分析线段差的最值的几何意义是关键。 16.如图，抛物线y=x2+bx+C与x轴正半轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,-3),连接AB. (1)求抛物线的解析式： (2)若点P为直线AB下方抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C,PC交AB于点D,当点D是CP 的三等分点时，求点P的坐标 201172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y=x2-2x-3 回点P的坐标为2-)或[行) 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)先求出直线AB的解析式，然后设P(m,m2-2m-3),则Dm,m-3》:然后再分情况CD=3CP或 CD=CP,分别计算即可。 3 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+br+C与x轴正半轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,-3), c=-3, 19+3b+c=0 b=-2 解得1c=-3 ∴，抛物线的解析式为y=x2-2x-3 (2)解：设直线AB的解析式为y=+nk≠0)， 将B(0,-3),4(3,0)分别代入， n=-3 n=-3 得3k+n=0:解得k=1: 直线AB的解析式为y=x-3, 设P(m,m2-2m-3),则Dm,m-3), :D为CP的三等分点， CD=cP设CD-2CP, 3 -(m-3) 1 -(m-3) 2 即-(m2-2m-33或-(m2-2m-33, 解得m=2,m,=3（不符合题意，舍去)或m,=2m=3(不符合题意，舍去) 当m=2时，m2-2m-3=-3, 当m=方时，m-2m-3只， 115 :点P的坐标为(2，-3)或2-4 21/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17如图，抛物线)=+bx-6与x轴交于4'g两点〈在g左侧)，与y精交于点C,01=0C. (1)求抛物线表达式： 回点D是第三家限内秘物线上一点，过D作DE∥y辅交直线4C于E求DE+SC的是大位， (3)抛物线上是否存在点P,使得∠PBA=∠BAC.若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)y=x2+x-6 ②哨m=2时，DE+)EC的最大值是 3)存在，P点坐标为(-1，-6)或(-5,14) 【分析】(1)求出C点坐标，进而求出A点坐标，待定系数法求出函数解析式即可： (2)求出直线AC的解析式，设D(m,m2+m-6),则E(m,-2m-6),作EF⊥0C于点F,得到 LCEE326COA将DE+二EC转化为二次函数求最值即可 (3)分2种情况进行讨论求解即可： 【详解】(1)解：“y=x+bx-6与y轴交于点C, ∴.C(0,-6), ∴.0C=6. ∴OA=3, .A(-3,0) 将A(-3,0)代入y=x2+bx-6中，得b=1, ∴抛物线的表达式为y=x+x-6: 22/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由(1)知：A(-3,0),C(0,6) 设直线AC:y=a+a(k≠0)，将A(-3,0),C(0,-6)代入， 「-3k+a=0 「k=-2 得 4=-6,解得a=-6 ∴.y=-2x-6 设D(m,m2+m-6),则E(m,-2m-6). .DE=-2m-6-(m2+m-6)=-m2-3m, 过点E作EF⊥OC于点F,则EFIIOA,F(O,-2m-6). A B衣 ∴△CFE∽△C0ACF=-2m-6-(-6)=-2m :CF、CE c0CA,又CA=VO+0C2=V32+6=35, -2mCE 635, ..CE=-5m. ·DE+S c=-m-+5(5r-3-m=m-4m=m+2+4 -1<0,-3<m<0 :当m=-2时，DE+ EC有最大值，最大值是4. (3)解：存在， :y=x2+x-6, 1 ∴抛物线的对称轴是直线x= 2 A(-3,0), ·点A关于对称轴的对称点为B(2,0) ①如图1， 23/172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D 图1 由∠PBA=∠BAC,可知点C关于x=一2的对称点为点p P(-1,-6) ②如图2， 、/B D 图2 设P(,m2+n-6),作PG1x轴，则PG=n2+n-6,BG=2-n. tan∠BAC==2,∠PBA=∠BACy OA :tn∠PBA=n产+n6=2, -n+2 .解得%=2（舍），八2=-5 .n2+n-6=(-5)2-5-6=14, .P(-5,14) 综上所述，P点坐标为(-1,6)或(-5,14) 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A(4,0),BL,0)两点，与y 轴交于点C. 241172 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P是位于第二象限抛物线上的一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D,线段PD与直线AC相交于 PF 点B.连接OP,线段OP与直线AC相交于点P.求FO的最大值及点P的坐标； (3)在(2)的结论下，若线段MN在y轴上滑动（点M在点N上方），且线段MN=OC,连接PM,BN, 求PM+MN+BN的最小值， 123 【答案】四y=-2-2+2 (21:（-2,3) (3)2+V10 【分析】(1)利用待定系数法，将点A,B的坐标代入解析式中求解即可： (2)设出点的坐标，易得 PE_PF-7m-2m 1 = m2-m取最大值 APEF∽AOCF OC OF 2 4m-m,当 4 PF 时，OF取得最大值，利用二次函数的性质即可求出点P的坐标： (3)设滑动后O,C的对应点分别为N,M,过点M作NB的平行线，截取MH=NB,连接HB,易证 四边形NBHM是平行四边形，推出BH=NM=2,求出H(L,2),根据OC=NM=2为定值，当P,M, H三点共线时，PM+MH有最小值，得到PM+MN+NB有最小值，利用两点间距离公式求解即可： 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-4,0),B(1,0). 0=16a-4b+2 .(0=a+b+2 1 a=- 2 解得 3· b=- 2 .该抛物线的解析式为y=一 123 2+2. 251172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 123 (2)解：抛物线y=2-2x+2与y轴交于点C,且当x=0时，y=2, C(0,2), ∴.0C=2, 设直线AC的解析式为y=kx+b, 直线AC经过点A(-4,0),C(0,2), [0=-4k+b 2=6 k 解得 3 b= :直线4C的解析式为y=2x+2, 设点Pm-+24m<则an+2 m-2m, PE=-1 DE∥y轴， :△PEF∽aOCF, 1 PF PE=2 m2-2m1 ..OF OC 2 -m= 4 4(m+2}+1, 1 PF :当4m-m取最大值时，取得最大值， 1∠0 4 片当m2时，m+2+1取有最大值 则2×(-2}-x(-2+2=3, PF :0F的最大值为1，点p的坐标为(-2,3) (3)解：过点M作NB的平行线，截取MH=NB,连接HB, 261172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .NBIl MH,NB =MH. :四边形NBHM是平行四边形， .BH MN=OC=2.BHly B(1,0) H(1,2) :NM=OC=2为定值， 当P,M,H三点共线时，PM+MH有最小值，即PM+MN+NB有最小值， P(-2,3). :PM+MH=PH=V1+2)}+(2-3)}=10, .PM+MN+NB的最小值为2+V10 题型二、角度问题 19.在平面直角坐标系中，y=X-2x-3的图像交x轴于点A、B(A在B的左侧)若抛物线上有一点P, 连接PA,∠PAB=45°，则PA的长为() A.5V2 B.4V2 c.5v2或4W2 D.5√2或3vV2 【答案】D 【分析】先求抛物线与x轴交点A的坐标，分两种情况讨论：①P在x轴上方，②P在x轴下方，得到直线 PA的解析式，联立抛物线方程得到P点坐标，最后用勾股定理计算PA的长度即可. 【详解】对于y=x2-2x-3,令y=0,则x2-2x-3=0, 因式分解得(x+1(x-3)=0. 解得x=-1,x2=3, :A在B的左侧， ∴.A(-1,0).B(3,0). AB=4,OA=1, 分两种情况讨论： 271172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①P在x轴上方，如图，过点B作BD⊥AB交AP于点D, :∠PAB=45°， .DB=AB=4, .D(3,4) 设直线PA的解析式为y=ax+b -k+b=0 将点A(-1,0)D(3,4)代入得， 3k+b=4· [k=1 解得b=1' ∴.直线PA的解析式为y=x+1, y=x+1 联立y=x2-2x-3 整理得x2-3x-4=0,解得=-1（对应A点，舍去），x2=4, 代入得y=5,即P(4,5), 由勾股定理得PA=V(4+1)2+(5-0)2=5V2: ②P在x轴下方，如图，设AP交y轴于点E, ∠PAB=45°， ∴.OE=OA=1, ·E(0,-), 设直线PA的解析式为y=kx+b, -k+b=0 将点A(-1,0)E(0,-)代入得，6=-1 k=-1 解得6=-1 ·直线PA的解析式为y=-x-1, y=-x-1 联立y=x2-2x-3 整理得x2-x-2=0,解得=-1（对应A点，舍去），=2， 代入得y=-3,即P(2,-3), 由勾股定理得PA=V(2+1)+(-3-0)}=3V2: 281172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，PA的长为5V2或3√. 20.如图，抛物线y=x+bx+b-1与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,下列结论：①点A的坐标为 （-1,0):②b≠1时，OB=OC:③无论b为何值，抛物线的顶点都在x轴下方；④若抛物线的顶点为点 D,b=-2时∠DCB=90°，其中正确的结论个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】令y=0,得到x2+bx+b-1=0,利用因式分解法解方程，得到抛物线与x轴的一个交点恒为 （-1,0),即可判定①正确：先求出B,C两点的坐标，再求出OB=1-,OC=b-1,可得b-=-, 即可判定@正确：求出-么2 ，由（亿-2≥0，推出y≤0，即可判断③错误：先将6=-2代入 抛物线，得到y=x2-2x-3,然后求出顶点D的坐标为(1，-4)，点C的坐标为(0.-3)，点B的坐标为(3,0)， 再求得DC2=2,BC2=18,DB2=20,根据勾股定理的逆定理即可判断④正确】 【详解】解：令y=0,得到x2+bx+b-1=0, :.(x+1儿x+(b-1]=0, 解得，x=-1,x=1-b. “抛物线与x轴的一个交点恒为(-山，0)，即为点A,故①正确； 当b≠1时，另一个交点B的坐标为(1-b,0), :.OB=1-b, 29/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,抛物线与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(O,b-I), :.0c=b-1, :b-1=1-b ∴.OB=OC,故②正确： “抛物线顶点的级坐标为：y台46-)-公-公-46+4.6-2 4 4 4 (b-2)}≥0. y项点≤0， ∴当b=2时，顶点的纵坐标为0，顶点在x轴上，并非在x轴下方，故③错误： 当b=-2时，抛物线为y=x2-2x-3, ∴顶点D的坐标为(，-4)，点C的坐标为(0.-3)，点B的坐标为(3,0)， ·.DC2=(1-0)2+[-4-(-3)]=1+1=2, BC2=(3-0)}+[0-(-3)]=9+9=18, DB2=(3-1)2+[0-(4)]=4+16=20, .DC2+BC2=2+18=20=DB2, ∴△DCB为直角三角形， .∠DCB=90°，故④正确： 综上可知，正确的有①②④，共3个. 21.如图，抛物线交x轴于点A(-1,0),B3,0),交y轴于点C(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点H,交线 段BC于点D,点P是抛物线上一点，且∠PDH=∠ADC,则DP的长为() B H A.5 B.2√2 c.3或V2 D.√2 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+br+C(a,b,c是常数，a≠O)与x轴的 301172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，先利用待定系数法求出抛物线 解析式为y=-x2+2x+3,直线BC的解析式为y=-x+3,则D1,2),再证明△ADB等腰直角三角形得到 ∠ADB=90°，所以∠PDH=∠ADC=90°，则利用PD‖x轴可设P(x,2),当y=2时，-x2+2x+3=2,然后 方程确定P点坐标，从而得到PD的长 【详解】解：设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3), 把C(0,3)代入得3=a×1x(-3), 解得a=-1, 抛物线解析式为y=(x+)x-3), 即y=-x2+2x+3 设直线BC的解析式为y=mx+n, n=3 把C(0,3),B3,0分别代入得13m+n=0: m=-1 解得1n=3, ∴.直线BC的解析式为y=-x+3 抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.D(1,2) :AH=DH BH =2, ∴.△ADB等腰直角三角形， .∠ADB=90°， .∠ADC=90°， :∠PDH=∠ADC=90°， PD∥x轴， 设P(x,2) 当y=2时，-x2+2x+3=2, 解得x=1-V2,为=1+V2, P点坐标为1-2,2)或1+V2,2), .PD=√2 故选：D. 2.如图，二次函数y=+号 +方-1的图象交x轴于A'B两点，图象上的一点c使∠CBA=1350,则点 31/172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C的坐标是( B A.(4,-1) Ca5多 D.as子 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质， 表示出C的坐标是解题的关键.过点C作CD⊥x轴于点D,构造等腰直角△BCD,设BD=CD=m,根据 等腰直角三角形的性质表示出点C的坐标，代入抛物线解析式得到关于m的方程，解方程即可求解. 【详解】解：二次函数y= 月+号-1，y=0则y+号=0， 解得x=1,x2=3, ∴.A1,0).B(3,0). 过点C作CD⊥x轴于点D, B .∠CBA=135° .∠CBD=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， .BD=CD, 设BD=CD=m, ∴.C(3+m,-m） 12.4 点c在二次函数y=-3x+3x-1的图象上， 33 -m=8+m++m-1, 解得m=1,m2=0(舍去)， 321172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(4,-1), 故选：A 23.如图，二次函数y=-x+2x+2m+1(m是常数，且m>0)的图象与x轴交于A,B两点（点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.连接AC.若 ∠BEF=2∠ACO,则m的值为() y A B A 8.② V2-1 0 3-1 2 2 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，先用m 的代数式表示出A,B,C的坐标，再作∠OCB的平分线交OB于点G,过点G作GH⊥BC于点H,根据 全等和角平分线性质得到用m的代数式表示的GH和GB的长，根据GH和GB的关系即可求出m的值. 【详解】解：当y=0时，-x2+2mx+2m+1=0, 解方程，得x=-1,x2=2m+1, ,点A在点B的左侧，且m>0, 4A(-1,0),B(2m+1,0), 当x=0时，y=2m+1, ∴.C0,2m+1) .0B=OC=2m+1, :∠BOC=90°， .∠0BC=45°， :EF∥y轴， ∴∠BEF=∠BCO. ∠BEF=2∠ACO, .∠BCO=2∠ACO. 33/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作LOCB的平分线交OB于点G,过点G作GH⊥BC于点H,如图， Y D E A B ∠BCO=2∠OCG GH=GO ∴.∠ACO=∠GCO, 在△AOC和△GCO中， ∠ACO=∠GCO 0C=0C ∠AOC=∠GOC ,.△AOC≌aGOC(ASA), .0A=OG=1, ..GH=1,GB=OB-OG=2m+1-1=2m, .GH⊥BC,∠GBH=45°， ∴GH=BH=1, :GB=GH2+BH2=2GH=2, 即2m=√2， √2 ..m= 2· 故选：B 18 24.如图，抛物线y=3+3x-3与x轴交于点4和点B两点，与y轴交于点C,D点为抛物线上第三象 限内一动点，当∠ACD+2∠ABC=180°时，点D的坐标为() 341172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.(-8,-3) C.(-6,-7) D.(-5,-8) 【答案】B 1 8 【分析】根据二次函数y=了+兮x-3与坐标轴的交点坐标分别求出OAO8OC的长度：然后通过勾 3 31 股定理逆定理判断出∠ACB=90°，得出2∠BAC+2∠ABC=180°：由∠ACD+2∠ABC=180°得出 ∠ACD=2∠BAC;作点C关于x轴的对称点E,连接AE;即可构造出∠EAC=∠ACD,从而得出 AE∥DC:根据平行线的斜率相同以及点C的坐标求出直线DC的表达式：最后联立方程组求解即可； *33=0 【详解1解：y=0则时+ 解得：x=-9,x2=1 .A(-9,0),B1,0) .OA=9,OB=1,AB=10 当x=0时，y=-3 ∴.C(0,-3) ∴.0C=3 在△ACB中 BC2+AC2=(OB2+OC2)+(OC2+OA2)=100=AB2 ∴.∠ACB=90° .∠BAC+∠ABC=90 ∴.2∠BAC+2∠ABC=180° .·∠ACD+2∠ABC=180° 35/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ACD=2∠BAC 如图，作点C关于x轴的对称点E,连接AE; E C D 则E(0,3),∠BAC=∠BAE .∠EAC=2∠BAC=∠ACD .AE∥DC _0E_1 :kpc=kA=3 设直线DC的表达式为：y=3x+b 将C(0,-3)代入得：b=-3 1 直线DC的表达式为：y=写-3 y= 7x-3 x=-7 解方程组 1 8 2 33 ：x=0或 16 y- 3 y=-3 y=- 3 :点D在第三象限 :点0的壁标为7的 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等 知识点；综合运用上述知识求出直线DC的函数表达式是解题的关键 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+br-3过点A(-3,0),B(1,0),点C,D均在抛物线上， 361172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 其中点C的横坐标为3，点D在直线AC的下方，当∠ACD=45o时，点D的坐标是 B 4 35 【答案】 3 9 【分析】已知抛物线过A、B两点，将两点坐标代入抛物线解析式，求出α、b的值，确定抛物线表达式. 已知点C横坐标，将其代入抛物线表达式，求出点C的纵坐标，确定点C坐标. 过点A作AE⊥CD于点E,过点E作FG∥x轴，过A、C作AF⊥FG于点F,证明△AEF≌aECG(AAS), x=- 9 得 ,设 x+3=13,解得 ,则 13即113 求出直线 的 y=- AF=EG,EF=CG E(x,y) 9 9 E9-9 CD 解析式y=2x-川 联立物线解折式得+2x-3=2x一号·解得=子：有D子） 【详解】解：抛物线y=ax2+bx-3过A(-3,0)、B(1,0), ∴用交点式得：y=a(x+3)x-l1)=a(x2+2x-3). 对比常数项-3a=-3,得a=1, 因此抛物线解析式为：y=x2+2x-3 4 :点C横坐标为3， 4)2 ∴.代入抛物线得y= 3 2×3 9 413 即C39 过点A作AE⊥CD于点B,过点E作FG∥x轴，过A、C作AF⊥FG于点F,CG⊥FG于点G, 则∠AFG=∠CGF=∠AEC=90°， ∴.∠AEF+∠EAF=90°，∠AEF+∠CEG=90°， .∠EAF=∠CEG, .∠ACD=45°， 371172 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAE=90°-∠ACD=45°， .△AEF≌aECG(AAS), ∴.AF=EG,EF=CG, 设E(x,y), 则4F=-EG-手xEF=+3cG号y 4 -y= 3 x+3= 13 1 x=- 9 解得 13 y-9 E 113 99 y 设直线CD的解析式为y=mr+n, 4m+n= 9 则 1 13 gmn=-9 m=2 解得 n=-, 9 ·直线CD解析式为y=2x- 9 联立抛物线解析式得x2+2x-3=2x- 9 化简得2=16 9 381172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x三3对应点C),x=-3 411_35 代入CD解析式得y=2×399 435 .D39)1 26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D 是二次函数的顶点，连接直线BD,点E是直线BD上一动点，连接AE,CE,当∠AEC=45°时，点E的 坐标为 (716 【答案】(3,0)或5-5 【分析】先求解A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),顶点D(1,-4),可得∠ABC=45°，可得E,B重合时符合条 件，如图，作△ABC的外接圆⊙P,连接PA,PB,PC,PE,则xP=1,结合∠AEC=∠ABC=45°，且两个角在 AC的同侧，可得E在⊙P上，设P(L,b),再进一步求解即可 【详解】解：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C, 当y=0时，则x2-2x-3=0, 解得：=-1，x2=3, 当x=0时，y=-3, ·A(-1,0),B(3,0),C(0,-3), :y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ·顶点D(1,-4), 0B=0C=3, .∠ABC=45°， .E,B重合时符合条件，如图， 391172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C 此时E(3,0), 如图，作△ABC的外接圆⊙P,连接PA,PB,PC,PE,则xp=1, ,∠AEC=∠ABC=45°，且两个角在AC的同侧， E在⊙P上， 设P(1,b), A(-1,0),C(0,-3),PA=PC=PE, （-1-1)+(0-b2=(0-1)2+(-3-b)2, 解得：b=-1, .P1,-1), .PA=(-1-1}+(0+1=5=PE2, 设直线BD为y=mr+n, 3m+n=0 m+n=-4 [m=2 解得：n=6' ∴.直线BD为y=2x-6, 设E(e,2e-6) .(1-e2+(-1-2e+6)=5, 7 解得：e=3或e= 69》 40/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 716 综上：E的坐标为(3,0)或5-5 27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x-2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,抛物线 的顶点D的坐标为， 连接AD,再将抛物线y=-x-2x+3沿射线BC方向平移2W2个单位长 度得到抛物线y,点M为点D的对应点，点V为抛物线y对称轴上的一动点.若∠NBA=∠MDA-45°， 点N的坐标为 【答案】 (-1,4) (1,8)或(1，-8) 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角的三角函数值，掌握相关知识点是解 题的关键。 ①将二次函数转化为顶点式，即可求解： ②先求出A、B、C点坐标，得到∠CB0=45°，根据平移得到抛物线y的顶点M的坐标为(L,6),对称轴 为直线x=1,过点D作DE⊥AM,可知点E坐标为(L,4),可得∠MDE=45°，即∠NBA=∠ADE,求得 tan∠ADE=2,结合点N在直线AE上，得到NA=2AB=8,即可求解. 【详解】解：①y=-x2-2x+3=-(x+1)+4 ∴.抛物线的顶点D的坐标为(-1,4)： ②当x=0时，y=-x2-2x+3=3, 故点C坐标为(0,3)， 令y=0,得-x2-2x+3=0,解得x=-3,x3=1, 故点B坐标为(-3,0)，点A坐标为(1,0)， ∴.OB=OC=3」 ∴.∠CB0=45°， ∴沿射线BC方向平移2√2个单位，即向右平移2个单位，再向上平移2个单位， :.抛物线y的函数解析式为y=-(x-1)+6, 411172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M的坐标为(L,6),对称轴为直线x=1, 如图，过点D作DE⊥AM,可知点E坐标为(L,4), .DE=EM=2 :DE⊥AM, MDE=45°， ∴.∠NBA=∠MDA-45°=∠ADE, :tam∠ADE=4E=2, DE 点N在直线AE上， :tam∠NBA=4=2, AB .NA=2AB=8」 点N的坐标为(1,8)或L,-8)」 28.如图，抛物线y=-x+2x+3交x轴于A和B两点，交y轴于点C.直线y=x+m与抛物线交于M,N 两点，若在x轴上存在唯一的一点P,使∠MPV=90°，则m的值为 M A1 -3±V34 【答案】 2 或1或3 【分析】此题是二次函数的综合题，主要考查了切线的性质，及二次函数与一次函数的关系.解题的关键 是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形 的性质求解，要注意分类讨论，不要丢解。 421172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分为①当以MN为直径的圆和x轴相切时，②当点A或B在直线y=x+m上时，分别求解即可. 【详解】解：①当以MN为直径的圆和x轴相切时，符合题设条件，连接SP A 0 设MN的中点为点S,则PS⊥x轴， 设点M,N的横坐标为s,t, .M(s,s+m),N(,t+m). ..MN=(s-t)+(s+m-t-m)=V2(s-t)=V2(s+t)-4st, 联立y=x+m与y=-x2+2x+3, 即x+m=-x2+2x+3, 整理得，x2-x+m-3=0 则s+1=1,st=m-3, :.MN=V2V(s+t)}2-4st=V2VP-4(m-3)=v26-8m, 1 而点S的横坐标为2+)=2 12m+1 点$的坐标为22 MN=2SP,则MN2=4SP2, 即26-8m=4× 2m+1 2 解得m=-3±V34 2 ②当点A或B在直线y=x+m上时，也符合题设条件，即此时NP⊥x轴， 如图： 43/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(M)L 0 P B 或MP⊥x轴，如图 B(N) 对于y=-x2+2x+3,当y=0时，则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3, .A(-1,0),B(3,0) 将点A(-l,0),B3,0)代入y=x+m, 得0=-l+m或0=3+m,解得m=1或-3。 综上，m=-3±V34 或1或-3 -3±V34 故答案为： 2 或1或-3 29.如图，抛物线y=a2+br-3(a≠0)与x轴交于A(,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的表达式. (2)若P为直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PN⊥BC于点N,当△PBC的面积最大时，求线段 441172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PN的值 (3)抛物线上是否存在一点Q,使得∠QAB=∠ABC？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明 理由 【答案】(1)y=-x2+4x-3 3)存在，点0的坐标为(2,1)或(4，-3) 【分析】(1)运用待定系数法求解即可： (2)对于抛物线y=-x2+4x-3,令x=0,求得C(0,-3).运用待定系数法求出直线BC的解析式为 y=x-3.过点P作PM∥y轴，交BC于点M,设P,-+41-3)(0<1<3),则M(,t-3), PM:-+3通过解直角三角形得到PN=PMsin45°=-5？+3Y 2 t,则 2 0 22+8,根据二次函数的性质即可求解： (3)分点Q在x轴上方和下方两种情况分别求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=r+bx-3(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点， 「a+b-3=0 9a+3b-3=0' a=-1 解得b=4· ∴抛物线的表达式为y=-x2+4x-3. (2)解：对于抛物线y=-x2+4x-3,令x=0,则y=-3, .C(0,-3) 设直线BC的解析式为y=K+b, :直线BC过点B(3,0),C(0,-3), 「3k'+b=0 「Kk'=1 6=3,解得6=3 ∴.直线BC的解析式为y=x-3 过点P作PM∥y轴，交BC于点M, 45/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P,-子+4-3)(0<1<3)，则M(,1-3), .PM=-2+4t-3-(t-3)=-2+3t B(3,0),C(0,-3). .0B=OC=3, ∴△BOC是等腰直角三角形，BC=VOB2+OC2=3V2, ∴.∠0CB=45°， PM∥y轴， ∴.∠PMN=∠OCB=45°， .PN⊥BC, 在R△PwN中，PN=PM.sm∠PMW=(-P+3xsin45°=-2+3V2, 2 wcm=a9}--号 (3)解：存在，点的坐标为(2,1)或(4，-3).理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∠QAB=∠ABC, 、.A0∥BC, 46/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线AQ的解析式为y=x+m, :直线A0过点A(1,0), .1+m=0,解得m=-1, ∴直线AQ的解析式为y=x-1, y=x-1 [x=1x2=2 解方程组 y=-x+4x-3得y=0y2=1 点0的坐标为(2,1)」 ②若点Q在x轴的下方，如图， 由(2)有△BOC是等腰直角三角形， .∠OBC=45° ·.∠QAB=∠ABC=45, 延长Q4交y轴于点B, .∠EAO=∠QAB=45° ∴.∠AE0=90°-∠EA0=45°， ..OA=OE, A1,0), .A0=1, .OE=1, .E(0,1) 设直线AQ的解析式为y=mx+n', :直线AQ过点A(1,0),E(0,1), 「m'+n'=0 m'=-1 n=1，解得m=1 ∴直线AQ的解析式为y=-x+1 471172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x+1 x=1x2=4 解方程组 y=-x2+4x-3得以=0：=-3” ∴点0的坐标为(4，-3)， 综上所述，点0的坐标为(2,1)或(4，-3)】 30.如图，已知二次函数y=+x+C图象的对称轴为直线=0，且过点C(4,5).直线4y=-x+1与 y轴交于点F, :y=一x+1 :y=-x+1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2在直线1：y=-x+1下方的抛物线上是否存在点P,使得点P到直线1：y=-x+1的距离为V2?若存在， 求出满足条件的所有点P的坐标：若不存在，请说明理由： 1 过点F的直线y=:+1与二次函数y=广+bx+c图象交于A,B两点，无论k取何值，都存在点 21 H(O,m）,使得∠AHF=∠BHF,请直接写出L的值， 【答案】a创y=分式-3 2)存在点P,点P的坐标为(-1+V5,-V⑤)或(-1-V5,V5) (3)m=-7 【分析】(1)先根据图象的对称轴为直线x=0,得出b=0,再利用待定系数法即可解答： (2)先过点P作PG∥1，与y轴交于点G,过点F作FE⊥PG于点E,直线I与x轴的交点记为点Q,进 一步得出F(O,),QL,O),进而得出△FO卫为等腰直角三角形，进一步得出EG=EF,根据平行线间的距 离相等得出EG=EF=√2，利用勾股定理得出FG=2,进一步得到直线PG的解析式为y=-x-1,进而 得出方程-x-1=2-3,即x2+2x-4=0解方程即可解答： 1 2 (3)先过点A作AMLy轴于点M,过点B作BNLy轴于点N,设A(t,t+1),B(s,ks+),根据 48/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -t tan LAHF=tan∠BHF' 得到H+1-s+1-m,再根据当c+1)2-3时，得出方程2-2灯-8=0 利用根与系数的关系得出1+s=2k,s=-8,最后根据题意得出k(-7-m)=0,即可解答. 【解1（④）解：二次函数+b加+图象的对特转为直线=0： b 0 22 解得，b=0, y= 二次函数y=2+c图象过点C4,5): 2 1 5=5×42+c, 2 解得，C=-3, 21 (2)解：存在点P, 如图，过点P作PG∥1，与'轴交于点G,过点F作FE⊥PG于点E,直线I与x轴的交点记为点O, :y=-x+1 .∠FEG=90° :直线1：y=-x+1。 .当x=0时，y=1: 当y=0时，即0=-x+1,解得x=1, F(0,1),01,0), ∴.OF=00=1」 ∠F0Q=90° △FOO为等腰直角三角形， 49/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0F0=45°， .∠EGF=∠OFQ=45°， ·.∠EFG=90°-∠EGF=45°， .∠EFG=∠EGF, ∴.EG=EF :点P到直线(：y=-x+1的距离为V2,即EF=√2（平行线间的距离相等）， :EG=EF=√2， .FG=√EG+EF2=2」 又：PG∥1，即直线I向下平移2个单位长度可得到直线PG, ∴直线PG的解析式为y=-x+1-2=-x-1 片当-1-时，整理得42江40 解得x=-1+V5,x=-1-V5, 当x=-1+V5时，y=-(-1+V5)-1=-V5: 当x=1-5时，y=(-1-V5)-1=V5, 点P的坐标为-1+5，-V5)或(-1-V5,⑤) (3)解：如图，过点A作AMIy轴于点M,过点B作BN上y轴于点N, Wh」 F --M H ∠AMH=90°∠BNH=90° 根据题意，设A,t+1),B(s,s+I), :AM=-1,BN=s,MH=kt+1-m,NH=ks+1-m ·∠AHF=∠BHF, ∴.tan∠AHF=tan∠BHF, 50/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM BN MH NH' -t :t+1-mk+1-m, .-(ks+1-m)=s(+1-m),或者-(--1+m）=s(t+1-m), 当-(-k-1+m)=s(t+1-m)时， 整理得t-s=m(t-s), t≠S, .m=1, 此时点H与点F重合，不符合题意： 当-(k+1-m)=s(t+1-m）时， 整理得，2kt+(s+)1-m)=0. 直线，=+1与=次丽数=方-3图家交手4，B两点。 当1--，即-2-80 .1+5=-2=2k,s=8 =-8 1 1 .2k×(-8)+2k(1-m=0,整理得，(-7-m)=0 ~无论k取何值，都存在点H(O,m),使得∠AHF=∠BHF, ∴.令-7-m=0,解得m=-7. 综上，m=-7 31.抛物线y=x2-4x+c与直线：y=x交于点G(,m)和点H,-1≤m<0,直线x=m-1交直线l于点A, 交抛物线于点B, (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； AB (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M,N两点(M在N的左侧)，交y轴于点C.求AM的取值范围： (3)在(2)的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D,若点E是线段BD的中点，探究 ∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)c=m+3,k=m 24<4Bs6 AM 511172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)∠MEN=2∠ABC,理由如下： 连接BC, 由(2)得，C(0,m2-m）,∠CAB=90°，4C=1-m. 抛物线y=x2-4x+m+3的对称轴为直线x=2. :BD∥x轴， ∴点B,D关于直线x=2对称. :E为BD中点， .E(2,m2-5m+8） 设抛物线的对称轴与MW交于点O,则EQ⊥MN」 E B m-10 .∴.∠EQM=90° ∴.∠CAB=∠EOM=90° 又，M,N关于直线x=2对称， .EM=EN .∠MEN=2∠MEQ :EQ=m2-5m+8-m2+m=-4m+8,Mg=2-(m+1)=1-m. ∴.AC=MQ.EQ=AB ∴△CAB≌△MEQ(SAS) ∴.∠ABC=∠MEQ ∴.∠MEN=2∠ABC 【分析】(1)把G(1,m)分别代入y=和y=x2-4x+c,即可求得答案： (2)由题意可得A(m-l,m2-m）,B(m-lm2-5m+8）,M(m+l,m2-m）,N(3-m,m2-m）,求得 AB_-4m+8 AB AM 2 =-2m+4,再根据不等式的性质即可求得M的取值范国： 521172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)连接BC,设抛物线的对称轴与MN交于点Q,则EQ⊥MN,根据中点得到E(2,m-5m+8),则 EQ=AB=-4m+8,AC=M0=1-m,即可证明△CAB≌△MEQ,得到∠ABC=∠ME0,则 ∠MEN=2∠ABC. 【详解】(1)解：把G(,m)分别代入y=x2-4x+c和y=cx, 得m=1-4+c,m=k, c=m+3,k=m: (2)解：由(1)得，直线解析式为y=mx,抛物线解析式为y=x2-4x+m+3. 当x=m-1时，y=m(m-1)=m2-m Am-l,m2-m） 当x=m-1时，y=(m-1)-4(m-1)+m+3=m2-5m+8. .B(m-l,m2-5m+8) -1≤m<0, .点B在点A的上方. .AB=m2-5m+8-m2+m=-4m+8. 当y=m2-m时，m2-m=x2-4x+m+3. 解得=m+1,x2=3-m :-1≤m<0,点M在点N的左侧， .M(m+1,m2-m),N(3-m,m2-m）. .AM=m+1-m+1=2. 4级=4n+8=-2m+4. ”AM2 .-1≤m<0, .0<-2m≤2， .4<-2m+4≤6. 4<4Bs6 AM 531172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B m-l0 (3)略 32.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. B (1)求抛物线的解析式： (2)P是抛物线上的一个点，连接AC,∠PBA=∠ACO,直接写出点P的坐标. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 211(413 2)点P的坐标为39或3，-9 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)当点P在x轴上方时，取点D(O,1),连接BD,可证明△AOC2△DOB,推出∠PBA=∠DBO,则点 P在射线BD上，求出直线BD的解折式为y= +1,联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可：当点 P在x轴下方时，取点E(O,-),连接BE,同理可证明点P在射线BE上，联立对应的函数解析式求出点P 的坐标即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(-1,0),B(3,0)两点， a-b+3=0 9a+3b+3=0' a=-1 1b=2 541172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 (2)解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点D(0,),连接BD, B 在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3, .C(0,3) 0C=3, A(-1,0),B(3,0),D(0,1) .OA=OD=1,0B=3=OC 又：∠AOC=∠DOB=90°， :.AAOC≌aD0B(SAS), ∴.∠DBO=∠ACO, :∠PBA=∠ACO, ∴.∠PBA=∠DBO. 点P在射线BD上： 设直线BD的解析式为y=c+b'(k≠O), [3k+b=0 则6=1· 1 k=- 3 b'=1 ÷直线BD的解析式为y= 3+1， 2 X=- 3 联立得y=一 ,解得 11或[x=3, y=-x2+2x+3 y= 9 y=0 (211 点P的坐标为39 551172 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图所示，当点P在x轴下方时，取点E(O,-),连接BE, B P叶E 同理可证明△ACO≌△EBO, ∴.∠EBO=∠ACO :∠PBA=∠ACO, ∠PBA=∠EBO, ∴点P在射线BE上： 设直线BE的解析式为y=k+b(K'≠O), 「3'+b”=0 则16=-1· 1 '= 3, b"=-1 ÷直线BE的解析式为y=3-1, 4 X=一 3 联立得 y=3x-1 ，解得 13或x=3, y=-x2+2x+3 y=- 9y=0 413 点P的坐标为 3,-99 211_4_13 综上所述，点P的坐标为39或39 33.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2+bx+c与x轴交于A(-L,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C. 56/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B AO H (备用图) (1)直接写出抛物线的解析式为： (2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE1x轴于点E，,交BC于点F,过点F作BC的垂线与抛物 线的对称轴和y轴分别交于点G,H,设点D的横坐标为m. ①求DF+√2HF的最大值： ②连接EG,若∠GEH=45°，求m的值. 【答案】(1)y=-x2+2.x+3 20芹：@1 9 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)①先求出DF的长，再过点F作FM1y轴于点M,求出HF的长，然后利用二次函数的性质求解即 可； ②先求出GH的长，再证出△EFH∽aGEH,则可得EH,然后在Rt△EOH中，利用勾股定理求解即可. -1-b+c=0 【详解】(1)解：将点A(-1,0)B(3,0)代入y=-x2+bx+c得： -9+3b+c=0 [b=2 解得1c=3 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3」 (2)解：①：点D为第一象限内抛物线上的一动点，且其横坐标为m, .D(m,-m2+2m+3(0<m<3), 将x=0代入抛物线y=-x2+2x+3得：y=3, .C(0,3),0C=3. 设直线BC的解析式为y=k,x+b(k,≠O). 3k,+b。=0 k。=-1 将点B3,0)C0,3)代入得：6=3”，解得6，=3， 571172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线BC的解析式为y=-x+3, .F(m,-m+3), DF=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m, B(3,0). ..OB=3=OC, :OB⊥OC,即∠B0C=90°， .∠OBC=∠OCB=45° HF⊥BC, ∴.RtACFH是等腰直角三角形，且CF=HF 如图，过点F作FM上y轴于点M,则FM=m, .CM=HM FM=m, .HF=FM2+HM2=2m, 525 :DF+2Hf=-m2+3m+2xW2m=-m-2+ 41 25 由二次函数的性质可知，在0<m<3内，当m=2时，DF+r的值最大，最大值为4· ②由上可得：F(m,-m+3),M(O,-m+3),E(m,0),HM=m,HF=√2m, .H(0-2m+3),0E=m, :.0H=-2m+3=2m-3. 设直线HF的解析式为y=kx+b(k≠0) km+b=-m+3∫k=1 将点F(m,-m+3)H(0,-2m+3)代入得：16=-2m+3，解得6=-2m+3 .直线HF的解析式为y=x-2m+3 将函数y=-x2+2x+3化成顶点式为y=-(x-1)+4, 581172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，点G的横坐标为1， 将x=1代入函数y=x-2m+3得：y=1-2m+3=-2m+4, .G(1,-2m+4). ∴.GH=V1-0)2+(-2m+4+2m-3)2=V2, ,DE⊥x轴，∠OBC=45°， .∠BFE=45°，HF⊥BC, :∠EFH=90°-∠BFE=45°， .∠GEH=45°， ∴.∠EFH=∠GEH, 在△EFH和△GEH中， ∠EFH=∠GEH ∠EHF=∠GHE' .△EFH∽aGEH, EH HF ·GHEH' .'EH2 =GH.HF =2m. 在RtaE0H中，OH2+OE2=EH,即(2m-3)+m2=2m, 9 解得m=1或m=了，均符合思意， 、9 ·m的值为1或5 15 34.抛物线y=ar2+br- (a≠0)与x轴交于A3,0),B两点，对称轴为直线x=-1 VA M 图1 图2 (1)求抛物线的解析式及点B的坐标： (2)如图1，已知P为抛物线上对称轴右侧一点，Q为x轴下方直线x=-1上一点，若以B,P,Q为顶点的 591172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标： 3)如图2，N是抛物线顶点，点M(-1,-5),如果不垂直于y轴的直线1与抛物线交于点G,H,满足 ∠GMN=∠HMN.探究直线I是否过定点？若直线I过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)抛物线解析式y=4c+)-4,B(-5,0) (2)P的坐标为(-1+4V2,4),(-3+2V5,2-2V5),(3,0) 3)直线过定点，定点坐标为(-1，-3) 【分析】(1)由对称轴公式得b=2a,代入点A求a,从而求得抛物线的解析式，即可求另一交点B (2)分三种情况，分别以B,P,Q为直角顶点的等腰直角三角形，画出图形根据全等三角形的性质列方程 求解 (3)设直线1解析式y=:x+b',直线1与抛物线相交于点G(x,乃)，H(:,乃)，与抛物线解析式联立可得 △>0，x+x2=4k-2,x52=-15-4b.作 GC⊥MN,HD⊥MN,GC=-1-x,MC=y+5,HD=x2+l,MD=y+5.根据∠GMN=∠HMN,可得 GC HD an∠GMN=tan∠HMN,从而得到MC-MD,进而得到(：+1)(：，+b+5)+(:+1(G+b+5)=0,从 而得到4k(6-k+3)=0,再由直线1不垂直于y轴，可得6=k-3,从而得到直线1解析式y=k(x+)-3, 即可求解。 【详解】(1)解：，抛物线对称轴为直线x=-1, b :.2a =-1, .b=2a, 将点A80代入yam+饭a=0)得：9如+36--0， .9a+6a 15=0 1 ∴a= 4 :61 2 故抛物线解析式为：y=r+x-15G =二(x+1)2-4. 4244 令=0，得子+-5 1 +2x-4 0,即x2+2x-15=0' 60/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=3或x=-5, .B(-5,0): (2)解： 段时r+-》1,中g0p- 以B,P,Q为顶点的三角形为等腰直角三角形， 分三种情况讨论， ①直角顶点为B,此时BP=BQ,且BP⊥BQ 如图，过点B作y轴平行线，分别过点P,O作y轴垂线，交于点E,F, E B 则∠E=∠F=90°， .∠1+∠2=∠2+∠3=90° ∠1=∠3， .△EPB≌△FBQ(AAS), ..BE=FO,EP=BF p+=1-列.p-(5=0-g 解得：p=-1+4V2或p=4V2-1(舍去)， :.P(-1+4W2,4) ②直角顶点为P,此时PB=P№，且PB⊥PQ 如图，过点Q作y轴垂线，过点P作y轴平行线，交于点F,交x轴于点E, 611172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE 1日 1-F 则∠E=∠F=90°， .∠1+∠2=∠2+∠3=90° .∠1=∠3， :.△EPB≌aFQP(AAS). ..BE FP,EP=QF. p+）p-().-(到-r+5--9, 解得：p=-3+2W5或p=-3-2W5(舍去)， P(-3+25,2-25, ③直角顶点为2，此时QB=QP,且QB⊥QP W A(P)末 即在AB的垂直平分线上，且∠BQW=∠POW=45°， 、BW=PW=QW 根据(1)可得B(-5,0),顶点坐标为(-1，-4)，A(3,0), ∴点P与点A重合， .P(3,0), 综上，所有满足条件的点P的坐标为：(-1+4√2,4)，(-3+2V5,2-2V5),(3,0): (3)解：存在定点 设直线1解析式y=c+b',直线1与抛物线相交于点G(x,乃)，H(x,乃)， 621172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=+x- .115 424, y=kx+b' x2+(2-4k)x-15-4b'=0. .△>0，x+x2=4k-2,xx2=-15-4b': 如图2，作GC⊥MN,HD⊥MN, M 图2 则GC=-1-x,MC=片+5，HD=x2+1,MD=y2+5, '∠GMN=∠HMN, ∴.tan∠GMN=tan∠HMN, GC HD 即MCMD' 1-五=为+1 %+52+5 .(x+1)(y2+5)+(x2+1)(y+5)=0, ∴(x+1)(x2+b+5)+(x2+1)(+b'+5)=0. .2kxx2+(k+b'+5)(x+x2)+2b'+10=0, ∴.2k(-15-4b)+(k+b'+5)(4k-2)+2b'+10=0, .-4k(b-k+3)=0, ,直线不垂直于y轴， k≠0， b-k+3=0, b=k-3, ∴.直线l解析式y=k(x+)-3, :无论k为何值，x=-l,y=-3, ∴过定点(1，-3) 63/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、面积问题 35.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x+bx+C的图象与x轴只有一个交点，且经过点 A(1,m),B(3,m),则△AOB的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与×轴只有一 个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m,最后计算△AOB的面积. 【详解】解：：二次函数y=x2+bx+c经过点A山，m),B(3,m),两点纵坐标相等 .二次函数的对称轴为直线x 1+3=2 2 b :对称轴公式为x=2a’a=1 b ÷22,解得6=4 又，二次函数图象与x轴只有一个交点 .△=b2-4ac=(-4)2-4×1×c=0 解得c=4 ∴.二次函数解析式为y=x2-4x+4 将AL,m)代入解析式，得m=1P-4x1+4=1 .A1,1),B(3,1), ∴.AB=3-1=2,原点O到直线AB的距离为1 .S40B=5×2×1=1 2 36.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2,动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线 BA-AC运动到点C,同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC-CD运动到点D,当一个点停止 运动时，另一点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函 数关系的是() 641172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 3 4 4 D 4 4 【答案】A 【分】当R、Q分别在、AC上延动时，y-4Px0H--0kn60:当R.Q分别在4CDC 上运动时，同理可得：y= 4 (x-2)},即可求解. 【详解】解：①当P、Q分别在AB、AC上运动时， :ABCD是菱形，∠B=60°，则△ABC、△ACD为边长为2的等边三角形， 过点D作QH上AB于点H, B y=1poH号2x)×xsin60+ 2 2 函数最大值为4，符合条件的A、B、C、D: ②当P、分别在AC、DC上运动时，过点2作QH⊥AB于点H, 651172 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4P=C9=x-2.0H=C0sin∠ACD=x-2J小sim60=,3c-2》 即y=4Px=5 (x-2y,x=4时，y=5 符合条件的有A 37.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度运动到 点C,同时点O从点C出发，沿CD以每秒1个单位长度的速度运动到点D.在此过程中△AP№的面积y与 运动时间t的函数图象如图2，则图象中最低点的坐标是() 3 27 图1 图2 【答案】C 【分析】连接AC,过点Q作QE⊥BC,交BC的延长线于点E,证明△ABP≌aACQ(SAS),可得 SABp=S△4c0,从而得到SMPm+S.cg=S.4Bc,进而得到y关于t的函数解析式，即可. 【详解】解：连接AC,过点Q作QE⊥BC,交BC的延长线于点E, D B :四边形ABCD是菱形， .AB=BC,AB CD. ,∠ABC=60°， 66/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ABC为等边三角形，∠BCD=180°-∠ABC=120°，∠QCE=60° .AB=AC,∠ACB=60° .∠ACQ=∠BCD-∠ACB=60°」 .∠ABC=∠ACQ 根据题意得：BP=CQ=t, .△ABP≌△ACQ(SAS), .SAAWP=SAACO. S.P+SPC=S4CP+S.c=S.ACP+S.ABP=S.ABC 根据图2得：S4C=V3,BC=2, ∴CP=2-t, 在Rt△CQE中，∠QCE=60°， ÷BO=CQxsin∠QcE=5 t, y=Sw=Sx-Sw=5-5(+2)-5-+35 >0， 35 “当，=时，y最小，为4， 3v5 即图象中最低点的坐标是 4 38.如图，二次函数y= 2+2r+2的图象与轴交于点4B,与y轴交于点C:点p是第一象限抛物 线上的一点.若点P的横坐标为2，则△BPC的面积为一 B 【答案】4 67/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】求出点B,C,P三点的坐标，利用待定系数法求解直线BC的解析式，过点P作P口⊥x轴交于点Q, 求出点Q的坐标，算出线段PQ的长，利用S,BPc=SBPe+S,cPe求解. 【详解解：对于 3 2+2, 令x=2,则y=3,故P(2,3) 令x=0,则y=2,故C(0,2), y=0可肉方式+号+2=0， 解得x=4或x2=-1,故B(4,0), 设直线BC的解析式为y=c+b(k≠O), 「b=2 则14k+b=0 1 k=- 解得了 2 b=2 直线BC的解析式为y=2x+2, 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q, B 1 则对少=2+2， 令x=2,则y=1,故2(2,1) ∴.P0=3-1=2 ∴.SBPc=SBre+S.cre x2x2+5×2×2 1 =4 39.如图，已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,点B是抛物线对称轴上的一点，且点 681172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B在第一象限.当△OAB的面积为15时，求B的坐标为 y :x=2 【答案】(2,8) 【分析】运用待定系数法求得解析式，设B(2,m)(m>0),运用待定系数法求得直线OA的解析式为y=x, 设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2),可得到BH=m-2,利用三角形面积公式建立方程求解 即可 【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)+k, 把点O(0,0),A(5,5)代入得： [4a+k=0 9a+k=5? a=1 解得k=4” ∴抛物线的解析式为y=(x-22-4=x2-4x, ,点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， X=2 B ∴.设B(2,m)(m>0)」 设直线OA的解析式为y=x, 则5k=5,解得：k=1, ∴.直线OA的解析式为y=x, 691172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线OA与抛物线对称轴交于点H, 则H(2,2), .BH =m-2. :△OAB的面积为15 ∴.S,BHO+SABH= BH(xn-xo)BH(-)_BH(-X0)=15. 2 m-2x5=15。 解得：m=8, ∴.点B的坐标为(2,8) 40.如图，二次函数y=-x+(m-)x+m(其中m>1)的图像与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于点C,连接AC,BC,点D为△ABC的外心.记△ACD的面积为S,△ABD的面积为S2,则 S-S2的值为 D B 【答案】20.5 【分析】先求得A(-l1,0),B(m,0)、C(O,m),易得C0=OB=m,则△OBC是等腰直角三角形，即 ∠OBC=45°：由三角形外接圆的性质、圆周角定理可得AD=BD=CD,∠ADC=90°.易得△ACD是等 腰直角三角形，如图：过D作MN⊥AB于N,过C作CM⊥MN于M,证明aCMD≌aDNA(AAS)可得 DN=CM,AN=DM,设D(x,x),则DN=CM=x,AN=x+L,DM=m-x,即x+1=m-x,解得： x=m-1 :然后用m表示出S、S,最后代入求值即可. 【详解】解：：令y=0时， ∴-x2+(m-1)x+m=0,解得：x=-l,x2=m, .A(-1,0),B(m,0), ..OA=1,OB=m. 701172 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :令x=0时，y=m, 、.C(0,m）,即0C=m, ∴.C0=OB=m, :.△OBC是等腰直角三角形， .∠0BC=45°， ,点D为△ABC的外心 AD=BD=CD,∠ADC=90°. AD =CD. ∴.△ACD是等腰直角三角形， 如图：过D作MN⊥AB于N,过C作CM⊥MN于M,∠AND=∠CMD=9O°， .∠CDM+∠ADN=90°，∠NAD+∠ADN=90°， ∠CDM=∠NAD, AD=CD .△CMD≌aDNA(AAS). .DN CM,AN DM. 设D(x,x),则DN=CM=x,AN=x+l,DM=m-x, 六x+1=m-x解得：x=m) 2 ∴CM=DW=m 2，AW=DM=m-m-lm+1 22 .co-c-) :△ACD是等腰直角三角形， 4CD的面积=4Dc0cD-5m+-a+) 711172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :过D作MN⊥AB于N,AD=BD, :.AB=2AN=m+1, ÷4BD的面积为5=号80v-a+0k"a2-),。 s-s=m+)m2--=2 41.如图，抛物线y=-x+2x+3与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点P 是抛物线上位于第一象限的一点，点D(O,I),连接BC,DP相交于点E,连接PB.若△CDE和APBE的 面积相等，则点P的坐标是一 VA E A B /720 【答案】 (39 【分析】先求得A(-1,0),B(3,0),C(0,3),如图：连接CP,BD,易得S,cD=3,再说明S,cn=Sp=3: 如图：过P作PF1y轴于E,设P(p,-p2+2p+3(p>0),则F(0,-p+2p+3),然后根据 S。BPp=S梯形ae一S.BOp-SFPn=3列方程求得p即可解答 【详解】解：令y=0,则y=-x2+2x+3,解得x=-1或x=3, 令x=0,则y=3, .A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 如图：连接CP,BD」 B 721172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D(0,1)」 .0B=3,0D=1,CD=3-1=2, :.S.acD= cn08=方2x3=3 S.CDE=S.PBE, S.CDE+S.BDE=S.PBE+S.DES.BCD=S.BPD=3, 如图：过P作PF1y轴于F,设P(p,-p+2p+3)(p>0),则F(0,-p2+2p+3), .DF=-p2+2p+3-1=-p2+2p+2,PF=p,OF=-p2+2p+3, SBPD=S梯形0Pe-S,BOD-S.FPD=3, 5+p-p+2n+3)×3x1--p2+2p+2列p=3,整理得：-3p+7p=0:解得：n=了或p=0 (不合题意舍去)， 720 点P的坐标是3’9 42.如图是抛物线y=(x+m)+k,其顶点为M(L,-4),与x轴的交点为A,B(点A在点B的左边). VA M (1)直接写出抛物线的解析式： (2)求抛物线与x轴的交点A,B的坐标： B在糙物线上是香存在点卫，使5子？若存在，求出点P的坠标：若不有在，请说明理白， 【答案】(1)y=(x-1)2-4 (2)A(-1,0),B(3,0) 3)存在满足条件的点P,其坐标为(-2,5)或(4,5) 【分析】(1)根据二次函数顶点式直接将顶点坐标代入即可： (2)根据二次函数与x轴的交点的纵坐标为0，令y=0,解一元二次方程即可： (3)根据平面直角坐标系中点的位置关系求出△MAB的面积，从而确定△PAB的面积，求出点P的纵坐标， 73/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将点P的纵坐标代入抛物线的解析式中求解即可. 【详解】(1)解：将顶点M,-4)代入y=(x+m)+k中， 得y=(x-1)-4, .抛物线的解析式为y=(x-1)-4」 (2)解：：点A,B是抛物线与x轴的交点， 令y=0,则(x-1)-4=0, 解得=-1,2=3， ,点A在点B的左边， ·点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0) (3)解：存在，理由如下： 由(2)知，AB=4, 5w方4x4=8,则5u=8w=10, ÷×4=10,解得小5. :点P在抛物线y=(x-1)-4上， .yp≥-4」 .yp=5, 由(-10-4=5，解得x=-2,x=4, ,存在满足条件的点P,其坐标为(-2,5)或(4,5)」 43.已知抛物线G:y=ar2+(3a+m)x-(m+2). (1)当a=1,m=1时，求抛物线G的对称轴： (2)若对于任意实数m,抛物线G总经过定点P(:,6). ①求t和a的值； ②点A(m-3,H),B(m,)在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点.记APAB的面积为S,求s的取值范 围 【答案】(1)直线x=-2 55527 741172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)把a=1,m=1代入解析式，再把解析式化为顶点式，即可： (2)①先把原解析式化为y=+3ax+m(x-)-2,再根据对于任意实数m,抛物线G总经过定点 P(t,-6),即可求解： ②点A(m-3,乃)，B(m,乃)在抛物线G上，且线段4B与x轴有交点，求出m的取值范围，再求出直线 AB的解析式，过点P作PQ⊥x轴交AB得延长线于点Q,则点(1，m2-5m-2),根据S=SPQ-S,P0, 可得S关于m的函数关系式，即可求解。 【详解】(1)解：当a=1,m=1时， y=x2+(3+1)x-(1+2)=x2+4x-3=(x+2)}-7. 所以抛物线G的对称轴为直线x=-2: (2)解：①y=ar2+(3a+m)x-(m+2)=ax2+3ar+m(x-)-2, 当x=1时，y=a+3a-2=4a-2. :对于任意实数m,抛物线G总经过定点P(6,-6), .t=1,4a-2=-6 ∴.a=-1: ②油①得：t=1,a=-1,P(1,-6), ∴抛物线的解析式为y=-x2+(-3+m)x-(m+2), :点A(m-3,八)，B(m,)在抛物线G上，且线段AB与x轴有交点， .yy2≤0 把点A(m-3,),B(m,2)代入y=-x2+(-3+m)x-(m+2)得： 片=-(m-3)+(-3+m)(m-3)-(m+2)=-m-2, 2=-m2+(-3+m)m-(m+2)=-4m-2. .（-m-2)(-4m-2)≤0，点A(m-3,-m-2）,B(m,-4m-2）, 解得：-2≤m≤-) 设直线AB的解析式为y=c+b, 把点A(m-3,m-2),B(m,-4m-2)代入得： [k(m-3)+b=m-2 km+b=-4m-2, 751172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=-m 解得： b=m2-4m-2’ ∴直线AB的解析式为y=-mx+m2-4m-2, 如图，过点P作PO⊥x轴交AB的延长线于点Q,则点(1，m2-5m-2), .P0=m2-5m-2-（-6)=m2-5m+4 ∴.S=SPA0-SPBe x-P0--P0 ,-P阳 m-m+4[m-(a-训 =2m2-5m+4 (--的大补 9 1 ,-2≤m≤- 2 尚w2时( 号取得地大值。此时S取得最大值，段大值为27。 当m=.（取限小值，此时8取利最小值量小为 81 81 $的取值范围为8≤S≤27 44.如图，二次函数y=x+br+C的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中A点坐标为 761172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-1,0),M(2,9)为二次函数图象的顶点。 B (1)求二次函数的表达式. (2)求△MCB的面积， 【答案】(1)y=-x2+4x+5 (2)S△McB=15 【分析】(1)设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可： (2)求出直线BC的解析式，过点M作y轴的平行线交BC于点H,利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】(1)解：设函数的表达式为y=a(x-2)+9, 将点A(-1,0)代入得0=a(-1-2)}2+9,解得a=-1, 故二次函数的表达式为y=(x-2)2+9, 即y=-x2+4x+5: (2)解：，y=-x2+4x+5 ∴当x=0时，y=5, C(0,5) :A点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=2, .B(5,0). 设直线BC的解析式为y=a+5, 把B(5,0)代入，得5k+5=0,解得k=-1, ∴直线BC函数表达式为y=-x+5, 把x=2代入得y=3, 过点M作y轴的平行线交BC于点H,则点H(2,3), Sown-HMxBO-x6x5=15 2 2 771172 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 45.如图，二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴交于A(-山，0八B两点（点A在点B的左边），点M是该 函数图象的顶点。 M (1)求点B、M的坐标： 3 (2)在二次函数的图象上是否存在点P,使SPB= S。M,若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理 2 由 【答案】(1)B(3,0),M点坐标为(1，-4) 2)P点坐标为(1+Vi0,6)或(1-v10,6) 【分析】(1)将点A(-1,0)代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令y=0求出点B的坐标，将 二次函数转化为顶点式，得到顶点M的坐标： (2将点p的坐标设出来，根据SaSm求出。P4B的面积，从面解出点p的坐标。 3 【详解】(1)解：把4(-1,0)代入y=x2-2x+c得1+2+c=0,解得c=-3, ∴抛物线解析式为y=x2-2x-3: 当y=0时，x2-2x-3=0,解得x=-1,x2=3,则B(3,0), y=x2-2x-3=(x-1D2-4. 六.M点坐标为1，-4) (2)解：存在.理由如下： 781172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设P,2-21-3). 3 S.ru=S. 0r-2斗44， 2 得2-21-3=6， 当2-21-3=6，解得5=1+10,42=1-V10, 此时P点坐标为1+0,6)咸1-v10,6). 当2-21-3=-6时，方程没有实数解. 综上所述，P点坐标为(1+0,6或1-v10,6)】 46.如图，抛物线y=ar2+bx+c与x轴交于A(-6,0)、B(2,0)两点，与y轴交于点C(0,-6),连接AC、 BC Bx B x (1)求抛物线的函数表达式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点. ①连接PA、PC,求四边形PABC的面积的最大值； ②过点P作BC的平行线I,交线段AC于点D.试探究在直线I上是否存在点E,使得以点D,C,B. E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 【容案1y-+2-6, 75 2)①最大值2：②存在点E:使得以D'B'C:E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(-6，-8)或 (2-25,25) 【分析】(1)设出交点式，再代入点C(0,6)即可求解： 791172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①设点Px)+2x-6 连接OP,根据S边形P1C=S边形P4Oc+SOnC=S4OF+SOCP+SAORC建立面 积关于x的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可； ②由菱形的性质可得△BCD为等腰三角形，由于BC∥DE,然后分BC=CD和BC=BD两种情况讨论即可. 【详解】(1)解：据题设抛物线的函数表达式为y=a(x+6)(x-2), 把C(0,6)代入：-6=6(-2)a, 解得：a= 2 抛物线的函数表达式为：-x+61(x-2)=+2x-6, (2)解：①设点P七2+2x-6 连接OP O B 则S四边形PABc=S四边形PAoC+SOBC=SA40r+SAOCP+SAOBC -2x+6 12 *6-+x6x2 1 +3+ 3 2 3 -6<x<0:2<0 75 :.当x=-3时，S达形P4BC取最大值2： ②存在. 设直线AC:y=r+b 「-6k+b=0 把点A(-6,0)点C(0,-6)代入得，b=-6 [k=-1 解得1b=-6 80/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线AC的函数表达式为y=-x-6, :点B(2,0), 同理可求直线BC的函数表达式为y=3x-6, 此时BC=V22+62=210 :以点D,C,B.E为顶点的四边形为菱形， △BCD为等腰三角形， 设点D的坐标为(m,-m-6),其中-6<m<0, :BC∥DE,分两种情况讨论 ①当BC=CD时， E E B B 过E作EF⊥x轴于F, 0A=0C=6,∠A0C=90° ∴.∠0AC=45° 以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形 .CD∥BE, ∴.设直线BE的解析式为y=-x+t,∠EBF=∠OAC=45°， ∴.△BEF为等腰直角三角形，EF=BF, :EF-BF-BExsin LEBF-BE 将点B(2,0)代入y=-x+1可得，-2+t=0, 解得t=2, 又由菱形可得BE=BC=2V10 EF=BF=2W5,即E(2-25,25) ②当BC=BD时，设D(m,-m-6), 81/172 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由菱形可得，BD=CE,BD∥CE,CE=BC=2√1O .'XE-Xc =XD-XB:YE-YC yD-Y8, ∴.x:=xp-x8+xc=m-2,yE=yD-yg+ye=-m-6-0+(-6)=-m-12 .E(m-2-m-12), ∴.(m-2)2+(-m-6)2=40 解得：m=0(舍)或m=-4 .E(-6,-8) 综上所述，存在点E,使得以D,B,C,E为顶点的四边形为菱形， 点E的坐标为(-6，-8)或(2-2V5,25⑤) 47.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,C.已知A(-1,0).C(0,-3)」 (1)求此抛物线的解析式： (2)若M为线段BC上一点，过点M作MD/y轴，交抛物线于点D.当△BCD的面积最大时，求点M的坐 标： (3)若P是x轴上的一个动点，直接写出CP+PB的最小值. 【答案】(1)y=x2-2x-3 a[G引 )3+3V5 2 【分析】(1)利用待定系数法即可求得抛物线解析式： (2)由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设M(,-3),D,-21-3),得出MD的长，列出 S△Dc的表达式，化简成顶点式，即可求解； (3)作∠OBG=30°，BG交y轴正半轴于点G,作CN⊥BG于点N,与x轴交于点P,当点C,P,N三 821172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点共线时，CP+BP有最小值，即为CN的长，利用解直角三角形的性质即可求出最终结果. 【详解】(1)解：：抛物线经过点A(-1,0),C(0,-3), 0=1-b+c 代入抛物线得： -3=c b=-2 解得： c=-3 ∴.抛物线解析式为y=x2-2x-3 (2)解：当y=0时，x=-1,2=3 .B(3,0) 设直线BC的解析式为y=x+z, [0=3k+z 将点B(3,0)C(0,-3)代入得： -3=z [k=1 解得：12=3 .直线BC的解析式为y=x-3, :点M为线段BC上一点，MDy轴，点D在抛物线上， 设M(6,t-3),D,2-2t-3). :.MD=t-3-(2-2t-3）=-2+3t SARCD=SRMD+SACMD=7 MD·OB 3∠0 :- .二次函数有最大值， 3 当I=2时，Scn有最大值， 3 (3)解：如图，作∠OBG=30°，BG交y轴正半轴于点G,作CN⊥BG于点N,与x轴交于点P, 831172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G :CP+1BP-CP+PN-CN, 当点C,P,N三点共线时，CP+BP有最小值，即为CN的长， 在R△OBG中，0G=0Bm∠0BG=0B,m30=3x5-5. 3 ∴CG=0C+0G=3+3. 在Rt△CGN中，∠CGN=∠BGO=60°， CW-CG-i ZCGN-CG-sin60-3 2 3+3V3 即CP+号P8的最小值为+2 48.如图，在平面直角坐标系x0y中，己知直线y=-x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C,过A,C两点 的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B(1,0),抛物线对称轴为直线l. (1)求抛物线的解析式： (2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标： (3)在(2)的条件下，点N为y轴上一点，求MN+ON的最小值 【答案】(1)y=x2+2x-3 84/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 al 539 4 【分析】(1)由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可： (2)过点M作MD/y轴，交AC于点D,设M(m,m+2m-3),则D(m,-m-3),可得 DM = 则得到ScSn+3ao三m+3、 2 8, 据此可得答案； (3)作直线OG,且使得直线OG与y轴正半轴的夹角为30°，过点V作NG1OG于点G,连接MG,则 NG=0N,可证明当M,NG三点共线（点N在MG上），且MG⊥OG时：MN+NG有最小值，即 此时MN+ON有最小值，最小值为线段MG的长；过点M作MT∥y轴，交x轴于点K,交直线OG于点 T,求出MT的长，根据MG=MT,求出MG的长即可得到答案. 【详解】(1)解：在y=-X-3中，当x=0时，y=-3,当y=0时，-x-3=0,解得x=-3, .A(-3,0),C(0,-3), :抛物线y=ar2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)三点， 9a-3b+c=0 ∴a+b+c=0 c=-3 a=1 .b=2 c=-3 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3: (2)解：如图所示，过点M作MDy轴，交AC于点D, 85/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设M(m,m2+2m-3),则D(m,-m-3), :.DM=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m=- 329 m+2)+4 ∴.SAMAC=SAMAD+SAMCD DMkw-x+DM-(e-w） =DM-(-) -ipM-[9-(-3] 2 33227 m+2) 二2 89 0 :2 3 .当m+ 20,即m=-时，Sc有最大值， 北时m+23(+2} 315Y “当△MAC的面积最大时，点M的坐标为2，一4： (3)解：如图3-1所示，作直线OG,且使得直线OG与y轴正半轴的夹角为30°，过点N作NG⊥OG于 点G,连接MG, G 图3-1 在RtAONG中，∠OGN=90°，∠NOG=30°， :NG-ZON, 861172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.MN+号ON=MN+NG≥MG. 2 ,垂线段最短， 当M、N、G三点共线（点V在MG上），且MG⊥OG时，MN+NG有最小值，即此时MW+)ON有 2 最小值，最小值为线段MG的长： 如图3-2所示，当MN+2ON有最小值时，过点M作MT∥y轴，交x轴于点K,交直线OG于点T, A B M 图3-2 315 由(2)得点M的坐标为2，-4： =5 3 29 :MT∥y轴， .∠0TK=∠NOG=30°， ∴.0T=20K=3, 7K=0T2-0K-3 2 ·MT=MK+TK=15+35 42 在Rt△TMG中，∠MTG=30°，∠MGT=90°， .MG=IMT-153 84 15,3v3 :MW+)0N的最小值为g+￥， 49.抛物线C:y=-X+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）. 871172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)求A、B两点的坐标. (2)如图1，直线y=d(d<O)交抛物线C于C、D两点，△BCD的外心E在边CD上，求d的值. (3)如图2，抛物线C:y=x+px+9与抛物线C交于M、N两点，连接MN,T是线段MN上一点，过 点T作y轴的平行线分别交抛物线C、C,于P、Q两点，连接PM、PW、OM、QN.求证：△PMN与 △OMN的面积相等， 【答案】(1)A(-1,0).B(3,0) (2) d=-1 (3)证明：设直线MN的解析式为y=x+b,点T的横坐标为t,则T(,kt+b), :PQ∥y轴， .Pt,-t2+2t+3),Qt,t2+pt+q), 设M(xy),N(x22), 联立直线MN与抛物线C得+b=-x2+2x+3, 整理得：x2+(k-2)x+(亿-3)=0， :M,N是直线与C的交点， x,x2是该方程的两根， ∴.PT=yp-y7-+21+3-(t+b)2+(k-2)1+(b-3)(t-x)-x, 同理，联立直线MN与抛物线C2得cx+b=x2+px+q, 整理得x2+(p-k)x+(g-b)=0. :M,N也在抛物线C上， x,2也是该方程的两根， ∴.0T=yo-y(2+pt+q-(t+b)2+(p-)+(g-b)H-x)-g 881172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PT=OT, 过点M作MH⊥PO于点H,则MH是△PMT和△QMT的公共高， S.wOTM.BPT-OF. 1 ∴.S.PMT=S.OMT, 同理，过点N作NG⊥PO于点G,可得SPr=SOT, S.PAN=S.PMT+S.PNT S.OM=S.OMT+S.ONT, .S.PMN=S.OM. M G 【分析】(1)求出y=0时对应点的坐标并结合点A在点B左侧即可求解： (2)先利用外心在边上推出E是CD中点，得到E点坐标；再根据BE=CE列方程求解，结合<0取舍 即可； (3)先设直线MW解析式与各点横坐标，联立直线与两条抛物线，借助一元二次方程根与因式分解证出 PT=QT:再利用等底同高三角形面积相等进行推导，即可证明两三角形面积相等， 【详解】(1)解：当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得=-1，x2=3, ,点A在点B左侧， .A(-1,0),B(3,0) (2)解：如图，连接BE, 891172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 YA 的外心在上， .'△BCD E CD .EB=EC=ED, ∴E为线段CD的中点， 设C(xc,d),D(xp,d),则xc,xp是方程-x2+2x+3=d的两根， 整理得x2-2x+(d-3)=0, 由韦达定理得xc+xo=2, xc+xn=1,即E,d)' :.点E的横坐标为2 B(3,0) 由勾股定理得BE2=(3-1)2+(0-d)=4+d2, 又：CExE-xcHl-xcl, 由求根公式，方程-2x+日-3引=0的根为=2生4，d-可-1上4-日， 2 .xc<0. .xc=1-V4-d. .CE=V4-d,即CE2=4-d, .BE=CE, .4+d2=4-d, 整理得d2+d=0, 解得d=0或d=-l, d<0, d=-1 (3)略. 0/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、特殊三角形问题 50.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x-2mx+m-1与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y 轴交于点C,若△ABC为直角三角形，则m的值为() A.±3 B.±V2 C.0 D.±2 【答案】C 【分析】先化简抛物线解析式，求出A、B、C三点的坐标，判断直角位置，只有∠ACB可能为直角，再利 用勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到m的值， 【详解】解：：y=x2-2mx+m2-1=(x-m}-1, 令y=0,得(x-m=1,解得x=m-1,x2=m+1, :点A在点B左侧，A(m-l1,0),B(m+1,0),可得AB=2, 令x=0,得y=m2-1, :.C(0,m-),C不与A、B重合，故m2-1≠0， 若△ABC为直角三角形，分情况讨论： 若∠A=90°， ,AB在x轴上， :,AC1x轴，A的横坐标等于C的横坐标为0，即m-1=0,得m=1, 此时m2-1=0，,C与A重合，舍去： 若∠B=90°，同理得m+1=0,m=-1, 此时m2-1=0,C与B重合，舍去： 因此只有∠ACB=90°，由勾股定理得AC2+BC2=AB2, 计算得AC2=(m-+(m2-1,BC2=(m++(m2-,AB2=4, 代入等式得：(m-2+(m2-1)+(m+12+(m2-1=4, 解得m=0或m=±1， 舍去不符合题意的m=±1，得m=0. 51.如图，己知抛物线y=x-2x-8与×轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点 为D点.若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM,MN,当△CMN是以LCMN为直角的等腰直 角三角形时，点M的坐标为() 911172 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 B M C A.(1,-9) B.(4,0)或(-2,0) c.(3,-5)或(1，-9) D.(1,-9)或(0，-8) 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作MH⊥NC于H点，如图，先确定C(0,-8),设 M(m,m-2m-8),易得aCMH为等腰直角三角形，所以CH=MH=m,则aH=8-m或OH=8+m, 利用M点纵坐标的表示方法得到即m2-2m-8=-(8-m)或m2-2m-8=-(8+m),然后分别解方程求出 m,从而得到M点的坐标. 【详解】解：过M点作MH⊥NC于H点，如图， B H 当x=0时，y=x2-2x-8=-8 C(0-8), 设M(m,m2-2m-8), ∴，△CMN是以∠CMN为直角的等腰直角三角形， :△CMH为等腰直角三角形， .CH=MH =m, 92/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.QH=8-m或OH=8+m, 即m2-2m-8=-(8-m）或m2-2m-8=-(8+m）, 解方程m-2m-8=-(8-m)得m=0(舍去)，m,=3,此时M点的坐标为(3，-5)： 解方程m-2m-8=-(8+m)得m=0(舍去)，m,=1,此时M点的坐标为(，-9)： 综上所述，M点的坐标为(3，-5)或(1，-9) 故选：C. 1 52.在平面直角坐标系中，抛物线y= r+r+a的顶点为点4'与y轴交于点g,点g关于抛物线对称 2 轴的对称点为C,若△ABC为直角三角形，则AB长为 【答案】2√2 【分析】先求出抛物线顶点A、点B、点C的坐标，根据点A在BC的垂直平分线上得到AB=AC,确定 直角顶点为A,利用等腰直角三角形的性质求出风的值，再用勾股定理计算AB的长度即可. 【详解】解：将r=0代入y三)+ar+a得y=a心 因此B(O,a）). 抛物线y=-1x2+a心+a的对称轴为直线 2 :点C是点B关于对称轴x=a的对称点， .C(2a,a) BC=24, 将x=a代入抛物线解析式得顶点4的纵坐标为y=一 a2+a-a+a= 2 a2+a, 2 1 因此4a2a+a, :点A在BC的垂直平分线上， .'AB=AC, 若△ABC为直角三角形，则直角顶点只能为A, 如图，设BC中点为D,连接AD, 31172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由等腰直角三角形性质得AD= BC, 即2a=la, 整理得a2=2la, 当a=0时，a=0,此时三点重合，舍去， 因此a≠0，所以a=2,即a2=4, 由勾股定理得AB 代入a2=4得AB=V4+22=V⑧=22 53.已知抛物线y=-2x2-4x+6与x轴交于点A和点B,点C为抛物线上的一动点，当△ABC为直角三角 形时，则点C的坐标为， -2+V151 -2-V151 【答案】 2一2或 22 【分析】由题意易得A(-3,0),B(1,0),设C(化，-2r2-41+6),然后根据两点间距离公式可得 4C2=(-3-}+[0-（-2r2-41+6)]=(t+3}+(2r2+41-6, BC2=(t-1}+(-22-41+6-0=(t-1}+(2r+41-6),AB2=(-3-1+(0-0=16,进而根据勾股定 理进行分类讨论求解即可. 【详解】解：令y=0时，则有0=-2x2-4x+6,解得=l=-3, 不妨令点A在点B的左侧， .A(-3,0)B(1,0), 94/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设C6,-22-41+6), AC2=(-3-+[0-(-2r2-41+6)订=+3+(2r2+4-6, BC2=(t-1+(-22-4t+6-0=(t-1)}+(2r2+41-6), AB2=(-3-1)}+(0-0)2=16, 当△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°时，根据勾股定理得：AC2+AB2=BC2, (+3}2+(2r2+4-6°+16=(t-10+(2r2+4t-6), 解得t=-3,此时点T与点A重合，故不符合题意； 当∠4BC=90°时，同理可得：(t+3+(2r2+41-6=16+(t-)2+(2r+4-6, 解得：t=1,此时点T与点B重合，故不符合题意： 当∠ACB=90°时，同理可得：(+3)+(2+4t-6+(-1+(2r2+4t-6°=16， 解得414=3,4=254=2V15 21 1=1,42=-3不符合题意， :1=2+压成2-5 2 一或 2 ÷当1=2+5时则-2r2-4+6=-2×2+i5 4x2++6 2 2 2 2 2: 当=2，压时，则-2r2-4+6=2×-2-5 -4x-2-5 6=2 1 2 2 2 -2+151-2-151 综上所述：当。ABC为直角三角形时，点c的坐标为 2或 2 22 54.如图，抛物线y=(x-2-1与x轴交于点4，C(点A在点C的左边)，与y轴交于点B.在抛物线 的对称轴上是否存在一点N,使△ABW是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存 在，请说明理由. 51172 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】存在，点N的坐标为(2,1)或(2,2) 【分析】首先根据抛物线的表达式得到对称轴为直线x=2,A(1,0),B(0,3),设点N的坐标为(2，n),再 根据两点间距离公式得到NB2=n2-6n+13,NA2=1+n2,AB2=10,利用勾股定理列方程并解方程即可得 到答案 【详解】解存在，：抛物线y=(x-2-1的对称轴为直线x=2, .设点N的坐标为(2，n), 当y=0时，0=(x-2-1,解得：x=1,x=3, 当x=0时，y=(0-2)-1=3, .A(1,0)B(0,3), ,△ABN是以AB为斜边的直角三角形， ∴.由勾股定理可得NB2+NA=AB2, NB2=(2-0}+(n-3)}=m2-6n+13,NAP=(2-1+(n-0)=1+2AB2=04+0B2=10, .n2-6n+13+1+n2=10,解得%=1，m2=2, 点N的坐标为(2,1)或(2,2) 55.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x+bx+c过A,B,C三点，点A的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，-3)，动点P在抛物线上. (1)b= ,C= 点B的坐标为 96/172 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC边为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标， 若不存在，说明理由. 【答案】(1)-2，-3，（-1,0) (2)存在，P的坐标是山，-4)或(-2,5) 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式，对称性求出B点坐标即可； (2)分LCAP=90°和∠ACP=90°两种情况进行讨论求解即可· 【详解】(1)解：把3,0)和(0，-3)代入y=x2+bx+c得： [9+3b+c=0 b=-2 c=-3 解得1c=-3 y=x2-2x-3. -2 ∴.抛物线的对称轴为直线x= 2x71, ∴点(3,0)关于对称轴的对称点为(-1,0)，即B(-1,0): (2)解：存在， 当∠CAP=90°时，设AP交y轴于点D, :点A的坐标是(3,0)，点C的坐标是(0，-3)， ∴.0A=OC=3, .∠0AC=∠OCA=45°， .∠OAD=∠CAP-∠CA0=45°， ∴.△AOD为等腰直角三角形， ..OD=OA=3. .D(0,3) 设直线AD的解析式为y=:+3,把A3,0)代入，得k=-1, .y=-x+3 y=-x+3 「x=3「x=-2 联立y=x2-2x-3,解得y=0或y=5 .P(-2,5): 当∠ACP=90°=∠CAD时，则AD川CR, “CP的解析式为y=-x-3, 971172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x-3 x=0 「x=1 联立y=x2-2x-3,解得y=-3或y=-4 .B(L,4): 综上：P(-2,5)或P(1,-4). 3 56。如图，已知抛物线y=r+x+4的对称轴是直线x=3”与x轴相交于A,B两点（点B在点A的右 2 侧)，与y轴交于点C. A 03 (1)求线段AB的长： (2)若点M是抛物线上B,C两点之间的一个动点（不与点B,C重合），设点M的横坐标为，过点M作 MNMy轴，交直线BC于点N. ①当线段MN的长有最大值时，求点M的坐标： ②过点M作DM⊥MN交抛物线于点D,是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求出m的 值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)AB=10 (2①(4,6)：②2√6或8-2w10 【分析】(1)由抛物线的对称轴是直线x=3,解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解 一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案： ②)①易求点C的坐标为0.4小，则可得直线C的解析武：点M的坐标为，4加+m+ 点N的 981172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 坐标为m,2m+4,表示出MN的长，利用二次函数的性质求解即可：②由MD⊥MN得ADMN中， ∠DMN=90°，则DM=MN,分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据DM=MN得出关于m的 方程，从而求解. 【详解】(1)解：：抛物线的对称轴是直线x=3, 3 -2=3 2a 1 解得a= 4 ∴抛物线的解析式为y=- x2+二x+4 4 3 2x2+x+4=0 令y=0,则-4x 解得x=-2,x2=8. .A(-2,0),B(8,0) AB=8-(-2)=10: C2解：0油四)知抛物线的解析式为=+ +4 在y44,当=0时y=4 3 .C(0,4); 8k+b=0 设直线BC的解析式为y=c+b(k≠0)：则b=4, 解得 2 b=4 1 一直线BC的解析式为y=~2x+4, 由愿意知点M的坐标为m子m+号m+4,点N的坐标为mm+4】 3 2 ..MN=-I 3 m+4- 2 2m+4- 1 A m2+2m=-4(m-4}+4, 1 <0 4 99/172 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，当m=4时，线段MN的长有最大值， 1 此时am2+2m+4=- -x4+3x4+4=6, 2 4 2 ∴点M的坐标为(4,6)： ②：MD⊥MN, :∠DMN=90°， ,△DMN为等腰直角三角形， .DM MN, 当点M在对称轴右侧，即3<m<8时，如图1所示， M B 图1 由题意，得DM=2(m-3), 由(2)O得MW=-m2+2m, 4 六2(m-3)=4m2+2m 解得m=2√6或m=-2V6(舍去)： 当点M在对称轴左侧，即0<m<3时，如图2所示， C N 图2 由题意得DM=23-m),MN=- m2+2m, 4 六26-m）=-2m2+2m. 4 解得m=8-210或8+2W10(舍去)， 100/172